2022-2023学年四川省蓬溪中学校高二下学期月考数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省蓬溪中学校高二下学期月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知，则是成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解一元二次不等式，再由充分必要条件的定义判断即可.

【详解】由可得：，

因为推不出，而能推出，

所以是成立的必要不充分条件

故选：B.

2．通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ）

A． B．3 C． D．6

【答案】B

【分析】根据椭圆方程写出一条过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程求交点纵坐标，即可得弦长.

【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线，

代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于.

故选：B

3．设复数满足（是虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出，再根据模长公式可得结果.

【详解】由，得，

故.

故选：A．

4．已知点P的直角坐标为则它的极坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据点的直角坐标系求出，再由，即可求出，从而得到点的极坐标.

【详解】由于点的直角坐标为，则，

再由，结合选项可得：，所以点的极坐标为.

故选：B.

5．在一次数学竞赛中，某班甲、乙、丙三名同学中的一人获奖.甲说：“我没有获奖”；乙说：“我获奖了”；丙说：“乙没有获奖”.如果三人中恰有二人的说法是错误的，则最终获奖的是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．不确定

【答案】A

【分析】先假设说法正确，通过推理分析即可得出结论.

【详解】假设甲的说法是正确的，则乙、丙二人的说法是错误的，则乙没获奖，所以丙的说法是正确的，两者矛盾，所以甲的说法是错误的；

假设乙的说法是正确的，即获奖的是乙，则甲、丙二人的说法是错误的，所以甲获奖了，

与三名同学中的一人获奖矛盾，所以乙的说法是错误的；

因为三人中恰有二人的说法是错误的，所以丙的说法是正确的，所以最终获奖的是甲.

故选：A.

6．用反证法证明命题“设，若，则中至多有两个为0”．要做的假设是（    ）

A．中至多有一个为0 B．中至少有一个为0

C．中至少有两个为0 D．全为0

【答案】D

【分析】写出命题结论的否定，即可判断选项.

【详解】否定结论“中至多有两个为0”，即假设 “全为0”.

故选：D

7．已知函数的导函数为，若，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】求得，令，即可求解.

【详解】由函数，可得，

令，可得，解得.

故选：A.

8．在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设点是所求直线上的任意一点，．利用直角三角形的边角关系可得，即可得出．

【详解】如图所示，设是所求直线上的任意一点，，，则，

．

故选：C．

9．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走.遇店添一倍，逢友饮一斗.”基于此情景设计了如图所示的程序框图，若输入，输出，则判断框中可以填（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据框图计算可得时，则，此时跳出循环输出结果．

【详解】根据框图可得：

输出，则，此时跳出循环

故选：B．

10．设函数的导函数为，对任意都有成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意构造辅助函数，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得答案．

【详解】由，则，

设  ，

则在上单调递减.

则，即 ，

即.

故选：A.

11．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）．

A． B．e C． D．

【答案】C

【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．

【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，

设，所以，所以在上单调递增，

，故，即，即a的最小值为．

故选：C．

12．已知双曲线的右顶点为A，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为M，且，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用渐近线的斜率求得，再利用余弦定理求得，进而求得，从而得到关于的齐次方程，解之即可得解.

【详解】设双曲线C的半焦距为，如图，

由题意可得，直线OM的方程为，有，即有，

又，解得，

在中，，

由余弦定理，得，

因此，即有，

又，则，，

又，于是，

所以，即，则，

两边同时除以，得，即，解得（舍去）或，

所以该双曲线的离心率，

故选：B.

二、填空题

13．已知为虚数单位，则复数的虚部是      ．

【答案】

【分析】根据复数虚部的定义即可求解.

【详解】根据复数虚部的定义可知，复数的虚部是.

故答案为：

14．已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计，如下：

由此所得回归方程为，若6月份广告投入10万元，估计所获得利润为           ．

【答案】95.25万元

【分析】先算出样本中心，从而可求，故可利用回归方程估计所获得的利润.

【详解】，

因为回归方程为，，故，

当时，（万元）

故答案为：万元

15．如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为      米．

【答案】4.5/

【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，

将代入，得，所以．

设，代入，得．

所以拱桥到水面的距离为．

故答案为：4.5.

16．已知，若对使得，则实数的取值范围是                .

【答案】

【分析】利用单调性可得到，，结合题意可得，即可求解

【详解】当时，单调递增，根据复合函数的单调性可得此时也单调递增，

所以；

当时，单调递减，所以.

因为对使得，所以，

即，解得.

故答案为：

三、解答题

17．设，．

(1)若，且为真，求实数的范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，分别化简命题p，结合逻辑连接词且含义可得答案；

（2）由是的充分不必要条件，可得由命题对应不等式解集间关系，即可得答案.

【详解】（1）若，则p：，∵，∴

∴或.

∵p且为真，∴，∴.

∴实数的范围为；

（2）由（1），，，因是的充分不必要条件，则，则，且等号不同时成立，

解得，即的范围为．

18．已知函数．

(1)求函数在区间上的最值；

(2)过点作曲线的切线，求切线方程．

【答案】(1)，无最小值

(2)或

【分析】（1）利用导数判断单调性，根据单调性求出最值即可；

（2）讨论是否为切点，根据导数的几何意义可求出切线方程.

【详解】（1），令．

当在区间上变化时，变化如下表：

由上表知：，无最小值，

（2）∵在曲线上，

若为切点，则切线的斜率，

∴切线方程为，

若不为切点，设切点为，

则切线的斜率，

又，

∴，

切点为且切线的斜率，

∴切线方程为.

综上述，切线方程为或.

19．已知直线l与抛物线C：交于A，B两点．

(1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长；

(2)若直线l经过点，求的值．

【答案】(1)6

(2)

【分析】（1）设，，根据中点坐标公式可得，利用抛物线的定义求焦点弦即可；

（2）易知直线斜率必存在，设为，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合平面向量数量积的坐标表示即可求解.

【详解】（1）设，，线段中点设为，则，

由题意，抛物线的焦点为，，

根据抛物线的定义得；

（2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意.

所以直线斜率必存在，设为，

与抛物线联立得：，，得，

所以.

20．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：

附：参考公式：，其中．

(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是，请完成上面的列联表；

(2)在（1）的条件下，试运用独立性检验的思想方法分析：在犯错误概率不超过的情况下判断学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．

【答案】(1)答案见解析

(2)有关，理由见解析

【分析】（1）由已知可求得积极参加班级工作的学生的人数为，然后即可根据表中数据补充列联表；

（2）计算求得，根据小概率值的检验规则即可说明.

【详解】（1）由已知可得，积极参加班级工作的学生的人数为，

补充得到表格如下：

（2），

，

基于小概率值的检验规则可推断，学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系，该推断犯错误的概率不超过．

21．已知函数.

(1)求出函数的单调区间；

(2)若，求的最小值.

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)

【分析】（1）先求出函数的定义域，求导，再根据导数的符号即可求得函数的单调区间；

（2）求导，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可求得函数的最小值.

【详解】（1）函数的定义域为，

，

令，则或时，令，则时，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2），

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

22．如图，直线与椭圆交于、两点，记的面积为.

(1)若线段的中点为，求此时直线的方程；

(2)当，时，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或或或

【分析】（1）利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程；

（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形的面积公式可得出、的方程组，解出这两个参数的值，即可得出直线的方程.

【详解】（1）解：设点、，若直线与坐标轴垂直，

则线段的中点在坐标轴上，不合乎题意，

所以，，，

由，两个等式作差可得，

即，

所以，，故直线的方程为，即.

（2）解：设点、，

联立可得，

，可得，

由韦达定理可得，，

所以，

，①

原点到直线的距离为，由，②

联立①②可得，

因此，直线的方程为或或或.