专题09 例析与函数有关的新定义问题（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

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1、函数新定义问题的一般形式是由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题；
2、解决函数新定义问题的关键是紧扣新定义，学会语言的翻译和新旧知识的转化，可以培养学生的数学抽象的核心素养；
题型1、给出函数的新定义
例1、（1）设函数y＝f(x)在R上有定义，对于任一给定的正数p，
定义函数fp(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f(x)，f(x)≤p，,p，f(x)>p，))则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”；若给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则下列结论错误的是（ ）
A．fp(f(0))＝f(fp(0)) B．fp(f(1))＝f(fp(1))
C．fp(fp(2))＝f(f(2)) D．fp(fp(3))＝f(f(3))
【提示】理解与转化新定义：“p界函数”；
【答案】B
【解析】因为f(x)＝x2－2x－1，p＝2，所以f2(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－1，－1≤x≤3，,2，x<－1或x>3，))
对于A，fp(f(0))＝f2(－1)＝2，f(fp(0))＝f(－1)＝1＋2－1＝2，所以A正确；
对于B，fp(f(1))＝f2(－2)＝2，f(fp(1))＝f(－2)＝4＋4－1＝7，所以B错误；
对于C，fp(fp(2))＝f2(－1)＝2，f(f(2))＝f(－1)＝2，所以C正确；
对于D，fp(fp(3))＝f2(2)＝－1，f(f(3))＝f(2)＝－1，所以D正确．
（2）若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]为“同值函数”，给出下列四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的命题的序号是
①y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
②y＝x＋ eq \r(x＋1)
③y＝ eq \f(1,x)－lg3x
④y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x＋1)))
【答案】①④
【解析】根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调；
对于①，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故①可以构造“同值函数”；
对于②，y＝x＋ eq \r(x＋1)，为定义在[－1，＋∞)上的增函数，故②不可以构造“同值函数”；
对于③，y＝ eq \f(1,x)－lg3x，为定义在(0，＋∞)上的减函数，故③不可以构造“同值函数”；
对于④，y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x＋1)))，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故④可以构造“同值函数”；
题型2、给出函数的新规则
例2、（1）已知函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在区间[a，b]，使f(x)在[a，b]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(k,b)，\f(k,a)))，那么就称函数f(x)为“D上的k类成功函数”．已知函数f(x)＝3－x2是“(0，＋∞)上的k类成功函数”，则实数k的取值范围为（ ）
A．(0，2] B．[0，2]
C．(0，2) D．(－2，2)
【提示】理解函数的新规则与等价转化；
【答案】C
【解析】由题意知函数f(x)＝3－x2是“(0，＋∞)上的k类成功函数”，则f(x)在[a，b]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(k,b)，\f(k,a))).
由f(x)在(0，＋∞)上单调递减，得k>0，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f(a)＝\f(k,a)，,f(b)＝\f(k,b)，))
即方程f(x)＝eq \f(k,x)在(0，＋∞)上必有两个不相等的实数根，即3x－x3＝k在(0，＋∞)上必有两个不相等的实数根．
（2）已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，对任意x∈R，有|f(x)|≤m|x|，则称f(x)为F函数．下列函数为F函数的序号是
①f(x)＝x2
②f(x)＝sin x＋cs x
③f(x)＝eq \f(x,x2＋x＋1)
④f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|
【答案】③④
【解析】对于①，|f(x)|＝|x||x|，所以不存在实数m使得对任意x∈R有|f(x)|≤m|x|，故其不是F函数；
对于②，f(x)＝sin x＋cs x，当x＝0时，f(0)＝1≥m×0，
故|f(x)|≤m|x|不成立，故其不是F函数；
对于③，f(x)＝eq \f(x,x2＋x＋1)，|f(x)|＝eq \f(1,x2＋x＋1)|x|≤eq \f(4,3)|x|，
故对任意的m≥eq \f(4,3)，都有|f(x)|≤m|x|，故其是F函数；
对于④，f(x)是定义在R上的奇函数，
且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|，
令x1＝x，x2＝0，由奇函数的性质知，f(0)＝0，故有|f(x)|≤2|x|，显然是F函数
题型3、给出函数的新性质
例3、（1）定义新运算“ eq \a\vs4\al\c1(■)”与性质：当m≥n时，m eq \a\vs4\al\c1(■)n＝m；当m【答案】 [－2，0]∪(4，60]
【解析】由题意知，f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－4，x∈[1，2]，,x3－4，x∈（2，4]，))
当x∈[1，2]时，f(x)∈[－2，0]；
当x∈(2，4]时，f(x)∈(4，60]，
故当x∈[1，4]时，f(x)∈[－2，0]∪(4，60]；
（2）具有性质：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数f(x)我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：
①f(x)＝x－ eq \f(1,x)；②f(x)＝x＋ eq \f(1,x)；③f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，01.))其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号).
【答案】①③
【解析】对于①，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝ eq \f(1,x)－x＝－f(x)，符合题意；
对于②，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝ eq \f(1,x)＋x＝f(x)，不符合题意；
对于③，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，0<\f(1,x)<1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)>1，))即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x>1，,0，x＝1，,－x，0综上，满足“倒负”变换的函数是①③.
题型4、给出函数的图像特征
例4、（1）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n为正整数)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up15(x)；④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的序号是( )
A．①②③④ B．①③④
C．①④ D．④
【答案】C
【解析】对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；
对于函数g(x)＝x3，它的图象经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；
对于函数h(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up15(x)，它的图象经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，
排除B.故选C；
（2）对于函数，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称为“倒戈函数”，设函数是定义在上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是_______.
【答案】
【解析】因为函数是定义在上的“倒戈函数”，
所以存在，使，即，
即，令，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
解得，当或时，，解得，
所以；
题型5、与高斯函数相关
例5、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝[x＋1]－x，则下列说法中正确的是( )
A．f(x)是周期函数
B．f(x)的值域是[0,1]
C．f(x)在(0,1)上单调递增
D．对于任意的x∈R，[f(x)]＝0
【答案】A
【解析】由题意知[x＋1]＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，－2≤x<－1，,0，－1≤x<0，,1，0≤x<1，,2，1≤x<2，))
所以f(x)＝[x＋1]－x
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1－x，－2≤x<－1，,－x，－1≤x<0，,1－x，0≤x<1，,2－x，1≤x<2，))
可画出f(x)的图象，如图所示，
可得函数f(x)是周期为1的函数，且值域为(0,1]，在(0,1)上单调递减，故选项A正确，B，C错误；
对于选项D，当x＝－1时，f(－1)＝1，
则[f(－1)]＝1，故选项D错误．
题型6、与狄利克雷函数相关
例6、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是解析数论的创始人之一，以其名字命名的函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)，下列说法正确的是( )
A．f(x)的定义域为{0,1}
B．f(x)的值域为[0,1]
C．存在x∈R，f(f(x))＝0
D．任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立
【答案】D
【解析】因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))
所以函数的定义域为R，值域为{0,1}，
故A，B错误；
因为f(x)＝0或f(x)＝1，且0与1均为有理数，
所以f(f(x))＝f(0)＝1或f(f(x))＝f(1)＝1，故C错误；
对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，
则x＋T也为有理数，则f(x＋T)＝f(x)＝1；
若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f(x＋T)＝f(x)＝0，
综上可得，任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确．
题型7、与黎曼函数相关
例7、黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式如下：R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,p)，x＝\f(q,p)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p，q都是正整数，\f(q,p)是既约真分数))，,0，x＝0，1或[0，1]上的无理数.))
若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)＝R(x)，则f(2 022)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2 022,5)))＝________.
【答案】－eq \f(1,5)
【解析】∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
∴f(2＋x)＝－f(2－x)．
又f(x)是奇函数，
∴f(x＋2)＝f(x－2)，
∴f(4＋x)＝f(x)，
∴f(x)的一个周期为4.
∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
∴令x＝0，可得f(2)＝0，
∴f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0.
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2 022,5)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 022,5)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4×101＋\f(2,5)))
＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))＝－Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))＝－eq \f(1,5)，
∴f(2 022)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2 022,5)))＝－eq \f(1,5).
题型8、与欧拉函数相关
例8、若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质．对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，则下列说法正确的序号是
①φ(5)＝φ(10)
②φ(2n－1)＝1
③φ(32)＝16
④φ(2n＋2)>φ(2n)，n是正整数
【答案】①③；
【解析】因为φ(5)＝φ(10)＝4，故①正确；
因为当n＝4时，φ(15)≠1，故②不正确；
因为小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31，共有16个，
所以φ(32)＝16，故③正确；
因为当n＝2时，φ(4)＝φ(6)＝2，故④不正确．
【说明】以某些特殊函数为背景考查函数的基本概念及应用时，关键是理解函数的实质，与熟悉的函数类比，通过赋特殊值或数形结合解决．
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1、设函数的定义域为，对于任意的，存在，使得成立，则称为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中不是“美丽函数”的是（ ）
A．B．C．D．
【提示】根据题意，分析可得“美丽函数”的值域关于原点对称，据此分析选项，即可求解.
【答案】A
【解析】根据题意，若，，使得成立，
可得函数的值域关于原点对称，
对于A中，函数的值域为，不关于原点对称，不符合题意；
对于B中，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；
对于C中，函数的值域为关于原点对称，符合题意；
对于D中，函数的值域为关于原点对称，符合题意.
故选：A；
2、我们称可同时存在于一个指数函数与一个对数函数的图象上的点为“和谐点”，则四个点，，，中“和谐点”的个数为（ ）
A．B．C．D．
【提示】设对数函数，指数函数，根据题中所给定义，逐一检验四个点是否符合，即可得答案；
【答案】A
【解析】设对数函数，指数函数,且，
对于点：，所以点M不在对数函数图象上，故点M不是“和谐点”；
对于点：，解得a=2，即点N在对数函数上，
又，解得b=1，不符合题意，即点N不在指数函数图象上，故点N不是“和谐点”；
对于点：，解得，即点P在对数函数图象上，
又，解得，即点P在指数函数图象上，故点P为“和谐点”；
对于点：，无解，故点Q不在指数函数图象上，故点Q不是“和谐点”；
所以四个点中，“和谐点”个数为1
故选：A
3、已知，，对于函数，若存在正实数m，n，使得，，则称函数为函数，下列说法正确的是（ ）
①为函数；
②为函数；
③当时，不可能为函数；
④当时，若为函数，则.
A．①③B．②③C．②④D．①④
【提示】根据函数的新定义，结合指数函数、对数函数和幂函数的性质，逐项判定，即可求解.
【答案】B
【解析】对于①中，由，可知，
又由，
这与矛盾，所以①不正确；
对于②中，由，可得，
故，故为函数，所以②正确；
对于③中，由，可得，又由，
其中为定值且为正数，而为任意正实数，故没有上界，
故不存在正实数m，n满足题意，所以③正确；
对于④中，由，可得，即，
又由，所以，所以，
不等式左边显然恒成立，故只需右边成立.因为为任意正实数，
所以，即，所以④不正确.
故选：B.
4、对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．已知在R上为“局部奇函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【提示】根据“局部奇函数”的定义由已知可得在R上有解，由此可求的取值范围.
【答案】C
【解析】因为在R上为“局部奇函数”，
所以存在实数，使得，
所以方程在R上有解，
所以方程在R上有解，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以的取值范围是，
故选：C.
5、高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有 个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提示】将函数的零点问题转化为的图象与函数的图象有且仅有个交点的问题，根据高斯函数的定义，求出的解析式，作出其图象，数形结合即可得参数的取值范围．
【答案】D
【解析】函数有且仅有3个零点，
即的图象与函数的图象有且仅有个交点．
而，
画出函数的图象，
易知当时，与的图象最多有1个交点，故，
作出函数的大致图象，结合题意可得，解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：D．
6、在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：
①a★b＝b★a；②a★0＝a；③(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.
若函数f(x)＝x★eq \f(1,x)，则下列说法错误的是( )
A．函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3
B．函数f(x)为奇函数
C．函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)
D．函数f(x)不是周期函数
【答案】B
【解析】对于新运算“★”的性质③，令c＝0，
则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.
∴f(x)＝x★eq \f(1,x)＝1＋x＋eq \f(1,x)，
当x>0时，f(x)＝1＋x＋eq \f(1,x)≥1＋2eq \r(x·\f(1,x))＝3，
当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故A正确；
函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，
∴f(－1)≠－f(1)，且f(－1)≠f(1)，
∴函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；
根据函数的单调性，知函数f(x)＝1＋x＋eq \f(1,x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故C正确；
由C知，函数f(x)＝1＋x＋eq \f(1,x)不是周期函数，故D正确．
7、已知符号函数sgn x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则( )
A．sgn[f(x)]>0
B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 021,2)))＝1
C．sgn[f(2k＋1)]＝1(k∈Z)
D．sgn[f(k)]＝|sgn k|(k∈Z)
【答案】C
【解析】对于A选项，
sgn[f(0)]＝sgn 0＝0，A错；
对于B选项，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 021,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1 010＋\f(1,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,2)，B错；
对于C选项，
对任意的k∈Z，f(2k＋1)＝f(1)＝1，
则sgn[f(2k＋1)]＝sgn 1＝1，C对；
对于D选项，取k＝2，
则sgn[f(2)]＝sgn[f(0)]＝sgn 0＝0，
而|sgn 2|＝1，D错．
8、若函数和在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【提示】首先求函数，根据两个函数同为增函数或同为减函数，确定绝对值里面的正负，根据恒成立求的取值范围；
【答案】B；
【解析】因为，则，
由题意得与在区间上同增或同减.
若两函数同增，则在区间上恒成立，即，所以.
若两函数同减，则在区间上恒成立，即，无解，
综上，实数的取值范围是，对照选项中的a值，所以只有B选项符合题意.
故选：B.
9、若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数与函数即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D；
【解析】对于A,函数在定义域上单调递减，
所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故A错误；
对于B，函数在定义域上单调递增，
所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故B错误；
对于C，函数在定义域上单调递增，
所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故C错误；
对于D，当定义域分别为时，值域都为，故D正确.
故选：D；
10、已知，符号表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】函数有且仅有2个零点，则有且仅有2个解，
设，根据符号作出的草图如下：
则或，故选：D.
二、填充题（共4小题 每小题4分，满分16分）
11、对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.已知在上为“局部奇函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提示】由得出（用表示），方程有解，转化为求新函数的取值范围即得参数范围；
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，则.因为（当且仅当时，等号成立），所以，即.
故选：B．
12、若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的图象上②M、N关于原点对称，则称点对是函数y的一个“共生点对”（点对与看作同一个”共生点对”），已知函数，则函数y的“共生点对”有 个
【答案】2；
【解析】根据“共生点对”的概念知，
作出函数的图像关于原点对称的图象与函数的图像如下图所示：

由图可知它们的交点有两个，所以函数y的“共生点对”有2对；
13、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数": 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，
例如: ，已知，则函数 的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，则，所以函数的值域为，
故的值域为-1或0.故选：B
14、对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提示】函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以有解，但方程组无解，然后利用判别式即得.
【答案】D
【解析】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，
所以有解，但方程组无解，
由，得有解，
所以，解得
由得
两式相减，得，
因为，所以，
消去，得，
因为方程无解或仅有两个相等的实根，
所以，解得，
故a的取值范围是
故选：D.
三、解答题（共4小题，满分44分）
15.（本题8分）
对于实数a和b，定义运算“*”：，设；
（1）求的解析式；
（2）关于x的方程恰有三个互不相等的实数根，求m的取值范围.
【解析】（1）由可得，由可得，
所以根据题意得，即．
（2）作出函数的图象如图，
当时，开口向下，对称轴为，
所以当时，函数的最大值为，
因为方程恰有三个互不相等的实数根，所以函数的图象和直线有三个不同的交点，可得的取值范围是．
16.（本题10分）
高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕，仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，{x}表示实数x的非负纯小数，即{x}＝x－[x]，如{1.7}＝0.7，{－1.2}＝0.8.若函数y＝{x}－1＋lgax(a>0，且a≠1)有且仅有3个不同的零点，求实数a的取值范围；
【答案】 [3，4)
【解析】函数y＝{x}－1＋lgax有且仅有3个零点，
即y＝lgax的图像与函数y＝1－{x}的图像有且仅有3个交点．
而y＝1－{x}＝1＋[x]－x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x，0画出函数y＝1－{x}的图像，如图所示，
易知当01，作出函数y＝lgax的大致图像，
结合题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lga3≤1，,lga4>1，))解得3≤a<4，
所以实数a的取值范围是[3，4)；
17.（本题满分12分）
对于实数a和b，定义运算“*”：，设.
（1）求的解析式；
（2）关于x的方程恰有三个互不相等的实数根，求m的取值范围.
【解析】（1）由可得，由可得，
所以根据题意得，即．
（2）作出函数的图像如图，
当时，开口向下，对称轴为，
所以当时，函数的最大值为，
因为方程恰有三个互不相等的实数根，
所以，函数的图像和直线有三个不同的交点，可得的取值范围是；
18.（本题满分14分、第1小题满分4分、第2小题满分4分，第3小题满分6分）
设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数；已知幂函数在内是单调增函数；
（1）求函数的解析式.
（2）函数是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为幂函数在内是单调增函数，
所以，解得，所以函数的解析式为．
（2）由（1）知，，函数的定义域为，
又，所以函数的值域为，因为在上单调递增，
若存在，使得在上的值域为，
则函数在上单调递增，
有，解得或，或，显然，所以，，
即存在，使得在上的值域为，故函数为“佳”函数.
“佳”函数的区间为；