2022-2023学年河南省南阳市六校高二下学期第二次联考数学试题含答案

2022-2023学年河南省南阳市六校高二下学期第二次联考数学试题

一、单选题

1．下列求导正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据常用函数的导数公式直接判断即可.

【详解】，A错误；

因为为常数，所以，B错误；

，C错误；

因为，所以D正确.

故选：D

2．抛物线C：过点，则C的准线方程为（    ）

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得参数a的值，进而求得C的准线方程.

【详解】抛物线C：过点，则，解之得，

则抛物线C方程为，则C的准线方程为

故选：B

3．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（    ）

A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2

【答案】A

【分析】根据直线平行，求得的值，结合两平行线的距离公式，即可求解.

【详解】因为两直线：，：平行，

可得且，解得或，

当时，，，即，

可两平行线间的距离为，符合题意；

当时，，，即，

可两平行线间的距离为，不符合题意，舍去.

故选：A.

4．在等比数列中，已知，，则等于（    ）

A．128 B．128或－128 C．64或－64 D．64

【答案】D

【分析】根据等比数列的通项公式计算可得结果.

【详解】设公比为，

由已知得，解得，

所以.

故选：D

5．函数的导函数的图象如图所示，则（    ）

A．是函数的极大值点

B．在区间上单调递增

C．是函数的最小值点

D．在处切线的斜率小于零

【答案】B

【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负．

【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，

函数在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A错误，B正确；

∴在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；

∴函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故D不正确.

故选：B

6．已知定义在R上函数满足：，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造新函数，利用导数求得的单调性，进而求得不等式的解集.

【详解】令，则，

则为定义域R上减函数，则由可得，

又， 则由，可得，

则不等式的解集为

故选：C

7．有一些网络新词，如 “内卷”、“躺平”等，现定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”，若函数，，的躺平点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据定义求出，根据函数的单调性和零点存在性定理得的范围，再比较大小可得答案.

【详解】因为，，

由，得，则；

因为，所以，由，得，则，

设函数，则，为增函数，

因为，，所以，

因为，，由，得，则，

所以.

故选：A

8．已知椭圆（a>b>0）的两个焦点分别为F1，F2，设Р为椭圆上一动点，角的外角平分线所在直线为l，过点F2作l的垂线，垂足为S，当点Р在椭圆上运动时，点S的轨迹所围成的图形的面积为：（    ）

A．a2 B．4a2 C．' D．

【答案】C

【分析】延长交的延长线于，可证得，且是的中点，由此可求得的长度是定值，即可求点的轨迹为圆，进而可得结果

【详解】是以，为焦点的椭圆上一点，过焦点作外角平分线的垂线，垂足为，延长交的延长线于，得，

由椭圆的定义知，故有，

连接，知是三角形的中位线，

∴，即点到原点的距离是定值，

由此知点的轨迹是以原点为圆心、半径等于的圆．

故点所形成的图形的面积为．

故选：C.

二、多选题

9．已知曲线：，则（    ）

A．若，则曲线是圆，其半径为

B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上

C．若曲线过点，，则是双曲线

D．若，则曲线不表示任何图形

【答案】BC

【分析】对于A，曲线可化为，表示圆，可求半径，判断A; 对于B，时，曲线可化为，可判断表示椭圆，判断B; 对于C，将点，，代入曲线：，求得曲线方程，判断C; 对于D，可举特例进行说明，判断D.

【详解】对于A，时，曲线可化为，其半径为，故A错误；

对于B，时，曲线可化为表示的是椭圆，而，

所以其焦点在轴上，故B正确；

对于C，将点，，代入曲线：，

有，，所以曲线是双曲线，故C正确；

对于D，若，，满足条件，此时曲线：，表示两条直线，

故D错误，

故选：BC.

10．已知公差为的等差数列，其前项和为，且，，则下列结论正确的为（    ）

A．为递增数列 B．为等差数列

C．当取得最大值时，  D．当时，的取值范围为

【答案】BD

【分析】根据，，推出，，，由此推出，A错误；推出当取得最大值时，，得C错误；根据等差数列的求和公式得，再根据定义得B正确；由解不等式组可得D正确.

【详解】因为，所以 ，，

因为，所以，故，

所以，故为递减数列，A错误；

根据，，得当取得最大值时，，C错误；

因为，所以，

所以为常数，

所以为等差数列，B正确；

当时，由，得，

所以的取值范围为，D正确.

故选：BD

11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.

【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究

对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；

对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；

若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.

故选：BC.

[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.

由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.

故选：BC.

[方法三]：

因为，均为偶函数，

所以即，，

所以，，则，故C正确；

函数，的图象分别关于直线对称，

又，且函数可导，

所以，

所以，所以，

所以，，故B正确，D错误；

若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.

故选：BC.

【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；

方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．

12．已知函数，下列说法正确的有（    ）

A．函数是周期函数 B．函数有唯一零点

C．函数有无数个极值点 D．函数在上不是单调函数

【答案】CD

【分析】根据不是周期函数，从而可判断选项A错误；

令，，，

作出与的图象，由图象可判断选项B；

作出与的图象，由图可判断选项C；

通过图象可判断在不单调，从而可判断选项D.

【详解】，

因为不是周期函数，则不是周期函数，A错；

令，，，

令，则，

作出与的图象，由图可知，与的图象至少有两个交点，

至少有两个零点，至少有两个零点，B错误；

作出与的图象，由图可知，有无数个零点

有无数个极值点，即有无数个极值点，C正确；

因为在有零点，所以在不单调，

在不单调，D正确；

故选：CD.

三、填空题

13．已知函数，且的最小值为0，则的值为      ．

【答案】

【分析】利用导数求出，结合已知最小值可得结果.

【详解】的定义域为，

，

当时，，在上为减函数，此时无最小值，不合题意；

当时，令，得；令，得，

在上为减函数，在上为增函数，

所以，

令，，

令，得，令，得，

所以在上为增函数，在上为减函数，

所以当时，取得最大值，

故.

故答案为：.

14．已知抛物线的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则的最小值为      ．

【答案】

【分析】根据抛物线的定义可求出结果.

【详解】抛物线的准线方程为，

过作准线的垂线，垂足为，则，

所以.当且仅当与准线垂直时，取等号.

所以的最小值为.

故答案为：.

15．已知在上不单调，则实数的取值范围是             

【答案】

【分析】先由函数求f′（x）＝﹣x﹣3，再由“函数f（x）x2﹣3x+4lnx在(t，t+1)上不单调”转化为“f′（x）＝﹣x﹣30在区间（t，t+1）上有解”从而有0在（t，t+1）上有解，进而转化为：x2+3x﹣4＝0在（t，t+1）上有解，进而求出答案．

【详解】∵函数f（x）x2﹣3x+4lnx，

∴f′（x）＝﹣x﹣3，

∵函数f（x）x2﹣3x+4lnx在（t，t+1）上不单调，

∴f′（x）＝﹣x﹣30在（t，t+1）上有解

∴0在（t，t+1）上有解

∴g（x）＝x2+3x﹣4＝0在（t，t+1）上有解，

由x2+3x﹣4＝0得：x＝1，或x＝﹣4（舍），

∴1∈（t，t+1），

即t∈（0，1），

故实数t的取值范围是（0，1），

故答案为（0，1）．

【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性与极值的关系，考查了转化思想，属于中档题．

16．已知数列满足是的等差中项，若，则实数的取值范围为          ．

【答案】

【分析】利用等差中项列式，探讨数列项间关系，求出的通项，再列出不等式求解作答.

【详解】依题意，，即，因此，

而，即，于是得数列都是以1为首项，为公差的等差数列，

因此，，即有，，

由得：，整理得，即，

于是得对恒成立，而，恒成立，则，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可.

四、解答题

17．求满足下列条件的直线的一般式方程：

(1)经过直线,的交点P，且经过点；

(2)与直线垂直，且点到直线的距离为．

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）解方程组得交点坐标，再根据两点式可求出结果；

（2）根据垂直得斜率，再根据点到直线的距离公式可求出结果.

【详解】（1）联立，得，即，

由两点式得，即.

（2）因为与直线垂直，所以直线的斜率为，

设直线，即，

依题意得，解得或，

所以直线的方程为或.

18．在数列中，．

(1)求证：是等差数列，并求数列的通项公式．

(2)设，求数列的前n项的和．

【答案】(1)证明见解析，；

(2)

【分析】（1）根据递推关系式，由等差数列的定义、通项公式求解即可；

（2）根据裂项相消法求和即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

否则与矛盾，故，

又，∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列，

所以，

因此．

（2）由（1）知，

∴.

19．已知椭圆C：的一个焦点为，且离心率为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出可得椭圆C的方程；

（2）联立直线与椭圆方程，求出，再根据可求出结果.

【详解】（1）依题意得，，所以，，

所以椭圆C的方程为.

（2）因为直线的倾斜角为，所以斜率为，

又直线过点，所以直线，

联立，消去并整理得，

，

设，，

则，，

所以，

所以.

20．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，求证：．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）求导后，对分类讨论，根据导数的符号可得结果；

（2），利用导数求出的最小值大于即可得证明不等式成立.

【详解】（1），

当时，在R上单调递减；

当时，令，可得，令，可得，

所以在上单调递减，在上单调递增．

综上所述：当时，的增区间为；

当时，的增区间为，减区间为.

（2）证明：当时，，

令，

，令，

因为恒成立，

所以在R上单调递增，，

由零点存在性定理可得存在，使得，即，

当时，单调递减，当时，单调递增，

所以，

由二次函数性质可得，

所以，即，得证．

21．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，交直线l于点M，求证为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式求出即可得解；

（2）设直线，代入，求出，线段的垂直平分线方程，令，得的坐标，再根据两点间的距离公式可证结论正确.

【详解】（1）因为，所以，抛物线，

（2）由（1）知，，

设直线，代入，得，

恒成立，

设，，

则，，

所以线段的中点，

线段的垂直平分线为，

令，得，则，

所以，

，

所以（定值）.

22．已知函数．

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)若有两个零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；

（2）根据函数零点的存在性定理及利用导数法求函数的单调性及函数的最值，再结合分类讨论即可求解.

【详解】（1）因为，

所以当时，.       

又因为，所以在处的切线方程，

所以在处的切线方程为.

（2）因为，其中，

设，则，

当时，，则在单调递增，

在上至多有一个零点，即在上至多有一个零点，不合题意，舍去．

当时，设，，

所以， 在上单调递减.

又，，

所以，使得，即，

当时，，此时，所以在单调递增；

当时，，此时，所以在单调递减.

所以在有极大值，

即

若，则，

所以，在上至多有一个零点，不合题意.…

若，设，，

所以在单调递增.

又，所以.

因为，所以在单调递增，

所以，即，此时，

因为，

在单调递增，，

所以，使得.   

又因为，，

所以.

因为在单调递减，，

且因为，所以，所以，使得.

所以，使得．

综上所述，若有两个零点，则实数的取值范围为．

【点睛】解决此类题型的关键第一问直接利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问利用零点的存在性定理及导数法求函数的单调性和最值但要注意对参数进行分类讨论.