河南省南阳市六校2022-2023学年高二上学期第一次联考数学试题（含答案）

2022年秋期六校第一次联考

高二年级数学试题

（考试时间：120分钟    试卷满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列直线中，倾斜角最大的是（    ）

A． B． C． D．

2．双曲线的焦点坐标为（    ）

A．，  B．，

C．， D．，

3．已知点，，动点N满足，动点N的轨迹为G，则轨迹G的方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

4．已知，，，直线l过点B，且与线段AP相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ）

A．或  B．

C．或  D．或

5．已知椭圆：与双曲线：的离心率之积为2，则双曲线的两条渐近线的方程分别为（    ）

A． B． C． D．

6．已知圆：，圆：，则“两圆内切”是“”的（    ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

7．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知P是双曲线上的动点，Q是圆上的动点，则P，Q两点间的最短距离为（    ）

A． B． C． D．

9．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点（不妨设为椭圆右焦点）的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论不正确的是（    ）

A．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁

B．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小

C．卫星向径的取值范围是

D．卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间

10．已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值分别为（    ）

A．、 B．， C．， D．，

11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若存在非零实数使得（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为______．

14．直线：与直线：平行，则______．

15．已知椭圆C：，对于C上的任意一点P，圆O：上均存在点M，N使得，则C的离心率的取值范围是______．

16．若为圆上任意一点，且的值与x，y无关，则当时，r的最大值是______．

三、解答题（本大题共6小題，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）

（1）如果一条直线被圆所截得的弦长为8，且经过点，求这条直线的方程．

（2）求经过三点，，的圆的方程．

18．（本题满分12分）

讨论方程表示的是怎样的图形．

19．（本题满分12分）

已知双曲线C：（，），第一象限内的点P在C上，双曲线的左、右焦点分别记为，，且，，O为坐标原点．

（1）求双曲线C的离心率；

（2）若的面积为2，求点P的坐标．

20．（本题满分12分）

已知直线l：与圆C：相交于两个不同的点A，B．

（1）若，求k的值；

（2）设M是圆C上一动点，O为坐标原点，若，求点M到直线l的最大距离．

21．（本题满分12分）

若椭圆C的对称轴为坐标轴，长轴长是短轴长的2倍，一个焦点是，直线l：，P是l上的一点，射线OP交椭圆C于点R，其中O为坐标原点，又点Q在射线OP上，且满足．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当P点在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程．

22．（本题满分12分）

已知圆N：，圆M与圆N关于直线对称．

（1）求圆M的方程；

（2）过原点O的两条直线与圆M分别交于A，B两点，直线OA，OB的斜率，满足，

，点D在直线AB上，且，问是否存在定点P，使得为定值，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

2022年秋期六校第一次联考

高二年级数学参考答案

1．A

【解析】由于直线的斜率为，故它的倾斜角为，

由于直线的斜率为，，故它的倾斜角大于，

由于直线的斜率不存在，故它的倾斜角为，

由于直线的斜率为1，故它的倾斜角为，

故倾斜角最大的为直线，故选：A．

2．D

【解析】双曲线，即：，可得，，则，

所以双曲线的焦点坐标为，．故选：D．

3．C

【解析】设，由，所以，整理得：。故选：C．

4．B

【解析】如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足,

即且，所以．故选：B．

5．A

【解析】因为椭圆：与双曲线：的离心率之积为2，

所以有，，可得，

因此双曲线的两条渐近线方程为：，

所以双曲线的两条渐近线的方程为．故选：A．

6．C

【解析】圆的圆心坐标为，半径为，

圆：，圆心坐标为，半径为3．

，两圆的半径差为，

由，解得或．

∴“两圆内切”是“”的必要不充分条件。故选：C．

7．C

【解析】

，

可以看做平面上点与点，的距离和（或表示平面上点与点，的距离和，或表示平面上点与点，的距离和，或表示平面上点与，的距离和，当点A、B位于x轴两侧时，取其中一个点关于x轴的对称点，其与另一点的连线段长度即为所求，答案一样，以其中一种情况为例求解。）

连接AB，与x轴交于，

∴的最小值为。故选：C．

8．A

【解析】P是双曲线上的动点，Q是圆上的动点，

圆的圆心，半径为2，P，Q两点间的最短距离就是P到圆的圆心的距离的最小值减去半径，

设，可知，即，可得，

当且仅当时，取等号，则P，Q两点间的最短距离为：．故选：A．

9．D

【解析】卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则e越大，椭圆越扁，故A正确；因为运行速度是变化的，速度的变化服从卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故B正确；由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以C正确：根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故D不正确．故选：D．

10．B

【解析】圆，圆心，半径为，

令，即，的最值，就是圆心到直线的距离等于半径时的k的值，

∴，解得，∴的最大值为，最小值为．

11．C

【解析】根据椭圆定义，则

，

当且仅当即时，等号成立，故选：C．

12．A

【解析】因为存在非零实数使得，所以，O是的中点，所以Q为的中点， 因为，所以点到渐近线的距离，

又，所以，

连接，所以，则由双曲线的定义可知，

在中，由余弦定理，得，整理，得，

所以双曲线的离心率为，故选：A．

13．（写60°也得分）

【解析】设直线l的倾斜角为α，由直线l的一个方向向量为，可得斜率，

又因为，所以。

14．

【解析】∵直线：与直线：平行，

∴，解得，故答案为：．

15．

【解析】连接OP，当P不为椭圆的上下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于A，B点，设，

因为存在点M，N使得，所以，

所以，所以，

可得，而，即，可得，

所以椭圆的离心率，

当点P位于椭圆的上下顶点，点M、N位于圆O与x轴的左右交点时，

所以此时在圆O上存在点M，N使得。

所以椭圆C的离心率的取值范围是。

16．3

【解析】因为，

所以的表示点到直线和的距离之和的倍，要使的值与 x，y无关，需要圆心到两直线的距离都大于等于半径，因为，所以两平行线间的距离为，所以r的最大值为3．

17．（1）或．   （2）．

【解析】（1）根据题意，圆的圆心为，半径，

若直线l被圆所截得的弦长为8，则圆心到直线的距离；

若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，圆心到直线l的距离，符合题意；

若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为，变形可得．

若圆心到直线的距离，则，

解可得：，则直线l的方程为，即；

故直线l的方程为或．

（2）设圆的方程为,

由,,可得，

解得，，，所以圆的方程为．

18．当时，方程表示直线；

当时，方程表示点；

当时，方程不表示任何图形；

当且时，方程表示圆心为，半径为的圆

【解析】方程等价于．

当时，方程化为，表示直线；

当时，方程化为

当时，方程化为，表示点；

当时，方程无解，不表示任何图形；

当且时，方程表示圆心为，半径为的圆．

综上所述：当时，方程表示直线；

当时，方程表示点；

当时，方程不表示任何图形；

当且时，方程表示圆心为，半径为的圆．

19．（1）；（2）．

【解析】（1）∵，，∴，，

∵，∴，化为：，

∴，，即双曲线C的离心率为．

（2）由题意可得：，，

又，，解得，，，

把代入双曲线方程，得：，，解得．

∴．

20．（1）或；（2）1

【解析】（1）由直线l：与圆C：相交于两个不同的点A，B。

圆C：可变形为，

则圆心到直线l：的距离小于半径1，即，

得，则，又，则或；

（2）联立，消去y得：，

设，，则，，①

又，则，即，②

将①代入②可得：，则直线l：，则圆心在直线l上，

则点M到直线l的最大距离为1．

21．（1）  （2）（写也得分）

【解析】（1）设椭圆的标准方程为，，

解得，，所以椭圆的标准方程为．

（2）设点P，O，R的坐标分别为，，，由题设知，，

由点R在椭圆上及点O，Q，R共线，

得方程组，解得①，②

由点O、Q、P共线，得，即③

由题设得

将①、②、③式代入上式，

整理得点Q的轨迹方程为（写也得分）．

22．（1）．  （2）存在点，使得为定值．

【解析】

（1）设，则，解得，又圆M的半径为3，

所以圆M的方程为．

（2）由（1）知圆M的方程为，

设OA所在直线方程为，

联立，得，

因为，所以，

故同理把k换做，可得，，故，

所以AB所在直线方程为，

当时，可得，故直线AB过定点，

由于OC为定值，且为直角三角形，OC为斜边，

所以OC中点P满足为定值，

由于，，故由中点坐标公式可得，

故存在点，使得为定值．