精品解析：山西省运城市盐湖区运城市康杰中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题（解析版）

唐杰中学2022—2023学年度第二学期第二次月考

高一数学试题

2023.5

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知i为虚数单位，复数满足，则（    ）

A. 25 B. 9 C. 5 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】直接解方程组求出复数，从而可求出复数的模

【详解】由，得，解得，

所以，

故选：C

2. 已知，则（    ）

A. 10 B.  C. 82 D. 162

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件，利用向量的坐标运算和向量模长即可求出结果.

【详解】因为，所以，所以，

故选：A.

3. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为（    ）

A. 8 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】画出直观图及对应的原图，由此求得原平面图形的周长.

【详解】由题意，用斜二测画法画出此平面图形的直观图，

其中，，，

由此画出直观图对应的原图如下图所示，

其中，，

所以，

所以原平面图形的周长为.

故选：B.

4. 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数达59%以上为贫困，为温饱，为小康，为富裕，低于为最富裕.国家统计局年月日发布了我国年居民收入和消费支出情况，根据统计图表如图甲、乙所示，下列说法不正确的是（    ）

A. 年城镇居民人均可支配收入增长额超过农村居民人均可支配收入增长额

B. 年城镇居民收入增长率快于农村居民

C. 从恩格尔系数看，可认为我国在年达到富裕

D. 年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过

【答案】B

【解析】

【分析】对于选项A，从图甲的柱状图分别计算年城镇居民、农村居民人均可支配收入增长额即可判断；对于选项B，从图甲的折线图即可看出；对于选项C，从图乙可看出年食品支出总额占个人消费支出总额的比重，再结合题目所给的恩格尔系数的比例即可判断；对于选项D，从图乙可看出年食品烟酒和居住占比，相加即可判断.

【详解】对于选项A，从图甲可知，

年城镇居民人均可支配收入增长额为，

年农村居民人均可支配收入增长额为，故A正确；

对于选项B，从图甲可知，

年城镇居民收入实际增速为，

年农村居民收入实际增速为，故B错误；

对于选项C，从图乙可知，年食品支出总额占个人消费支出总额的比重，

属于的范围，故C正确；

对于选项D，从图乙可知，年食品烟酒和居住占比为，故D正确.

故选：B.

5. 已知按从小到大顺序排列的A、B两组数据：A组：28，30，37，，42，47；B组：26，，33，44，50，52，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数分别对应相等，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据百分位数的定义，求出的值即可得答案.

【详解】因为，，

A组：第30百分位数为，第50百分位数为，

B组：第30百分位数为，第50百分位数为，

由已知得：，，解得，

所以

故选：C

6. 在△ABC中，角的对边分别为则边上的高为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】先利用余弦定理可求出，然后利用面积公式列方程可求得答案.

【详解】设边上的高为，

因为，

所以由余弦定理得，

所以，

因为，所以，

因为，

所以，解得，

故选：B

7. 如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，F为的中点，E为母线BC的中点，异面直线AC与EF所成角的余弦值为，，则该圆柱的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】运用平行线寻找异面直线所成角，再运用线面垂直判定定理及线面垂直性质定理证得，进而求得半径r，代入圆柱体积公式计算即可.

【详解】如图所示，

取AB的中点O，连接OE、OF，因为E为母线BC的中点，所以，所以为异面直线、所成的角或其补角，则，

设圆柱的底面圆半径为r，则，

又因为F为的中点，所以，，

又因为，，面，所以面，

又因为面，所以，

在中，，

所以在中，，解得：.

所以圆柱的体积为.

故选：B.

8. 正方体的棱长为3，点在三棱锥的表面上运动，且，则点轨迹的长度是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知点在以为球心，半径的球上，所以点的轨迹是该球与三棱锥的表面的交线，然后画出图形，分别求出其在四个面上的轨迹长度即可.

【详解】因为，所以点在以为球心，半径的球上，

因为点在三棱锥的表面上运动，

所以点的轨迹是该球与三棱锥的表面的交线，

因为正方体棱长为3，

所以正方体的面对角线为，

所以三棱锥为棱长为的正三棱锥，

由正方体的性质可知到平面的距离为，

所以球在平面上的截面圆的半径，

所以截面圆的圆心正好是正三角形的中心，

设正三角形的内切圆半径为，外接圆半径为，

由正弦定理得，则，

所以，

所以点在平面内的轨迹是圆在内的弧长，如图所示，

，为锐角，

所以，

所以，

所以点在平面内的轨迹长度为，

因为平面，

所以球在平面上的截面圆心为，设圆的半径为，

则，

因为，所以点在平面内的轨迹是一段劣弧，如图所示，

因为为锐角，所以，

所以，

所以的长为，

由对称性可知点在平面和平面内轨迹长相等，都等于，

所以点在三棱锥的表面上的轨迹的长度为

，

故选：A

【点睛】关键点点睛：此题考查立体几何中轨迹的求法，解题的关键是正确的画出图形，根据图形求解，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列命题错误的是（    ）

A. 复数不能比较大小

B. ，

C. 若实数a，b互为相反数，则在复平面内对应的点位于第二或第四象限

D. 若复数，，其中a，b，c都为实数，则可能为实数

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据复数的定义及分类，复数的乘方及复数的几何意义逐一分析判断即可.

【详解】复数包含实数和虚数，实数可以比较大小，故A错误；

若，则，故B错误；

当时，，其在复平面的对应点为原点，

不在第二象限，也不在第四象限，故C错误；

，若，则为实数，

若，则为纯虚数，故D正确．

故选：ABC.

10. 已知，是不同的两条直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有（    ）

A. 若，，，则

B. 若，，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，则

【答案】AC

【解析】

【分析】根据线面关系，面面关系的判定和性质逐个分析判断.

【详解】对于A，因为，，所以，

因为，所以，所以A正确，

对于B，若，，，则在内，或，所以B错误，

对于C，因为，，所以，

因为，所以，所以C正确，

对于D，若，，，则，或与相交，所以D错误，

故选：AC

11. 在边长为正六边形中，是线段上一点，，则下列说法正确的有（    ）

A. 若，则

B. 若向量在向量上的投影向量是，则

C. 若为正六边形内一点（包含端点），则的取值范围是

D. 若，则的值为

【答案】AC

【解析】

【分析】由向量线性运算可利用表示出，知A正确；由投影向量定义可求得向量在上的投影向量为，知B错误；以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可知C正确；设，根据可求得的值，进而得到，知D错误.

【详解】对于A，若，则为中点，

，A正确；

对于B，由正六边形的性质知向量与的夹角为，

则向量在上的投影向量为，，B错误；

对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，

则，，设，，，

，C正确；

对于D，由题意知：，，，

设，，，

，解得：，，，

，即，D错误.

故选：AC.

12. 在中，D、E为边上的两点，且，以下说法正确的是（    ）

A. 若，则为钝角三角形

B. 若，则的面积最大值为

C. 若，则长的最大值为

D. 若，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A：由题意知，由及余弦定理得为钝角；对于B：在中由余弦定理及基本不等式得的面积最大值；对于C：可知点在外接圆的上运动，当经过圆心时最长，根据余弦定理可求得最长值；对于D：可知点在与外接圆的交点处，在中求出各边由余弦定理求解.

【详解】在中，设的对角分别为，

对于A：因为，所以，

又 ，

所以，即，

由余弦定理得，

所以，

化简得，

因为为的内角，所以为钝角，故为钝角三角形，故A正确；

对于B：在中，由余弦定理得，

所以，（当且仅当时等号成立），

所以，

所以，故B正确；

对于C：在中，，，设外接圆半径为，圆心为，

则点在外接圆的上运动，

则，所以 ，且，，

所以，

在中，由余弦定理得，

即，

当点在上运动时，当经过圆心时最长，最长为，故C错误；

对于D：在中，，，同上可知点在外接圆的上运动，且圆中，

如图，，，

过作于，交于，

由对称性知，故分别为，的中点，

所以， ，

所以 ，

所以，故D正确；

故选：ABD

【点睛】方法点睛：在中，若为定角，为定边，则顶点在的外接圆圆弧上运动，由此可将一些最值问题转化为几何最值求解.如求面积的最大值可通过观察得到取得最大值时的位置.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 某校有男教师80人，女教师120人，为了调查教师的运动量的平均值（通过微信步数），按性别比例分配进行分层随机抽样，通过对样本的计算，得出男教师平均微信步数为12500步，女教师平均微信步数为8600步，则该校教师平均微信步数为________.

【答案】10160

【解析】

【分析】根据分层抽样的定义和平均数的定义结合题意求解即可

【详解】设样本容量为，则抽到的男教师有，女教师有，

由题意可得该校教师平均微信步数为

，

故答案为：10160

14. 在中，角A､B､C的对边a､b､c为三个连续偶数且，则___________.

【答案】10

【解析】

【分析】由题意可设，由，可由正弦定理和余弦定求出，进而可求出的值

【详解】由题意设，

因为，所以由正弦定理得，即，

所以，

由余弦定理得，

所以，解得，

所以，

故答案为：10

15. 如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的表面积为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

设，求得利用可求得x的值，再分别求三棱锥的各个面面积，相加可得答案.

【详解】设，则，

，，

，当且仅当，即时，等号成立，

所以，，，，

所以是等腰三角形，又，所以底边上的高为，

所以，

，，

，

三棱锥的表面积为：  ，

故答案为：.

【点睛】本题考查了三棱锥表面积的求法，考查利用基本不等式求最值的问题.

16. 正四棱台的高为，，，球在该正四棱台的内部，则球表面积的最大值为________.

【答案】

【解析】

【分析】设正四棱台上底面、下底面中心为，，设球与面，面分别切于点，，作出截面如图，利用锐角三角函数求出，连接，则，利用二倍角公式正切公式求出，即可求出即为最大球的半径，即可求出球的表面积.

【详解】设正四棱台上底面、下底面的中心为，，

球在该正四棱台的内部，要使球的表面积尽可能大，

则球与正四棱台的尽可能多的面相切，显然球心在上，

设球与面，面分别切于点，，

过、、、作其正四棱台的截面如图所示，则，，

过点作交于点，则，，，

所以，

连接，则，

所以，

解得或，

显然为锐角，所以，则，解得，

此时球的直径为，符合题意，

即正四棱台内的最大球的半径，此时球与下底面、及四个侧面均相切，与上底面不相切，

所以球的表面积为

故答案为：

四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知平面向量的夹角为，且．

（1）求

（2）求

【答案】（1）4    （2）

【解析】

【分析】（1）首先求得 的值，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可；

（2）首先求得的值，然后利用平面向量模的求解公式求解即可.

【小问1详解】

因为，

所以.

【小问2详解】

因为，

所以

18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.

（1）求角C；（2）若，，求的周长.

【答案】（1）（2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.

试题解析：（1）由已知可得

（2）

又

，

的周长为

考点：正余弦定理解三角形.

19. 某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和．

（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；

（2）求，，，；

（3）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由．

【答案】（1）详见解析；   

（2）详见解析；    （3）选A品种，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）利用极差和中位数定义即可求得这两个品种产量的极差和中位数；

（2）利用平均数和方差定义即可求得，，，；

（3）从平均产量和产量的稳定程度综合考虑选择A品种.

【小问1详解】

A品种10棵产量由小到大排列为，

则A品种产量的极差为50，中位数为75；

B品种10棵产量由小到大排列，

则B品种产量的极差为60，中位数为75.

【小问2详解】

,

，

，

，

【小问3详解】

由可得A，B两个品种平均产量相等，

又，则A品种产量稳定，故选择A品种.

20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，且直线PD与底面ABCD所成的角为．

（1）求证：平面平面PAC；

（2）求点C到平面PBD的距离．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据线面角可得底面ABCD为正方形，进而根据线线垂直可得线面垂直即可求面面垂直，

（2）利用等体积法,结合三棱锥的体积公式即可求解.

【小问1详解】

证明：∵平面ABCD，故为直线PD与平面ABCD所成的角，因此，又，∴

∵底面ABCD为矩形，且，∴底面ABCD为正方形，∴

又，而，平面PAC，∴平面PAC，又平面PBD，∴平面平面PAC，

【小问2详解】

，

由于,所以，

设点C到平面PBD的距离为d，则

∵，∴，解得：

∴设点C到平面PBD的距离为．

21. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.

（1）从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；

①；②；③.

（2）若点M为外的一点，且，.当为等边三角形时，求四边形面积的取值范围.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）选择①②，由①和余弦定理得到，从而得到，由正弦定理和正弦和角公式得到；选择①③，由①得到，由③和正弦定理得到；选择②③，由③得到，由正弦定理及求出答案；

（2）设，表达出四边形面积，结合得到面积的取值范围.

【小问1详解】

选择条件①②：

化简①式可得，由余弦定理可得，

所以由②式可得，由正弦定理可得，

又，

所以.

由正弦定理可得，③式得证.

选择条件①③：

化简①式可得，由余弦定理可得.

由③式及正弦定理可得，，

即，由正弦定理可得，②式得证.

选择条件②③：

由③式及正弦定理可得，，

即，由正弦定理可得，结合②式可得，

化简①式可得，又，①式得证.

【小问2详解】

如图所示，设，

由余弦定理可得，

四边形的面积

.

又，所以.

22. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．

（1）证明：平面PAD；

（2）若F为棱PC上一点，满足，求三棱锥FABD的侧面FBD与底面ABCD所成二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）取PD的中点Q，进而证明，然后根据线面平行的判定定理证明问题；

（2）先根据二面角平面角的定义作出所求二面角的平面角，进而结合“等体积法”求出相应的线段长度，最后求得答案.

小问1详解】

取PD的中点Q，连接AQ，EQ，则，且．

又，且，，且，∴四边形ABEQ是平行四边形，，平面PAD，平面PAD， 平面PAD.

【小问2详解】

F为棱PC上靠近P点的四等分点，理由如下：

分别取AD，AC中点，连接，，

易知四边形为正方形，连接BM，交于点，则．

又，，，，底面ABCD，. ，平面 ，.

过F作于点G，连接FG，底面ABCD ，.，平面，，即为所求二面角的平面角．

易知：，设AC与BD交于点O，则，，易得：，．

设点A到BD的距离为d，在中，由得：．由得：．

在中，，.

∴三棱锥FABD的侧面FBD与底面ABCD所成二面角的余弦值为．