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考点08平面向量及其应用（12种题型6个易错考点）（解析版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）
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这是一份考点08平面向量及其应用（12种题型6个易错考点）（解析版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用），共70页。
考点08平面向量及其应用（12种题型6个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五.刷压轴
一、 真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共1小题）
1．（2021•上海）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得＝0；②存在△ABC，使得∥（+）；它们的成立情况是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【分析】设A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y），由向量数量的坐标运算即可判断①；F为AB中点，可得（+）＝2，由D为BC中点，可得CF与AD的交点即为重心G，从而可判断②
【解答】解：不妨设A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y），
①＝（﹣1﹣2x，﹣2y），＝（x﹣1，y），
若＝0，则﹣（1+2x）（x﹣1）﹣2y2＝0，即﹣（1+2x）（x﹣1）＝2y2，
满足条件的（x，y）存在，例如（0，），满足上式，所以①成立；
②F为AB中点，（+）＝2，CF与AD的交点即为重心G，
因为G为AD的三等分点，E为AD中点，
所以与不共线，即②不成立．
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．
二．填空题（共9小题）
2．（2023•上海）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝ （1，0） ．
【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．
【解答】解：因为向量＝（3，4），＝（1，2），
所以﹣2＝（3﹣2×1，4﹣2×2）＝（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．
3．（2021•上海）如图正方形ABCD的边长为3，求•＝ 9 ．
【分析】根据，直接求解即可．
【解答】解：由数量积的定义，可得，
因为，所以 ＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题．
4．（2023•上海）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），则•＝ 4 ．
【分析】直接利用平面向量的坐标运算法则求解．
【解答】解：∵向量＝（﹣2，3），＝（1，2），
∴•＝﹣2×1+3×2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
5．（2020•上海）三角形ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则＝ ．
【分析】根据余弦定理即可求出，并得出，然后进行数量积的运算即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，
∴由余弦定理得，＝，
∴，且D是BC的中点，
∴
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
6．（2022•上海）若平面向量||＝||＝||＝λ，且满足•＝0，•＝2，•＝1，则λ＝ ．
【分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果．
【解答】解：由题意，有•＝0，则，设＜＞＝θ，
⇒
则得，tanθ＝，
由同角三角函数的基本关系得：cosθ＝，
则＝||||cosθ＝＝2，
λ2＝，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
7．（2022•上海）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为 ﹣ ．
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出•＝2x2﹣3x，再利用二次函数求最值即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如下，
则B（2，0），C（0，2），M（1，0），
直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，
点P在直线上，设P（x，2﹣x），
∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），
∴•＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x＝2﹣≥﹣，
∴•的最小值为﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．
8．（2020•上海）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是 6 ．
【分析】设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得k的最大值．
【解答】解：如图，设，，
由||＝1，且|﹣|∈{1，2}，
分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．
故满足条件的k的最大值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．
9．（2020•上海）已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足＝0（n＝1，2，3），||•||＝n+1（n＝1，2，3），则||的最小值为 ．
【分析】可设，从而据题意可得出，，并设A1（0，0），根据是求的最小值，从而可得出，从而可求出，从而根据基本不等式即可求出的最小值．
【解答】解：设，则，，
设A1（0，0），如图，
∵求的最小值，则：
A2（x，0），，，
∴＝，当且仅当，即时取等号，
∴||的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
10．（2023•上海）已知、、为空间中三组单位向量，且⊥、⊥，与夹角为60°，点P为空间任意一点，且||＝1，满足|•|≤|•|≤|•|，则|•|最大值为 ．
【分析】将问题坐标化，表示出的坐标，再设，代入条件，结合不等式的性质求解．
【解答】解：设，，，
，不妨设x，y，z＞0，则||＝x2+y2+z2＝1，
因为|•|≤|•|≤|•|，
所以，可得，z≥y，
所以，解得，
故＝y．
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算以及不等式的性质，属于中档题．
二、考点清单
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与 a的方向相反；
当λ＝0时，λ a＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
7．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
8．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
9.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
10．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
11.平面向量与解三角形的综合应用
(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．
<常用结论>
1．五个特殊向量
(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
2．五个常用结论
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心．
(4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：
①＋＋＝0；
②＝(＋)；
③＝(＋)，＝(＋)．
(5)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
3．基底需要的关注三点
(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到
4．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
5．两个结论
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
6．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
7．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
三、题型方法
一．向量的概念与向量的模（共2小题）
1．（2023•奉贤区二模）在集合{1，2，3，4}中任取一个偶数a和一个奇数b构成一个以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是 3 ．
【分析】可得出满足题意的向量为：（2，1），（2，3），（4，1），（4，3），然后根据三角形面积公式及向量夹角的余弦公式可得出以为邻边的平行四边形的面积为：，然后可分别求出以：（2，1），（2，3），（4，1），（4，3）中的两个向量为邻边的平行四边形面积，从而可得出答案．
【解答】解：由题可得满足题意的向量有（2，1），（2，3），（4，1），（4，3），
以向量为邻边的平行四边形的面积为：＝，
∴以（2，1），（2，3）为邻边的平行四边形面积为：；
以（2，1），（4，1）为邻边的平行四边形面积为：；
以（2，1），（4，3）为邻边的平行四边形面积为：；
以（2，3），（4，1）为邻边的平行四边形面积为：；
以（2，3），（4，3）为邻边的平行四边形面积为：；
以（4，1），（4，3）为邻边的平行四边形面积为：，
综上可知面积不超过4的平行四边形个数是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形的面积公式，向量夹角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于中档题．
2．（2023•普陀区二模）设x、y∈R，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ．
【分析】可求出，根据与平行可得出y＝3﹣x，从而得出，根据进行数量积的坐标运算即可求出最小值．
【解答】解：，且与互相平行，
∴x﹣2﹣（1﹣y）＝0，
∴y＝3﹣x，
∴，
∴+（7﹣2x）2＝5x2﹣20x+65＝5（x﹣2）2+45≥45，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行向量的坐标关系，向量坐标的减法和数量积的运算，向量数量积的计算公式，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
二．两向量的和或差的模的最值（共3小题）
3．（2023•黄浦区二模）如图．在直角梯形ABCD中．AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，点P是腰AB上的动点，则|2|的最小值为 4 ．
【分析】建立平面直角坐标系，设AB＝a，求得相关点坐标，求出2+的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，
则∠DAB＝90°，则以A为原点，AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，
设AB＝a，设P（x，0），则B（a，0），C（a，1），D（0，2），
故＝（a﹣x，1），＝（﹣x，2），
所以2+＝（2a﹣3x，4），故|2+|＝≥4，
当且仅当2a﹣3x＝0即x＝a时取得等号，
即|2|的最小值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查向量的坐标运算，属于基础题．
4．（2023•杨浦区二模）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是 ．
【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可．
【解答】解：如图，则，
已知，即，所以CD⊥CB，
取BD的中点O，则有，
而，根据三角形的三边关系可知OA+OC≥AC，
则，所以，当A，O，C三点共线时取等号，
记向量的夹角为θ，则，
同理，
由，可得，
则，
当cosθ＝0，即时取等号，
所以，即的最小值是，
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式，进而利用数量积求模长．
5．（2023•长宁区二模）已知空间向量、、、满足：，，，，则的最大值为 3 ．
【分析】根据题意可得出，先看的情况：可得出＝＝0，进行数量积的运算即可得出，然后配方即可求出的最大值，同样的方法可得出在时的最大值，最后即可得出的最大值．
【解答】解：根据题意，，且，，且设与的夹角为θ，
①时，
＝
＝
＝
＝
＝0，
∴，当cosθ＝±1时取等号，
∴cosθ＝﹣1时，取最大值3；
②时，
＝
＝
＝
＝0，
∴，当cosθ＝±1时取等号，
∴cosθ＝1时，取最大值2，
综上得，的最大值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了共线向量基本定理，向量数乘和数量积的运算，配方法的应用，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于难题．
三．平面向量数量积的含义与物理意义（共2小题）
6．（2023•松江区模拟）已知向量和满足，则在方向上的数量投影为 ﹣1 ．
【分析】直接根据数量投影的公式求解即可．
【解答】解：∵，
∴在方向上的数量投影为．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．
7．（2023•普陀区校级三模）若＝（1，2），＝（3，﹣4），则在方向上的投影为 ﹣1 ．
【分析】投影即为||cosθ，利用数量积运算求出cosθ即可．
【解答】解：设的夹角为θ
∵
∴，||＝5，＝﹣5
∴cosθ＝＝﹣
故投影为||cosθ＝﹣1
故答案为：﹣1
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题．
四．平面向量数量积的性质及其运算（共33小题）
8．（2023•虹口区校级模拟）将向量绕坐标原点O顺时针旋转30°得到，则＝ 2 ．
【分析】由向量的几何意义得到，再用向量的数量积公式即可求得．
【解答】解：∵向量，∴与x轴非负半轴所成角为60°，
将向量绕坐标原点O顺时针旋转30°得到，
∴与x轴非负半轴所成角为30°，∴＝，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．
9．（2023•杨浦区校级三模）已知在上的数量投影为，其中点O为原点，则点B所在直线方程为 x+y﹣2＝0 ．
【分析】设B（x，y），根据在上的数量投影列方程化简求解即可．
【解答】解：设B（x，y），则＝（x，y），
因为＝（1，1），且在上的数量投影为＝，
即＝，化简为x+y﹣2＝0，
所以点B所在的直线方程为x+y﹣2＝0．
故答案为：x+y﹣2＝0．
【点评】本题考查了平面向量投影的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
10．（2023•普陀区校级模拟）已知点O为ABC的外心，且•+•＜•，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【分析】由三角形的外心为各边中垂线的交点及向量投影的运算，然后结合余弦定理求解即可．
【解答】解：由三角形的外心为各边中垂线的交点，结合向量投影的运算可得：
，，，
又•+•＜•，
则，
则cosB＝，
即，
即△ABC为钝角三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量数量积运算及向量投影的运算，重点考查了余弦定理，属基础题．
11．（2023•浦东新区校级一模）已知向量，，满足++＝，且＜＜，则、、中最小的值是（ ）
A． B． C． D．不能确定的
【分析】利用已知条件，结合向量模的大小，转化求解数量积的大小即可．
【解答】解：向量，，满足++＝，可得：，＝，
同理，，，
∵＜＜，∴＜＜．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的大小以及数量积的运算，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
12．（2023•普陀区校级三模）在△ABC中，AB＝AC＝3，．若，则＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【分析】用向量、表示出向量和，再利用求出•的值．
【解答】解：△ABC中，AB＝AC＝3，，
所以＝，
所以＝+＝+＝+（﹣）＝+，
因为，
所以（+）•（﹣）＝﹣•﹣＝×32﹣•﹣×32＝4，
解得＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题．
13．（2023•宝山区校级模拟）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】由向量垂直的条件可得•＝0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|＝，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．
【解答】解：由题意可得•＝0，
可得|+|＝＝，
（﹣）•（﹣）＝2+•﹣•（+）
＝||2﹣||•|+|cos＜（+，＞＝0，
即为||＝cos＜+，＞，
当cos＜+，＞＝1即+，同向时，
||的最大值是．
故选：C．
【点评】本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量数量积的定义和性质，考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．
14．（2023•奉贤区校级三模）同一平面内的两个不平行的单位向量，，在上的投影向量为，则＝ 0 ．
【分析】设向量，的夹角为θ，θ∈（0，π），且||＝||＝1，求出在上的投影向量，再计算的值．
【解答】解：设向量，的夹角为θ，θ∈（0，π），且||＝||＝1，
则在上的投影向量为＝||cosθ＝cosθ，
则＝||||cosθ﹣cosθ•＝cosθ﹣cosθ＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了投影向量的定义与应用问题，是基础题．
15．（2023•杨浦区校级模拟）若向量与不共线也不垂直，且，则向量夹角＝ ．
【分析】根据平面向量的数量积求夹角，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴，
则，即向量夹角＝．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
16．（2023•黄浦区校级三模）已知平面向量，，满足，，，则的最大值为 2 ．
【分析】根据题意，设出，，的坐标，结合向量模长的坐标公式，分类讨论，即可得到的范围，从而得到结果．
【解答】解：设，，，s，t∈R，
由已知可得：，
当且仅当s2＝t2时，取等号，
当st≥0时，有（st）2﹣2st+1≤8，得，
当st＜0时，有（st）2﹣6st+1≤8，得﹣1≤st＜0，
所以当时，．
所以的最大值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，二次不等式的求解，属于基础题．
17．（2023•嘉定区二模）△ABC是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则＝ ．
【分析】由平面向量的数量积的运算，结合平面向量投影的运算求解即可．
【解答】解：已知△ABC是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，
则CM⊥AB，
则＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算，重点考查了平面向量投影的运算，属基础题．
18．（2023•上海模拟）向量为直线x﹣2y+2＝0中的法向量，则向量（1，1）在方向上的投影为 ．
【分析】先通过向量垂直求出参数a，然后通过向量投影公式求解即可．
【解答】解：因为向量为直线x﹣2y+2＝0的法向量，
所以向量与直线x﹣2y+2＝0的方向向量垂直，
所以，解得a＝﹣1，即，
记，则向量在方向上的投影为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了直线的法向量及方向向量的应用，属于基础题．
19．（2023•浦东新区校级一模）已知向量＝（sinx，1），＝（cosx，﹣1）．
（1）若，求tan2x的值；
（2）若f（x）＝（+），求函数f（x）的最小正周期及当x∈[0，]时的最大值．
【分析】（1）由向量＝（sinx，1），＝（cosx，﹣1），得1×cosx＝﹣1×sinx，即tanx＝﹣，可得解，
（2）由f（x）＝（+）＝sin（2x+）+，函数f（x）的最小正周期T＝＝π，所以2x+∈[]，则x＝时，函数取最大值．
【解答】解：（1）∵向量＝（sinx，1），＝（cosx，﹣1）．
又，
∴1×cosx＝﹣1×（sinx），
∴tanx＝﹣，
∴tan2x＝＝﹣，
（2）∵f（x）＝（+），
∴f（x）＝sinxcosx+cos2x
＝sin2x+cos2x+，
＝sin（2x+）+，
∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π，
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[]，
即2x+＝即x＝时，函数取最大值，
故函数的周期为：π，当x∈[0，]时的最大值．
【点评】本题考查了平面向量数量积公式，平面向量共线的坐标表示及三角恒等变形，属中档题
20．（2023•嘉定区校级三模）如图直线l以及三个不同的点A，A'，O，其中O∈l，设，，直线l的一个方向向量的单位向量是，下列关于向量运算的方程
甲：，乙：，
其中是否可以作为A，A'关于直线l对称的充要条件的方程（组），下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都可以 B．甲可以，乙不可以
C．甲不可以，乙可以 D．甲乙都不可以
【分析】设A在l上的投影为C，从而得到，再由向量数量积的相关知识分别对甲、乙推导变形即可．
【解答】解：设A在l上的投影为C，若与方向相同，则，；
若与方向相反，则＝，＝；
∴，
甲：，∴，∴，
∴，∴，∴BA⊥l，
∵＝，＝，∴，
∴A，A'关于直线l对称，以上过程是可逆的，
∴甲是A，A'关于直线l对称的充要条件；
乙：∵，∴，∴，∴，∴C是AB的中点，
∵A在l上的投影为C，∴A，A'关于直线l对称，以上过程是可逆的，
∴乙是A，A'关于直线l对称的充要条件．
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积运算，还考查了逻辑推理能力，属于中档题．
21．（2023•虹口区校级三模）已知平面向量满足，则的取值范围是 ．
【分析】设，则，得到，结合绝对值三角不等式，即可求解．
【解答】解：不妨设，则，
由，可得，
则||，
所以的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和性质以及绝对值不等式的应用，属于中档题．
22．（2023•长宁区校级三模）已知，，是同一个平面上的向量，若，且，则＝ arctan ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形表示出•＝2，•＝1，由此得出cos＜，＞＝2cos＜，＞，再根据+＜，＞＝求出tan＜，＞的值，即可得出结论．
【解答】解：因为平面向量，且•＝0，
所以⊥，如图所示：
又因为•＝2，•＝1，
所以||||coa＜，＞＝2，||||cos＜，＞＝1，
所以cos＜，＞＝2cos＜，＞，
又因为+＜，＞＝，所以cos＜，＞＝2sin＜，＞，
所以tan＜，＞＝，
又因为＜，＞是锐角，所以＜，＞＝arctan．
故答案为：arctan．
【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．
23．（2023•嘉定区校级三模）已知与垂直，，且与的夹角是钝角，则在方向上的投影为 （﹣4，0） ．
【分析】由题中条件求出的坐标，再由投影向量的概念即可求出．
【解答】解：设，则由题可得：，解得或，
∵与的夹角是钝角，∴cos＝，∴x＜0，
∴，∴在方向上的投影为＝＝（﹣4，0）．
故答案为：（﹣4，0）．
【点评】本题考查向量的坐标运算、夹角、模及投影向量，还考查了计算能力，属于中档题．
24．（2023•徐汇区校级模拟）已知平面向量、、，对任意实数t，都有|﹣t|≥|﹣|、|﹣t|≥|﹣|成立，若||＝3，||＝2，|﹣|＝，则||＝ ．
【分析】设＝，＝，＝，即可证明即⊥，⊥，则OABC四点在以OB为直径的圆上，利用余弦定理与正弦定理可得结果．
【解答】解：设＝，＝，＝，
则t＝t，t＝t，
则A′，C′分别在OA，OC所在的直线上，
所以﹣t＝﹣＝，
﹣＝﹣＝，
因而|﹣t|≥|﹣|，
所以||≥||，
因为垂线段距离最短，
所以||即为点B到OA的垂线段长度，
即OA⊥AB，同理⊥，
所以OABC四点在以OB为直径的圆上，
而||＝||＝3，||＝||＝2，|﹣|＝||＝，
所以cos∠COA＝＝，
即∠COA＝60°，sin∠COA＝，
由正弦定理可得三角形OAC外接圆的直径2R＝＝，
即四边形OABC外接圆的直径为，
所以||＝||＝2R＝．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的几何意义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
25．（2023•闵行区二模）平面上有一组互不相等的单位向量，若存在单位向量满足＝0，则称是向量组的平衡向量．已知〈，〉＝，向量是向量组的平衡向量，当取得最大值时，的值为 或 ．
【分析】根据题意得，设，设，则得出，并根据题意可得出，，然后根据两角和差的余弦公式即可求出的值．
【解答】解：取最大值时，，且，如图，
＝，
设，，则：＝，
∴，，，且或，
∴＝或＝×＝．
故答案为：或．
【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，两角和差的余弦公式，向量长度的求法，单位向量的定义，考查了计算能力，属于中档题．
26．（2023•宝山区二模）已知非零平面向量不平行，且满足，记，则当与的夹角最大时，的值为 4 ．
【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量，进而通过运算求得的值．
【解答】解：由非零平面向量不共线，且满足，建立如图所示的平面直角坐标系：
则A（2，0），B（2，b），b＞0，
则，由，则，则直线OB，OC的斜率分别为，
由两直线的夹角公式可得：
，
当且仅当，即b＝4时取等号，此时B（2，4），则，
所以．
故答案为：4．
【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件．
27．（2023•浦东新区二模）已知边长为2的菱形ABCD中，∠A＝120°，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且PQ⊥BD，则的最大值是 ．
【分析】可连接BD，AC，设BD交AC于点O，可得出BD⊥AC，以点O为原点，BD，CA所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出A（0，1），C（0，﹣1），内切圆的半径为，且设P（m，n），Q（m，﹣n），从而得出，可设m＝，从而可得出，然后配方即可求出最大值．
【解答】解：如图，连接BD，AC，设BD，AC交于点O，则BD⊥AC，以点O为原点，BD，CA所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：
A（0，1），C（0，﹣1），内切圆的半径为，
∵PQ⊥BD，且P，Q点在内切圆上，
∴设P（m，n），Q（m，﹣n），，
∴，
∴＝m2﹣（n﹣1）2，
∵，∴设，
∴＝＝，
∴时，取最大值，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了通过建立坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，圆的标准方程，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
28．（2023•松江区二模）已知点A、B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且．若存在m，n∈R，使得与垂直，且，则|AB|的最小值为 ．
【分析】设，根据向量线性运算可得，设P（x，t），则Q（x+a，t），由向量垂直的坐标表示可构造方程，结合二次函数最值求法可求得，由可求得最小值．
【解答】解：设A，B在直线y＝t上，又A，B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，，∴；
设，则m+＝+＝，n＝+＝，
∴，
不妨设P在Q的左侧，P（x，t），则Q（x+a，t），
∵与垂直，∴，
即x（x+a）+t2＝0有解，∴，
∴，即|AB|的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量模长最值的求解问题，属于中档题．
29．（2023•黄浦区校级模拟）已知是平面向量，与是单位向量，且，若，则的最小值为 ﹣1 ．
【分析】建立平面直角坐标系，转化为向量的坐标运算，由模长的几何意义进行求解．
【解答】解：建立平面直角坐标系，
由已知可设，，，
因为，
所以x2+y2﹣8y+15＝0，
整理得，x2+（y﹣4）2＝1，
所以点B在以点D（0，4）为圆心，以1为半径的圆上，
又，
由圆的性质，得的最小值为﹣1＝﹣1．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算以及模长的几何意义，属于中档题．
30．（2023•崇明区二模）设平面向量满足：，，，，则的取值范围是 ．
【分析】根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解．
【解答】解：依题意，设，，t∈R．
根据，即|（2cosθ﹣t，2sinθ）|＝1，即（2cosθ﹣t）2+（2sinθ）2＝1，整理得t2+3＝4tcosθ．
显然t≠0，否则，，与已知矛盾，
故t2+3＝4tcosθ，可得．
由，即t2﹣4|t|+3≤0，则有|t|2﹣4|t|+3≤0，
故（|t|﹣1）（|t|﹣3）≤0，解得1≤|t|≤3．
故．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
31．（2023•崇明区二模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，＝0．
（1）求角B大小；
（2）设，当时，求f（x）的最小值及相应的x．
【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；
（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x值．
【解答】解：（1）由已知条件得＝（2a+c）cosB+bcosC＝0，
由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC＝0，
即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC＝0，
2sinAcosB+sin（B+C）＝0，
则2sinAcosB+sinA＝0，
∵sinA≠0，∴，
又∵B∈（0，π），
∴；
（2）
＝
＝
＝，
∵，
∴，
则f（x）的最小值﹣2，其中，
即当时，f（x）有最小值﹣2．
【点评】本题考查了三角函数中的恒等变换，正余弦定理以及三角函数的性质，属于中档题．
32．（2023•松江区校级模拟）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝2，若，则给出下面四个结论：
①λ+μ的最小值为；
②的最小值为﹣6；
③λ+μ的最大值为；
④的最大值为8．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】以C为原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，设P（2cosθ，2sinθ），然后表示出的坐标，由题意可得，再逐个分析判断即可．
【解答】解：如图，以C为原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，
则C（0，0），A（3，0），B（0，4），
因为PC＝2，所以设P（2cosθ，2sinθ），
则，，
所以，
所以，即（θ为任意角），
所以
＝
＝（其中），
所以λ+μ的最大值为，最小值为，
所以①③错误，
因为，
所以
＝4﹣（8sinθ+6cosθ）
＝4﹣10sin（θ+α）（其中），
因为﹣10≤﹣10sin（θ+α）≤10，
所以﹣6≤4﹣10sin（θ+α）≤14，
所以，
所以的最小值为﹣6，最大值为14，
所以②正确，④错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
33．（2023•浦东新区校级模拟）已知，对任意1≤i＜j≤5都有，则实数M的最小值为 1 ．
【分析】设出，i＝1，2，3，4，5，从而利用向量数量积公式结合三角函数恒等变换和有界性求出最值，得到答案．
【解答】解：可设，i＝1，2，3，4，5，其中φi∈[0，π]，θi∈[0，2π]，
则
＝sinφisinφj（cosθicosθj+sinθisinθj）+cosφicosφj
＝sinφisinφjcos（θi﹣θj）+cosφicosφj，
因为θi，θj∈[0，2π]，所以﹣1≤cos（θi﹣θj）≤1，
由于φi，φj∈[0，π]，sinφi≥0，sinφj≥0，
故＝cos（φi﹣φj），
因为φi，φj∈[0，π]，所以cos（φi﹣φj）≤1，
又恒成立，故M的最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查向量数量积的坐标运算，化归转化思想，属中档题．
34．（2023•黄浦区模拟）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若的取值范围是，则λ的取值范围是 ．
【分析】根据投影向量可得，根据余弦函数的值域即可得λ的取值范围．
【解答】解：根据题意可知，
∴向量在方向上的投影向量为，
∴，
∵的取值范围是，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查投影向量的概念，函数思想，属中档题．
35．（2023•上海模拟）设向量，，记，若圆C：x2+y2﹣4x+8y＝0上的任意三点A1，A2，A3，且A1A2⊥A2A3，则的最大值是 64 ．
【分析】先设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），再根据垂直得出A1A3为圆的直径，得x1+x3＝4，y1+y3＝﹣8，
求出|*+*|＝|x2（x1+x3）﹣y2（y1+y3）|＝|4x2+8y2|，转化为直线4x+8y+b＝0与圆（x﹣2）2+（y+4）2＝20相切时有最大值，求出最大值即可．
【解答】解：由圆的方程可得（x﹣2）2+（y+4）2＝20，
则圆心C（2，﹣4），半径r＝2，
设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），
由A1A2⊥A2A3得A1A3为圆的直径，
， 即x1+x3＝4，y1+y3＝﹣8，
则|*+*|＝|x2（x1+x3）﹣y2（y1+y3）|＝|4x2+8y2|，
∵A2为圆上一点，
∴当直线4x+8y+b＝0与圆（x﹣2）2+（y+4）2＝20相切时有最大值，
∵圆心到直线距离d＝，∴b＝64或b＝﹣16，
∵|﹣16|≤64，
∴当b＝64时，原式有最大值64．
故答案为64．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查平面向量和差数量积运算，考查转化思想，属于中档题
36．（2023•浦东新区校级三模）已知点A，B，C在圆x2+y2＝4上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（1，0），则|++|的取值范围是 [1，5] ．
【分析】由题意可知AC为圆直径，设B（x，y），利用向量运算可得|++|＝，由此即可求出答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，∴AC为圆直径，
设B（x，y），（﹣2≤x≤2），又P（1，0），
∴，，
∴++＝（x﹣3，y），又x2+y2＝4，
∴|++|＝＝，
∴当﹣2≤x≤2 时，可得1≤13﹣6x≤25，
∴，
∴|++|的取值范围是[1，5]．
故答案为：[1，5]．
【点评】本题考查平行向量的坐标运算，函数思想，属中档题．
37．（2023•浦东新区校级三模）已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是 ．
【分析】以点O为起点作向量，，，进而运用正弦定理，三角恒等变换可求的取值范围．
【解答】解：如图：以点O为起点作向量，，，
则，，，由，的夹角为，
﹣与的夹角为，可知：四点O，A，B，C共圆，
，，得，BC＝1，
在△ABC中：，即，所以，所以，
由同弧所对的圆周角相等，可得，设∠OCB＝θ，则，
在△OBC中：，所以OB＝2sinθ，
，＝||•||cos∠COB＝OB×OC×cos＝2sinθ×2sin（﹣θ）×
＝2sinθ＝＝，
∵，∴，∴﹣＜sin（2θ﹣）≤1，﹣＜sin（2θ﹣）≤，
∴0＜sin（2θ﹣）+≤+，
的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的数量积的计算，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属中档题．
38．（2023•黄浦区校级三模）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝2，若＝+，则给出下面四个结论：
①λ+μ的最小值为﹣；
②λ+μ的最大值为；
③的最小值为﹣6；
④的最大值为8．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】以C为坐标原点，分别以CA、CB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，可得C（0，0），A（3，0），A（0，4），设P（2cosθ，2sinθ），利用＝+，可得，，得到λ+μ，再由辅助角公式化积，即可求得λ+μ的最值，从而判断①②；利用数量积的坐标运算求出，然后利用三角函数求最值判断③④．
【解答】解：如图，
以C为坐标原点，分别以CA、CB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，
则C（0，0），A（3，0），B（0，4），设P（2cosθ，2sinθ），
，，，
由＝+，得（2cosθ，2sinθ）＝（3λ+4μ），即，，
∴λ+μ＝＝，tan，
∴λ+μ的最小值为﹣，最大值为，故①②错误；
，，
∴＝4cos2θ﹣6cosθ+4sin2θ﹣8sinθ＝4﹣（8sinθ+6cosθ）＝4﹣10sin（θ+Φ），tanΦ＝．
∴的最小值为﹣6，大值为14，故③正确，④错误．
∴正确结论的个数是1，
故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，训练了利用三角函数求最值，建系是关键，是中档题．
39．（2023•虹口区二模）已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数t，均有，则的最小值为 ．
【分析】作＝，＝，以为x轴建立平面直角坐标系，由题意写出点A、点E的坐标，设点B（x，y），＝，可得出点B在以A为圆心，以1为半径的圆上，由得出t2﹣2•t+4•c﹣4≥0恒成立，作＝，设点C（x′，y′），得出点C在直线上；由此求出|﹣|的最小值．
【解答】解：作＝，＝，以为x轴建立平面直角坐标系，如图所示；
因为，，，所以点A的坐标为（3，0），点E的坐标为（﹣，），
作＝，设点B（x，y），因为||＝|﹣|＝|﹣|＝1，所以＝1，
所以（x﹣3）3+y2＝1，所以点B在以（3，0）为圆心，以1为半径的圆上；
因为对任意的实数t，均有，所以≥，又||＝1，
所以t2﹣2•t+4•c﹣4≥0恒成立，所以﹣4（4•﹣4）≤0，
所以≤0，即•＝2，作＝，设点C（x′，y′），则﹣x′+y′+4＝0，即x′﹣y′+4＝0，所以点C在直线x′﹣y′+4＝0上；
因为＝|﹣|＝||，且点B在圆（x﹣3）2+y2＝1上，点C在直线x′﹣y′+4＝0上，
所以点B到点C的最小距离是圆心A到最新的距离减去圆的半径，
即||≥||﹣1，当且仅当点B为线段AC与圆的交点时“＝”成立；
因为点A（3，0）到直线x′﹣y′+4＝0的距离为d＝＝，
所以点A到点C的距离大于或等于，即||≥，
所以||≥||﹣1≥，当且仅当AC垂直于直线x′﹣y′+4＝0，且点B为线段AC与圆的交点时“＝”成立；
所以|﹣|的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了平面向量的数量积运算问题，是难题．
40．（2023•徐汇区校级三模）已知平面向量，，，满足，，且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，实数m的最大值为 ．
【分析】设＝（2，0），＝（x，y），求出点A的轨迹是圆，再由＝λ+μ计算，将其化简为关于λ的二次函数，由此得到||的最小值为m与x的关系，再利用导数求其最大值．
【解答】解：由题意设＝（2，0），＝（x，y），
因为|+|＝1，所以＝1，即（x+2）2+y2＝1，
所以点A的轨迹是以（﹣2，0）为圆心，1为半径的圆，且x∈[﹣3，﹣1]．
因为λ+2μ＝1，所以＝λ+μ＝（λx，λy）+（2μ，0）＝（λx+2μ，λy）＝（λx+1﹣λ，λy），
所以＝（λx+1﹣λ）2+（λy）2＝[（x﹣1）2+y2]λ2+2（x﹣1）λ+1＝（﹣6x﹣2）λ2+2（x﹣1）λ+1，
因为x∈[﹣3，﹣1]，所以﹣6x﹣2＞0，所以关于λ的二次函数开口向上，
当λ＝时，取得最小值，所以m2＝（﹣6x﹣2）•+2（x﹣1）•+1＝•，
令y＝f（x）＝（x∈[﹣3，﹣1]），则f′（x）＝，
所以函数f（x）在[﹣3，﹣]上单调递增，在（﹣，﹣1]上单调递减，
所以f（x）的最大为f（﹣）＝＝，即m2≤×＝，
所以m的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的运算问题，也考查了运算求解能力和转化思想，是难题．
五．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共1小题）
41．（2023•嘉定区模拟）已知向量＝（2，﹣1），＝（1，t），且|+|＝|﹣|，则t＝ 2 ．
【分析】根据向量垂直的等价条件以及平面向量的坐标运算，求值计算即可．
【解答】解：∵|+|＝|﹣|，则⊥，
∴•＝2×1﹣1×t＝0，∴t＝2，
故答案是：2．
【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直的坐标公式进行求解是解决本题的关键．
六．向量的投影（共2小题）
42．（2023•虹口区校级三模）已知，若向量在向量方向上的数量投影为，则实数m的值为 3 ．
【分析】利用向量投影的计算公式求解．
【解答】解：∵，
∴＝8﹣m，||＝＝，
∴向量在向量方向上的数量投影为＝＝，
解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了向量投影的概念，属于基础题．
43．（2023•徐汇区校级三模）已知向量，，则向量在向量方向上的数量投影为 ﹣1 ．
【分析】根据投影的定义，应用公式向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞＝，代值计算即可
【解答】解：向量＝（1，﹣2），＝（3，4），
则向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞＝＝＝﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．
七．投影向量（共3小题）
44．（2023•南岗区校级二模）已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于 ．
【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，求出，再结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：向量，
则，
，
则2，即，解得，
故在方向上的投影向量等于＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
45．（2023•松江区校级模拟）已知向量，，则在方向上的投影向量等于 ．
【分析】求出，根据投影向量的概念即可求得答案．
【解答】解：由题意向量，，
则，
则在方向上的投影向量为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，考查转化能力，属于中档题．
46．（2023•青浦区二模）已知向量和，则在方向上的投影是 ．
【分析】根据投影的计算公式可求出在方向上的投影为．
【解答】解：在方向上的投影是：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了投影的计算公式，向量夹角的余弦公式，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．
八．平面向量的基本定理（共5小题）
47．（2023•青浦区二模）设、是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【分析】根据已知条件，结合平面向量的基本定理，即可依次求解．
【解答】解：对于A，∵是两不共线的向量，
∴和不共线，
∴和能作为平面向量的一组基底．
对于B，∵是两不共线的向量，
∴+2和+2不共线，
∴+2和+2能作为平面向量的一组基底．
对于C，∵是两不共线的向量，
∴3﹣2和4﹣6共线，
∴3﹣2和4﹣6不能作为平面向量的一组基底，
对于D，∵是两不共线的向量，
∴和不共线，
∴和能作为平面向量的一组基底．
故选：C．
【点评】本题考查平行向量的性质和应用，是基础题．
48．（2023•徐汇区校级三模）如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且+＝x+y，则+的最小值为 ．
【分析】根据平面向量的线性运算可得x+y＝2，再利用乘1法结合基本不等式可解．
【解答】解：如图可知，x，y均为正数，设，，
由B，C，D共线设，则由向量的加法法则可得，
∴＝（1﹣a）．
∴m+n＝1，同理λ+μ＝1，
∵+＝x+y＝（m+λ）+（n+μ），
∴x+y＝m+n+λ+μ＝2，
∴+＝＝（5）＝，当且仅当y＝2x，即x＝，y＝时，取等号，
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，以及基本不等式相关知识，属于基础题．
49．（2023•黄浦区校级三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，若，则＝ ．
【分析】由题意在△ABC中得到，再由三角形的内角平分线定理得：＝，最后由分点恒等式将用表示出来，从而求出λ，μ即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴由三角形的内角平分线定理得：＝，
∴由分点恒等式得：，
∴，∴．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题．
50．（2023•普陀区校级模拟）在平行四边形ABCD中，，．若，则m+n＝ ．
【分析】由题中条件画出图形，再由平面向量的线性运算可将用表示出来即可求得m，n．
【解答】解：由题可作图，如下图，
＝＝＝＝＝＝，
∴，∴．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题．
51．（2023•青浦区校级模拟）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则λ+μ的最大值为 3 ．
【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值
【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC＝2，CD＝1，
∴BD＝＝
∴BC•CD＝BD•r，
∴r＝，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝，
设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），
∵，
∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），
∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，
∴λ+μ＝cosθ+sinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故答案为：3
【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
九．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题）
52．（2023•黄浦区校级三模）已知平面向量，，若，则m＝ 1 ．
【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出m的值．
【解答】解：∵平面向量，，，
∴2m﹣2×1＝0，∴m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
53．（2023•普陀区校级模拟）已知，若与互相平行，则实数k的值是 ．
【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得k值．
【解答】解：∵，与互相平行，
∴＝，∴k＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
一十．数量积表示两个向量的夹角（共4小题）
54．（2023•金山区二模）已知向量，向量，则与的夹角的大小为 ．
【分析】根据题意，求出||、||以及•的值，由数量积的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，向量，
则||＝1，||＝＝，•＝0+1+0＝1，
则cos＜，＞＝＝＝，
又由0≤＜，＞≤π，则与的夹角的大小为．
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量数量积的应用，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
55．（2023•闵行区校级二模）已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的最小值为 ．
【分析】由平面向量的数量积运算，得到x2﹣2xcosθ+≥0恒成立，进而得到﹣≤cosθ≤，求解即可．
【解答】解：设向量的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∵对任意实数x，恒成立，
∴x2+﹣2x•≥恒成立，
即x2﹣2xcosθ+≥0恒成立，
则Δ＝4cos2θ﹣1≤0，解得﹣≤cosθ≤，
故夹角的取值范围是[，]，
∴向量的夹角的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，不等式恒成立问题的求法，属于中档题．
56．（2023•浦东新区模拟）已知O是△ABC的外心，且，则cos∠BAC＝ ．
【分析】利用平面向量的数量积运算，向量夹角公式求出cos∠BOC＝﹣，再利用外心的性质得到∠BOC＝2∠BAC，求解即可．
【解答】解：设△ABC外接圆的半径为1，
∵，
∴﹣3＝4+5，
∴（﹣3）2＝（4+5）2，
∵O是△ABC的外心，
∴9＝16+25+40•，∴•＝﹣，
∴cos∠BOC＝﹣，
∵O是△ABC的外心，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∴cos∠BOC＝2cos2∠BAC﹣1＝﹣，
∴cos2∠BAC＝，∴cos∠BAC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量夹角公式，外心的性质，属于中档题．
57．（2023•杨浦区校级三模）对任意两个非零的平面向量和，定义⊗＝．若平面向量，满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，），且⊗和⊗都在集合{|n∈Z}中，则⊗＝ ．
【分析】根据题中的定义，化简整理得⊗＝＝且⊗＝＝，其中m、n都是整数．两式相乘可得cos2θ＝，由||≥||＞0且与的夹角θ∈（0，），讨论可得m＝1且n＝3，从而得出⊗的值．
【解答】解：由题意，可得
⊗＝＝＝＝，
同理可得：⊗＝＝，其中m、n都是整数
将化简的两式相乘，可得cos2θ＝．
∵||≥||＞0，∴n≥m 且 m、n∈z，
∵与的夹角θ∈（0，），可得cos2θ∈（，1）
即∈（，1），结合m、n均为整数，可得m＝1且n＝3，从而得⊗＝＝
故答案为：
【点评】本题给出新定义，求式子⊗的值．着重考查了向量数量积及其运算性质、三角函数的性质和整数解的讨论等知识，属于中档题．
一十一．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题）
58．（2023•闵行区校级三模）已知向量，若，则实数x＝ ．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：，，
则﹣2x+3＝0，解得x＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
一十二．正弦定理（共1小题）
59．（2023•上海模拟）在△ABC中，∠A＝150°，D1，D2，…，D2022，依次为边BC上的点，且BD1＝D1D2＝D2D3＝…＝D2021D2022＝D2022C，设∠BAD1＝α1、∠D1AD2＝α2、…、∠D2021AD2022＝α2022、∠D2022AC＝α2023，则的值为 ．
【分析】先画出图形，再利用正弦定理化简求解即可．
【解答】解：画出图形如下，
a1+α2+……+α2020＝150°，
在△BAD1中，＝＝，
在△D1AD2中，＝＝，
∵BD1＝D1D2，∴＝，
同理可得＝，＝，•••＝，
又＝，
∴sinα2023＝，
∵∠AD2022B+∠AD2022C＝180°，∴sin∠AD2022B＝sin∠AD2022C，
∴＝＝×＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
四、易错分析
易错点一、忽略向量共线致误
1、已知向量的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________．
【错解】因为向量的夹角为钝角，所以，
即，解得，
【错因】概念模糊，错误地认为为钝角，实际上，为钝角不共线。
【正解】因为向量的夹角为钝角，所以且不共线，
即，解得，
所以实数x的取值范围为。
2、已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________．
【错解】∵cos θ＝＝.因θ为锐角,有cos θ>0,
∴>0⇒2λ＋1>0, 得λ>－,λ的取值范围是.
【错因】当向量a,b同向时,θ＝0,cos θ＝1满足cos θ>0,但不是锐角．
【正解】∵θ为锐角,∴0
∴λ的取值范围是.
易错点二、对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误
3、给出下列命题：(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示；(3)若a,b共线,则且存在且唯一；(4) λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命题的个数为
A.1 B. 2 C.3 D.4
【错解】选B或C或D
【错因】(1)对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：当a＝0时,a与任一向量b都是共线的；当a＝0且b≠0时,b＝λa是不成立的,但a与b共线．因此,为了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我们要求a≠0.换句话说,如果不加条件“a≠0”,“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件．
(2)面向量的一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组．用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2(λ1,λ2∈R,e1,e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式,它是向量线性运算知识的延伸．如果e1,e2是同一平面内的一组基底,且λ1e1＋λ2e2＝0(λ1,λ2∈R),那么λ1＝λ2＝0.
【正解】平面内的两个不共线的向量可以作为一组基底,(1)是假命题；(2)是真命题；对于(3),
当a,b均为零向量时可以取任意实数,当a为零向量,b为非零向量时不存在,
(3)是假命题；对于(4),只有a,b为不共线向量时才成立.
易错点三、对两两夹角相等理解不准确
4、若单位向量两两夹角相等,则的模为 .
【错解】因为单位向量两两夹角相等,则夹角为,所以
+=+
=0, 所以的模为0。
【错因】忽略了夹角为零度的情况
【正解】当的夹角为时的模为3,当夹角为时,
+=+
=0,的模为0.
易错点四、确定向量夹角忽略向量的方向致错
5、已知等边△ABC的边长为1,则·＋·＋·＝________.
【错解】∵△ABC为等边三角形,∴||＝||＝||＝1,
向量、、间的夹角均为60°.∴·＝·＝·＝.
∴·＋·＋·＝.
【错因】数量积的定义a·b＝|a|·|b|·cos θ,这里θ是a与b的夹角,本题中与夹角不是∠C.两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,如图与的夹角应是∠ACD.
【正解】与的夹角应是∠ACB的补角∠ACD,即180°－∠ACB＝120°.又||＝||＝||＝1,所以·＝||||cos 120°＝－.同理得·＝·＝－.
故·＋·＋·＝－.
6、在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足,则等于 （ ）
A． B. C. D.
【错解】由知, P为△ABC的重心,根据向量的加法,,
则 =
【错因】夹角是,不是0.
【正解】由知, P为△ABC的重心,根据向量的加法,,
则 =故选A.
易错点五、向量基本概念模糊致错
7、下列五个命题：
① 若a∥b,b∥c,则a∥c；
② 若A,B,C,D是同一平面内的四点且=，则ABCD为平行四边形；
③ 若,则；
④ ； 其中正确的命题有______个。
【错解】1或2或3或4
【错因】①忽略零向量与任意向量共线；②忽略四点共线的情况；③忽略；④对数量积的运算律理解错误。
【正解】①若b为零向量,则a∥c不一定成立,故若a∥b,b∥c,则a∥c为假命题；②若＝,则A,B,C,D可能共线,故为假命题；③若,则或 ，故为假命题；④因表示与c共线的向量,表示与a共线的向量,可能不共线,故不一定相等,该命题是假命题，正确的命题有0个。
易错点六、 忽视平面向量基本定理的成立条件
8、下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A、=（0，0），=（1，-2） B、=（-1，2），=（5，7）
C、=（3，5），=（6，10） D、=（2，-3），=（4，-6）
【错解】选A或C或D
【错因】概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底。
【正解】选B，如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使=λ1+λ2。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。
五.刷压轴
一、单选题
1．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，且内切圆的圆心在直线上.则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由可得.由，可得.
又由内切圆的圆心在直线上，可得，据此可得答案.
【详解】如图1，取中点为Q，连接EQ，PQ.则，
.
因，则，因直线外一点到直线连线中垂线段最短，则为垂线.因Q为中点，E为中点，则
，得.又DO为直角三角形斜边中线，则.
如图2，设内切圆的圆心为I，内切圆与交点为M，与交点为T，与交点为N.则，，又，则.
又由切线性质，可知，则
.
则离心率为.
故选：D
【点睛】结论点睛：本题涉及以下结论：
（1）极化恒等式：；
（2）双曲线焦点三角形的内切圆圆心在直线上.
二、填空题
2．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知平面向量，，，满足，，且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，实数的最大值为 .
【答案】
【分析】根据向量的几何表示和共线条件以及几何关系即可求解.
【详解】令，
所以
如图，
所以点A的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，取OB中点E，
则，
又因为，所以点C在直线上，故时，的值最小，
当情况下，直线与相切时最大，取最大，
此时，，
故答案为：.
3．（2023·上海宝山·统考二模）已知非零平面向量不共线，且满足，记，当的夹角取得最大值时，的值为 ．
【答案】4
【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量，进而通过运算求得的值.
【详解】由非零平面向量不共线，且满足，建立如图所示的平面直角坐标系：
则，则，由，则，
则直线的斜率分别为，
由两直线的夹角公式可得：
，
当且仅当，即时取等号，此时，则，
所以，故填：4.
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.
4．（2023·上海·统考模拟预测）如图，已知，是直角两边上的动点，，，，，，则的最大值为 .
【答案】
【分析】以点为原点，，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，设，利用三角函数关系表示，，的坐标，由题干条件分析可知为的中点，为的中点，即可得到，的坐标，进而得到与，整理可得为关于的函数，利用正弦型函数的性质即可求得最大值.
【详解】如图，以点为原点，，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，
设，则，，
在中，，，
所以设，，，即.
由题意可知为的中点，为的中点，
所以，，
所以，，
所以
（其中，为锐角），
所以的最大值为，此时，即，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：题目中给出垂直关系，可利用坐标法处理此题，设，点坐标即可用关于的三角函数关系表示，则将问题整理为关于的正弦型函数求最大值问题.
5．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）已知平面向量，其中为单位向量，且满足，若与夹角为，向量满足，则最小值是 .
【答案】/
【分析】根据题意，设， ， ，，利用题设可确定向量对应的轨迹以及向量对应的轨迹，将的最小值转化为两轨迹上的点之间的距离的最小值，数形结合，求解答案.
【详解】根据题意，设，，，，
因为与夹角为，
所以，整理得，
即向量对应的轨迹为射线或，
因为向量满足 ，
所以，即向量对应的轨迹为抛物线：，
则即为上的点与射线或上的点之间的距离，
如图，
当最小值时，对应的点在上，
设直线，由图可知，当直线与相切时，切点设为A，
此时最小，联立方程 ，得，
由得，则，解得，
故，则A到射线的距离为,
所以的最小值为，
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解答本题求解的最小值，关键在于确定向量对应的点所在的轨迹方程，将的最小值转化为曲线上的点之间距离的最小值问题，数形结合，可求解答案.
6．（2023·上海杨浦·统考二模）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是
【答案】
【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.
【详解】
解：如图，，，则，，
已知，即，所以，
取BD的中点O，则有，
而，根据三角形的三边关系可知
则，所以，当A，O，C三点共线时取等号，
记向量的夹角为，则，
同理，
由，可得，
则，
当，即时取等号，
所以，即的最小值是，
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式，进而利用数量积求模长.
7．（2023·上海闵行·统考二模）平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，值为 ．
【答案】
【分析】设，结合题意可得，为使最大，则两向量的方向相同，即两向量的方向相同，也即，设直线与直线交于点，再分如图所示两种情况讨论即可得解.
【详解】设，
由，得，即，
由题意可得，
即，即，
为使最大，则两向量的方向相同，即两向量的方向相同，
也即，所以，
设直线与直线交于点，
，
则，
因为，所以，
如图所示，
，
所以，
即，
如图所示，
，
所以，
即，
综上所述，.
故答案为：.
.
【点睛】关键点睛：设，结合题意可得，根据最大，说明两向量的方向相同，即，是解决本题的关键所在.
8．（2023·上海普陀·统考二模）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示可得，在坐标系中，，将按向量平移至，根据轨迹为直线，将问题化为最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果.
【详解】由，又向量与互相平行，
所以，故，
令，，则，
所以，将按向量平移至，
所以是直线上的动点，如下图示，
所以，故，
由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，
故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：找到的，并将其平移至使，即有，问题化为求点到直线距离.
9．（2023·上海松江·统考二模）已知点是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】设，，根据向量线性运算可得，设，则，由向量垂直的坐标表示可构造方程，结合二次函数最值求法可求得，由可求得最小值.
【详解】设在直线上，又是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，，；
设，，则，，
，
不妨设在的左侧，，则，
与垂直，，
即有解，，
，即的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量模长最值的求解问题，解题关键是能够将问题转化为求解与变量有关的函数最值的求解问题，从而根据向量的线性运算和向量垂直的坐标表示求得的范围，结合函数最值求法可求得结果.
10．（2023·上海闵行·统考一模）已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据，可得，利用平面直角坐标系取则，设，结合已知条件可得，，利用平面向量的坐标运算可得，故可得的取值范围.
【详解】解：因为，所以，
则，所以，于是有，
因为，所以
则如图所示，在平面直角坐标系中，
则，设，
因为，所以，则，即，
因为，所以
则，即，解得，
则
因为
所以在上单调递减，在上单调递增
所以，当时，，当时，，所以
故的取值范围是.
故答案为：.
11．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）已知平面向量，，满足，，，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，设出，，的坐标，结合向量模长的坐标公式，分类讨论，即可得到的范围，从而得到结果.
【详解】设，，，，
由已知可得：，
当且仅当时，取等号，
当时，有，得，
当时，有，得，
所以当时，.
所以的最大值为.
故答案为：.
12．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知为单位向量，向量满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设，确定点A，B的轨迹，从而设，求出的表达式结合三角恒等变换化简，再结合二次函数性质即可求得答案.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，令,
设则由可得，
即点A轨迹为以为圆心，半径为2的圆，
点B轨迹为以为圆心，半径为3的圆，
则设，
则
，（为辅助角）
，
令，则，
则，
又，
而，
故，故的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题是关于向量和三角函数的综合性题目，综合性较强，解答时要注意建立坐标系，利用向量的坐标运算结合三角函数的恒等变换进行解答，难点在于化简的表达式时，计算较为复杂，要注意计算的准确性.
三、解答题
13．（2023·上海闵行·统考一模）如图，点A、B、C分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，点P是上在第一象限内的动点，直线AP与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M．
(1)求直线BC的方程；
(2)求证：；
(3)已知直线的方程为，线段QM的中点为T，是否存在垂直于y轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)存在，.
【分析】(1)由题意可得，由截距式写出直线的方程，再化成一般式即可；
(2) 设,可得直线的方程，从而可解得点的坐标，再根据向量数量积的坐标运算求出的值即可得证；
(3)由题意可得T的坐标，设的方程为，设点T到和的距离分别为，，利用点到线的距离公式表示出，，进而可得的代数式，再判断当为定值时是否有解，即可判断.
【详解】（1）解：由题意可得，
所以直线的方程的截距式为，
即为；
（2）证明：设,
因为，
所以直线的方程为：；
联立，得，
即；
直线的方程为：，
即，
当时，，
即，
所以==，
又因为，
所以，
所以===.
得证；
（3）解：不存在，理由如下：
由题(2)可知，不妨令，则，
则，
所以点T到的距离，
设的方程为：，
则点T到的距离，
所以当时，，
所以存在满足条件的.
考点08平面向量及其应用（12种题型6个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五.刷压轴
一、 真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共1小题）
1．（2021•上海）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得＝0；②存在△ABC，使得∥（+）；它们的成立情况是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【分析】设A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y），由向量数量的坐标运算即可判断①；F为AB中点，可得（+）＝2，由D为BC中点，可得CF与AD的交点即为重心G，从而可判断②
【解答】解：不妨设A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y），
①＝（﹣1﹣2x，﹣2y），＝（x﹣1，y），
若＝0，则﹣（1+2x）（x﹣1）﹣2y2＝0，即﹣（1+2x）（x﹣1）＝2y2，
满足条件的（x，y）存在，例如（0，），满足上式，所以①成立；
②F为AB中点，（+）＝2，CF与AD的交点即为重心G，
因为G为AD的三等分点，E为AD中点，
所以与不共线，即②不成立．
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．
二．填空题（共9小题）
2．（2023•上海）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝ （1，0） ．
【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．
【解答】解：因为向量＝（3，4），＝（1，2），
所以﹣2＝（3﹣2×1，4﹣2×2）＝（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．
3．（2021•上海）如图正方形ABCD的边长为3，求•＝ 9 ．
【分析】根据，直接求解即可．
【解答】解：由数量积的定义，可得，
因为，所以 ＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题．
4．（2023•上海）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），则•＝ 4 ．
【分析】直接利用平面向量的坐标运算法则求解．
【解答】解：∵向量＝（﹣2，3），＝（1，2），
∴•＝﹣2×1+3×2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
5．（2020•上海）三角形ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则＝ ．
【分析】根据余弦定理即可求出，并得出，然后进行数量积的运算即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，
∴由余弦定理得，＝，
∴，且D是BC的中点，
∴
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
6．（2022•上海）若平面向量||＝||＝||＝λ，且满足•＝0，•＝2，•＝1，则λ＝ ．
【分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果．
【解答】解：由题意，有•＝0，则，设＜＞＝θ，
⇒
则得，tanθ＝，
由同角三角函数的基本关系得：cosθ＝，
则＝||||cosθ＝＝2，
λ2＝，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
7．（2022•上海）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为 ﹣ ．
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出•＝2x2﹣3x，再利用二次函数求最值即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如下，
则B（2，0），C（0，2），M（1，0），
直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，
点P在直线上，设P（x，2﹣x），
∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），
∴•＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x＝2﹣≥﹣，
∴•的最小值为﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．
8．（2020•上海）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是 6 ．
【分析】设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得k的最大值．
【解答】解：如图，设，，
由||＝1，且|﹣|∈{1，2}，
分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．
故满足条件的k的最大值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．
9．（2020•上海）已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足＝0（n＝1，2，3），||•||＝n+1（n＝1，2，3），则||的最小值为 ．
【分析】可设，从而据题意可得出，，并设A1（0，0），根据是求的最小值，从而可得出，从而可求出，从而根据基本不等式即可求出的最小值．
【解答】解：设，则，，
设A1（0，0），如图，
∵求的最小值，则：
A2（x，0），，，
∴＝，当且仅当，即时取等号，
∴||的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
10．（2023•上海）已知、、为空间中三组单位向量，且⊥、⊥，与夹角为60°，点P为空间任意一点，且||＝1，满足|•|≤|•|≤|•|，则|•|最大值为 ．
【分析】将问题坐标化，表示出的坐标，再设，代入条件，结合不等式的性质求解．
【解答】解：设，，，
，不妨设x，y，z＞0，则||＝x2+y2+z2＝1，
因为|•|≤|•|≤|•|，
所以，可得，z≥y，
所以，解得，
故＝y．
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算以及不等式的性质，属于中档题．
二、考点清单
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与 a的方向相反；
当λ＝0时，λ a＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
7．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
8．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
9.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
10．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
11.平面向量与解三角形的综合应用
(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．
<常用结论>
1．五个特殊向量
(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
2．五个常用结论
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心．
(4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：
①＋＋＝0；
②＝(＋)；
③＝(＋)，＝(＋)．
(5)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
3．基底需要的关注三点
(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到
4．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
5．两个结论
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
6．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
7．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
三、题型方法
一．向量的概念与向量的模（共2小题）
1．（2023•奉贤区二模）在集合{1，2，3，4}中任取一个偶数a和一个奇数b构成一个以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是 3 ．
【分析】可得出满足题意的向量为：（2，1），（2，3），（4，1），（4，3），然后根据三角形面积公式及向量夹角的余弦公式可得出以为邻边的平行四边形的面积为：，然后可分别求出以：（2，1），（2，3），（4，1），（4，3）中的两个向量为邻边的平行四边形面积，从而可得出答案．
【解答】解：由题可得满足题意的向量有（2，1），（2，3），（4，1），（4，3），
以向量为邻边的平行四边形的面积为：＝，
∴以（2，1），（2，3）为邻边的平行四边形面积为：；
以（2，1），（4，1）为邻边的平行四边形面积为：；
以（2，1），（4，3）为邻边的平行四边形面积为：；
以（2，3），（4，1）为邻边的平行四边形面积为：；
以（2，3），（4，3）为邻边的平行四边形面积为：；
以（4，1），（4，3）为邻边的平行四边形面积为：，
综上可知面积不超过4的平行四边形个数是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形的面积公式，向量夹角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于中档题．
2．（2023•普陀区二模）设x、y∈R，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ．
【分析】可求出，根据与平行可得出y＝3﹣x，从而得出，根据进行数量积的坐标运算即可求出最小值．
【解答】解：，且与互相平行，
∴x﹣2﹣（1﹣y）＝0，
∴y＝3﹣x，
∴，
∴+（7﹣2x）2＝5x2﹣20x+65＝5（x﹣2）2+45≥45，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行向量的坐标关系，向量坐标的减法和数量积的运算，向量数量积的计算公式，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
二．两向量的和或差的模的最值（共3小题）
3．（2023•黄浦区二模）如图．在直角梯形ABCD中．AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，点P是腰AB上的动点，则|2|的最小值为 4 ．
【分析】建立平面直角坐标系，设AB＝a，求得相关点坐标，求出2+的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，
则∠DAB＝90°，则以A为原点，AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，
设AB＝a，设P（x，0），则B（a，0），C（a，1），D（0，2），
故＝（a﹣x，1），＝（﹣x，2），
所以2+＝（2a﹣3x，4），故|2+|＝≥4，
当且仅当2a﹣3x＝0即x＝a时取得等号，
即|2|的最小值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查向量的坐标运算，属于基础题．
4．（2023•杨浦区二模）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是 ．
【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可．
【解答】解：如图，则，
已知，即，所以CD⊥CB，
取BD的中点O，则有，
而，根据三角形的三边关系可知OA+OC≥AC，
则，所以，当A，O，C三点共线时取等号，
记向量的夹角为θ，则，
同理，
由，可得，
则，
当cosθ＝0，即时取等号，
所以，即的最小值是，
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式，进而利用数量积求模长．
5．（2023•长宁区二模）已知空间向量、、、满足：，，，，则的最大值为 3 ．
【分析】根据题意可得出，先看的情况：可得出＝＝0，进行数量积的运算即可得出，然后配方即可求出的最大值，同样的方法可得出在时的最大值，最后即可得出的最大值．
【解答】解：根据题意，，且，，且设与的夹角为θ，
①时，
＝
＝
＝
＝
＝0，
∴，当cosθ＝±1时取等号，
∴cosθ＝﹣1时，取最大值3；
②时，
＝
＝
＝
＝0，
∴，当cosθ＝±1时取等号，
∴cosθ＝1时，取最大值2，
综上得，的最大值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了共线向量基本定理，向量数乘和数量积的运算，配方法的应用，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于难题．
三．平面向量数量积的含义与物理意义（共2小题）
6．（2023•松江区模拟）已知向量和满足，则在方向上的数量投影为 ﹣1 ．
【分析】直接根据数量投影的公式求解即可．
【解答】解：∵，
∴在方向上的数量投影为．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．
7．（2023•普陀区校级三模）若＝（1，2），＝（3，﹣4），则在方向上的投影为 ﹣1 ．
【分析】投影即为||cosθ，利用数量积运算求出cosθ即可．
【解答】解：设的夹角为θ
∵
∴，||＝5，＝﹣5
∴cosθ＝＝﹣
故投影为||cosθ＝﹣1
故答案为：﹣1
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题．
四．平面向量数量积的性质及其运算（共33小题）
8．（2023•虹口区校级模拟）将向量绕坐标原点O顺时针旋转30°得到，则＝ 2 ．
【分析】由向量的几何意义得到，再用向量的数量积公式即可求得．
【解答】解：∵向量，∴与x轴非负半轴所成角为60°，
将向量绕坐标原点O顺时针旋转30°得到，
∴与x轴非负半轴所成角为30°，∴＝，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．
9．（2023•杨浦区校级三模）已知在上的数量投影为，其中点O为原点，则点B所在直线方程为 x+y﹣2＝0 ．
【分析】设B（x，y），根据在上的数量投影列方程化简求解即可．
【解答】解：设B（x，y），则＝（x，y），
因为＝（1，1），且在上的数量投影为＝，
即＝，化简为x+y﹣2＝0，
所以点B所在的直线方程为x+y﹣2＝0．
故答案为：x+y﹣2＝0．
【点评】本题考查了平面向量投影的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
10．（2023•普陀区校级模拟）已知点O为ABC的外心，且•+•＜•，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【分析】由三角形的外心为各边中垂线的交点及向量投影的运算，然后结合余弦定理求解即可．
【解答】解：由三角形的外心为各边中垂线的交点，结合向量投影的运算可得：
，，，
又•+•＜•，
则，
则cosB＝，
即，
即△ABC为钝角三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量数量积运算及向量投影的运算，重点考查了余弦定理，属基础题．
11．（2023•浦东新区校级一模）已知向量，，满足++＝，且＜＜，则、、中最小的值是（ ）
A． B． C． D．不能确定的
【分析】利用已知条件，结合向量模的大小，转化求解数量积的大小即可．
【解答】解：向量，，满足++＝，可得：，＝，
同理，，，
∵＜＜，∴＜＜．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的大小以及数量积的运算，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
12．（2023•普陀区校级三模）在△ABC中，AB＝AC＝3，．若，则＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【分析】用向量、表示出向量和，再利用求出•的值．
【解答】解：△ABC中，AB＝AC＝3，，
所以＝，
所以＝+＝+＝+（﹣）＝+，
因为，
所以（+）•（﹣）＝﹣•﹣＝×32﹣•﹣×32＝4，
解得＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题．
13．（2023•宝山区校级模拟）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】由向量垂直的条件可得•＝0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|＝，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．
【解答】解：由题意可得•＝0，
可得|+|＝＝，
（﹣）•（﹣）＝2+•﹣•（+）
＝||2﹣||•|+|cos＜（+，＞＝0，
即为||＝cos＜+，＞，
当cos＜+，＞＝1即+，同向时，
||的最大值是．
故选：C．
【点评】本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量数量积的定义和性质，考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．
14．（2023•奉贤区校级三模）同一平面内的两个不平行的单位向量，，在上的投影向量为，则＝ 0 ．
【分析】设向量，的夹角为θ，θ∈（0，π），且||＝||＝1，求出在上的投影向量，再计算的值．
【解答】解：设向量，的夹角为θ，θ∈（0，π），且||＝||＝1，
则在上的投影向量为＝||cosθ＝cosθ，
则＝||||cosθ﹣cosθ•＝cosθ﹣cosθ＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了投影向量的定义与应用问题，是基础题．
15．（2023•杨浦区校级模拟）若向量与不共线也不垂直，且，则向量夹角＝ ．
【分析】根据平面向量的数量积求夹角，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴，
则，即向量夹角＝．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
16．（2023•黄浦区校级三模）已知平面向量，，满足，，，则的最大值为 2 ．
【分析】根据题意，设出，，的坐标，结合向量模长的坐标公式，分类讨论，即可得到的范围，从而得到结果．
【解答】解：设，，，s，t∈R，
由已知可得：，
当且仅当s2＝t2时，取等号，
当st≥0时，有（st）2﹣2st+1≤8，得，
当st＜0时，有（st）2﹣6st+1≤8，得﹣1≤st＜0，
所以当时，．
所以的最大值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，二次不等式的求解，属于基础题．
17．（2023•嘉定区二模）△ABC是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则＝ ．
【分析】由平面向量的数量积的运算，结合平面向量投影的运算求解即可．
【解答】解：已知△ABC是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，
则CM⊥AB，
则＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算，重点考查了平面向量投影的运算，属基础题．
18．（2023•上海模拟）向量为直线x﹣2y+2＝0中的法向量，则向量（1，1）在方向上的投影为 ．
【分析】先通过向量垂直求出参数a，然后通过向量投影公式求解即可．
【解答】解：因为向量为直线x﹣2y+2＝0的法向量，
所以向量与直线x﹣2y+2＝0的方向向量垂直，
所以，解得a＝﹣1，即，
记，则向量在方向上的投影为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了直线的法向量及方向向量的应用，属于基础题．
19．（2023•浦东新区校级一模）已知向量＝（sinx，1），＝（cosx，﹣1）．
（1）若，求tan2x的值；
（2）若f（x）＝（+），求函数f（x）的最小正周期及当x∈[0，]时的最大值．
【分析】（1）由向量＝（sinx，1），＝（cosx，﹣1），得1×cosx＝﹣1×sinx，即tanx＝﹣，可得解，
（2）由f（x）＝（+）＝sin（2x+）+，函数f（x）的最小正周期T＝＝π，所以2x+∈[]，则x＝时，函数取最大值．
【解答】解：（1）∵向量＝（sinx，1），＝（cosx，﹣1）．
又，
∴1×cosx＝﹣1×（sinx），
∴tanx＝﹣，
∴tan2x＝＝﹣，
（2）∵f（x）＝（+），
∴f（x）＝sinxcosx+cos2x
＝sin2x+cos2x+，
＝sin（2x+）+，
∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π，
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[]，
即2x+＝即x＝时，函数取最大值，
故函数的周期为：π，当x∈[0，]时的最大值．
【点评】本题考查了平面向量数量积公式，平面向量共线的坐标表示及三角恒等变形，属中档题
20．（2023•嘉定区校级三模）如图直线l以及三个不同的点A，A'，O，其中O∈l，设，，直线l的一个方向向量的单位向量是，下列关于向量运算的方程
甲：，乙：，
其中是否可以作为A，A'关于直线l对称的充要条件的方程（组），下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都可以 B．甲可以，乙不可以
C．甲不可以，乙可以 D．甲乙都不可以
【分析】设A在l上的投影为C，从而得到，再由向量数量积的相关知识分别对甲、乙推导变形即可．
【解答】解：设A在l上的投影为C，若与方向相同，则，；
若与方向相反，则＝，＝；
∴，
甲：，∴，∴，
∴，∴，∴BA⊥l，
∵＝，＝，∴，
∴A，A'关于直线l对称，以上过程是可逆的，
∴甲是A，A'关于直线l对称的充要条件；
乙：∵，∴，∴，∴，∴C是AB的中点，
∵A在l上的投影为C，∴A，A'关于直线l对称，以上过程是可逆的，
∴乙是A，A'关于直线l对称的充要条件．
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积运算，还考查了逻辑推理能力，属于中档题．
21．（2023•虹口区校级三模）已知平面向量满足，则的取值范围是 ．
【分析】设，则，得到，结合绝对值三角不等式，即可求解．
【解答】解：不妨设，则，
由，可得，
则||，
所以的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和性质以及绝对值不等式的应用，属于中档题．
22．（2023•长宁区校级三模）已知，，是同一个平面上的向量，若，且，则＝ arctan ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形表示出•＝2，•＝1，由此得出cos＜，＞＝2cos＜，＞，再根据+＜，＞＝求出tan＜，＞的值，即可得出结论．
【解答】解：因为平面向量，且•＝0，
所以⊥，如图所示：
又因为•＝2，•＝1，
所以||||coa＜，＞＝2，||||cos＜，＞＝1，
所以cos＜，＞＝2cos＜，＞，
又因为+＜，＞＝，所以cos＜，＞＝2sin＜，＞，
所以tan＜，＞＝，
又因为＜，＞是锐角，所以＜，＞＝arctan．
故答案为：arctan．
【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．
23．（2023•嘉定区校级三模）已知与垂直，，且与的夹角是钝角，则在方向上的投影为 （﹣4，0） ．
【分析】由题中条件求出的坐标，再由投影向量的概念即可求出．
【解答】解：设，则由题可得：，解得或，
∵与的夹角是钝角，∴cos＝，∴x＜0，
∴，∴在方向上的投影为＝＝（﹣4，0）．
故答案为：（﹣4，0）．
【点评】本题考查向量的坐标运算、夹角、模及投影向量，还考查了计算能力，属于中档题．
24．（2023•徐汇区校级模拟）已知平面向量、、，对任意实数t，都有|﹣t|≥|﹣|、|﹣t|≥|﹣|成立，若||＝3，||＝2，|﹣|＝，则||＝ ．
【分析】设＝，＝，＝，即可证明即⊥，⊥，则OABC四点在以OB为直径的圆上，利用余弦定理与正弦定理可得结果．
【解答】解：设＝，＝，＝，
则t＝t，t＝t，
则A′，C′分别在OA，OC所在的直线上，
所以﹣t＝﹣＝，
﹣＝﹣＝，
因而|﹣t|≥|﹣|，
所以||≥||，
因为垂线段距离最短，
所以||即为点B到OA的垂线段长度，
即OA⊥AB，同理⊥，
所以OABC四点在以OB为直径的圆上，
而||＝||＝3，||＝||＝2，|﹣|＝||＝，
所以cos∠COA＝＝，
即∠COA＝60°，sin∠COA＝，
由正弦定理可得三角形OAC外接圆的直径2R＝＝，
即四边形OABC外接圆的直径为，
所以||＝||＝2R＝．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的几何意义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
25．（2023•闵行区二模）平面上有一组互不相等的单位向量，若存在单位向量满足＝0，则称是向量组的平衡向量．已知〈，〉＝，向量是向量组的平衡向量，当取得最大值时，的值为 或 ．
【分析】根据题意得，设，设，则得出，并根据题意可得出，，然后根据两角和差的余弦公式即可求出的值．
【解答】解：取最大值时，，且，如图，
＝，
设，，则：＝，
∴，，，且或，
∴＝或＝×＝．
故答案为：或．
【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，两角和差的余弦公式，向量长度的求法，单位向量的定义，考查了计算能力，属于中档题．
26．（2023•宝山区二模）已知非零平面向量不平行，且满足，记，则当与的夹角最大时，的值为 4 ．
【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量，进而通过运算求得的值．
【解答】解：由非零平面向量不共线，且满足，建立如图所示的平面直角坐标系：
则A（2，0），B（2，b），b＞0，
则，由，则，则直线OB，OC的斜率分别为，
由两直线的夹角公式可得：
，
当且仅当，即b＝4时取等号，此时B（2，4），则，
所以．
故答案为：4．
【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件．
27．（2023•浦东新区二模）已知边长为2的菱形ABCD中，∠A＝120°，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且PQ⊥BD，则的最大值是 ．
【分析】可连接BD，AC，设BD交AC于点O，可得出BD⊥AC，以点O为原点，BD，CA所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出A（0，1），C（0，﹣1），内切圆的半径为，且设P（m，n），Q（m，﹣n），从而得出，可设m＝，从而可得出，然后配方即可求出最大值．
【解答】解：如图，连接BD，AC，设BD，AC交于点O，则BD⊥AC，以点O为原点，BD，CA所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：
A（0，1），C（0，﹣1），内切圆的半径为，
∵PQ⊥BD，且P，Q点在内切圆上，
∴设P（m，n），Q（m，﹣n），，
∴，
∴＝m2﹣（n﹣1）2，
∵，∴设，
∴＝＝，
∴时，取最大值，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了通过建立坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，圆的标准方程，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
28．（2023•松江区二模）已知点A、B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且．若存在m，n∈R，使得与垂直，且，则|AB|的最小值为 ．
【分析】设，根据向量线性运算可得，设P（x，t），则Q（x+a，t），由向量垂直的坐标表示可构造方程，结合二次函数最值求法可求得，由可求得最小值．
【解答】解：设A，B在直线y＝t上，又A，B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，，∴；
设，则m+＝+＝，n＝+＝，
∴，
不妨设P在Q的左侧，P（x，t），则Q（x+a，t），
∵与垂直，∴，
即x（x+a）+t2＝0有解，∴，
∴，即|AB|的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量模长最值的求解问题，属于中档题．
29．（2023•黄浦区校级模拟）已知是平面向量，与是单位向量，且，若，则的最小值为 ﹣1 ．
【分析】建立平面直角坐标系，转化为向量的坐标运算，由模长的几何意义进行求解．
【解答】解：建立平面直角坐标系，
由已知可设，，，
因为，
所以x2+y2﹣8y+15＝0，
整理得，x2+（y﹣4）2＝1，
所以点B在以点D（0，4）为圆心，以1为半径的圆上，
又，
由圆的性质，得的最小值为﹣1＝﹣1．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算以及模长的几何意义，属于中档题．
30．（2023•崇明区二模）设平面向量满足：，，，，则的取值范围是 ．
【分析】根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解．
【解答】解：依题意，设，，t∈R．
根据，即|（2cosθ﹣t，2sinθ）|＝1，即（2cosθ﹣t）2+（2sinθ）2＝1，整理得t2+3＝4tcosθ．
显然t≠0，否则，，与已知矛盾，
故t2+3＝4tcosθ，可得．
由，即t2﹣4|t|+3≤0，则有|t|2﹣4|t|+3≤0，
故（|t|﹣1）（|t|﹣3）≤0，解得1≤|t|≤3．
故．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
31．（2023•崇明区二模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，＝0．
（1）求角B大小；
（2）设，当时，求f（x）的最小值及相应的x．
【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；
（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x值．
【解答】解：（1）由已知条件得＝（2a+c）cosB+bcosC＝0，
由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC＝0，
即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC＝0，
2sinAcosB+sin（B+C）＝0，
则2sinAcosB+sinA＝0，
∵sinA≠0，∴，
又∵B∈（0，π），
∴；
（2）
＝
＝
＝，
∵，
∴，
则f（x）的最小值﹣2，其中，
即当时，f（x）有最小值﹣2．
【点评】本题考查了三角函数中的恒等变换，正余弦定理以及三角函数的性质，属于中档题．
32．（2023•松江区校级模拟）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝2，若，则给出下面四个结论：
①λ+μ的最小值为；
②的最小值为﹣6；
③λ+μ的最大值为；
④的最大值为8．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】以C为原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，设P（2cosθ，2sinθ），然后表示出的坐标，由题意可得，再逐个分析判断即可．
【解答】解：如图，以C为原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，
则C（0，0），A（3，0），B（0，4），
因为PC＝2，所以设P（2cosθ，2sinθ），
则，，
所以，
所以，即（θ为任意角），
所以
＝
＝（其中），
所以λ+μ的最大值为，最小值为，
所以①③错误，
因为，
所以
＝4﹣（8sinθ+6cosθ）
＝4﹣10sin（θ+α）（其中），
因为﹣10≤﹣10sin（θ+α）≤10，
所以﹣6≤4﹣10sin（θ+α）≤14，
所以，
所以的最小值为﹣6，最大值为14，
所以②正确，④错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
33．（2023•浦东新区校级模拟）已知，对任意1≤i＜j≤5都有，则实数M的最小值为 1 ．
【分析】设出，i＝1，2，3，4，5，从而利用向量数量积公式结合三角函数恒等变换和有界性求出最值，得到答案．
【解答】解：可设，i＝1，2，3，4，5，其中φi∈[0，π]，θi∈[0，2π]，
则
＝sinφisinφj（cosθicosθj+sinθisinθj）+cosφicosφj
＝sinφisinφjcos（θi﹣θj）+cosφicosφj，
因为θi，θj∈[0，2π]，所以﹣1≤cos（θi﹣θj）≤1，
由于φi，φj∈[0，π]，sinφi≥0，sinφj≥0，
故＝cos（φi﹣φj），
因为φi，φj∈[0，π]，所以cos（φi﹣φj）≤1，
又恒成立，故M的最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查向量数量积的坐标运算，化归转化思想，属中档题．
34．（2023•黄浦区模拟）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若的取值范围是，则λ的取值范围是 ．
【分析】根据投影向量可得，根据余弦函数的值域即可得λ的取值范围．
【解答】解：根据题意可知，
∴向量在方向上的投影向量为，
∴，
∵的取值范围是，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查投影向量的概念，函数思想，属中档题．
35．（2023•上海模拟）设向量，，记，若圆C：x2+y2﹣4x+8y＝0上的任意三点A1，A2，A3，且A1A2⊥A2A3，则的最大值是 64 ．
【分析】先设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），再根据垂直得出A1A3为圆的直径，得x1+x3＝4，y1+y3＝﹣8，
求出|*+*|＝|x2（x1+x3）﹣y2（y1+y3）|＝|4x2+8y2|，转化为直线4x+8y+b＝0与圆（x﹣2）2+（y+4）2＝20相切时有最大值，求出最大值即可．
【解答】解：由圆的方程可得（x﹣2）2+（y+4）2＝20，
则圆心C（2，﹣4），半径r＝2，
设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），
由A1A2⊥A2A3得A1A3为圆的直径，
， 即x1+x3＝4，y1+y3＝﹣8，
则|*+*|＝|x2（x1+x3）﹣y2（y1+y3）|＝|4x2+8y2|，
∵A2为圆上一点，
∴当直线4x+8y+b＝0与圆（x﹣2）2+（y+4）2＝20相切时有最大值，
∵圆心到直线距离d＝，∴b＝64或b＝﹣16，
∵|﹣16|≤64，
∴当b＝64时，原式有最大值64．
故答案为64．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查平面向量和差数量积运算，考查转化思想，属于中档题
36．（2023•浦东新区校级三模）已知点A，B，C在圆x2+y2＝4上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（1，0），则|++|的取值范围是 [1，5] ．
【分析】由题意可知AC为圆直径，设B（x，y），利用向量运算可得|++|＝，由此即可求出答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，∴AC为圆直径，
设B（x，y），（﹣2≤x≤2），又P（1，0），
∴，，
∴++＝（x﹣3，y），又x2+y2＝4，
∴|++|＝＝，
∴当﹣2≤x≤2 时，可得1≤13﹣6x≤25，
∴，
∴|++|的取值范围是[1，5]．
故答案为：[1，5]．
【点评】本题考查平行向量的坐标运算，函数思想，属中档题．
37．（2023•浦东新区校级三模）已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是 ．
【分析】以点O为起点作向量，，，进而运用正弦定理，三角恒等变换可求的取值范围．
【解答】解：如图：以点O为起点作向量，，，
则，，，由，的夹角为，
﹣与的夹角为，可知：四点O，A，B，C共圆，
，，得，BC＝1，
在△ABC中：，即，所以，所以，
由同弧所对的圆周角相等，可得，设∠OCB＝θ，则，
在△OBC中：，所以OB＝2sinθ，
，＝||•||cos∠COB＝OB×OC×cos＝2sinθ×2sin（﹣θ）×
＝2sinθ＝＝，
∵，∴，∴﹣＜sin（2θ﹣）≤1，﹣＜sin（2θ﹣）≤，
∴0＜sin（2θ﹣）+≤+，
的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的数量积的计算，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属中档题．
38．（2023•黄浦区校级三模）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝2，若＝+，则给出下面四个结论：
①λ+μ的最小值为﹣；
②λ+μ的最大值为；
③的最小值为﹣6；
④的最大值为8．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】以C为坐标原点，分别以CA、CB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，可得C（0，0），A（3，0），A（0，4），设P（2cosθ，2sinθ），利用＝+，可得，，得到λ+μ，再由辅助角公式化积，即可求得λ+μ的最值，从而判断①②；利用数量积的坐标运算求出，然后利用三角函数求最值判断③④．
【解答】解：如图，
以C为坐标原点，分别以CA、CB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，
则C（0，0），A（3，0），B（0，4），设P（2cosθ，2sinθ），
，，，
由＝+，得（2cosθ，2sinθ）＝（3λ+4μ），即，，
∴λ+μ＝＝，tan，
∴λ+μ的最小值为﹣，最大值为，故①②错误；
，，
∴＝4cos2θ﹣6cosθ+4sin2θ﹣8sinθ＝4﹣（8sinθ+6cosθ）＝4﹣10sin（θ+Φ），tanΦ＝．
∴的最小值为﹣6，大值为14，故③正确，④错误．
∴正确结论的个数是1，
故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，训练了利用三角函数求最值，建系是关键，是中档题．
39．（2023•虹口区二模）已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数t，均有，则的最小值为 ．
【分析】作＝，＝，以为x轴建立平面直角坐标系，由题意写出点A、点E的坐标，设点B（x，y），＝，可得出点B在以A为圆心，以1为半径的圆上，由得出t2﹣2•t+4•c﹣4≥0恒成立，作＝，设点C（x′，y′），得出点C在直线上；由此求出|﹣|的最小值．
【解答】解：作＝，＝，以为x轴建立平面直角坐标系，如图所示；
因为，，，所以点A的坐标为（3，0），点E的坐标为（﹣，），
作＝，设点B（x，y），因为||＝|﹣|＝|﹣|＝1，所以＝1，
所以（x﹣3）3+y2＝1，所以点B在以（3，0）为圆心，以1为半径的圆上；
因为对任意的实数t，均有，所以≥，又||＝1，
所以t2﹣2•t+4•c﹣4≥0恒成立，所以﹣4（4•﹣4）≤0，
所以≤0，即•＝2，作＝，设点C（x′，y′），则﹣x′+y′+4＝0，即x′﹣y′+4＝0，所以点C在直线x′﹣y′+4＝0上；
因为＝|﹣|＝||，且点B在圆（x﹣3）2+y2＝1上，点C在直线x′﹣y′+4＝0上，
所以点B到点C的最小距离是圆心A到最新的距离减去圆的半径，
即||≥||﹣1，当且仅当点B为线段AC与圆的交点时“＝”成立；
因为点A（3，0）到直线x′﹣y′+4＝0的距离为d＝＝，
所以点A到点C的距离大于或等于，即||≥，
所以||≥||﹣1≥，当且仅当AC垂直于直线x′﹣y′+4＝0，且点B为线段AC与圆的交点时“＝”成立；
所以|﹣|的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了平面向量的数量积运算问题，是难题．
40．（2023•徐汇区校级三模）已知平面向量，，，满足，，且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，实数m的最大值为 ．
【分析】设＝（2，0），＝（x，y），求出点A的轨迹是圆，再由＝λ+μ计算，将其化简为关于λ的二次函数，由此得到||的最小值为m与x的关系，再利用导数求其最大值．
【解答】解：由题意设＝（2，0），＝（x，y），
因为|+|＝1，所以＝1，即（x+2）2+y2＝1，
所以点A的轨迹是以（﹣2，0）为圆心，1为半径的圆，且x∈[﹣3，﹣1]．
因为λ+2μ＝1，所以＝λ+μ＝（λx，λy）+（2μ，0）＝（λx+2μ，λy）＝（λx+1﹣λ，λy），
所以＝（λx+1﹣λ）2+（λy）2＝[（x﹣1）2+y2]λ2+2（x﹣1）λ+1＝（﹣6x﹣2）λ2+2（x﹣1）λ+1，
因为x∈[﹣3，﹣1]，所以﹣6x﹣2＞0，所以关于λ的二次函数开口向上，
当λ＝时，取得最小值，所以m2＝（﹣6x﹣2）•+2（x﹣1）•+1＝•，
令y＝f（x）＝（x∈[﹣3，﹣1]），则f′（x）＝，
所以函数f（x）在[﹣3，﹣]上单调递增，在（﹣，﹣1]上单调递减，
所以f（x）的最大为f（﹣）＝＝，即m2≤×＝，
所以m的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的运算问题，也考查了运算求解能力和转化思想，是难题．
五．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共1小题）
41．（2023•嘉定区模拟）已知向量＝（2，﹣1），＝（1，t），且|+|＝|﹣|，则t＝ 2 ．
【分析】根据向量垂直的等价条件以及平面向量的坐标运算，求值计算即可．
【解答】解：∵|+|＝|﹣|，则⊥，
∴•＝2×1﹣1×t＝0，∴t＝2，
故答案是：2．
【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直的坐标公式进行求解是解决本题的关键．
六．向量的投影（共2小题）
42．（2023•虹口区校级三模）已知，若向量在向量方向上的数量投影为，则实数m的值为 3 ．
【分析】利用向量投影的计算公式求解．
【解答】解：∵，
∴＝8﹣m，||＝＝，
∴向量在向量方向上的数量投影为＝＝，
解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了向量投影的概念，属于基础题．
43．（2023•徐汇区校级三模）已知向量，，则向量在向量方向上的数量投影为 ﹣1 ．
【分析】根据投影的定义，应用公式向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞＝，代值计算即可
【解答】解：向量＝（1，﹣2），＝（3，4），
则向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞＝＝＝﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．
七．投影向量（共3小题）
44．（2023•南岗区校级二模）已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于 ．
【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，求出，再结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：向量，
则，
，
则2，即，解得，
故在方向上的投影向量等于＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
45．（2023•松江区校级模拟）已知向量，，则在方向上的投影向量等于 ．
【分析】求出，根据投影向量的概念即可求得答案．
【解答】解：由题意向量，，
则，
则在方向上的投影向量为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，考查转化能力，属于中档题．
46．（2023•青浦区二模）已知向量和，则在方向上的投影是 ．
【分析】根据投影的计算公式可求出在方向上的投影为．
【解答】解：在方向上的投影是：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了投影的计算公式，向量夹角的余弦公式，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．
八．平面向量的基本定理（共5小题）
47．（2023•青浦区二模）设、是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【分析】根据已知条件，结合平面向量的基本定理，即可依次求解．
【解答】解：对于A，∵是两不共线的向量，
∴和不共线，
∴和能作为平面向量的一组基底．
对于B，∵是两不共线的向量，
∴+2和+2不共线，
∴+2和+2能作为平面向量的一组基底．
对于C，∵是两不共线的向量，
∴3﹣2和4﹣6共线，
∴3﹣2和4﹣6不能作为平面向量的一组基底，
对于D，∵是两不共线的向量，
∴和不共线，
∴和能作为平面向量的一组基底．
故选：C．
【点评】本题考查平行向量的性质和应用，是基础题．
48．（2023•徐汇区校级三模）如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且+＝x+y，则+的最小值为 ．
【分析】根据平面向量的线性运算可得x+y＝2，再利用乘1法结合基本不等式可解．
【解答】解：如图可知，x，y均为正数，设，，
由B，C，D共线设，则由向量的加法法则可得，
∴＝（1﹣a）．
∴m+n＝1，同理λ+μ＝1，
∵+＝x+y＝（m+λ）+（n+μ），
∴x+y＝m+n+λ+μ＝2，
∴+＝＝（5）＝，当且仅当y＝2x，即x＝，y＝时，取等号，
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，以及基本不等式相关知识，属于基础题．
49．（2023•黄浦区校级三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，若，则＝ ．
【分析】由题意在△ABC中得到，再由三角形的内角平分线定理得：＝，最后由分点恒等式将用表示出来，从而求出λ，μ即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴由三角形的内角平分线定理得：＝，
∴由分点恒等式得：，
∴，∴．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题．
50．（2023•普陀区校级模拟）在平行四边形ABCD中，，．若，则m+n＝ ．
【分析】由题中条件画出图形，再由平面向量的线性运算可将用表示出来即可求得m，n．
【解答】解：由题可作图，如下图，
＝＝＝＝＝＝，
∴，∴．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题．
51．（2023•青浦区校级模拟）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则λ+μ的最大值为 3 ．
【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值
【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC＝2，CD＝1，
∴BD＝＝
∴BC•CD＝BD•r，
∴r＝，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝，
设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），
∵，
∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），
∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，
∴λ+μ＝cosθ+sinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故答案为：3
【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
九．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题）
52．（2023•黄浦区校级三模）已知平面向量，，若，则m＝ 1 ．
【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出m的值．
【解答】解：∵平面向量，，，
∴2m﹣2×1＝0，∴m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
53．（2023•普陀区校级模拟）已知，若与互相平行，则实数k的值是 ．
【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得k值．
【解答】解：∵，与互相平行，
∴＝，∴k＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
一十．数量积表示两个向量的夹角（共4小题）
54．（2023•金山区二模）已知向量，向量，则与的夹角的大小为 ．
【分析】根据题意，求出||、||以及•的值，由数量积的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，向量，
则||＝1，||＝＝，•＝0+1+0＝1，
则cos＜，＞＝＝＝，
又由0≤＜，＞≤π，则与的夹角的大小为．
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量数量积的应用，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
55．（2023•闵行区校级二模）已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的最小值为 ．
【分析】由平面向量的数量积运算，得到x2﹣2xcosθ+≥0恒成立，进而得到﹣≤cosθ≤，求解即可．
【解答】解：设向量的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∵对任意实数x，恒成立，
∴x2+﹣2x•≥恒成立，
即x2﹣2xcosθ+≥0恒成立，
则Δ＝4cos2θ﹣1≤0，解得﹣≤cosθ≤，
故夹角的取值范围是[，]，
∴向量的夹角的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，不等式恒成立问题的求法，属于中档题．
56．（2023•浦东新区模拟）已知O是△ABC的外心，且，则cos∠BAC＝ ．
【分析】利用平面向量的数量积运算，向量夹角公式求出cos∠BOC＝﹣，再利用外心的性质得到∠BOC＝2∠BAC，求解即可．
【解答】解：设△ABC外接圆的半径为1，
∵，
∴﹣3＝4+5，
∴（﹣3）2＝（4+5）2，
∵O是△ABC的外心，
∴9＝16+25+40•，∴•＝﹣，
∴cos∠BOC＝﹣，
∵O是△ABC的外心，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∴cos∠BOC＝2cos2∠BAC﹣1＝﹣，
∴cos2∠BAC＝，∴cos∠BAC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量夹角公式，外心的性质，属于中档题．
57．（2023•杨浦区校级三模）对任意两个非零的平面向量和，定义⊗＝．若平面向量，满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，），且⊗和⊗都在集合{|n∈Z}中，则⊗＝ ．
【分析】根据题中的定义，化简整理得⊗＝＝且⊗＝＝，其中m、n都是整数．两式相乘可得cos2θ＝，由||≥||＞0且与的夹角θ∈（0，），讨论可得m＝1且n＝3，从而得出⊗的值．
【解答】解：由题意，可得
⊗＝＝＝＝，
同理可得：⊗＝＝，其中m、n都是整数
将化简的两式相乘，可得cos2θ＝．
∵||≥||＞0，∴n≥m 且 m、n∈z，
∵与的夹角θ∈（0，），可得cos2θ∈（，1）
即∈（，1），结合m、n均为整数，可得m＝1且n＝3，从而得⊗＝＝
故答案为：
【点评】本题给出新定义，求式子⊗的值．着重考查了向量数量积及其运算性质、三角函数的性质和整数解的讨论等知识，属于中档题．
一十一．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题）
58．（2023•闵行区校级三模）已知向量，若，则实数x＝ ．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：，，
则﹣2x+3＝0，解得x＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
一十二．正弦定理（共1小题）
59．（2023•上海模拟）在△ABC中，∠A＝150°，D1，D2，…，D2022，依次为边BC上的点，且BD1＝D1D2＝D2D3＝…＝D2021D2022＝D2022C，设∠BAD1＝α1、∠D1AD2＝α2、…、∠D2021AD2022＝α2022、∠D2022AC＝α2023，则的值为 ．
【分析】先画出图形，再利用正弦定理化简求解即可．
【解答】解：画出图形如下，
a1+α2+……+α2020＝150°，
在△BAD1中，＝＝，
在△D1AD2中，＝＝，
∵BD1＝D1D2，∴＝，
同理可得＝，＝，•••＝，
又＝，
∴sinα2023＝，
∵∠AD2022B+∠AD2022C＝180°，∴sin∠AD2022B＝sin∠AD2022C，
∴＝＝×＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
四、易错分析
易错点一、忽略向量共线致误
1、已知向量的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________．
【错解】因为向量的夹角为钝角，所以，
即，解得，
【错因】概念模糊，错误地认为为钝角，实际上，为钝角不共线。
【正解】因为向量的夹角为钝角，所以且不共线，
即，解得，
所以实数x的取值范围为。
2、已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________．
【错解】∵cos θ＝＝.因θ为锐角,有cos θ>0,
∴>0⇒2λ＋1>0, 得λ>－,λ的取值范围是.
【错因】当向量a,b同向时,θ＝0,cos θ＝1满足cos θ>0,但不是锐角．
【正解】∵θ为锐角,∴0
∴λ的取值范围是.
易错点二、对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误
3、给出下列命题：(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示；(3)若a,b共线,则且存在且唯一；(4) λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命题的个数为
A.1 B. 2 C.3 D.4
【错解】选B或C或D
【错因】(1)对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：当a＝0时,a与任一向量b都是共线的；当a＝0且b≠0时,b＝λa是不成立的,但a与b共线．因此,为了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我们要求a≠0.换句话说,如果不加条件“a≠0”,“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件．
(2)面向量的一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组．用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2(λ1,λ2∈R,e1,e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式,它是向量线性运算知识的延伸．如果e1,e2是同一平面内的一组基底,且λ1e1＋λ2e2＝0(λ1,λ2∈R),那么λ1＝λ2＝0.
【正解】平面内的两个不共线的向量可以作为一组基底,(1)是假命题；(2)是真命题；对于(3),
当a,b均为零向量时可以取任意实数,当a为零向量,b为非零向量时不存在,
(3)是假命题；对于(4),只有a,b为不共线向量时才成立.
易错点三、对两两夹角相等理解不准确
4、若单位向量两两夹角相等,则的模为 .
【错解】因为单位向量两两夹角相等,则夹角为,所以
+=+
=0, 所以的模为0。
【错因】忽略了夹角为零度的情况
【正解】当的夹角为时的模为3,当夹角为时,
+=+
=0,的模为0.
易错点四、确定向量夹角忽略向量的方向致错
5、已知等边△ABC的边长为1,则·＋·＋·＝________.
【错解】∵△ABC为等边三角形,∴||＝||＝||＝1,
向量、、间的夹角均为60°.∴·＝·＝·＝.
∴·＋·＋·＝.
【错因】数量积的定义a·b＝|a|·|b|·cos θ,这里θ是a与b的夹角,本题中与夹角不是∠C.两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,如图与的夹角应是∠ACD.
【正解】与的夹角应是∠ACB的补角∠ACD,即180°－∠ACB＝120°.又||＝||＝||＝1,所以·＝||||cos 120°＝－.同理得·＝·＝－.
故·＋·＋·＝－.
6、在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足,则等于 （ ）
A． B. C. D.
【错解】由知, P为△ABC的重心,根据向量的加法,,
则 =
【错因】夹角是,不是0.
【正解】由知, P为△ABC的重心,根据向量的加法,,
则 =故选A.
易错点五、向量基本概念模糊致错
7、下列五个命题：
① 若a∥b,b∥c,则a∥c；
② 若A,B,C,D是同一平面内的四点且=，则ABCD为平行四边形；
③ 若,则；
④ ； 其中正确的命题有______个。
【错解】1或2或3或4
【错因】①忽略零向量与任意向量共线；②忽略四点共线的情况；③忽略；④对数量积的运算律理解错误。
【正解】①若b为零向量,则a∥c不一定成立,故若a∥b,b∥c,则a∥c为假命题；②若＝,则A,B,C,D可能共线,故为假命题；③若,则或 ，故为假命题；④因表示与c共线的向量,表示与a共线的向量,可能不共线,故不一定相等,该命题是假命题，正确的命题有0个。
易错点六、 忽视平面向量基本定理的成立条件
8、下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A、=（0，0），=（1，-2） B、=（-1，2），=（5，7）
C、=（3，5），=（6，10） D、=（2，-3），=（4，-6）
【错解】选A或C或D
【错因】概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底。
【正解】选B，如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使=λ1+λ2。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。
五.刷压轴
一、单选题
1．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，且内切圆的圆心在直线上.则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由可得.由，可得.
又由内切圆的圆心在直线上，可得，据此可得答案.
【详解】如图1，取中点为Q，连接EQ，PQ.则，
.
因，则，因直线外一点到直线连线中垂线段最短，则为垂线.因Q为中点，E为中点，则
，得.又DO为直角三角形斜边中线，则.
如图2，设内切圆的圆心为I，内切圆与交点为M，与交点为T，与交点为N.则，，又，则.
又由切线性质，可知，则
.
则离心率为.
故选：D
【点睛】结论点睛：本题涉及以下结论：
（1）极化恒等式：；
（2）双曲线焦点三角形的内切圆圆心在直线上.
二、填空题
2．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知平面向量，，，满足，，且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，实数的最大值为 .
【答案】
【分析】根据向量的几何表示和共线条件以及几何关系即可求解.
【详解】令，
所以
如图，
所以点A的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，取OB中点E，
则，
又因为，所以点C在直线上，故时，的值最小，
当情况下，直线与相切时最大，取最大，
此时，，
故答案为：.
3．（2023·上海宝山·统考二模）已知非零平面向量不共线，且满足，记，当的夹角取得最大值时，的值为 ．
【答案】4
【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量，进而通过运算求得的值.
【详解】由非零平面向量不共线，且满足，建立如图所示的平面直角坐标系：
则，则，由，则，
则直线的斜率分别为，
由两直线的夹角公式可得：
，
当且仅当，即时取等号，此时，则，
所以，故填：4.
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.
4．（2023·上海·统考模拟预测）如图，已知，是直角两边上的动点，，，，，，则的最大值为 .
【答案】
【分析】以点为原点，，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，设，利用三角函数关系表示，，的坐标，由题干条件分析可知为的中点，为的中点，即可得到，的坐标，进而得到与，整理可得为关于的函数，利用正弦型函数的性质即可求得最大值.
【详解】如图，以点为原点，，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，
设，则，，
在中，，，
所以设，，，即.
由题意可知为的中点，为的中点，
所以，，
所以，，
所以
（其中，为锐角），
所以的最大值为，此时，即，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：题目中给出垂直关系，可利用坐标法处理此题，设，点坐标即可用关于的三角函数关系表示，则将问题整理为关于的正弦型函数求最大值问题.
5．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）已知平面向量，其中为单位向量，且满足，若与夹角为，向量满足，则最小值是 .
【答案】/
【分析】根据题意，设， ， ，，利用题设可确定向量对应的轨迹以及向量对应的轨迹，将的最小值转化为两轨迹上的点之间的距离的最小值，数形结合，求解答案.
【详解】根据题意，设，，，，
因为与夹角为，
所以，整理得，
即向量对应的轨迹为射线或，
因为向量满足 ，
所以，即向量对应的轨迹为抛物线：，
则即为上的点与射线或上的点之间的距离，
如图，
当最小值时，对应的点在上，
设直线，由图可知，当直线与相切时，切点设为A，
此时最小，联立方程 ，得，
由得，则，解得，
故，则A到射线的距离为,
所以的最小值为，
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解答本题求解的最小值，关键在于确定向量对应的点所在的轨迹方程，将的最小值转化为曲线上的点之间距离的最小值问题，数形结合，可求解答案.
6．（2023·上海杨浦·统考二模）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是
【答案】
【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.
【详解】
解：如图，，，则，，
已知，即，所以，
取BD的中点O，则有，
而，根据三角形的三边关系可知
则，所以，当A，O，C三点共线时取等号，
记向量的夹角为，则，
同理，
由，可得，
则，
当，即时取等号，
所以，即的最小值是，
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式，进而利用数量积求模长.
7．（2023·上海闵行·统考二模）平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，值为 ．
【答案】
【分析】设，结合题意可得，为使最大，则两向量的方向相同，即两向量的方向相同，也即，设直线与直线交于点，再分如图所示两种情况讨论即可得解.
【详解】设，
由，得，即，
由题意可得，
即，即，
为使最大，则两向量的方向相同，即两向量的方向相同，
也即，所以，
设直线与直线交于点，
，
则，
因为，所以，
如图所示，
，
所以，
即，
如图所示，
，
所以，
即，
综上所述，.
故答案为：.
.
【点睛】关键点睛：设，结合题意可得，根据最大，说明两向量的方向相同，即，是解决本题的关键所在.
8．（2023·上海普陀·统考二模）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示可得，在坐标系中，，将按向量平移至，根据轨迹为直线，将问题化为最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果.
【详解】由，又向量与互相平行，
所以，故，
令，，则，
所以，将按向量平移至，
所以是直线上的动点，如下图示，
所以，故，
由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，
故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：找到的，并将其平移至使，即有，问题化为求点到直线距离.
9．（2023·上海松江·统考二模）已知点是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】设，，根据向量线性运算可得，设，则，由向量垂直的坐标表示可构造方程，结合二次函数最值求法可求得，由可求得最小值.
【详解】设在直线上，又是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，，；
设，，则，，
，
不妨设在的左侧，，则，
与垂直，，
即有解，，
，即的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量模长最值的求解问题，解题关键是能够将问题转化为求解与变量有关的函数最值的求解问题，从而根据向量的线性运算和向量垂直的坐标表示求得的范围，结合函数最值求法可求得结果.
10．（2023·上海闵行·统考一模）已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据，可得，利用平面直角坐标系取则，设，结合已知条件可得，，利用平面向量的坐标运算可得，故可得的取值范围.
【详解】解：因为，所以，
则，所以，于是有，
因为，所以
则如图所示，在平面直角坐标系中，
则，设，
因为，所以，则，即，
因为，所以
则，即，解得，
则
因为
所以在上单调递减，在上单调递增
所以，当时，，当时，，所以
故的取值范围是.
故答案为：.
11．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）已知平面向量，，满足，，，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，设出，，的坐标，结合向量模长的坐标公式，分类讨论，即可得到的范围，从而得到结果.
【详解】设，，，，
由已知可得：，
当且仅当时，取等号，
当时，有，得，
当时，有，得，
所以当时，.
所以的最大值为.
故答案为：.
12．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知为单位向量，向量满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设，确定点A，B的轨迹，从而设，求出的表达式结合三角恒等变换化简，再结合二次函数性质即可求得答案.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，令,
设则由可得，
即点A轨迹为以为圆心，半径为2的圆，
点B轨迹为以为圆心，半径为3的圆，
则设，
则
，（为辅助角）
，
令，则，
则，
又，
而，
故，故的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题是关于向量和三角函数的综合性题目，综合性较强，解答时要注意建立坐标系，利用向量的坐标运算结合三角函数的恒等变换进行解答，难点在于化简的表达式时，计算较为复杂，要注意计算的准确性.
三、解答题
13．（2023·上海闵行·统考一模）如图，点A、B、C分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，点P是上在第一象限内的动点，直线AP与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M．
(1)求直线BC的方程；
(2)求证：；
(3)已知直线的方程为，线段QM的中点为T，是否存在垂直于y轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)存在，.
【分析】(1)由题意可得，由截距式写出直线的方程，再化成一般式即可；
(2) 设,可得直线的方程，从而可解得点的坐标，再根据向量数量积的坐标运算求出的值即可得证；
(3)由题意可得T的坐标，设的方程为，设点T到和的距离分别为，，利用点到线的距离公式表示出，，进而可得的代数式，再判断当为定值时是否有解，即可判断.
【详解】（1）解：由题意可得，
所以直线的方程的截距式为，
即为；
（2）证明：设,
因为，
所以直线的方程为：；
联立，得，
即；
直线的方程为：，
即，
当时，，
即，
所以==，
又因为，
所以，
所以===.
得证；
（3）解：不存在，理由如下：
由题(2)可知，不妨令，则，
则，
所以点T到的距离，
设的方程为：，
则点T到的距离，
所以当时，，
所以存在满足条件的.
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