2022-2023学年河北师范大学附属实验中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年河北师范大学附属实验中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．在的二项展开式中，项的系数为（    ）

A．6 B．4 C．2 D．1

【答案】A

【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于即可得解.

【详解】展开式的通项为，

令，则，

所以项的系数为.

故选：A.

2．已知回归直线的斜率的估计值是1.2，样本点的中心为，则回归直线方程是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】运用回归直线必过样本中心及直线点斜式方程可得结果.

【详解】因为回归直线必过样本中心，所以回归直线必过，

所以由直线的点斜式方程可得：，即：.

故选：C.

3．在5道题中有3道数学题和2道物理题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到数学题条件下，第二次抽到数学题的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】法一：分析出第一次抽到数学题条件下，剩余试题的特征，从而求出概率；法二：设出事件，利用条件概率公式进行求解.

【详解】法一：因为第一次抽到数学题条件下，还剩下4道试题，有2道数学题和2道物理题，因此第二次抽到数学题的概率是；

法二：设第二次抽到数学题为事件，第一次抽到数学题为事件，

则，，

则.

故选：B

4．对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（    ）

A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好

D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系

【答案】C

【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A选项；利用残差平方和与拟合效果的关系可判断B选项；利用相关指数与拟合效果的关系可判断C选项；利用相关系数与线性相关关系可判断D选项.

【详解】对于A选项，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，A对；

对于B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B对；

对于C选项，用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越差，C错；

对于D选项，若变量和之间的相关系数，，则变量与之间具有线性相关关系，D对.

故选：C.

5．某校课外学习小组研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，由实验数据得到如图所示的散点图.由此散点图判断，最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据散点的分布可得出合适的回归方程类型.

【详解】由散点图可见，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加缓慢.

A中，是直线型，均匀增长，不符合要求；

B中，是二次函数型，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求；

C中，是指数型，爆炸式增长，增长快，不符合要求；

D中，是对数型，增长缓慢，符合要求.

故对数型最适宜该回归模型.

故选：D.

6．2018年12月28日，广州市地铁14号线开通，在一定程度上缓解从化到广州市区交通的拥堵，为了了解市民对地铁14号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析了其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中（35岁以上含35岁）的信息，下列结论不一定正确的是（   ）

A．样本中男性比女性更关注地铁14号线开通

B．样本中多数女性是35岁以上

C．样本中35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多

D．样本中35岁以上的人对地铁14号线的开通的关注度更高

【答案】C

【分析】作出列联表，通过分析即可得出结论.

【详解】由题意，

做出等高条形图对应的列联表如下：

根据第1个等高条形图可知，35岁以上男性比35岁以上女性多，即；35岁以下男性比35岁以下女性多，即.根据第2个等高条形图可知，男性中35多以上的比35岁以下的多，即; 女性中35岁以上的比35岁以下的多，即.

对于A，男性人数为，女性人数为，因为，所以，所以A正确；

对于B，35岁以上女性人数为，35岁以下女性人数为，因为，所以B正确；

对于C，35岁以下男性人数为，35岁以上女性人数为，无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确；

对于D，35岁以上的人数为，35岁以下的人数为，因为，所以. 所以D正确.

故选：C.

7．已知随机变量 分别满足，，且期望，又，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正态分布的对称性可求得，根据二项分布以及正态分布的均值，结合题意列方程，可求得答案.

【详解】由题意知，，，

故，

由，知，故，

故选：C

8．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“雪容融”甲和“雪容融”乙相邻，且均不与“雪容融”丙相邻的不同的排列方法总数为（    ）

A．480 B．960 C．1080 D．1440

【答案】B

【分析】先用捆绑法再用插空法计算.

【详解】现将4个不同造型的“冰墩墩”排好，有 种排法，排好后包括左右两边有5个空，

再将“雪容融”甲和“雪容融”乙捆绑，有 种方法，将捆绑后的“雪容融”与“雪容融”丙分别插入前面的5个空中，有 种方法；

所以总的排列方法数为： ；

故选：B.

二、多选题

9．已知随机变量满足，，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据平均数和方差的知识求得正确答案.

【详解】依题意，，，

所以，

.

故选：BC

10．已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ）

A．是递增数列 B．数列是递增数列

C．数列中的最小项为 D．、、成等差数列

【答案】AB

【分析】根据可知数列为等差数列，根据通项公式和求和公式结合选项逐个判断.

【详解】因为，所以数列为等差数列，公差为3，

因为，所以，；

对于A，因为，所以是递增数列，A正确；

对于B，因为，所以数列是递增数列，B正确；

对于C，因为，所以数列中的最小项为，C不正确；

对于D，当时，，显然不是等差数列，D不正确.

故选：AB.

11．在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布，则(人数保留整数) （    ）

参考数据：若，．

A．年级平均成绩为82.5分

B．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等

C．成绩不超过77分的人数少于150

D．超过98分的人数为1

【答案】ABD

【分析】根据正态分布的概念可知A对，根据对称性可知B对，根据原则和曲线的对称性即可求解C,D.

【详解】由，可知，所以平均分为，故A对.

由于，可知关于对称，根据正态分布的对称性可知，

成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)的概率相等，进而人数相等，故B对.

,因为，所以C错误.

,因为，

所以超过98分的人数为1，故D正确.

故选:ABD

12．下列命题，错误的是（    ）

A．若随机变量X服从正态分布，且，则

B．100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，则次品数X服从二项分布

C．将随机变量进行平移或伸缩后，其均值与方差都不会变化

D．在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画两个模型拟合的效果．若越小，则模型的拟合效果越好

【答案】BCD

【分析】利用正态分布的性质即可判断选项A；根据二项分布的特点判断选项B；根据随机变量的性质判断选项C；根据一元线性回归模型分析即可判断选项D.

【详解】对于A，因为随机变量X服从正态分布， 因为，则，又因为，所以，故选项A正确；

对于B，根据二项分布的性质可知，100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，则次品数X不满足二项分布，故选项B错误；

对于C，将随机变量进行平移，均值也随之平移，方差不发生改变，故选项C错误；

对于D，在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画两个模型拟合的效果．若越大，则模型的拟合效果越好，故选项D错误，

故选：BCD.

三、填空题

13．已知，则   .（结果用数字作答）

【答案】81

【分析】令，求二项展开式各项系数和.

【详解】，

当时，有，则.

故答案为：81

14．根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.02．则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为          ．

【答案】0.08

【分析】利用条件概率公式求解.

【详解】设发生中度雾霾为事件，刮四级以上大风为事件，

所以,

,

故答案为: 0.08.

15．已知曲线在点P处的切线与直线垂直，则P点的横坐标为           .

【答案】

【分析】由题设知P处的切线斜率为，应用导数几何意义列方程求P点的横坐标.

【详解】由题设在P处的切线斜率为，而，

所以，则，即.

故答案为：

16．如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数、、、、，依次构成数列，则           .

【答案】

【分析】由杨辉三角与二项系数的关系可得出，再利用裂项相消法可求得所求代数式的值.

【详解】由杨辉三角与二项式系数的关系可知，，，，

所以，，所以，

所以，.

故答案为：.

四、解答题

17．设数列前项和，且，.

(1)试求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用可得，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，即可得出通项公式；

（2）利用等差、等比数列求和公式求解即可.

【详解】（1））当时，，

所以，，即，

当时，，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

.

所以的通项公式.

（2），

.

18．有8名男生和5名女生，从中任选6人.

(1)有多少种不同的选法？

(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？

(3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？

【答案】(1)1716种

(2)560种

(3)1568种

【分析】（1）从13人中任意抽取6人，不需考虑顺序，是一个组合问题，

（2）可以先从5名女生中选出3名女生，再从从8名男生中选出3名男生，因此可以看做是一个分步完成的组合问题；

（3）从8名男生和5名女生中抽出的人中至多有3名女生，包括没有女生，有名女生，有名女生，有名女生四种情况，因此可以看做是一个分类完成的组合问题.

【详解】（1）所有的不同的选法的总数，就是从13个不同元素中取6个不同元素的组合数，

故共有 (种)不同的选法.

（2）从5名女生中选出3名女生，有种选法；

从8名男生中选出3名男生，有种选法.

根据分步计数原理，共有(种)不同的选法.

（3）从8名男生和5名女生中抽出的人中至多有3名女生，包括没有女生，有名女生，有名女生，有名女生四种情况；

第一类，没有女生，有种选法；

第二类，有1名女生，有种选法；

第三类，有2名女生，有种选法；

第四类，有3名女生，有种选法.

由分类计数原理得，不同的选法共有(种).

19．根据某种病毒的变异发展实际，某地防控措施有了重大调整．其中，老人是否接种疫苗备受关注，为了了解某地区老人是否接种了疫苗，现用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名老人，结果如下：

(1)估计该地区老人中，已接种疫苗的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老人是否接种疫苗与性别有关？

附：（参考公式：，其中）

【答案】(1)

(2)没有

【分析】（1）利用样本估计总体；

（2）利用独立性检验的方法求解.

【详解】（1）.

（2）

没有99%的把握认为该地区的老人是否接种疫苗与性别有关；

20．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2014年至2020年的年销售额y关于年份代号x的统计数据如下表（已知该公司的年销售额与年份代号线性相关）．

(1)求y关于x的线性回归方程；

(2)根据（1）中的线性回归方程，预测2022年该公司的年销售额．

附：样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．

参考数据：，，．

【答案】(1)；

(2)68亿元.

【分析】（1）利用最小二乘法即得线性回归方程；

（2）把代入线性回归直线方程即得.

【详解】（1）∵，，

∴,

又∵，,

∴,

∴y关于x的线性回归方程为；

（2）2022年的年份代号为，

∴，

∴预测2022年该公司的年销售额为68亿元．

21．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；

(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；

(3)用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列及期望.

【答案】(1)41.5岁

(2)

(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据频率和为1求，进而可求平均数；

（2）根据题意结合古典概型分析运算；

（3）根据题意可得，根据二项分布求分布列和期望.

【详解】（1）由小矩形面积和等于1可得：，解得.

平均年龄（岁）.

（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30

根据分层抽样可得：第1组抽取人，第2组抽取人

再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为.

（3）由题意可知：，则有：

，，

，.

∴X的分布列为：

可得的数学期望.

22．设函数，（）.

(1)当时，求函数的最大值；

(2)对任意的函数恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）把代入函数解析式，通过导数讨论函数的单调性得出结果；

（2）求出函数的导函数，导函数在处的导数为零，由，对导数进行放缩，再分成，，三种情况讨论函数的单调性得出结果.

【详解】（1）当时，，

，

由，解得；则在上单调递增；

由，解得；则在上单调递减.

所以在处取最大值，最大值为.

（2），

下面证明，

设，

，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，即.

则，

当时，即时，由得恒成立，

在上单调递增，符合题意.所以.

当时，由得恒成立，在上单调递减，显然不成立，舍去.

当时，由，得，即，

则，

因为，所以.时，恒成立，

在上单调递减，显然不成立，舍去.

综上可得：.