2022-2023学年江苏省连云港高级中学高一下学期期中数学试题

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一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．）
1. 若是第四象限角，则复数在复平面内所对应的点在第几象限（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知向量，.若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. 1D.
4. 在棱柱中（ ）
A. 只有两个面平行B. 所有的棱都平行
C. 所有的面都是平行四边形D. 两底面平行，且各侧棱也互相平行
5. 已知方程的根分别为，则下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数相邻对称轴和对称中心之间的距离为，将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）
9. 已知复数实部与虚部互为相反数，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
10. 下列选项中哪些是正确的（ ）
A. （为虚数单位）
B. 用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台
C. 在△ABC中，若，则△ABC是钝角三角形
D. 当时，向量，的夹角为钝角
11. 函数在一个周期内的图象如图示，则下列结论中正确的是（ ）

A.
B.
C. 对，都有
D. 对，都有
12. 设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则O为的重心；
B. 若，则O为的垂心；
C. 若，则为等边三角形；
D. 若，则△BOC与△ABC的面积之比为．
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13. __________．
14. 在中，，则______.
15. 在中，为边上靠近点一个三等分点，为线段上的动点，且，则的最小值为______.
16. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为______.
四、解答题（本题共6个小题，共70分．）
17. 已知复数，且为纯虚数．
（1）求复数；
（2）若，求复数的模.
18. 在①，，；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在中，内角的对边分别是，且满足________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求角；
（2）若，求面积最大值．
19. 已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．

（1）求的值；
（2）若，且，求值．
20. 如图所示，为脚两侧共线的三点，现计划沿直线开通穿山隧道，在山顶处测得三点的俯角分别为，在地面测得千米，千米，千米.求隧道的长度.
21. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.

（1）点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？
（2）点B在什么位置时，线段的长度最大？
22. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）设函数，试求的伴随向量；
（2）记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
（3）当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围.