2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二下学期期末数学加试试题含答案

2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二下学期期末数学加试试题

一、单选题

1．已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据和项与通项关系求通项公式.

【详解】当时，，

当时，，

因此数列是首项为1，公比为2的等比数列，，

故选：C.

2．已知等差数列的前n项和为，且前3项的和为，最后3项的和为57，，则n的值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．20

【答案】B

【分析】依题意，利用等差数列下标和性质求出，代入前项和公式即可求出的值．

【详解】依题意，，，

所以，

所以，

所以，解得．

故选：B．

3．已知数列满足，在和之间插入n个1，构成数列：，则数列的前18项的和为（    ）

A．43 B．44 C．75 D．76

【答案】C

【分析】直接利用数列的通项公式和分组法的应用求出数列的和．

【详解】在，之间插入个1，构成数列，

所以共有个数，

当时，，

当时，，

由于，

所以．

故选：C.

4．等比数列中，，数列，的前n项和为，则满足的n的最小值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】A

【分析】根据等比数列通项公式得到，之后代入题中式子求得，利用裂项相消法求和，之后求得所满足的条件，最后确定出的最小值.

【详解】由题意得，所以，

所以，

令，整理得，解得，

故选：A.

二、多选题

5．已知是数列的前n项和，，且则下列结论正确的是（    ）

A． B．数列为等比数列

C． D．

【答案】ABD

【分析】对分奇偶讨论，利用构造法求出的表达式，即可判断ABC，再利用分组求和法即可求出，即可判断D.

【详解】当为奇数时，，则，

当为偶数时，，

对A选项，为偶数，则，故A正确；

对B，当为偶数时，，

用替换上式中的得，，

当为奇数时，，

用替换上式中的得，，

则，两边同加3得，，

则数列是以首项为4，公比为3的等比数列，故B正确；

对C，，，

当为奇数时，，

用替换上式中的得， ，

则，两边同加1得，，

因为，则，

则是以4为首项，公比为3的等比数列，

则，则，则C错误；

对D，由B得，则，，

，故D正确.

故选：ABD.

三、解答题

6．设是等差数列的前n项和，．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)若，，求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，写出其前n项和得到，然后根据等差数列的定义即得；

（2）由，，求得，进而得到，然后利用错位相减法即得.

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，

所以，

则 ，

所以 ， ，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列；

（2），

．，

则，

设数列的前n项和为，

所以，

，

所以

所以.