考点09复数（7种题型5个易错考点）（解析版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

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考点09复数（7种题型5个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五.、刷压轴
一、 真题抢先刷，考向提前知

一．复数的运算（共4小题）
1．（2023•上海）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝　　．
【分析】根据复数的基本运算，即可求解．
【解答】解：∵z＝1﹣i，
∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的基本运算，属基础题．
2．（2021•上海）已知z1＝1+i，z2＝2+3i，求z1+z2＝　3+4i　．
【分析】直接根据复数的运算性质，求出z1+z2即可．
【解答】解：因为z1＝1+i，z2＝2+3i，
所以z1+z2＝3+4i．
故答案为：3+4i．
【点评】本题考查了复数的加法运算，属基础题．
3．（2020•上海）已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝　　．
【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解．
【解答】解：由z＝1﹣2i，得|z|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．
4．（2019•上海）已知z∈C，且满足＝i，求z＝　5﹣i　．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．
故答案为：5﹣i．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
二．共轭复数（共6小题）
5．（2022•上海）已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2＝　2﹣2i　．
【分析】直接利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：z＝1+i，则＝1﹣i，所以2＝2﹣2i．
故答案为：2﹣2i．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，是基础题．
6．（2022•上海）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝　2﹣i　．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．
【解答】解：∵z＝2+i，
∴．
故答案为：2﹣i．
【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．
7．（2021•上海）已知z＝1﹣3i，则|﹣i|＝　　．
【分析】由已知求得，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：∵z＝1﹣3i，
∴，
则|﹣i|＝|1+2i|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
8．（2020•上海）已知复数z满足z+2＝6+i，则z的实部为　2　．
【分析】设z＝a+bi，（a，b∈R）．根据复数z满足z+2＝6+i，利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R）．
∵复数z满足z+2＝6+i，
∴3a﹣bi＝6+i，
可得：3a＝6，﹣b＝1，解得a＝2，b＝﹣1．
则z的实部为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．（2019•上海）设i为虚数单位，，则|z|的值为　2　
【分析】把已知等式变形求得再由|z|＝||，结合复数模的计算公式求解．
【解答】解：由，得3＝6+6i，即，
∴|z|＝||＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
10．（2023•上海）已知z1，z2∈C且z1＝i（i为虚数单位），满足|z1﹣1|＝1，则|z1﹣z2|的取值范围为 　[0，]　．
【分析】引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．
【解答】解：设z1﹣1＝cosθ+isinθ，则z1＝1+cosθ+isinθ，
因为z1＝i•，所以z2＝sinθ+i（cosθ+1），
所以|z1﹣z2|＝
＝＝，
显然当＝时，原式取最小值0，
当＝﹣1时，原式取最大值2，
故|z1﹣z2|的取值范围为[0，]．
故答案为：[0，]．
【点评】本题考查复数的三角形式以及三角恒等变换，同时考查了复数的模长公式，属于中档题．
二、考点清单

1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量．
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
<常用结论>
1．三个易误点
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．
2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
三、题型方法

一．虚数单位i、复数（共2小题）
1．（2023•普陀区校级模拟）已知i是虚数单位，则复数1﹣i的虚部是　﹣1　．
【分析】利用复数的概念求解．
【解答】解：由复数的概念，知：
复数1﹣i的虚部是﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要熟练掌握复数的概念．
2．（2023•宝山区二模）已知复数（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i＝3（其中i为虚数单位），则实数m＝　﹣1　．
【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解．
【解答】解：复数（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i＝3，
则，解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．
二．复数的代数表示法及其几何意义（共3小题）
3．（2023•长宁区二模）设复平面上表示2﹣i和3+4i的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据条件可写出表示向量的复数，然后即可得出该复数所位于的象限．
【解答】解：根据题意知，表示向量的复数为1+5i，
∴在复平面上所对应的点为（1，5）位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了复数和复平面内的点的对应关系，复数和向量的对应关系，考查了计算能力，属于基础题．
4．（2023•浦东新区模拟）设复数z满足|z﹣1|＝2，z在复平面内对应的点为（x，y），则（　　）
A．（x﹣1）2+y2＝4 B．（x+1）2+y2＝4
C．x2+（y﹣1）2＝4 D．x2+（y+1）2＝4
【分析】由已知直接利用复数模的几何意义得答案．
【解答】解：复数z满足|z﹣1|＝2，则z在复平面内对应点的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，
又z在复平面内对应的点为（x，y），
∴轨迹方程为（x﹣1）2+y2＝4．
故选：A．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
5．（2023•奉贤区校级三模）复数（a﹣1）+（2a﹣1）i（a∈R）在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是 　　．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：（a﹣1）+（2a﹣1）i（a∈R）在复平面的第二象限内，
则，解得，
故实数a的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
三．纯虚数（共2小题）
6．（2023•宝山区校级模拟）（sinθ﹣）+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ＝　　．
【分析】由给出复数的实部等于0且虚部不等于0求出sinθ和cosθ的值，由同角三角函数的基本关系求得tanθ的值．
【解答】解：∵（sinθ﹣）+（cosθ﹣）i是纯虚数，
则，解得：．
∴tanθ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了三角函数的象限符号，是基础题．
7．（2023•黄浦区校级三模）若复数（1﹣i）（a+i）为纯虚数，则实数a＝　﹣1　．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．
【解答】解：∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i为纯虚数，
∴，即a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
四．复数的运算（共21小题）
8．（2023•奉贤区二模）已知x∈R，y∈R，且x+i＝y+yi，i是虚数单位，则x+y＝　2　．
【分析】根据x+i＝y+yi可求出x，y的值，进而得出x+y的值．
【解答】解：∵x+i＝y+yi，且x∈R，y∈R，
∴，
∴x+y＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了a+bi＝c+di时，a＝c，b＝d，考查了计算能力，属于基础题．
9．（2023•普陀区二模）设3i（i为虚数单位）是关于x的方程x2+m＝0（m∈R）的根，则m＝　9　．
【分析】由已知直接把x＝3i代入方程求解m的值．
【解答】解：∵3i（i为虚数单位）是关于x的方程x2+m＝0（m∈R）的根，
∴（3i）2+m＝0，即m＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
10．（2023•黄浦区二模）设复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i（i为虚数单位），则z1•z2＝　﹣5　．
【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．
【解答】解：∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i，
∴z2＝﹣2+i．
∴z1•z2＝﹣（2+i）（2﹣i）＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．
11．（2023•闵行区校级二模）在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|＝　　．
【分析】求出复数z+1，然后求解复数的模．
【解答】解：在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|＝|﹣2+i+1|＝|﹣1+i|＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
12．（2023•浦东新区校级一模）若复数z满足i•z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为　2　．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由i•z＝1+2i，
得z＝，
∴z的实部为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
13．（2023•浦东新区校级三模）设z＝，其中i为虚数单位，则Imz＝　﹣3　．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz．
【解答】解：∵Z＝＝＝＝2﹣3i，
∴Imz＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用．
14．（2023•宝山区校级模拟）已知i为虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝　1　．
【分析】设出z＝a+bi，得到1﹣a﹣bi＝﹣b+（a+1）i，根据系数相等得到关于a，b的方程组，解出a，b的值，求出z，从而求出z的模．
【解答】解：设z＝a+bi，则＝＝i，
∴1﹣a﹣bi＝﹣b+（a+1）i，
∴，解得，
故z＝﹣i，|z|＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了复数求模问题，考查解方程组问题以及对应思想，是一道基础题．
15．（2023•闵行区校级三模）已知复数z满足，则复数z的虚部为 　﹣1．　．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数和虚部的定义，即可求解．
【解答】解：，
则＝＝，即z＝﹣i，
故复数z的虚部为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数和虚部的定义，属于基础题．
16．（2023•闵行区二模）已知复数z满足z（1﹣i）＝i（i为虚数单位），则z的虚部为 　　．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
【解答】解：z（1﹣i）＝i，
则z＝＝，其虚部为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
17．（2023•松江区校级模拟）i2018＝　﹣1　．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：i2018＝（i4）505•i2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
18．（2023•嘉定区校级三模）已知复数x满足方程x2＝﹣3，那么x＝　　．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：复数x满足方程x2＝﹣3，
则x＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
19．（2023•徐汇区校级三模）复数（其中i为虚数单位）的虚部是 　﹣4　．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
【解答】解：＝﹣5﹣4i，其虚部为﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
20．（2023•徐汇区校级三模）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数a的值为 　﹣1　．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：＝＝＝，
∵复数z在复平面内对应的点位于实轴上，
∴，解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
21．（2023•黄浦区校级三模）在复数集中，若复数z满足z2＝﹣1，则z＝　±i　．
【分析】设出z＝a+bi（a，b∈R），再利用复数的运算法则和复数相等的定义即可得出结果．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z2＝a2﹣b2+2abi＝﹣1，
则，解得a＝0，b＝1或b＝﹣1，
所以z＝i或z＝﹣i，
故答案为：z＝±i．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
22．（2023•杨浦区二模）复数的虚部是 　　．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
【解答】解：＝＝，其虚部为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查合复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
23．（2023•浦东新区二模）若复数z满足z（1﹣i）＝1+2i（i是虚数单位），则复数z＝　　．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：z（1﹣i）＝1+2i，
则z＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
24．（2023•普陀区校级模拟）复数3+2i（i为虚数单位）是实系数方程x2+ax+b＝0的一个解，则实数b＝　13　．
【分析】根据已知条件，结合韦达定理，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：复数3+2i（i为虚数单位）是实系数方程x2+ax+b＝0的一个解，
则复数3﹣2i是实系数方程x2+ax+b＝0的另一个解，
故（3﹣2i）（2+2i）＝13＝b．
故答案为：13．
【点评】本题主要考查韦达定理，以及复数的四则运算，属于基础题．
25．（2023•虹口区二模）复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1（2，1），Z2（1，﹣2），则z1+z2＝　3﹣i　．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及四则运算，即可求解．
【解答】解：复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1（2，1），Z2（1，﹣2），
则z1＝2+i，z2＝1﹣2i，
故z1+z2＝3﹣i．
故答案为：3﹣i．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
26．（2023•黄浦区模拟）已知复数，|z2|＝2，z1z2是正实数，则复数z2＝　1﹣　．
【分析】设z2＝a+bi（a，b∈R），由已知列关于a，b的方程组，求解a，b的值得答案．
【解答】解：设z2＝a+bi（a，b∈R）．
由，|z2|＝2，z1z2是正实数，
得，解得或．
∴z2＝﹣1+或1﹣．
当z2＝﹣1+时，z1z2＝﹣4，舍去，
∴z2＝1﹣．
故答案为：1﹣．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
27．（2023•崇明区二模）设复数z满足（1﹣i）z＝2i（i是虚数单位），则z＝　﹣1+i　．
【分析】把给出的等式变形后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
【解答】解：∵（1﹣i）z＝2i，
∴．
故答案为：﹣1+i．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
28．（2023•杨浦区校级模拟）已知复数z在复平面内对应的点是A，其共轭复数在复平面内对应的点是B，O是坐标原点，若A在第一象限，且OA⊥OB，则＝　﹣i　．
【分析】设点A坐标，根据共轭复数的概念得B坐标，再由OA⊥OB得A横纵坐标的关系式，根据复数的除法运算求值即可．
【解答】解：设A（m，n）（m＞0，n＞0），则由共轭复数的概念可得：B（m，﹣n），
由得：m2﹣n2＝0，
因为m＞0，n＞0，所以m＝n，故，
故．
故答案为：﹣i．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于中档题．
五．共轭复数（共7小题）
29．（2023•长宁区校级三模）在复平面内，复数z所对应的点为（1，1）．则＝　2　．
【分析】由复数的几何意义得到z，，再由复数的运算法则直接求得．
【解答】解：由题得：z＝1+i，，∴．
故答案为：2．
【点评】本题考查复数的几何意义、共轭复数、复数的运算，属于基础题．
30．（2023•金山区二模）若复数z＝2+i（i是虚数单位），则＝　5　．
【分析】由复数z，可得它的共轭复数的值，进而求出z•的值．
【解答】解：因为z＝2+i，所以＝2﹣i，
所以z•＝（2+i）（2﹣i）＝22﹣i2＝4+1＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查复数的运算性质的应用，属于基础题．
31．（2023•松江区校级模拟）复数（i为虚数单位），则＝　　．
【分析】由已知直接利用及商的模等于模的商求解．
【解答】解：∵，
∴＝||＝．
故答案为：
【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．
32．（2023•虹口区二模）已知复数（i为虚数单位），则z•＝（　　）
A． B． C． D．2
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：＝，
则z＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
33．（2023•浦东新区校级模拟）复数z满足，则|z|＝　　．
【分析】设出z＝a+bi（a，b∈R），利用得到方程组，解方程组求出a，b的值，从而可求出|z|．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，
所以，则，
所以，解得：，所以，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
34．（2023•松江区二模）若复数z满足i•z＝3﹣4i，则||＝　5　．
【分析】根据已知条件，先对z化简，再结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：∵i•z＝3﹣4i，
∴＝，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
35．（2023•上海模拟）已知复数z＝1+2i，则＝　　．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：复数z＝1+2i，
则，
故＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
六．复数的模（共18小题）
36．（2023•杨浦区校级三模）已知i是虚数单位，复数z满足z3＝2+2i，则|z|＝　　．
【分析】由|z|3＝|z3|直接求解即可．
【解答】解：由z3＝2+2i，
得|z|3＝|z3|＝，
则|z|＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的模的运算，属基础题．
37．（2023•宝山区校级三模）复数的模为 　　．
【分析】法一：先将复数z化简，再求模；法二，根据复数的模等于分子的模除以分母的模，直接计算．
【解答】解：法一：，
∴z＝﹣i，
∴．
法二：．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的模的运算，属于基础题．
38．（2023•虹口区校级三模）若复数z满足z+＝0，则|z|＝　　．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：z+＝0，
则z＝﹣，
故|z|＝|﹣|＝，即|z|2＝2，解得|z|＝（负值舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
39．（2023•上海模拟）设复数z满足（1﹣i）z＝﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝　　．
【分析】求出，进而利用复数的模长性质求出答案．
【解答】解：，故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
40．（2023•普陀区校级三模）已知i为虚数单位，复数z＝i（1+3i），则＝　　．
【分析】根据复数的乘法运算求得z＝﹣3+i，可得，根据复数模的计算即得答案．
【解答】解：由z＝i（1+3i）可得z＝﹣3+i，
故，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
41．（2023•闵行区校级一模）若复数z是x2+x+2＝0的一个根，则|z|＝　　．
【分析】设z＝a+bi，a，b∈R，b≠0，代入z2+z+2＝0中，得到方程组，求出a，b，求出模长．
【解答】解：由题意得z2+z+2＝0，设z＝a+bi，a，b∈R，b≠0，
则a2+2abi﹣b2+a+bi+2＝0，即a2﹣b2+a+2+（2ab+b）i＝0，
所以，
因为b≠0，
所以，
故，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
42．（2023•嘉定区校级三模）若复数z是x2﹣0.1x+3＝0的一个根，则|z|＝　　．
【分析】在复数域内解题中方程求出z，从而求出|z|．
【解答】解：由x2﹣0.1x+3＝0解得，
∵复数z是x2﹣0.1x+3＝0的一个根，∴，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的模与复数的运算，属于基础题．
43．（2023•徐汇区三模）设i是虚数单位，则|i6+i7+i8|＝　1　．
【分析】根据虚数单位的性质可求代数式的值．
【解答】解：∵i2＝﹣1，
∴|i6+i7+i8|＝|i2+i3+1|＝|﹣1﹣i+1|＝|i|＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数模的求法，是基础题．
44．（2023•静安区二模）若复数（i为虚数单位），则|z﹣i|＝　　．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：＝，
则|z﹣i|＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
45．（2023•青浦区校级模拟）已知z1、z2是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的两个根，则|z2|＝　　．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：x2﹣2x+2＝0，解得z1＝1+i，z2＝1﹣i或z1＝1﹣i，z2＝1+i，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
46．（2023•浦东新区三模）已知复数z满足|z﹣2|＝|z|＝2，则z3＝　﹣8　．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
∵|z﹣2|＝|z|＝2，
∴，解得a＝1，b＝，
当z＝1+i时，
＝＝，
同理可得，z＝i时，z3＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的四则运算，属于基础题．
47．（2023•青浦区二模）已知复数z满足，则|z|＝　5　．
【分析】把已知等式变形求得，再由复数模的性质求解．
【解答】解：由，得，
∴．
故答案为：5．
【点评】本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题．
48．（2023•黄浦区校级模拟）已知i是虚数单位，复数z满足，则复数z的模为 　　．
【分析】利用复数模的性质进行求解即可．
【解答】解：由题意可得，即1+＝，
||＝|﹣1|＝||，即＝，
解得|z|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算，复数的模，解题的关键是掌握模的运算性质，属于基础题．
49．（2023•浦东新区模拟）已知复数z满足（2+i）z＝3+4i（ i为虚数单位），则|z|＝　　．
【分析】根据复数的除法运算和模的定义求解．
【解答】解：由（2+i）z＝3+4i得，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
50．（2023•普陀区校级模拟）若复数，则|z﹣i|＝　　．
【分析】先对z化简，再结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：＝，
则|z﹣i|＝|1﹣2i|＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
51．（2023•嘉定区二模）已知复数z＝3+4i（i为虚数单位），则|z|＝　5　．
【分析】直接利用复数模的计算公式得答案．
【解答】解：∵z＝3+4i，
∴|z|＝．
故答案为：5．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
52．（2023•松江区模拟）设复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z的模为 　　．
【分析】先利用复数代数形式的乘除运算求出复数z，再利用复数的模长公式求解．
【解答】解：∵复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），
∴z＝＝＝＝＝1+i，
∴z的模为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的模长公式，是基础题．
53．（2023•黄浦区校级三模）若复数z＝1+i（i为虚数单位）是方程x2+cx+d＝0（c、d均为实数）的一个根，则|c+di|＝　　
【分析】由已知可得（1+i）+（1﹣i）＝﹣c，（1+i）（1﹣i）＝d，求得c，d的值，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：∵z＝1+i是方程x2+cx+d＝0（c、d均为实数）的一个根，
∴（1+i）+（1﹣i）＝﹣c，（1+i）（1﹣i）＝d，
则c＝﹣2，d＝2．
则|c+di|＝|﹣2+2i|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
七．复数的三角表示（共7小题）
54．（2022春•嘉定区校级期末）复数的三角形式（用辐角主值表示）为 　cos+isin　．
【分析】由复数的共轭复数的定义和复数的三角形式可得答案．
【解答】解：＝cos（﹣）+isin（﹣）＝cos+isin．
故答案为：cos+isin．
【点评】本题考查复数的共轭复数的求法，以及三角形式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
55．（2022春•虹口区校级期末）已知复数，若复数z满足2iz＝z1，则复数z的辐角主值为 　　．
【分析】结合复数的四则运算，先对z化简，再结合辐角的定义，即可求解．
【解答】解：∵，2iz＝z1，
∴＝，
故复数z的辐角主值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及辐角的定义，属于基础题．
56．（2022春•浦东新区校级月考）若复数（i为虚数单位），则argz＝　　．
【分析】化为复数的三角形式即可得出结论．
【解答】解：复数＝2（﹣+i）＝2（cos+i），
则argz＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的三角形式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
57．（2022春•浦东新区校级期末）的三角形式是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．
【解答】解：＝．
故选：B．
【点评】本题考查化复数的代数形式为三角形式，考查三角函数值的求法，是基础题．
58．（2022春•浦东新区校级期末）复数1+i的辐角主值是 　　．
【分析】判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值．
【解答】解：复数1+i的模是＝，因为1+i对应的点在第一象限且辐角的正切tanθ＝1，它的辐角主值为，
三角形式为：（cos+isin），
所以复数1+i的辐角主值是，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的模及辐角主值以及复数三角形式的求法，是基础题．
59．（2022春•闵行区校级期末）将复数化为三角形式：＝　　．
【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可．
【解答】解：复数中，，
设θ为复数的辐角主值，θ∈[0，2π），
又，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的三角表示，考查转化能力，属于中档题．
60．（2022•宝山区校级开学）已知复数z＝cosθ+isinθ（θ∈R，i为虚数单位），ω＝．
（Ⅰ）若0＜θ＜2π，求满足|ω|＝1的复数z所组成的集合；
（Ⅱ）若0＜θ＜π，试讨论复数ω的辐角（用θ表示）．
【分析】（I）根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解．
（Ⅱ）ω＝（2cosθ+1）（cosθ+isinθ），0＜θ＜π，再结合辐角的定义，即可求解．
【解答】解：（I）ω＝＝1+z+z2＝1+cosθ+isinθ+cos2θ+isin2θ，
则ω＝1+cosθ+cos2θ+（sinθ+sin2θ）i＝（2cosθ+1）（cosθ+isinθ），其中0＜θ＜2π，
∵|ω|＝1，
∴|2cosθ+1|＝1，解得cosθ＝﹣1或cosθ＝0，即z＝﹣1或±i，
故满足|ω|＝1的复数z所组成的集合{﹣1，i，﹣i}．
（Ⅱ）ω＝（2cosθ+1）（cosθ+isinθ），0＜θ＜π，
当2cosθ+1＝0，即，此时ω＝0，其辐角为任意实数，
当2cosθ+1＞0，即0＜，此时ω其辐角为2kπ+θ，k∈N，
当2cosθ+1＜0，即，此时ω其辐角为（2k+1）π+θ，k∈N，
综上所述，复数ω的辐角为．
【点评】本题主要考查复数的三角表示，考查转化能力，属于中档题．
四、易错分析

易错点1：纯虚数的条件不明晰
1、若复数是纯虚数,则实数（ ）
A. B. C. D.
【错解】由复数是纯虚数,得,解得：,故选A．
【错因】复数为纯虚数的充要条件是，错解中没有考虑实部不为零。
忽略了.
【正解】B，由复数是纯虚数,得,解得：,
易错点2：对复数的虚部理解错误
2、复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【错解】因为,故选B.
【错因】误认为复数的虚部是.虚部是,不是.
【正解】复数的虚部是,不是.的虚部是,不是，选B。
易错点3：乱用判别式
3、已知关于x的一元二次方程有实数根,求的取值范围.
【错解】由于一元二次方程有实数根,可得判别式：,
解得：或.
【错因】对于一元二次方程通过根的判别式来确定根的个数,这是在实数范围内才能成立的,在复数范围内就不适用了.而本题中所给一元二次方程,其中含有虚数单位,则首先要将其整理成复数的形式：,利用复数相等的条件有：,进而可求出.
【正解】设方程的实数根为,代入方程有：,
整理化简可得：,
则有：, 可解得：或.
易错点4：忽略虚数不能比较大小
4、给出下列命题：①；②；③,其中正确命题的个数为 . A.0 B.1 C.2 D. 3
【错解】D
【错因】两个复数如果不全是实数,不能比较大小.本题易出现的错误是误认为②正确.
【正解】①正确；②错误,因为虚数不能比较大小；,③错误.故选B.
易错点5：利用解题,忽略前提条件：为实数
5、已知x为实数,y为纯虚数,且,求的值.
A. B. C. D.
【错解】由得,所以.
【错因】当为实数时，有. 错解中忽略了y为纯虚数.
【正解】因为x为实数,y为纯虚数,设,
由得,
所以,所以.
五.刷压轴

一、单选题
1．（2022·上海奉贤·统考一模）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（    ）个.
A．9 B．10 C．11 D．无数
【答案】C
【分析】先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数.
【详解】，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个.
故选：C
2．（2022·上海·高三专题练习）关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.
【详解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解为，设对应的两点分别为A，B，
得A（2，1），B（2，﹣1），
设x2+2mx+m＝0的解所对应的两点分别为C，D，记为C（x1，y1），D（x2，y2），
（1）当△＜0，即0＜m＜1时，的根为共轭复数，必有C、D关于x轴对称，又因为A、B关于x轴对称，且显然四点共圆；
（2）当△＞0，即m＞1或m＜0时，此时C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m，
故此圆的圆心为（﹣m，0），
半径，
又圆心O1到A的距离O1A＝，
解得m＝﹣1，
综上：m∈（0，1）∪{﹣1}.
故选：D.
【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题.
3．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知，且为虚数单位，则的最大值是 （    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值.
【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
表示圆C上的点到的距离，
的最大值是，
故选B
【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题.
4．（2023·湖北·校联考模拟预测）设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】是实系数一元二次方程的两个根，是共轭虚数,是实数,结合共轭复数的运算性质,可得是1的立方虚根,再由1的立方虚根的特性,可得答案.
【详解】是实系数一元二次方程的两个虚数根,
,是实数,

,

,即或，而

.
故选:C
【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚数根的关系,以及共轭复数的运算关系.对特殊复数的性质
的灵活应用是解题的关键,属于难题.
二、多选题
5．（2023秋·福建龙岩·高三校联考期末）设数集满足下列两个条件：（1）；（2），若则. 则下论断正确的是（    ）
A．中必有一个为0
B．a，b，c，d中必有一个为1
C．若且，则
D．，使得
【答案】BCD
【分析】根据（1）（2）得到，，A错误，B正确；再分，，两种情况，经过推理得到C正确；在C选项的分析基础上，得到若，此时求出，，使得，若，推理出中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾，得到D正确.
【详解】由（1）得：数集中必有1或0，
由（2）得：，故，A错误，B正确；
由（1）知：，故等于中的一个，
不妨设，因为，所以，故，
下面证明C正确，
因为，若，则，由（1）知：，满足要求，
同理若，则，满足要求，若，则，满足要求，
若，因为，
若，则，满足要求，
若，则中某个等于1，不妨设，由得，
由（1）知：，又因为，，所以，，故，
同理可得，所以相乘得，解得：，
因为，所以，故取，满足要求，
综上：若且，则，C正确；
下面证明D正确；
由（1）知：，故等于中的一个，
不妨设，因为，所以，故，
若，则，因为中某个等于1，不妨设，由得，
根据C选项的分析可知：，，，
则，故，故，，若，，
此时，，使得，D正确；
若，则，，由（1）知：，
若，则，不可能，
若，则，不可能，
若，则，不可能，
所以，故，同理可得：，
因为的平方根有且只有2个，
所以中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾，
故不存在即的情况，
故，使得，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
三、填空题
6．在下列命题中,正确的命题有 (填写正确的序号)
①若,则的最小值是6;
②如果不等式的解集是,那么恒成立;
③设x,,且,则的最小值是;
④对于任意,恒成立,则t的取值范围是;
⑤“”是“复数()是纯虚数”的必要非充分条件;
⑥若,,,则必有;
【答案】①②③④⑥
【分析】①,利用均值定理求最值即可；
②由一元二次不等式与一元二次方程的关系,利用韦达定理求解即可；
③由得,代入式子中可得关于的函数,进而求得最值即可；
④设,则可转化为在时,,进而求解即可；
⑤由纯虚数的定义可知虚部不为0,实部为0,进而判断即可；
⑥由可得,代入中可得,再将代入求解即可
【详解】①因为,所以,所以,当且仅当,即时,等号成立,故①正确；
②由不等式与方程的关系可知和是方程的解,所以,,所以,,则,故②正确；
③因为,所以,
则,
则当时,的最小值为,故③正确；
④由题,因为,即在时恒成立,
当时,,不成立；
当时,设,
当时,,解得或,所以；
当时,,解得或,所以,
综上,,故④正确；
⑤因为()是纯虚数,所以,解得或,
所以“”是“复数()是纯虚数”的充分不必要条件,故⑤错误；
⑥因为,,所以,代入可得,
则,即,所以,
即,
所以,
故⑥正确；
故答案为: ①②③④⑥
【点睛】本题考查均值定理求最值,考查不等式与方程的关系的应用,考查不等式恒成立问题,考查复数的概念,考查同角的三角函数关系的应用,此题考查了多个知识点的应用,熟练掌握不等式、复数、三角函数等知识点是解题关键
7．（2022秋·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据复数的几何意义，由，分析得关于原点对称，所以确定，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题.
【详解】解：因为复数对应的点为
且则可确定点在以O为圆心，2为半径的圆上
又，所以为圆的直径，即关于原点对称
所以
因为
所以
又，，
则
所以
即的最大值为，所以的最大值为.
故答案为：.
8．（2022春·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考阶段练习）已知，且z是复数，当的最大值为3，则 .
【答案】
【分析】由可知，，化简可得其最值为，进而求出的值.
【详解】设，因为，所以，，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
解得，，
故答案为：.
9．（2022·上海·高三专题练习）已知函数为偶函数，为奇函数，其中、为常数，则
【答案】
【分析】由奇偶函数的定义列出关于、的方程组，求出它们的和与积的值，在转化为对应一元二次方程的根，进而求出复数和，再利用和与积的值和求出，，等，找出具有周期性为3，再利用周期性求出式子的和．
【详解】解：为偶函数，为奇函数，
，
即，
解得；
复数、是方程的两个根，
解得，，；

已知，；则，，
同理可求，，，，归纳出有周期性且，

故答案为：．
【点睛】本题考查了奇（偶函数的定义和复数的运算，再求复数的值时用到转化思想，求和式的值时利用找出每项的和的周期，利用周期性求所求和式的值．
10．已知复数，（，为虚数单位），在复平面上，设复数、对应的点分别为、，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期为 .
【答案】
【分析】根据垂直得到，化简得到，利用周期公式得到答案.
【详解】，，
则

函数的最小正周期为
故答案为
【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数化简，周期，意在考查学生的计算能力和综合应用能力
11．已知数列是无穷等比数列，它的前项的和为，该数列的首项是二项式展开式中的的系数，公比是复数的模，其中是虚数单位，则= ．
【答案】；
【详解】 的展开式通项为 ,令 ,有 的系数为 ,所以数列的首项为35, ,所以 ,所以数列公比为 ,故 ,则 .
点睛: 本题主要考查了求等比数列的前 项和的极限, 涉及的知识点有二项式定理,复数的模, 等比数列前 项和公式, 极限等,属于中档题.
12．在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数，当且仅当，下面命题①1i0;②若，，则；③若，则对于任意，；④对于复数，则其中真命题是
【答案】①②③
【详解】试题分析：命题①，1的实部是1,的实部是0,①正确；命题②，设，由已知得或，或，显然有，若，则，若，则，，也有，故②正确；命题③，设，由得或，从而或且，∴,③正确；命题4，，，，则有，但，，显然有，故④错误．填空①②③．
考点：新定义运算，复数的运算．
四、解答题
13．（2022·上海·高三校考强基计划）已知函数，其中，证明：存在，且.的根的实部全部大于0.
【答案】证明见解析
【分析】取，利用反证法可证根的实部全部大于0.
【详解】证明：取，反设，且.
则

这要求，矛盾！
14．（2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）设b、c均为实数，关于的方程.
(1)是否存在实数b、c，使得该方程在复数集上仅有两个共轭虚根，如存在，请写出一组b、c；如不存在，请说明理由；
(2)试求该方程在复数集上有最多个互不相等的根时，实数b、c满足的条件.
【答案】(1)答案不唯一，如，
(2)方程复数集上根最多有6个，实数b、c满足的条件为.

【分析】（1）若，时，方程在复数集上仅有两个共轭虚根；
（2）分与的大小关系讨论，复数集上根的情况分实数根与虚数根讨论，实数根的个数决定于关于的方程解的个数；虚数根决定于关于的方程解的个数，最后综合复数集上根的情况.
【详解】（1）答案不唯一，如，时，满足题意.
（2）先举例说明该方程在复数集上有6个互不相等的根
如，，时，方程的实数根有四个，虚数根有，所以此方程在复数集上有6个互不相等的根.
下面说明当时此方程在复数集上根不会超过6个.
（1）当时，方程只能有两个实数根或两个虚数根.
（2）当时，方程化简为，
①当时，此方程恰有三个实数根；
若有虚数根，设虚数根为
代入得，则
所以，得，这个关于的方程无解，故无虚数根，
所以此时方程只能有三个实数根.
②当时，此方程无实根，
若有虚数根，设虚数根为
同上可得，这个关于的方程有两解，
所以此时方程只能有两个虚数根.
下面说明当时方程在复数集上根的个数情况，分实数根与虚数根讨论.
（1） 若方程有尽可能多的实数根，则首先满足，
令 ， 设方程两根为，，且
①当时，，此时，，
所以关于的方程无实数解.
②当时，，此时，，
所以关于的方程有两个不相等的实数解.
③当时，，此时，，
所以关于的方程有两个不相等的实数解.
④当时，，此时，，
所以关于的方程四个不相等的实数解.
（2）若方程有虚数根，
设虚数根为，
代入方程得，则，
所以，得，此方程有尽可能多的根首先满足
令 ，记方程的两根为，且，
①当时，，此时，，
所以关于的方程有两个不相等的实数解，
即方程有两个不相等的虚数根.
②当时，，此时，，
所以关于的方程有四个不相等的实数解，
即方程有四个不相等的虚数根.
③当时，，此时，，
所以关于的方程无实数解，
即方程无虚数根.
④当时，，此时，，
所以关于的方程有两个不相等的实数解，
即方程有两个不相等的虚数根.
综上方程复数集上根的所有情况：
当时，复数集上根的个数不超过6个；
当时，无实数根，2个虚数根，复数集上根的个数共2个；
当时，2个实数根，4个虚数根，复数集上根的个数共6个；
当时，2个实数根，无虚数根，复数集上根的个数共2个；
当时，4个实数根，2个虚数根，复数集上根的个数共6个；
故方程复数集上根最多有6个，实数b、c满足的条件为.
15．已知复数和，其中均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有．
(1)试求m的值，并分别写出和用x、y表示的关系式；
(2)将作为点P的坐标，作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
(3)是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)这样的直线存在，其方程为或.

【分析】（1）根据复数模的运算性质，求得 ；再由两复数相等就是实部与虚部对应相等得、与x、y表示的关系式.
（2）变换后的点坐标均用表示为，再消去参数得到Q的轨迹方程.
（3）将变换后的点坐标代入直线，用对应系数相等或对应成比例求得值.
【详解】（1）由题设，，
于是由，且，得，
因此由，
得关系式
（2）设点在直线上，则其经变换后的点满足
，
消去，得，
故点的轨迹方程为
（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
∴所求直线可设为，
∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点
仍在该直线上，
∴，
即，
当时，方程组无解，故这样的直线不存在。
当时，由
得，解得或，
故这样的直线存在，其方程为或.
16．已知复数．
(1)若复数在复平面内的对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；
(2)若虚数是方程的一个根，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)13

【分析】（1）根据复数的减法，确定实部与虚部，根据其几何意义，可得实部与虚部的取值范围，可得答案；
（2）根据复数与一元二次方程的关系，再由韦达定理，可得答案.
【详解】（1）．因为在复平面内的对应点落在第一象限，所以即解得．因此，实数a的取值范围是．
（2）因为虚数是方程的一个根，所以也是方程的一个根，于是，解得．把代入，得，，所以．
17．已知的顶点分别为，，．
(1)若，，，求的值；
(2)若虚数是实系数方程的根，且是钝角，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)且．

【分析】（1）根据坐标，可作图，利用方格图，在构造的直角三角形中，利用三角函数定义，可得答案；
（2）根据一元二次方程的根的性质，以及余弦定理，可得答案.
【详解】（1）（1）因为，，，所以，，．
所以，，，
如图，因为，所以．

（2）将代入得，
展开得，即，
解得（舍去）或（舍去）或，
所以，，，则，．
因为是钝角，所以且，，三点不共线，
即且，
解得且．
18．已知复数，为虚数单位，.
（1）若为实数，求的值；
（2）若复数对应的向量分别是，存在使等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）计算为实数，则，得到，计算得到答案.
（2）化简得到，计算，，得到，根据范围解不等式得到答案.
【详解】（1）为实数，则
因为，所以，
（2），
所以，
因为，所以，进而，
解得.
【点睛】本题考查了复数和向量的运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19．设复数，其中，为虚数单位，，，复数在复平面上对应的点为．
（1）求复数的值；
（2）证明：当时，；
（3）求数列的前100项之和．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)
【分析】(1)根据复数的运算法则求解即可；
(2)由题设条件得出，当时，，结合向量共线定理即可证明；
(3)由题设条件推导出，利用这个条件以及等比数列的求和公式化简即可得出答案.
【详解】(1)，

(2)由已知得
当时，
令，则，即
即存在非零实数，使得
所以当时，
(3),得

又，，则


【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、复数的几何意义、向量共线定理、等比数列的求和公式，属于较难题.
20．设复数，其中xnyn∈R，n∈N*，i为虚数单位，，z1=3+4i，复数zn在复平面上对应的点为Zn.
（1）求复数z2，z3，z4的值；
（2）是否存在正整数n使得？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由；
（3）求数列的前项之和.
【答案】（1）z2=﹣1+7i，z3=﹣8+6i，z4=﹣14﹣2i；（2）存在，n=4k+1，k∈N；（3）1+2102
【分析】（1）利用已知条件之间求解z2，z3，z4；
（2）求出，利用复数的幂运算，求解即可；
（3）通过，推出xn+4=﹣4xn，yn+4=﹣4yn，得到xn+4yn+4=16xnyn，然后求解数列的和即可.
【详解】（1）z2=（1+i）（3+4i）=﹣1+7i，，.
（2）若，则存在实数λ，使得，故，
即（xn，yn）=λ（x1，y1），
又zn+1=（1+i）zn，故，即为实数，
，，故n﹣1为4的倍数，即n﹣1=4k，n=4k+1，k∈N；
（3）因为，故xn+4=﹣4xn，yn+4=﹣4yn，所以xn+4yn+4=16xnyn，
又x1y1=12，x2y2=﹣7，x3y3=﹣48，x4y4=28，
x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100
=（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100）
=，
而，，
所以数列{xnyn}的前102项之和为1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102.
【点睛】本题考查复数的基本运算，复数的代数形式混合运算，考查数列求和，考查计算能力，属于难题.
21．（2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测）设复平面上点对应的复数（为虚数单位）满足，点的轨迹方程为曲线. 双曲线:与曲线有共同焦点，倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线的交点是、，，为坐标原点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求直线的方程；
（3）设△PQR三个顶点在曲线上，求证：当是△PQR重心时，△PQR的面积是定值.
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.
【详解】试题分析：（1）【方法一】根据椭圆的定义可知，结合，即可求得点的轨迹方程；【方法二】根据复数的性质，化简即可得点的轨迹方程；（2）【方法一】根据双曲线:与曲线有共同焦点，求得双曲线的方程，进而可得双曲线的渐近线方程，设直线的方程为，联立渐近线方程与直线的方程，求得，的坐标，再根据，即可求得直线的方程；【方法二】联立直线的方程与双曲线的方程，结合韦达定理，再根据，即可求得直线的方程；（3）【方法一】设，，由是△PQR重心可得，根据，即可求得定值；【方法二】设、、，则有：，推出，代入到椭圆方程，结合，即可求得定值.
试题解析：（1）【方法一】由题意知，点的轨迹为椭圆.
∵
∴
∴点的轨迹方程为.
【方法二】由题意知，,整理得.
∴点的轨迹方程为
（2）【方法一】∵与有共同焦点
∴，即
∴双曲线的方程为
∴双曲线的渐近线方程
设直线的方程为.
联立方程，得.
，，即直线的方程为.
【方法二】∵与有共同焦点
∴，即.
∴双曲线的方程为
设直线的方程为，联立方程得到.
∴

∴，即直线的方程为.
（3）【方法一】设,.
∵为的重心



（.
不妨设,则.

【方法二】设、、，则有：，代入椭圆方程得：.
所以 .



点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
22．已知复数．
(1)求的最小值；
(2)设，记表示复数z的虚部).将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.试求函数的解析式．
【答案】（1）；（2）.
【详解】(1)∵，
∴
.
∴当，即时，
.
(2)∵，
∴.
∴.
将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后，得到的图象所对应的函数是.
把函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数是．
∴.
23．（2022·全国·高三专题练习）称一个复数数列为“有趣的”，若，且对任意正整数n，均有．求最大的常数C，使得对一切有趣的数列及任意正整数m，均有．
【答案】
【分析】根据有趣的复数数列的定义，对参数m进行分类讨论，结合数列的极限，能求出结果．
【详解】考虑有趣的复数数列，归纳可知，，
由条件得，
解得，
，
①，
进而有②，
记，
当时，利用②可得，
当时，
由①②可知，，
故
当时，．
以上表明满足要求，
另一方面，当，，时，
由题意知为有趣的数列，
此时，，
这表明C不能大于，
综上，所求C的值为．
24．（2021·全国·高三竞赛）设、是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程的两个复根恰为、（当两根相等时）．若数列恒为常数，证明：
（1）；
（2）数列恒为常数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据题意和韦达定理可得，取模得，若，结论显然成立，否则，由于数列恒为常数，则，即结论也成立；（2）由（1）和题意知，数列恒为常数，则只有互为共轭的两种取值，不妨设为和，依据题意即可证明.
【详解】由题意和韦达定理得,

则，即．         ①
（1）由①取模得，若，结论显然成立；
否则，由于数列恒为常数，则，即有．
（2）由（1）知，对任意的，又数列恒为常数，因此只有互为共轭的两种取值和．若存在，使得，不妨设，则．若，则，即或2；若，则
，且．
因此，要么，要么呈、周期．故显然是常数，即证数列恒为常数.
【点睛】关键点点睛：
本题主要考查数列不等式的证明，解题关键在于利用韦达定理得出，再取模，对这种特殊情形和一般情形讨论即可证明结论成立；
（2）本题主要考查常数列的证明，解题关键在于的取值情况和的假设，由（1）和题意知，数列恒为常数，则只有互为共轭的两种取值，不妨记为和，若存在，使得，不妨设，则，对分类讨论即可证明.
25．（2021·全国·高三专题练习）已知复数，，且.
（1）若复数对应的点在曲线上运动，求复数z所对应的点的轨迹方程；
（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；
（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一个定点，并求出此定点的坐标.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，.
【分析】（1）首先用的式子表示，再根据点在曲线上运动，代入求出的轨迹方程；
（2）依题意可得向x方向移动个单位，向y方向移动个单位，按照函数的平移规则计算可得；
（3）设，设过的切线为，，联立切线方程和抛物线方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合根的判别式为0可求，求出圆的方程后可求定点坐标，从而解决问题．
【详解】（1）解：∵，
∴⇒，
∵复数对应的点在曲线上运动，
∴⇒.
复数z所对应的点的轨迹方程.
（2）∵按向量方向平移个单位，
故可将（1）的轨迹向右平移，上平移个单位，
故的方程为：即.
（3）解：设，
设过的切线为，，则.
由可得，
整理得到.
故即.
所以，
整理得到，故，
所以.
故以为直径的圆的方程为：，
令，，则
，
故点在以为直径的圆上，
故以线段AB为直径的圆恒过一个定点且定点坐标为.
【点睛】关键点睛：解题的关键是利用函数的平移原则求C的轨迹方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，本题巧妙地把点的轨迹方程和复数有机地结合在一起，解题时要注意复数的合理运用．