四川省眉山市仁寿县第一中学2022-2023学年高二数学（理）下学期第二次月考试题（Word版附解析）

仁寿一中南校区高2021级高二（下）第二次月考

理科数学试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.考试结束后，将答题卡交回.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在某次射击比赛中，甲、乙两人各射击5次，射中的环数如图，则下列说法正确的是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】由图表进行数据分析，得到甲射击5次所得环数分别为：9，8，10，9，10；乙射击5次所得环数分别为：6，9， 9，8，10；利用平均数公式及方差公式计算即可．

【详解】由图可知，甲射击5次所得环数分别为：9，8，10，9，10；

乙射击5次所得环数分别为：6，9， 9，8，10；

故，

，

，

，

故选：C．

2. 某中学举行党史学习教育知识竞赛，甲队有、、、、、共名选手其中名男生名女生，按比赛规则，比赛时现场从中随机抽出名选手答题，则至少有名女同学被选中的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】现场选名选手，共种情况，设，，，四位同学为男同学则没有女同学被选中的情况，共有6种，利用对立事件进行求解，即可得到答案；

【详解】现场选名选手，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，不妨设，，，四位同学为男同学则没有女同学被选中的情况是：，，，，，共种， 则至少有一名女同学被选中的概率为.

故选：.

3. 已知实数满足，则函数存在极值的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先分析三次函数有极值的条件，即为导函数对称的判别式大于零，找出对应的取值范围，然后利用几何概型的概率计算公式即可求解.

【详解】函数的导数为，

若函数存在极值，则，

解得或，因为，所以，

由几何概型的概率计算公式可得，，

故选：B.

4. 采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，，，分组后某组抽到的号码为41．抽到的人中，编号落入区间 的人数为

A. 10 B.  C. 12 D. 13

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．

【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，

又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，

∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，

∴等差数列的通项公式为an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，

由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，

∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，

故选C．

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．

5. 点在边长为的正方形内运动，则动点到定点的距离的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出满足条件的正方形的面积及动点动点到定点的距离对应平面区域的面积，代入几何概型的概率公式，结合对立事件的概率公式即可求出答案.

【详解】解：满足条件的正方形，如图所示，其中满足动点到定点的距离的平面区域如图中阴影所示：

则正方形的面积，阴影部分的面积，

故动点到定点的距离的概率，

所以满足的概率；

故选：D.

6. 要从甲､乙等7人中选4人在座谈会上发言，若甲､乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有（    ）

A. 80种 B. 120种 C. 60种 D. 240种

【答案】A

【解析】

【分析】根据先选后排原理，再根据插空法，进行排列组合即可得解.

【详解】除甲乙外再选两人共有种可能，

从选中的两人中选一人插在甲乙中间，共有种可能，

将此三人看作整体进行排列，共有种可能，

再松绑甲乙共有，

故选：A

7. 曲线在点处的切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出导数，求得切线的斜率，即可求得答案.

【详解】∵，

∴，

∴，

又，

∴曲线在点处的切线方程为.

故选：D

8. 已知函数的导函数图像，如图所示，那么函数（    ）

A. 在上单调递增 B. 在处取得极小值

C. 在处切线斜率取得最大值 D. 在处取得最大值

【答案】C

【解析】

【分析】本题首先可根据导函数图像分析出函数的单调性与极值，即可判断出A、B、D错误，然后根据导函数值的几何意义即可得出C正确.

【详解】结合图像易知，

当时，函数是减函数，

当时，函数取极小值，

当时，函数增函数，

当时，函数取极大值，不一定是最大值，

当时，函数是减函数，

结合上述易知，A、B、D错误，

因为函数在某点处的导函数值即函数在这点处的切线斜率，

所以由图像易知，在处切线斜率取得最大值，C正确，

故选：C.

9. 若函数在在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离得到，，根据二次函数的性质求出的最大值，即可得解.

【详解】因为，所以，

依题意在上恒成立，

所以，令，，

因为在上单调递增，则

所以，即实数的取值范围是.

故选：D

10. 定义在R上的偶函数的导函数为，且当时，．则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性即可比较.

【详解】令，因为是偶函数，所以为偶函数，

当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

则，即，则，故A错误；

，即，故B错误；

，即，故C错误；

，即，则，故D正确.

故选：D.

11. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】令，，利用其单调性判断的关系，令，得到，取，判断即可．

【详解】解：令，，

则，则在上单调递增，且，

因此，即，

则．

令，

当时，，则在上单调递减，

即，即，

取，得，

则，

即．

综上，，

故选：C．

12. 若函数的值域为，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】①用导数法判断在上的单调性即可；②判断在上的单调性求值域即可；③令，判断的大小，再利用函数的单调性判断；④利用基本不等式结合等式运算判断.

【详解】当时，，则，所以在上递增，

所以且，所以，故①正确；

当时，，，

所以在上单调递减，所以，则的值域是，

又因为的值域是，所以，故②正确；

令，则，当时，，所以在上单调递增，

则，即，由②知在上单调递减，

所以，故③正确；

当时，因为，

即，所以，

所以

，

所以，即故④正确，

故选：D

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 按如图所示的程序框图运算，若输入的x的值为8，则输出的k等于________．

【答案】3

【解析】

【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的k的值．

【详解】第一次循环，，通过判断得，需要继续循环；

第二次循环，，通过判断得，需要继续循环；

第三次循环，，通过判断，结束循环，输出.故最后输出的值为.

故答案为：3

14. 学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的排法有_____种.（用数字作答）

【答案】288

【解析】

【分析】只需要4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目各自在能排的位置进行全排列即可，然后再乘起来.

【详解】4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，有24种排法；

3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，有种排法；

2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有种排法.

故共有24×6×2＝288种排法.

故答案为：288.

【点睛】本题考查两个计数原理与排列数公式的应用，属于基础题.

15. 已知函数，当时，有极小值，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】求出函数的导函数，令求出其两根，再分类讨论，分别得到函数的单调性，即可得到函数在处取得极值情况，即可得解.

【详解】因为，

所以

，

令，解得或，

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取极小值，

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取极大值，不符合题意，

当，即时，，所以在上单调递减，不符合题意；

综上可得.

故答案为：.

16. 已知函数，若存在实数，满足，则的最大值是______．

【答案】

【解析】

【分析】作出的函数图象，得出，，将化简为，构造函数，，由得出单调递增，求出的最大值，即可求得答案．

【详解】解：作出的函数图象如图所示：

∵存在实数，满足，

，

，

由图可知，，

，

设，其中，

，显然在单调递增，

，

，，

在单调递增，

在的最大值为，

的最大值为，

故答案为：．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60)，[90，100]的数据）．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；

（2）根据样本直方图估计所取样本的中位数及平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）．

【答案】（1）n＝50，x＝0.030，y＝0.004   

（2）中位数为71，平均数70.6

【解析】

【分析】（1）由茎叶图得到[50，60)内的数据有8个，根据频率分布直方图可得在该组的频率，从而得到样本容量n，进而得x，y的值；

（2）先判断中位数所在的范围，再根据中位数将频率分布直方图分为面积相等的两部分得出结果；根据平均数的算法得到平均数．

【小问1详解】

由茎叶图可知，在[50，60)内的数据有8个，

又由频率分布直方图得[50，60)的频率为0.016，

故样本容量，

所以，

故＝0.030．

小问2详解】

设中位数为a，

由频率分布直方图可知：第一组频率为0.16，第二组频率为0.3，第三组频率为0.4，

所以中位数位于第三组，

由0.16＋0.3＋(a－70)×0.04＝0.5，解得a＝71，所以中位数为71．

平均数＝0.16×55＋0.3×65＋0.4×75＋0.1×85＋0.04×95＝70.6．

18. 近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为.为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视.现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查.

（1）用表示抽取的3人中近视的学生人数，求所有可能的取值以及相应的概率；

（2）设为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件发生的概率.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，得到随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，然后分别计算其对应概率即可得到结果；

（2）根据题意，由互斥事件的概率计算公式，代入计算即可得到结果.

【小问1详解】

随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，

则，

，

，

；

【小问2详解】

设B为事件“抽取的3名学生中，不近视2人，近视1人”；设为事件“抽取的3名学生中，不近视1人，近视2人”，

则，且与互斥，，

所以事件A发生的概率为.

19. 某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：

已知

（1）求的值；

（2）已知变量具有线性相关性，求产品销量关于试销单价的线性回归方程 .

（可供选择的数据）

参考数据：线性回归方程中的最小二乘估计分别是

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】（1）因为，所以；

（2）因，所以，

所以，所以线性回归方程为.

【点睛】本题考查根据平均数计算参数以及求解线性回归方程，难度较易.求解线性回归方程中的值，可以根据回归直线方程过样本点中心去求解.

20. 已知函数，a为正实数，若函数极大值为1.

（1）求a的值；

（2）若对任意的恒成立，求m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）对函数求导，可得当时，取得极大值，所以由函数的极大值为1，可得，从而可求出a的值；

（2）由对恒成立，得对恒成立，由不等式可得，所以转化为恒成立，构造函数，利用导数求其最小值，从而可求出m的取值范围

【详解】解：（1）由题意，

因为时，令函数，

得到，则在上单调递增；在上单调递减，

所以的极大值为，可得

（2）由对恒成立，即对恒成立，

由不等式可得，

当时，，即，由，有，

记，则，，故在上单调递增，，

则，结合，所以，所以m的取值范围为.

21. 已知函数，.

（1）若，求函数的最大值；

（2）若函数的一个极值点为，求证：.

【答案】（1）1    （2）证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据导数的运算公式和法则求得，令、，分别解不等式即可得出函数的单调性，进而求出函数的最大值；

(2)根据极值点的概念求出函数的解析式，将原不等式转化为在上恒成立，求出，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理可知、的范围，即为函数的单调区间，根据零点的概念计算即可求出.

【小问1详解】

函数的其定义域为，

若，，

所以，

由，得；由，得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以.

【小问2详解】

，则由题意知，解得，经检验，符合题意，

所以，所以要证，即证.

令，则.

令.

则在上单调递增，

因为，，

所以，使得，即，

所以当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以.

又因为，即，所以，

所以，即，即.

【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

22. 已知函数．

（1）若对时，，求正实数a的最大值；

（2）证明：；

（3）若函数的最小值为m，证明：方程有唯一的实数根，（其中是自然对数的底数）

【答案】（1）1    （2）证明见解析   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求，并判断的单调性，分类讨论的正负，得到的单调性，求出时的范围，从而得到的最大值；

（2）利用第（1）问的结论，可得到，令，不等式两边求和即可证明；

（3）求并判断的单调性，结合零点存在性定理，要证方程有唯一的实数解，只要证方程有唯一的实数解．令，， 求结合的单调性以及零点存在性定理，可知，由于形式相同，可构造函数，通过单调性可知且，代入可证明.

【小问1详解】

（） a为正实数，

∴函数在区间上单调递增，且．

①当时，，所以函数在上单调递减，

此时，符合题意．

②当时，，

由零点存在定理，时，有，即函数在上递减，

在递增，所以当时，有，此时不符合．

综上所述，正实数a的最大值为1．

【小问2详解】

由（1）知，当时，，

令时，有，即，

累加得，．

【小问3详解】

因为，所以，即函数在上递增，

又，

由零点存在定理，时，有，即，

因此，而函数在上递减，在上递增，

所以，即．

要证方程有唯一的实数解，只要证方程有唯一的实数解．

设，则，

所以函数在上递增，又，，

由零点存在定理，时，，即，

因此，又，

设，则函数在上递增，于是且，

而函数在上递减，在上递增，

，

即函数有唯一零点，故方程有唯一的实数解．

【点睛】方法点睛：

零点存在性定理：当函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点.

零点代换：当存在零点，且满足等式时，对应在此点处的等量运算也成立，即若有，则有.