2022-2023学年甘肃省酒泉市敦煌中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)
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一、单选题
1.在等比数列中,,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据题意,设等比数列{an}的公比为q,结合等比数列的通项公式可得q==3,进而可得a1与a2的值,相加即可得答案.
【详解】根据题意,设等比数列{an}的公比为q,
又由a3=6,a4=18,则q==3,
则a1=,a2=,
则a1+a2=2;
故选B.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式,关键是求出q的值,属于基础题.
2.点(2,1)到直线3x﹣4y+2=0的距离是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】解:点(2,1)到直线3x﹣4y+2=0的距离.
故选A.
3.在等比数列中,,,则与的等比中项是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先通过等比数列的通项公式计算,进而可得其等比中项.
【详解】由已知
所以与的等比中项是,
故选:A
4.已知数列满足,,,则( )
A. B. C. D.3
【答案】A
【解析】根据数列的周期性可求得结果.
【详解】将进行变形,得,
则由得,,,,
所以数列是以4为周期的周期数列,
又,所以,
故选:A.
【点睛】关键点点睛:利用数列的前几项推出数列的周期是解题关键.
5.设椭圆的离心率为,焦点在轴上且长轴长为26,若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据椭圆焦点在轴上且长轴长为26,得到,再由椭圆的离心率为,得到,再根据曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,得到双曲线与椭圆共焦点以及实半轴长求解.
【详解】因为椭圆焦点在轴上且长轴长为26,
所以,又因为椭圆的离心率为,
所以,
因为曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,
所以,
所以曲线的标准方程为.
故选:A
【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列,则( )
A.103 B.107 C.109 D.105
【答案】B
【解析】根据题意可知正整数能被21整除余2,即可写出通项,求出答案.
【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2,
,
.
故选:B.
7.已知正项等比数列,满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据题意先得,变形可得,进而等比数列的性质可得答案.
【详解】根据题意,正项等比数列中,
若,则有,
又,,
所以.
故选:A.
8.已知数列满足,若,则的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】利用数列的递推关系式,推出.然后得到,说明的范围.
【详解】解:由递推关系可知,,
所以.
即,
可求,
所以.
因为,
∴,
解得,
故选:B.
【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用,考查分析问题解决问题的能力.属于中档题.
9.已知点在圆的外部,则的取值可能是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据点在圆外的条件,列不等式求k的取值范围.
【详解】由题意可得,解得,
只有.
故选:C.
二、多选题
10.已知等差数列、、、,则( )
A.公差 B.该数列的通项公式为
C.数列的前项和为 D.是该数列的第项
【答案】ACD
【分析】求出等差数列的公差,可求出该数列的通项公式,可判断ABD选项;利用等差数列的求和公式可判断C选项.
【详解】对于A选项,等差数列的公差为,A对;
对于B选项,该数列的通项公式为,B错;
对于C选项,数列的前项和为,C对;
对于D选项,由,解得,D对.
故选:ACD.
11.已知圆,从点观察点,要使视线不被圆O挡住,则a的值可以是( )
A. B. C. D.
【答案】AC
【分析】由题意首先求得的取值范围,然后确定可能的值即可.
【详解】解:设过点与圆相切的直线为,
则圆心到直线的距离为,解得,
切线方程为,
由点向圆引2条切线,只要点在切线之外,那么就不会被遮挡,
在的直线上,在中,取,得,
从点观察点,要使视线不被圆挡住,需或,
的取值范围是,
则可能的取值为,.
故选:AC.
12.已知椭圆:的左、右两个焦点分别为,,直线与交于,两点,轴,垂足为,直线与的另一个交点为,则下列结论正确的是
A.四边形为平行四边形 B.
C.直线的斜率为 D.
【答案】ABC
【解析】对A,根据椭圆对称性判断即可.
对B,根据的最值判定即可.
对C,根据倾斜角的正切值判定即可.
对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明即可.
【详解】对A,根据椭圆的对称性可知,.故四边形为平行四边形.
故 A正确.
对B,根据椭圆的性质有当在上下顶点时,.此时.由题意可知不可能在上下顶点,故.故B正确.
对C, 如图,不妨设在第一象限,则直线的斜率为,故C正确.
对D, 设则.
又由C可知直线的斜率为,故.所以.
故.故D错误.
故选:ABC
【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题.
三、填空题
13.直线,,若,则________.
【答案】
【分析】由两直线垂直可得出关于实数的等式,即可解得的值.
【详解】因为,则,解得.
故答案为:.
14.若等比数列的各项均为正数且,则_____.
【答案】10
【解析】,由此能求出结果.
【详解】∵等比数列的各项均为正数,且,
.
故答案为:10
15.等比数列是递减数列,前n项的积为,若,则________.
【答案】2
【分析】由题意可得,且,由条件可得,化简得,再由,求得的值.
【详解】解:等比数列是递减数列,其前项的积为,若,设公比为,
则由题意可得,且.
,.
又由等比数列的性质可得,.
故答案为:2.
16.若A为射线上的动点,B为x轴正半轴上的动点.若直线AB与圆相切,则的最小值为________.
【答案】##
【分析】设,利用直线AB与圆相切,结合基本不等式,得到,即可求出|AB|的最小值.
【详解】设,
则直线AB的方程为,
整理得.
因为直线AB与圆相切,所以,
化简得,
利用基本不等式得,
即,
从而得,
当,即时,|AB|的最小值是.
故答案为:
四、解答题
17.已知数列为等比数列,,,.
(1)求;
(2)若数列满足,,求.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)设公比为,由已知得,又,,求解得值,即可得;
(2)因为,,所以用累加法可求.
【详解】(1)解:数列为等比数列,设公比为,因为,,所以
又,所以,解得:或(舍)
所以.
(2)解:,所以,又
则
.
18.已知的三个顶点分别为.
(1)求边和所在直线的方程;
(2)求边上的中线所在直线的方程.
【答案】(1)边所在直线的方程为,边所在直线的方程为.
(2)中线所在直线的方程
【分析】(1)由于、两点分别在轴和轴,由直线方程的截距式列式,化简可得所在直线的方程;再由、的坐标,利用直线方程的两点式列式,化简即可得出所在直线的方程;
(2)利用线段中点坐标公式,算出的中点坐标为,利用直线方程的两点式列式,化简即可得出上的中线所在直线的方程.
【详解】(1)解:,,直线的截距式方程得:,化简得.
,,由直线的两点式方程,
得方程为,即,
综上所述,边所在直线的方程为,
边所在直线的方程为.
(2)解:设中点,由线段的中点坐标公式,
可得,,中点坐标为.
再由直线的两点式方程,得所在直线的方程为,
化简得,即为所求边上的中线所在的直线的方程.
19.已知数列()是公差不为0的等差数列,若,且,,成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)设的公差为d,根据等差中项的性质得到方程,求出,即可得解;
(2)由(1)知:,利用裂项相消法计算可得;
【详解】解:(1)设的公差为d,因为,,成等比数列,所以.
即,即又,且,解得
所以有.
(2)由(1)知:
则.即.
20.已知等差数列满足,前7项和为
(Ⅰ)求的通项公式
(Ⅱ)设数列满足,求的前项和.
【答案】(1)
(2) .
【详解】试题分析:(1)根据等差数列的求和公式可得,得,然后由已知可得公差,进而求出通项;(2)先明确=,为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.
解析:
(Ⅰ)由,得
因为所以
(Ⅱ)
21.已知圆C:,直线l:.
(1)求证:对直线l与圆C总有两个不同交点;
(2)设l与圆C交于不同两点A、B,求弦AB的中点M的轨迹方程;
(3)若定点分弦所得向量满足,求此时直线l的方程.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)或.
【分析】(1)通过证明直线l恒过的定点在圆内即可;
(2)设M(x,y).当M不与P重合时,连接CM、CP,则CMMP,用勾股定理整理可得答案;
(3)设A(),B()由可得.将直线与圆的方程联立.由韦达定理与联立得,从而得直线的方程.
【详解】(1)直线l:,即,可得直线l恒过定点,且即定点在圆内,
故直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)当M不与P重合时,连接CM、CP,则CMMP,C(0,1),,
设M(x,y), ,则
化简得:
当M与P重合时,满足上式.
故弦AB的中点M的轨迹方程为.
(3)设A(),B()由得.
将直线与圆的方程联立得: (*)
,可得,代入得,
直线方程为或.
22.在平面直角坐标系中,椭圆的左、右两个焦点分别为、,P在椭圆C上运动.
(1)若的最大值为120°,求a、b的关系式;
(2)若点P是椭圆上位于第一象限的点,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线,若直线,的交点Q在椭圆C上,求点P的坐标(用a,b表示).
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据椭圆定义可知,结合基本不等式以及余弦定理,可求得,即;
(2)设点,利用点斜式表示出与的方程,联立即可求得点的坐标,再根据点与点的位置关系,即可求得点的坐标.
【详解】(1)根据椭圆定义可知:,,
因为,
当且仅当时取等号,此时,
所以
,解得,
即()
(2)设,如图所示:
当时,不存在,则与重合,不满足题意;
当时,则直线的斜率,
直线的斜率,
直线的方程:①
直线的斜率,
直线的斜率,
直线的方程:,②
联立①②,解得:,则,
由在椭圆上,且,所以四点共圆,
故的横坐标互为相反数,纵坐标相等,即,
,则,
又在第一象限,解得,
故.
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