2022-2023学年甘肃省临夏州临夏县中学高二下学期开学检测数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省临夏州临夏县中学高二下学期开学检测数学试题

一、单选题

1．已知，则（    ）

A．11 B．12 C．13 D．14

【答案】C

【分析】直接根据排列数的性质化简求解即可.

【详解】因为，

则，

整理可得，

解得，经检验，满足题意．

故选：C.

2．若圆与圆外切，则（　　）

A．  B．19 C．9 D．-11

【答案】C

【分析】利用圆心距等于半径之和求解.

【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，

则，解得.

故选：C.

3．双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（    ）

A． B．2 C． D．1

【答案】D

【分析】求得双曲线的，，，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．

【详解】解：双曲线的，，，

所以，一个焦点设为，一条渐近线设为，

所以，焦点到渐近线的距离为.

所以，根据双曲线的对称性可知, 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是.

故选：D.

4．若斜率为2的直线经过，，三点，则a，b的值是

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据两点间斜率公式列方程解得结果.

【详解】斜率为的直线经过，，三点，∴，解得，．选C.

【点睛】本题考查两点间斜率公式，考查基本求解能力，属基础题.

5．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ）

A．48种 B．36种 C．24种 D．20种

【答案】A

【分析】利用捆绑法确定正确答案.

【详解】依题意，“礼”在第一次，固定，

“射”和“御”两次相邻，两者捆绑，与另外艺进行排列，

所以“六艺”讲座不同的次序共有种，

故选：A

6．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为“一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第三天走的路程为（    ）

A．96里 B．48里 C．24里 D．12里

【答案】B

【分析】根据题意每天行走的路程里数构成等比数列，根据等比数列的求和公式及通项公式求解即可.

【详解】记该人第n天走的路程里数为，数列的前n项和为，

由题意得数列是以为公比的等比数列，，

故，解得，故．

故选：B

7．如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（　　）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】C

【分析】对进行分类讨论，由此确定正确答案.

【详解】当时，直线过原点，且单调递增，

直线单调递增，且纵截距为正数，

没有符合的图象.

当时，直线过原点，且单调递减，

直线单调递增，且纵截距为负数，

C选项符合.

故选：C

8．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理．

【详解】∵，即

设，则，整理得

故选：B．

二、多选题

9．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ）

A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于

C．与直线垂直 D．上存在与原点距离等于1的点

【答案】CD

【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A，B，C，对于计算出原点到直的距离即可判断

【详解】解：因为直线的一个方向向量为，

所以直线的斜率为，

设直线的倾斜角为（），则，所以，所以A错误；

因为经过点，所以直线的方程为，令，则，

所以在轴上的截距为，所以B错误；

因为直线的斜率为，直线的斜率为，

所以，所以与直线垂直，所以C正确；

因为原点到直线的距离为，

所以上存在与原点距离等于1的点，所以D正确，

故选：CD

【点睛】此题考查直线方程的求法，考查两直线的位置关系，考查斜率与倾斜角的关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于中档题

10．下列双曲线的渐近线方程为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】的渐近线方程为：，的渐近线方程为：.

【详解】A选项，的渐近线方程为，A正确；

B选项，的渐近线方程为：，B错误；

C选项，的渐近线方程为：，C错误；

D选项，的渐近线方程为：，D正确.

故选：AD

11．下列问题属于排列问题的是（    ）

A．从10个人中选2人分别去种树和扫地

B．从10个人中选2人去扫地

C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队

D．从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算

【答案】AD

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题；

对于B，从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题；

对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题；

对于D，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题．

故选AD.

12．已知抛物线的焦点为，､是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）

A．点的坐标为

B．若直线过点，则

C．若，则的最小值为

D．若，则线段的中点到轴的距离为

【答案】BD

【分析】由抛物线方程确定焦点坐标知A错误；直线与抛物线方程联立，利用韦达定理可知B正确；根据过焦点可知最小值为通径长，知C错误；利用抛物线焦半径公式，结合中点坐标公式可求得点纵坐标，知D正确.

【详解】对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，A错误；

对于B，由题意知：直线斜率存在，设其方程为：，

由得：，，B正确；

对于C，若，则直线过焦点，的最小值为抛物线的通径长，C错误；

对于D，，，即点纵坐标为，

到轴的距离为，D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．若直线：与直线：垂直，则实数的值为         ．

【答案】/

【分析】根据垂直可得关于的方程，从而可求其值.

【详解】因为直线：与直线：垂直，

故，故，

故答案为：

14．已知等差数列的前n项和为．若，，则     ．

【答案】42

【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．

【详解】解：在等差数列中，，，成等差数列，即7，14，成等差数列，

所以，解得．

故答案为：42．

15．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为      种．

【答案】12

【分析】由分步计数原理，即可求解.

【详解】由题意，有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，

从中四件不同款式的上衣中，任选一件有种选法，

从中三件不同颜色的长裤中，任选一件有种选法，

根据分步计数原理，可得共有种不同的选法.

故答案为：12

16．已知为双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为        ．

【答案】8

【分析】根据双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形，再根据双曲线的定义以及勾股定理求得，即可得到四边形的面积．

【详解】由题意得，，

由双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形，

所以，解得，

所以四边形的面积为．

故答案为：．

四、解答题

17．（1）O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，求△POF的面积；

（2）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，且经过点P(，4)，求双曲线的方程.

【答案】（1）；（2）－＝1.

【分析】（1）根据焦半径公式求点的坐标，即可求得△POF的面积；（2）由条件列出关于的方程组，即可求出双曲线的方程.

【详解】（1）设P(x0，y0)，则x0＋1＝4，故x0＝3，所以y0＝±2.又F(1，0)，所以S△PFO＝×2×1＝.

（2）因为双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，所以＝2　①.又双曲线过点P(，4)，所以－＝1　②，

①②联立，解得a＝，b＝2，所以双曲线的方程为－＝1.

18．等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30，a20=50.

（1）求通项an;

（2）若Sn=242，求n.

【答案】（1）an=2n+10；（2）n=11.

【分析】（1）根据a10=30，a20=50，利用“a1，d”法求解；.

（2）由Sn=242，利用等差数列前n项和求解.

【详解】（1）因为a10=30，a20=50，

所以

解得a1=12，d=2.

∴an=2n+10.

（2）由Sn=na1+d，Sn=242，

得12n+×2=242.

解得n=11或n=-22(舍去).

19．已知三角形的三个顶点的坐标分别是､､.

(1)求BC边所在直线的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先根据斜率公式求出，再由点斜式求出直线方程；

（2）首先求出的中点的坐标，从而求出，最后由点斜式求出直线方程；

【详解】（1）解：因为､，所以，

所以直线的方程为，即；

（2）解：因为，､，所以的中点为，

所以，所以中线的方程为，即；

20．已知圆.

(1)若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程；

(2)若圆与圆C相切，求实数m的值.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）首先设出过定点直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情况；

（2）分内切和外切，结合公式，列式求值.

【详解】（1）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与圆C相切，符合题意.

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，

则，解得，所以直线l的方程为.

综上，直线l的方程为或.

（2）圆的方程可化为.

若圆与圆C外切，则，解得.

若圆与圆C内切，则，解得.

综上，或.

21．已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据题意建立的方程组即可求解;

(2)利用韦达定理确定的取值范围，再建立之间的等量关系即可求解.

【详解】（1）由离心率又,所以，

又右顶点为，所以，所以，

故双曲线的标准方程为.

（2）设直线的方程为，设，

则由得，

因为直线与双曲线一支交于、两点，

所以 ，解得，

因此

，

因为，所以，

所以，所以，

故.

22．在直角坐标系xOy中，已知点，，直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：．

(1)求点D的轨迹C的方程；

(2)设过点的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线 于点M，N，是否存在常数，使，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在，λ的值为4.

【分析】(1)设出点D的坐标，根据给定条件列式、化简整理即可作答.

(2)设出直线l的方程，与轨迹C的方程联立，借助韦达定理计算三角形面积即可判断作答.

【详解】（1）设，而点，，则，，

又，于是得，化简整理得：，

所以点D的轨迹C的方程是：.

（2）存在常数，使，

如图，

依题意，直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，，，

由消去y得：，则，，

，

则，

直线OP：，取，得点M横坐标，同理得点N的横坐标，

则

，

因此有，

于是得，

所以存在常数，使.