2022-2023学年山东省淄博实验中学高二上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山东省淄博实验中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（    ）.

A．至多有1次中靶 B．2次都中靶

C．2次都不中靶 D．只有1次中靶

【答案】C

【分析】根据对立事件的概念可得结果.

【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.

故选：C.

2．抛物线的焦点坐标为是抛物线上一点，则点M到抛物线的准线的距离是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】由点到准线距离求得结果

【详解】由于知，所以点M到抛物线的准线的距离

故选：C

3．若构成空间的一个基底，则（    ）

A．不共面 B．不共面

C．不共面 D．不共面

【答案】A

【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得答案.

【详解】解：由题知不共面，

对于A，因为不存在实数使得成立，故不共面，A正确；

对于B，因为，故共面，B错误；

对于C，因为，故共面，C错误；

对于D，因为，故共面，D错误.

故选：A

4．若直线与圆相离，则过点的直线与圆的位置关系是（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定

【答案】C

【分析】根据题意，求出圆心到直线的距离大于半径，得到，故点在圆内，进而判断结果.

【详解】因为直线与圆相离，

所以圆心到直线的距离大于半径，

即，所以，故点在圆内，

所以过点的直线与圆相交，

故选：C.

5．甲､乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若甲队每局获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题设知甲、乙两队获胜的概率分别为、，甲队要获得冠军，则至少在两局内赢一局，利用概率的乘法和加法公式求概率即可.

【详解】由题意知：每局甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，

∴至少在两局内甲队赢一局，甲队才能获得冠军，

当第一局甲队获胜，其概率为；

当第一局甲队输，第二局甲队赢，其概率为.

∴甲队获得冠军的概率为.

故选：B.

6．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先将抛物线方程化为标准方程，写出焦点坐标和准线方程，利用抛物线定义得到，再利用平面几何知识求周长的最小值.

【详解】将化为，

则其焦点，准线方程为，

则，设，

则由抛物线的定义，得，

所以的周长

（当且仅当轴时取得最小值）.

故选：A.

7．如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为.

【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.

可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.

在点D处建立如图所示空间直角坐标系，

则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,

又点F距平面的距离为1，所以,

的最小值为.

故选：D

8．已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【分析】利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，可得，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率，再结合焦点三角形的面积公式，求的值.

【详解】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.

故选：C.

二、多选题

9．已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（    ）

A． B．

C． D．的坐标为

【答案】AC

【分析】根据抛物线的定义和几何性质求解即可.

【详解】由题可知,由，，

所以，.

故选：AC．

10．椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，给出以下四个命题，正确的是（    ）

A．过点的直线与椭圆交于两点，则△的周长为8；

B．椭圆上不存在点，使得；

C．椭圆离心率为；

D．为椭圆一点，为圆上一点，则点的最大距离为4.

【答案】AC

【分析】根据椭圆方程写出a、b、c及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断A；根据椭圆的性质及余弦定理求的最大值，进而确定其范围判断B；直接法求离心率判断C；根据圆的方程确定与椭圆的位置关系，进而判断的距离范围，即可判断D.

【详解】由题设椭圆参数为，且、，

对A：由椭圆定义知：，则△的周长为8，A正确；

对B：当在y轴上时，，而，

此时，且，易知，

故，则存在点使得，

故存在点使得，B错误；

对C：椭圆的离心率为，C正确；

对D：由椭圆和圆的方程知：它们在y轴上的交点为椭圆上下顶点，而圆在x轴上的交点为，所以，

故的最大距离为3，D错误.

故选：AC.

11．若椭圆的焦距是2，则的值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】AC

【分析】分椭圆的焦点在轴和轴上两种情况讨论得解.

【详解】解：当椭圆的焦点在轴上时，，，.

又因为，所以.所以，

所以；

当椭圆的焦点在轴上时，，，

所以，所以.

故选：AC

12．以下四个命题表述正确的是（    ）

A．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于

B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为

C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为

D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过点

【答案】ACD

【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D利用切线的性质得切点弦方程，再根据切点弦方程求定点.

【详解】选项A：圆的圆心为 ，半径 .

圆心到直线的距离，

所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于

故选项A正确；

选项B：方程可化为 ，

故曲线 表示圆心为，半径 的圆.

方程可化为

因为圆 与曲线 有四条公切线，

所以曲线也为圆，且圆心为 ，半径 ( )

同时两圆的位置关系为外离，

有 ，即 ，解得.

故选项B错误；

选项C：圆的圆心 ，半径 ，

圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.

由切线的性质知， 为直角三角形，

，

当且仅当 与直线垂直时等号成立，所以 的最小值为 .

故选项C正确；

选项D：设点，因为点在直线上，

所以， ，

由圆的切线性质知，直线的方程为

，，

整理得 ，

解方程得， .

所以直线过定点.故选项D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．直线被圆O；截得的弦长最短，则实数m=           .

【答案】1

【分析】求出直线MN过定点A（1,1），进而判断点A在圆内，当时，|MN|取最小值，利用两直线斜率之积为-1计算即可.

【详解】直线MN的方程可化为，

由，得，

所以直线MN过定点A（1，1），

因为，即点A在圆内.

当时，|MN|取最小值，

由，得，∴，

故答案为：1.

14．去年底，新一代的无线网络技术发布.相比于上一代，加入了新的技术，支持多个终端同时并行传输，有效提升了效率并降低延时，小明家更换了支持的新路由器，设在某一时刻，家里有个设备接入该路由器的概率为，且那么没有设备接入的概率      ．

【答案】

【解析】由题意可列出，再结合计算公式代值计算即可

【详解】由，且，

所以有，可求得．

故答案为：

【点睛】本题考查具体问题中的概率求解问题，属于基础题

15．过直线上的一点P向圆作两条切线．设与的夹角为θ，则的最大值为      ．

【答案】/

【分析】由题可得圆心为，半径为2，设与圆切于，根据圆的性质结合条件可得，进而即得.

【详解】由，可得圆心为，半径为2，

设与圆切于，则，

在中，，，

又到直线的距离为，

所以，，

所以的最大值为，即的最大值为.

故答案为：.

16．已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是        .

【答案】

【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果.

【详解】

设过的两条直线与圆分别切于点，

由两条切线相互垂直，知：，

又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直，

所以，即得，所以，

所以椭圆C1的离心率，又，

所以.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：首先假设过P所作的圆C2的两条切线互相垂直求出，再由椭圆的有界性构造含椭圆参数的不等关系，即可求离心率范围.

四、解答题

17．为了解我校高二数学复习备考情况，年级组织了一次检测考试，并随机抽取了100人的数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，估计该次检测数学成绩的平均数及中位数（精确到小数点后一位）；

(2)现准备从成绩在的8人中随机选出2人交流发言，求恰好抽到2人成绩在的概率．

【答案】(1)＝103.2，；

(2).

【分析】(1)根据频率分布直方图平均数和中位数计算方法计算即可；

(2)利用枚举法枚举出8人选2人的基本事件，求出其总数，再求出2人成绩在的事件数量，由此即可求出概率.

【详解】（1）该校此次检测理科数学成绩平均成绩约为：

＝65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03＝

103.2．

因为成绩在的频率为0.4，设中位数，则

所以，；

（2）设成绩在的5位同学位，成绩在的3位同学为．从中选出2位同学，基本事件为：

，

，

共28个，而2位同学成绩恰在内的事件有3个，

所以8人中随机选出2人交流发言，恰好抽到2人成绩在的概率为.

18．如图，在三棱锥中，，平面，，.

(1)求证：平面平面；

(2)若，求平面与平面的夹角大小.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）从所要证明的结论分析：要证平面平面，即证平面，即证平面，即证，进而得到证明思路；

（2）方法一：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求二面角的大小；方法二：过作，垂足为，连接，找出二面角的平面角，利用余弦定理求其大小.

【详解】（1）证明：因为平面，平面，

所以.

因为，，

所以平面.

因为，，

所以，

故平面.

因为平面，

所以平面平面.

（2）方法一：因为，，所以.

以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，

所以，，，.

设是平面的法向量，

则，即，

令，则，，所以，.

设是平面的法向量，

则，即，

令，则，，所以，

所以.

所以平面与平面的夹角的大小为.

方法二：如图，过作，垂足为，连接.

由（1）中的垂直关系及条件，可计算得

，，

所以.

所以.

所以为二面角的平面角.

，

.

.

所以.

在中，由余弦定理可得

.

所以，

所以平面与平面的夹角的大小为.

19．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．

【答案】(1)

(2)面积的最大值为，此时直线的方程为

【分析】(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的的关系求解；

(2)利用韦达定理求出弦长，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解.

【详解】（1）抛物线的焦点为，所以，

因为双曲线的焦点坐标为，

所以则，

所以椭圆E的方程为.

（2）设，

联立可得，

因为直线与椭圆E交于A、B两点，

所以解得，

由韦达定理可得，

由弦长公式可得，

点到直线的距离为，

所以

当且仅当即时取得等号，

所以面积的最大值为，此时直线的方程为.

20．在平面直角坐标系xOy中，点A在直线上，B（7，3），以线段AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l相交于另一个点D，AB⊥CD.

（1）求圆C的标准方程；

（2）若点A不在第一象限内，圆C与x轴的正半轴的交点为P，过点P作两条直线分别交圆于M，N两点，且两直线的斜率之积为－5，试判断直线MN是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

【答案】（1）或；（2）

【解析】（1）由已知可得，设，由两点求斜率公式可得值，得到，再由已知可得，设，利用两点间的距离公式列式求得，分类求解圆心，可得圆的标准方程；

（2）由题意知，圆的标准方程为，设直线的方程为，与圆的方程联立求得的坐标，同理求得的坐标，再分直线的斜率存在和不存在求解的方程，即可证明直线恒过定点．

【详解】解：（1），，

设，得，得．

，

在中，，为的中点，，

设，则，

解得或．

①当时，，，圆心为，

此时圆的标准方程为；

②当时，，，圆心为，

此时圆的标准方程为．

圆的标准方程为或；

（2）由题意知，圆的标准方程为．

设直线的方程为，

联立，得．

，得，则，，

两直线的斜率之积为，用代替，可得，．

当直线的斜率存在，即时，

．

直线的方程为，

整理得：，可得直线过定点；

当直线的斜率不存在时，即时，直线的方程为，过定点．

综上可得，直线恒过定点．

【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力.

21．如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）取中点，连接，，易得四边形为平行四边形，则，再利用线面平行的判定定理证明；

（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求得向量的坐标和平面的一个法向量，由求解.

【详解】（1）如图所示：

取中点，设为，连接，，

因为，

所以，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又平面，平面，

所以平面；

（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

从而，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则，

所以平面的一个法向量为，

设直线与平面所成角为，

所以.

所以直线与平面所成角的正弦值是.

【点睛】方法点睛：利用向量求线面角的方法：（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

22．已知抛物线：的焦点为，点在上.

(1)求以为直径的圆的方程：

(2)若直线交抛物线于异于的，两点，且直线和直线关于直线对称，直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）待定系数法求，由圆的几何特征写圆的标准方程；

（2）联立方程写出根与系数的关系，将两直线的对称问题转化为斜率之和为0，进而转化为坐标运算.

【详解】（1）解：将点代入，得，故抛物线的标准方程为，

由题意知，则以为直径的圆的圆心为，

半径为，

所以圆的方程为.

（2）解：设直线的方程为，

联立方程组，整理得，

设，，则，，，

根据题意，直线和直线的斜率之和为0，

则

，

所以，所以直线的方程为，

所以圆心到直线的距离，

又弦长为，解得或9，

经检验，满足，

所以直线的方程为或.