河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

南阳一中2022年秋期高二年级第一次月考

数学学科试题

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．设圆，圆，则圆，的公切线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

2．设a∈R，则“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．过点且与直线垂直的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知点A(1,2)与B(3,3)关于直线对称，则a，b的值分别为（    ）

A．2， B．－2， C．－2， D．2，

5．若直线将圆平分，且不通过第四象限，则直线斜率的取值范围是(   )

A． B． C． D．

6．已知实数x，y满足，那么的最小值为（    ）

A．5 B． C． D．

7．已知，，动点P在直线上，当取最小值时，点P的坐标为（    ）

A． B． C． D．

8．已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（    ）

A．       B．      C．       D．

9．若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（    ）

A．6 B．4 C．3 D．2

10．下列说法正确的是（    ）

(1)在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示

(2)方程表示的直线的斜率一定存在

(3)直线的倾斜角为，则此直线的斜率为

(4)经过两点，的直线方程为

A. (1)(4)       B. (2)(3)      C. (2)(4)        D. (1)(3)

11. 曲线与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为（  ）

A.          B.           C.           D.

12．已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（    ）

(1) y＝0     (2) 3x－4y＝0    (3)    (4)

A. (1)(3)(4)     B. (2)(3)    C. (1)(2)(4)      D. (1)(2)(3)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.直线的倾斜角为          .

14．已知点P（m，n）在圆上运动，则的最大值为______．

15．已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为______．

16.已知直线过定点A，若线段BC是圆D：的直径，则______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题10分）在平面直角坐标系中，直线，.

（1）求直线经过定点的坐标；

（2）当且时，求实数的值.

18．（本小题12分）已知直线，.

(1)若直线l与直线垂直，求实数的值；

(2)若直线l在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，求直线l的方程.

19．（本小题12分）已知 的顶点，边上的高所在直线为：，边上的中线所在直线为：，为的中点.

(1)求点的坐标；

(2)求过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程.

20．（本小题12分）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．

(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；

(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；

(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．

21．（本小题12分）已知圆．

(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；

(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C相切，求圆D的方程．

22．（本小题12分）已知圆C经过点和，且圆心C在直线：上．

(1)求圆C的标准方程；

(2)已知过点的直线被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程；

(3)圆C关于直线的对称圆是圆Q，设、是圆Q上的两个动点，点M关于原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，如果直线、与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.

南阳一中2022年秋期高二年级第一次月考

数学学科试题答案

1．B【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．故选：B．

2．A【详解】解：若a＝－2，则直线l1：－2x＋2y－1＝0与直线l2：x－y＋4＝0平行；

若“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”，∴，解得a＝－2或a＝1，∴“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充分不必要条件．故选：A

3．B【详解】由题设，与直线垂直的直线斜率为，且过，

所以，整理得.故选：B

4．A【详解】易知，则直线的斜率为-2，所以，即．又AB的中点坐标为，代入，得.故选：A.

5．B【详解】由圆的方程，可知圆心坐标为，因为直线将圆平分，所以直线过圆心，又由直线不经过第四象限，所以直线的斜率的最小值为，斜率的最大值为，所以直线的斜率的取值范围是，故选B.

6．A【详解】解：可以看作直线上的动点与原点的距离的平方，又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离，

则的最小值为，故选：A

7．A【详解】点B关于直线对称的点为．

,当且仅当当A、P、三点共线时，等号成立．此时取最小值，直线的方程为，

即，令，得． 所以点P的坐标为：

8．D【详解】由，得，∵直线与圆相离，∴解得．

∴实数m的取值范围是，故选:D．

9．B【详解】由题意知，直线过圆心，即，化简得在上，如图，为使最小，只需圆心与直线上的点的距离最小，如图所示：所以的最小值为，故选：B

10．C【详解】对于(1)选项，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如但不能用表示，故(1)选项错误；

对于(2)选项，方程表示的直线的斜率为－m，故(2)选项正确；

对于(3)选项，若，则直线斜率不存在，故(3)选项错误；

对于(4)选项，经过两点，的直线斜率，而，则直线斜率存在，结合直线点斜式方程可知，(4)选项正确.故选：C

11. B 【详解】由可化为，所以曲线为以为圆心，为半径的圆的部分．直线过定点，由图知，当直线经过点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个．且，由直线与圆相切得，解得，则实数的取值范围为．

12.答案：A【详解】圆M的圆心为M（2，1），半径．圆N的圆心为N（－2，－1），半径．圆心距，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离，解得k＝0或，对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得，切线方程为，．

13．    解析：直线的斜率设其倾斜角为，故可得，又，故.

14．64【详解】解：由题得圆心C（2，2），半径r＝3．表示圆C上的点P到点的距离的平方，因为，所以，即的最大值为64．故答案为：64

15．或

【详解】因为，所以点P在圆外．

当直线l的斜率存在时，设其方程为，即．由题意知圆O的圆心坐标为O（0，0），半径为2．

因为圆心到切线的距离等于半径，所以，解得，故直线l的方程为．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也满足条件．

故直线l的方程为或．故答案为：或.

16．   7   【详解】直线可以化为，令，解得，所以点A的坐标为(0,1)；因为圆D：，所以半径为1，D(2,3)，，因为线段BC是圆D的直径，所以，，所以．

17.【详解】（1）∵，∴，∴令且，则，，∴对任意，直线过定点

（2）当时，直线，即又知直线，即，，∴且，∴.

18.（1）因为直线l与直线垂直，所以，解得或.（2）令，得，令，，由题意知，解得或，所以直线l的方程为或.

19.(1)解：因为，而直线：的斜率为，

所以直线的斜率为，即直线的方程为：，即，

所以点在直线与边上的中线的交点，，解得，，

所以顶点的坐标，而为线段的中点，所以，即的坐标；

(2)解：当直线经过原点时，设直线的方程为，将的坐标代入可得，解得，这时直线的方程为；当直线不过原点时，设直线的方程为，

将代入可得，解得，这时直线的方程为，

综上所述：直线的方程为或.

20. 【解析】（1）设，，点A在圆，所以有：，P是A，B的中点，，即，得P得轨迹方程为：；

（2）联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程，设到直线MN得距离为d，则,所以，；

（3）作出关于轴得对称点，如图所示；连接与x轴交于Q点，点Q即为所求，此时，所以的最小值为.

21.【详解】（1）圆的圆心，半径，因为直线过定点，所以可设直线的方程为，因为直线与圆C相切，所以，整理得，则或，当时，直线的方程为；

当时，直线的方程为．所以直线的方程为或.

（2）因为圆D的圆心在直线上，所以可设，则．当圆D与圆C外切时，，即，解得或，所以圆D的方程为或．

当圆D与圆C内切时，，即，解得或，所以圆D的方程为或．综上，圆D的方程为或或或．

22.解：因为圆心C在直线：上，所以设．又因为圆C经过点和，所以，且半径，解得，，因此圆C的标准方程为．

（2）解：因为直线被圆C所截得的弦长为8，所以由垂径定理得圆心到直线的距离为．当直线的斜率不存在时，直线：满足要求；

当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为，即，

由圆心到直线的距离，解得，因此直线的方程为．综上所述，直线的方程为或．

（3）解：因为关于直线的对称点为，而圆C关于直线的对称圆是圆Q，所以圆Q的方程为．因为点关于原点和x轴的对称点分别为、，所以、．又因为，当时，点的坐标为，则直线与x轴垂直，不满足题意，所以．当时，点的坐标为，则直线与x轴垂直，不满足题意，所以，因此直线的方程为，直线的方程为．在方程中，令得，即．在方程中，令得，．又因为、是圆Q上的两个动点，所以，，因，因此为定值