2022-2023学年河南省南阳市六校高二上学期第二次联考数学试题（B卷）（解析版）

2022-2023学年河南省南阳市六校高二上学期第二次联考数学试题（B卷）

一、单选题

1．直线x+1＝0的倾斜角为

A．0 B． C． D．

【答案】C

【解析】轴垂直的直线倾斜角为.

【详解】直线垂直于轴,倾斜角为.

故选:C

【点睛】本题考查直线的倾斜角,属于基础题.

2．抛物线的焦点到准线的距离为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.

【详解】由，焦点到准线的距离是，

故选：D.

3．如图，在空间直角坐标系中，点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】按照空间直角坐标系得点坐标即可.

【详解】解：由空间直角坐标系的性质可知点为，

故选：A．

4．直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由线面垂直时，直线的方向向量与平面法向量平行，得解决即可.

【详解】因为，则向量与平行，

所以，，

所以，，.

所以.

故选:B.

5．关于空间向量，以下说法错误的是（    ）

A．若，则的夹角是钝角

B．已知向量组是空间的一个基底，则不能构成空间的一个基底

C．若对空间中任意一点，有，则四点共面

D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

【答案】A

【分析】根据向量夹角的范围、空间基底的定义、空间向量基本定理的知识依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，若夹角为，则成立，A错误；

对于B，，共面，

不能构成空间的一个基底，B正确；

对于C，由得：，

即，又，

所以由空间向量基本定理可知：四点共面，C正确；

对于D，若空间中的三个向量中有两个向量共线，且三个向量中，任意两个向量均共面，

三个向量必然共面，D正确.

故选：A.

6．如图，四面体的所有棱长均为，分别为线段的中点.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量的线性运算可直接得到，由此可得结果.

【详解】分别为中点，，，

，，，，

.

故选：C.

7．如图，正三棱柱中，，分别是的中点，则下列说法中正确的是（    ）

A．与是相交直线

B．平面

C．异面直线与所成角的余弦值为

D．

【答案】C

【分析】根据异面直线的判定可知A错误；根据平面，直线可知B错误；取的中点，根据平行四边形性质和三角形中位线性质，以及异面直线所成角定义可知所求角为或其补角，利用余弦定理可求得C正确；假设D正确，由线面垂直的判定与性质可知，显然不成立，知D错误.

【详解】对于A，平面，平面，平面，

与是异面直线，A错误；

对于B，连接，

直线，平面，平面，又直线，

直线平面，B错误；

对于C，取的中点，连接，

，，四边形为平行四边形，；

分别为中点，，

异面直线与所成角即为或其补角；

设，则，，又，，

，

则异面直线与所成角的余弦值为，C正确；

对于D，取的中点，连接，

假设成立，

平面，平面，，

，平面，平面，

又平面，；

由已知可知：为等边三角形，又，

与不垂直，假设错误，D错误.

故选：C.

8．已知圆的圆心为，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，结合向量线性运算和数量积运算定义可求得，则当为圆心到直线的距离时，取得最小值，结合点到直线距离公式可求得结果.

【详解】由圆的方程可知：圆心为，半径；

；

，，

，

则当为圆心到直线的距离时，取得最小值，

，.

故选：B.

9．设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意中坐标的定义可得，由此可构造方程组求得，进而可得所求坐标.

【详解】由题意知：；

设向量在基底下的坐标为，

则，

即，，解得：，

向量在基底下的坐标为.

故选：C.

10．已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的两点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，，双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为，所以 ，进而，四边形面积为，由可化简得，写出渐近线方程即可.

【详解】根据题意，，双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为，则，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.

【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，渐近线，点到直线的距离，属于难题.

11．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线距离建立函数，再求出函数最小值作答.

【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，

以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

因正三棱柱的所有棱长均为1，则，

，因动点P在线段上，则令，

即有点，，，，

因此点P到直线的距离

，当且仅当时取等号，

所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为.

故选：C

12．已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据两点关于直线对称点的特征可求得，并得到中点坐标；利用点差法可构造等式求得，根据椭圆离心率可求得结果.

【详解】关于直线对称，，

又中点纵坐标为，中点横坐标为；

设，，则，

两式作差得：，即，

；

又，，，解得：，

椭圆的离心率.

故选：A.

二、填空题

13．如图，若分别为直线的斜率，则三个数从大到小的顺序是___________.

【答案】

【分析】根据图象可直接确定直线斜率大小关系.

【详解】由图象可知：，，三个数从大到小的顺序是.

故答案为：.

14．已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】由焦距为8，求得，即可得双曲线方程，进而可得，结合图形，只有当三点共线时，取最小值为，求出即得答案.

【详解】解：如图所示，

由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8，

所以，，

即，，

所以双曲线的方程为：，

所以，，，

由双曲线定义得，

所以

，

当三点共线时，最小为

故.

故答案为：.

15．如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是___________.

【答案】.

【分析】先利用，再应用数量积及模长公式计算即可求解．

【详解】根据平行四边形法则可得，

所以

，所以，

故答案为：.

16．如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为.这两个球都与平面相切，切点分别为.丹德林（）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为，的半径分别为，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值是___________.

【答案】

【分析】在椭圆上任取一点，连接交于，交于点，根据可知，则，由此可求得最小值.

【详解】

如图所示，在椭圆上任取一点，连接交于，交于点，连接，，，，，

在与中，，其中为球的半径，

又，为公共边，，；

设沿圆锥表面到达的路径长为，

则（当且仅当为直线与椭圆的交点时取等号），

，

从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知圆与圆.

(1)若圆与圆相外切，求实数的值；

(2)在（1）的条件下，若直线被圆所截得的弦长为，求实数的值.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由圆的方程可确定圆心和半径，根据两圆外切可知，由此可构造方程求得的值；

（2）根据垂径定理，利用弦长可直接构造方程求得的值.

【详解】（1）圆的方程可整理为：，

圆心，半径；其中,

由圆方程知：圆心，半径；

圆与圆相外切，，解得：.

（2）由（1）知：圆心，半径，

圆心到直线的距离，

，解得：或.

18．已知抛物线的焦点为.

(1)求；

(2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据焦点坐标可直接求得的值；

（2）将直线方程与抛物线方程联立可得，进而得到，利用抛物线焦点弦长公式可求得结果.

【详解】（1）为抛物线的焦点，，解得：.

（2）由（1）知：抛物线；

直线，

由得：，

设，，则，

，.

19．如图，已知平面四边形中，，，，.沿直线将翻折成.

(1)求的值；

(2)当平面平面时，求异面直线与所成角的余弦值.

【答案】(1)2

(2)

【分析】(1)根据题意， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算即可求解；

(2)利用空间向量的夹角公式即可求解.

【详解】（1）因为，，，

由勾股定理得：，因为，

所以三角形为等腰三角形，

取的中点，连接，则；

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，

过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，

则；

（2）当平面平面时，在平面上，

则，，

设异面直线与所成角为，

则，

异面直线与所成角余弦值是.

20．如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，，M为PO的中点，.

(1)求证：平面EAC；

(2)求：（i）直线DM到平面EAC的距离；

（ii）求直线MA与平面EAC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)（i）；（ii）

【分析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面EAC的法向量与，即可判断出线面的位置关系.(2)利用第一问的法向量，与平行关系，用点到平面的距离公式可求得，（ii）平面EAC法向量由(1)可得，写出代入公式即可求得.

【详解】（1）证明：连接BD，则O是BD的中点，且.

在正四棱锥中，平面ABCD，，，所以，，以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，，，，

，，，

设平面EAC的法同量，则,即，取，得，

∵，∴，∵DM在平面EAC外，∴平面EAC.

（2）（i），∴直线DM到平面EAC的距高.

（ii），则，

∴直线MA与平面EAC所成角的正弦值为.

21．如图，四棱锥中，，，，且.

(1)求证：直线平面；

(2)若直线与平面所成的角为，求二面角的平面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）结合勾股定理和线面垂直的判定可证得平面，由此可得，由线面垂直的判定可证得结论；

（2）根据线面角定义可知，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.

【详解】（1），，，，

又，，平面，平面，

又平面，，

，，平面，直线平面.

（2）由（1）知：即为直线与平面所成角，即，

，，

以为坐标原点，正方向为轴，在平面内作轴于点，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

，

由图可知：二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.

22．已知椭圆的左焦点为，短轴长为.过右焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，直线，分别交直线于点M，N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设线段AB中点为Q，当点M，N位于x轴异侧时，求Q到直线的距离的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由条件列方程求，即可得椭圆方程；（2）利用韦达定理求斜率的范围以及线段中点T的横坐标为，注意讨论直线斜率是否存在．

【详解】（1）因为椭圆的短轴长为，所以，故，

因为右焦点的坐标为，所以，

又，所以，所以椭圆的方程为；

（2）由（1）得，，

当直线l的斜率不存在时，因为直线过点，所以直线的方程为，线段AB的中点Q到直线的距离为1，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由点M，N位于x轴异侧可得，

联立椭圆的方程，可得，方程的判别式

设，，∴， ，

，

∴，

∴点Q到直线的距离，

设直线的方程为，令得，则，同理，

∵点M，N位于x轴异侧，∴，即，得.

∴，∴，∴，

综上所述，点Q到直线的距离的取值范围为.