四川省眉山市仁寿县第一中学2022-2023学年高二数学（文）下学期第二次月考试题（Word版附解析）

仁寿一中南校区高2021级高二（下）第二次月考

文科数学试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上．

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上．

4．考试结束后，将答题卡交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在某次射击比赛中，甲、乙两人各射击5次，射中的环数如图，则下列说法正确的是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】由图表进行数据分析，得到甲射击5次所得环数分别为：9，8，10，9，10；乙射击5次所得环数分别为：6，9， 9，8，10；利用平均数公式及方差公式计算即可．

【详解】由图可知，甲射击5次所得环数分别为：9，8，10，9，10；

乙射击5次所得环数分别为：6，9， 9，8，10；

故，

，

，

，

故选：C．

2. 已知函数的图像在处的切线在y轴上的截距为2，则实数（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程，.

【详解】由函数，

求导得：，，而，

因此函数在处的切线方程为：，

令，得，于是，解得，

所以.

故选：A.

3. 已知实数满足，则函数存在极值的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先分析三次函数有极值的条件，即为导函数对称的判别式大于零，找出对应的取值范围，然后利用几何概型的概率计算公式即可求解.

【详解】函数的导数为，

若函数存在极值，则，

解得或，因为，所以，

由几何概型的概率计算公式可得，，

故选：B.

4. 采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，，，分组后某组抽到的号码为41．抽到的人中，编号落入区间 的人数为

A. 10 B.  C. 12 D. 13

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．

【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，

又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，

∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，

∴等差数列的通项公式为an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，

由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，

∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，

故选C．

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．

5. 下列函数中，在内为增函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求导，判断导函数不小于零在能否恒成立，或根据初等函数单调性直接判断，即可得出结论.

【详解】选项A，为周期函数，显然在内不是增函数，错误；

选项B，，则，令得，所以函数在单调递增，不合题意，错误；

选项C，，则，令得，所以函数在单调递增，不合题意，错误；

选项D，，则，当时，，此时函数单调递增，正确.

故选：D.

6. 点在边长为的正方形内运动，则动点到定点的距离的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出满足条件的正方形的面积及动点动点到定点的距离对应平面区域的面积，代入几何概型的概率公式，结合对立事件的概率公式即可求出答案.

【详解】解：满足条件的正方形，如图所示，其中满足动点到定点的距离的平面区域如图中阴影所示：

则正方形的面积，阴影部分的面积，

故动点到定点的距离的概率，

所以满足的概率；

故选：D.

7. 已知函数的导函数图像，如图所示，那么函数（    ）

A. 在上单调递增 B. 在处取得极小值

C. 在处切线斜率取得最大值 D. 在处取得最大值

【答案】C

【解析】

【分析】本题首先可根据导函数图像分析出函数的单调性与极值，即可判断出A、B、D错误，然后根据导函数值的几何意义即可得出C正确.

【详解】结合图像易知，

当时，函数是减函数，

当时，函数取极小值，

当时，函数是增函数，

当时，函数取极大值，不一定是最大值，

当时，函数是减函数，

结合上述易知，A、B、D错误，

因为函数在某点处的导函数值即函数在这点处的切线斜率，

所以由图像易知，在处切线斜率取得最大值，C正确，

故选：C.

8. 若函数在在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离得到，，根据二次函数的性质求出的最大值，即可得解.

【详解】因为，所以，

依题意在上恒成立，

所以，令，，

因为在上单调递增，则

所以，即实数的取值范围是.

故选：D

9. 如图是某算法的程序框图，若执行此算法程序，输入区间内的任意一个实数，则输出的的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】由程序框图可知：输入，

当时，执行循环体，，，

当时，执行循环体，此时，，

当时，执行循环体，此时，，

当时，执行循环体，此时，，

当时，退出循环，

由几何概型，得输出的概率为.

故选：B.

10. 定义在R上的偶函数的导函数为，且当时，．则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性即可比较.

【详解】令，因为是偶函数，所以为偶函数，

当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

则，即，则，故A错误；

，即，故B错误；

，即，故C错误；

，即，则，故D正确.

故选：D.

11. 已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值可知，区间含极大值点

【详解】，

当或时，，当时，，

所以函数在，上递增函数，在上递减函数，

故时函数有极大值，且，

所以当函数在上有最大值，则且，

即，解得.

故选：B

12. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】时求导得到单调区间，计算最值，时，再确定，确定函数的单调区间，计算最值，画出函数图像，根据图像得到，解得答案.

【详解】当时，，在区间上单调递增，

；

当时，，当时，在区间上单调递增，

则在上最多有两个零点，不满足题意，

故，此时在区间上单调递增，在区间上单调递减，

．

画出函数的图象，要使函数有三个零点，

由图象可知解得．

综上可知，的取值范围是．

故选：A

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线是l，则f（2）＋＝________．

【答案】

【解析】

【分析】由已知结合导数的计算及几何意义即可求解．

【详解】由题图可知，直线l的方程为：9x＋8y－36＝0．

当x＝2时，y＝，即f（2）＝．

又切线斜率为－，即f′（2）＝－，

∴f（2）＋＝．

故答案为：

14. 若样本数据的标准差为3，则数据的标准差为______．

【答案】6

【解析】

【分析】根据数据加减一个数以及都乘一个数，对方差的影响规律，即可求得答案.

【详解】因为样本数据的标准差为3，故样本数据的方差为9，

则数据的方差为，

故数据的标准差为6，

故答案为：6

15. 已知函数，当时，有极小值，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】求出函数的导函数，令求出其两根，再分类讨论，分别得到函数的单调性，即可得到函数在处取得极值情况，即可得解.

【详解】因为，

所以

，

令，解得或，

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取极小值，

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取极大值，不符合题意，

当，即时，，所以在上单调递减，不符合题意；

综上可得.

故答案为：.

16. 若，则实数的最大值为________.

【答案】

【解析】

【分析】将不等式化为，令，即，利用导数分析函数单调性，即可得到，即恒成立，令，利用导数分析函数单调性，进而求得，进而求解.

【详解】由，

则，

令，即，

所以，

所以函数在上单调递增，

由，可得，

即恒成立，

所以，

令，

则，

令，则；令，则，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，即，

所以实数最大值为.

故答案为：.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 为增强学生的环保意识，让学生掌握更多的环保知识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在，的数据），如下图所示．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；

（2）试估测本次竞赛学生成绩的平均数、中位数．

【答案】（1），，   

（2）平均数为，中位数为

【解析】

【分析】（1）确定中共有8个数，对应的频率为，得到，计算，再根据频率和为1计算得到答案.

（2）根据平均数和中位数的公式计算得到答案.

【小问1详解】

中共有8个数，对应的频率为，故；

，.

【小问2详解】

平均数为：

.

设中位数为，则，解得.

18. 已知函数，集合，若分别从集合P，Q中随机抽取一个数a和b，构成数对．

（1）记事件A为“函数的单调递增区间为”，求事件A的概率；

（2）记事件B为“方程有4个根”，求事件B的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）列举样本空间所有样本点，依题意有，列举满足条件的样本点，根据古典概型概率公式计算；

（2）依题意有，列出所有符合条件的样本点，根据古典概型概率公式计算.

【小问1详解】

由题知，所以，数对的可能取值为：

共16对．

若函数的单调递增区间为，则函数的对称轴为，即

所以，满足条件的基本事件有：，共4对，

所以，事件A的概率为

【小问2详解】

因为，二次函数开口向上，

所以，方程有4个根，即为和各有2个根，

所以，二次函数的最小值小于．

所以，即，

满足条件的基本事件有：，共11对，

所以，事件B的概率．

19. “大众创业,万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.某生产企业积极响应号召,大力研发新产品,为了对新研发的一批产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如表所示:

已知.

（1）求出的值;

（2）已知变量,具有线性相关关系,求产品销量（件）关于试销单价（元）的线性回归方程.

参考数据:,；

参考公式:线性回归方程中,的最小二乘估计分别为,.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据即可求解;

（2）根据参考公式求解即可.

【小问1详解】

因为，

所以，

解得．

【小问2详解】

因

所以，，

所以所求的线性回归方程为．

20. 已知函数，a为正实数，若函数的极大值为1.

（1）求a的值；

（2）若对任意的恒成立，求m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）对函数求导，可得当时，取得极大值，所以由函数的极大值为1，可得，从而可求出a的值；

（2）由对恒成立，得对恒成立，由不等式可得，所以转化为恒成立，构造函数，利用导数求其最小值，从而可求出m的取值范围

【详解】解：（1）由题意，

因为时，令函数，

得到，则在上单调递增；在上单调递减，

所以的极大值为，可得

（2）由对恒成立，即对恒成立，

由不等式可得，

当时，，即，由，有，

记，则，，故在上单调递增，，

则，结合，所以，所以m的取值范围为.

21. 已知函数，其中.

（1）若的极小值为－16，求；

（2）讨论的零点个数.

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】(1)求出导函数，进而求得极小值点，再代入求解即可.

(2)画出函数的大致图像，结合图像分类讨论即可求得结论.

【小问1详解】

由题得，其中，

当时，，单调递增，无极值；

当时，令，解得或；令，解得，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，，

所以当时，取得极小值，

所以，解得.

【小问2详解】

由（1）知当时，的极小值为，

的极大值为，

当，即时，有三个零点，如图①曲线 ；

当，即时，有两个零点，如图②曲线；

当，即时，有一个零点，如图③曲线；

当时，，易知有一个零点.   

综上，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点.

22. 已知函数，.

（1）若，求函数的最大值；

（2）若函数的一个极值点为，求证：.

【答案】（1）1    （2）证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据导数的运算公式和法则求得，令、，分别解不等式即可得出函数的单调性，进而求出函数的最大值；

(2)根据极值点的概念求出函数的解析式，将原不等式转化为在上恒成立，求出，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理可知、的范围，即为函数的单调区间，根据零点的概念计算即可求出.

【小问1详解】

函数的其定义域为，

若，，

所以，

由，得；由，得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以.

【小问2详解】

，则由题意知，解得，经检验，符合题意，

所以，所以要证，即证.

令，则.

令.

则在上单调递增，

因为，，

所以，使得，即，

所以当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以.

又因为，即，所以，

所以，即，即

【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．