2022-2023学年河北省承德市双滦区实验中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省承德市双滦区实验中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合的并集的概念及运算，即可求解.

【详解】由题意，集合，可得.

故选：C.

2．命题，的否定形式是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解.

【详解】因为命题：，，是全称命题，

所以其否定是特称命题，故为：，.

故选：D

3．“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断.

【详解】当a>0时,a2>0一定成立;a2>0时,a>0或a<0,故“a>0”是“a2>0”的充分不必要条件.故选A.

【点睛】根据充分条件的定义和必要条件的定义判断，首先要分清条件p与结论q，若，则p是q的充分条件.若q不能推出p,则p是q的不必要条件.

4．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)

A． B．3 C． D．

【答案】D

【详解】,

,故选D.

5．对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】A中有一部分x值没有与之对应的y值；

B项一对多的关系不是函数关系；

C中当x=1时对应两个不同的y值，不等构成函数；

D项对应关系符合函数定义，故选D.

【解析】函数的概念与函数图象

6．下列各组函数表示同一函数的是

A． B．f（x）=x，g（x）=

C．f（x）=1，g（x）=x0 D．

【答案】B

【分析】通过求函数的定义域可以判断出A，C ，D中的函数都不是同一函数，而对于B显然为同一函数．

【详解】A.的定义域为,的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

B．f（x）=x和g（x）=的定义域和对应法则都相同，为同一函数,

C．f（x）=1的定义域为，g（x）=x0的定义域为，不是同一函数；

D．定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数．

故选B ．

【点睛】本题考查函数的三要素：定义域，值域，对应法则，而判断两函数是否为同一函数，只需判断定义域和对应法则是否都相同即可．

7．设(其中，，为常数)，若，则（    ）

A．3 B．-21 C．21 D．-3

【答案】C

【解析】通过观察，可知是奇函数，利用，利用奇函数的性质，求的值.

【详解】设，则，所以，所以.

故选：C.

8．已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）＞f（x﹣2）的解集为（　　）

A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

C．（1，+∞） D．（0，1）

【答案】B

【解析】根据偶函数性质分析可得f（2x﹣1）＞f（x﹣2）⇒f（|2x﹣1|）＞f（|x﹣2|）⇒|2x﹣1|＞|x﹣2|，变形解可得不等式的解集，即可得答案．

【详解】根据题意，函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，

则f（2x﹣1）＞f（x﹣2）⇒f（|2x﹣1|）＞f（|x﹣2|）⇒|2x﹣1|＞|x﹣2|，

变形可得即x2＞1，

解可得：x＜﹣1或x＞1，

即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

故选：B．

【点睛】本题考查函数不等式的求解，涉及函数的单调性与奇偶性，在函数为偶函数时，可充分利用偶函数的性质，将问题转化为函数在上的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、多选题

9．已知集合A={1，16，4x}，，若，则x可能取值有（    ）

A．0 B．-4 C．1 D．4

【答案】AB

【分析】因为，所以或，分类讨论判断即可求解．

【详解】因为，所以或．

当（舍），，此时，，符合题意．

当，此时，，符合题意．

故选：AB

10．关于函数，下列结论正确的是（    ）

A．的图象过原点 B．是奇函数

C．在区间(1，＋∞)上单调递增 D．是定义域上的增函数

【答案】AC

【分析】根据函数奇偶性定义、单调性定义以及计算函数值进行判断选择.

【详解】,所以A正确，

，因此不是奇函数，B错误，

在区间(1，＋∞)和上单调递增，所以C正确，D错误，

故选：AC

【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.

11．下列说法正确的是（    ）

A．若，则函数的最小值为3

B．若，则的最小值为5

C．若，则的最大值为

D．若，则的最小值为1

【答案】BC

【分析】利用基本不等式以及“1”的代换，结合不等式的解法，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由，可得函数，

当且仅当时，即时等号成立，

因为，所以等号不成立，所以函数的最小值为不是，所以A不正确；

对于B中，由，

则，

当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，

所以B正确；

对于C中，由，则

因为，当且仅当时，即时，等号成立，

所以的最大值为，所以C正确；

对于D中，由，可得，当且仅当时，等号成立，

所以，即，

解得，即，所以的最大值为1，所以D不正确.

故选：BC.

12．对于定义在R上的函数，下列说法正确的是（    ）

A．若，则在R上不是减函数

B．若为奇函数，且满足对，，，则在R上是增函数

C．若，则函数是偶函数

D．若函数是奇函数，则一定成立

【答案】AB

【解析】根据函数单调性的定义可知，A正确；根据函数单调性的定义结合奇函数的性质即可知，B正确；根据函数奇偶性的定义可知，C D错误．

【详解】对A，根据函数单调性的定义可知，对任意的，若，有，则函数在上是增函数；若，有，则函数在上是减函数，因为，而，所以在R上不是减函数，A正确；

对B，对任意的，，所以，即，而，所以，即，由单调性的定义可知，在R上是增函数，B正确；

对C，根据奇偶性的定义，对定义域中的任意实数，满足，则函数是偶函数；满足，则函数是奇函数，所以仅凭，不能判断函数一定是偶函数，C 错误；

对D，若函数是奇函数，则，所以当函数在以及处有定义且满足时，成立，D错误．

故选：AB．

三、填空题

13．已知函数是幂函数，且当时，是增函数，则实数的值为__________．

【答案】3

【详解】函数是幂函数，所以，解得或，又当时，是增函数，所以，故，填

14．函数的单调递减区间是______

【答案】

【分析】先分析定义域，然后根据二次函数的对称轴确定单调递减区间.

【详解】因为，所以，又因为对称轴为且开口向下，所以单调递减区间为：.

【点睛】本题考查复合函数的单调递减区间，难度较易.复合函数的单调性的判断规则：同增异减.

15．已知函数的定义域是，则函数的定义域是_____．

【答案】

【分析】根据抽象函数定义域及根号下大于0，分母不为0得到不等式，取其交集即可.

【详解】的定义域是,

的定义域为:,

，，所以定义域为，

故答案为：.

四、双空题

16．某公司生产防疫器材，生产固定成本为20000元，若每生产一台该器材需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：，当该公司月生产量为______________台，公司利润最大，最大利润是____________________元（总收入=总成本+利润）

【答案】     300     25000

【分析】根据等差数列前项和公式，得，再根据等差中项得到，，整体代入即可得到答案.

【详解】等差数列的前项和为，

，

故答案为：.

五、解答题

17．已知命题p：任意，，命题q：存在x∈R，．若命题p为真命题，是假命题，求实数a的取值范围．

【答案】或

【分析】求出命题p，q为真命题的a的取值范围，再根据给定条件求解作答.

【详解】依题意，当时，，命题p：为真命题，

即当时，恒成立，因此，

命题q：存在x∈R，为真命题，即方程有实根，，解得或，

因是假命题，则q为真命题，即或，于是得当p，q都为真命题时，或，

所以实数a的取值范围是或.

18．在①是的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：

已知集合，．

(1)当时，求；

(2)若选______，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)条件选择见解析，答案见解析

【分析】（1）利用并集的定义可求得集合；

（2）选①，可得出，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围；

选②，可得出，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围；

选③，由题意可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】（1）解：当时，，则.

（2）解：选①，由题意可知，则，解得，

当时，，合乎题意，

当时，，合乎题意.

综上所述，；

选②，由题意可知，则，解得，

所以，；

选③，，则或，解得或.

所以，或.

19．已知二次函数满足，且．

(1)求的解析式；

(2)若函数，，求值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）使用待定系数法求解函数解析式即可.

（2）首先求解函数的解析式，然后根据二次函数图像即可求出的值域.

【详解】（1）由于是二次函数，可设，

∵恒成立，

∴恒成立，

整理得：，

又∵，∴，解得，

∴.

（2）因为函数，，

画出图象，如图所示

又，，，

所以，，

所以的值域为．

20．全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号．太原市某社区响应市委号召，在全面开展“创城”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为矩形休闲广场，要求既要占地最少，又要美观实用．初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2m的草坪，南北边缘都留有5m的空地栽植花木．

(1)设占用空地的面积为S（单位：），矩形休闲广场东西距离为x（单位：m，），试用x表示为S的函数；

(2)当x为多少时，占用空地的面积最少？并求最小值．

【答案】(1)；

(2)当休闲广场东西距离为40m时，用地最小值为．

【分析】（1）首先根据题意得到矩形广场的南北距离为，再结合矩形面积公式即可得到答案；

（2）利用基本不等式求解即可.

【详解】（1）因为广场面积须为，所以矩形广场的南北距离为，

所以；

（2）（2）由（1）知，

当且仅当，即时，等号成立．

答：当休闲广场东西距离为40m时，用地最小值为．

21．已知关于x的不等式．

(1)若，求此不等式的解集．

(2)若，求关于x的不等式的解集．

【答案】(1)

(2)答案见解析．

【分析】（1）将代入，即可解得一元二次不等式.

（2）将不等式移项，然后因式分解可得，然后对的范围进行分类讨论即可得到结果.

【详解】（1）若，此不等式化为．

，解得或，

所以解集为

（2）时，由移项得：

，

当时，不等式化为，不等式的解集为；

当时，方程的两个根分别为：，1．

当时，不等式化为，，不等式的解集为

当时，，不等式的解集为，

综上：当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

22．已知是奇函数，且.

(1)求实数的值．

(2)判断函数在上的单调性，并加以证明．

(3)求的最大值．

【答案】(1)，；

(2)在上为减函数，证明见解析；

(3)．

【分析】（1）由函数奇偶性的定义即可求解；

（2）利用单调性的定义即可证明；

（3）根据奇偶性与单调性即可求解.

【详解】（1）是奇函数，．

，，，

又，

解得：.

所以.

（2）在上为减函数，

证明如下：由（1）知，

令，则的单调性和的单调性相反，

设，

则，

，，，

，即，

在上为增函数，

则在上为减函数；

（3）由（1）（2）结合计算可知：

在上递减，在上递增，

在上递增，在上递减．

又当时，，且，

．