2022-2023学年河北省保定市第三中学高一（“1 3”贯通实验班）上学期期末线上数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省保定市第三中学高一（“1+3”贯通实验班）上学期期末线上数学试题

一、单选题

1．已知全集，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解不等式求得集合，由此求得.

【详解】，，

，

所以，

所以.

故选：C

2．函数 的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先判断函数的单调性，然后再根据零点存在性定理，通过赋值，即可找到零点所在的区间，从而完成求解.

【详解】函数可看成两个函数和组成，

两函数在上，都是增函数，

故函数在上也是单调递增的，

所以，

而，

由零点存在性定理可得，函数零点所在区间为.

故选：B.

3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性的定义，以及初等函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A，根据幂函数的性质，可得函数为奇函数，不符合题意，故A错误；

对于B，因为的定义域为，关于原点对称，

又，所以函数为奇函数，不符合题意，故B错误；

对于C，根据二次函数的图象与性质，可得函数在上单调递减，不符合题意，故C错误；

对于D，因为的定义域为，关于原点对称，

又，所以函数为偶函数，

当时，可化为，易知一次函数在上单调递增函数，符合题意，故D正确.

故选：D.

4．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题可得恒成立，由即可求出.

【详解】因为命题“，使”是假命题，

所以恒成立，所以，解得，

故实数的取值范围是．

故选：B．

5．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】可通过观察四个函数的图像，分别从奇偶性和在区间上去特殊值验证，即可做出判断.

【详解】函数，所以，故函数为偶函数，所以排除选项B、选项C，观察选项A和选项D，发现两个函数图像在区间有明显区别，所以，取值，此时，故排除选项A，所以选择选项D.

故选：D.

6．已知函数，若特它的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换即可得出结果.

【详解】由题意知，将函数图象向左平移个单位，得，

再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得，

故选：A

7．已知正数，满足，则的最小值为（    ）

A．8 B．12 C． D．

【答案】B

【分析】可通过已知条件，先找到与的等量关系，然后把等量关系带入要求的式子，消掉，从而得到关于的两项乘积为定值的和的关系，然后再使用基本不等式完成求解.

【详解】由已知，，均为正数，，故，即，所以，当且仅当时等号成立.

故选：B.

8．设，则a，b，c的大小关示是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出结果.

【详解】因为，

，

，

所以．

故选：D．

9．定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】当时，为单调增函数，且，则的解集为，再结合为奇函数，所以不等式的解集为．

【详解】当时，，所以在上单调递增，因为，所以当时，等价于，即，

因为是定义在上的奇函数，所以 时，在上单调递增，且，所以等价于，即，所以不等式的解集为

【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．

10．已知函数，若在定义域上恒成立，则的值是（    ）

A．－1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据对数函数的性质可知在上，在上，结合题设条件，必有与的零点相同，进而求出参数a、b，即可得解.

【详解】由题设，定义域为，

令，可得或，

∴在上，在上，

若，

∴要使在定义域上恒成立，则在上，在上，

∴或也是的零点，则：

，无解；，可得；，无解；

∴.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：将原函数拆分为、，根据对数函数的性质及题设恒成立条件，判断拆分后子函数的零点关系.

二、多选题

11．下列各式的值为1的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】对于A：直接判断出即可判断；

对于B：计算出即可判断；

对于C：直接计算出即可判断；

对于D：利用换底公式直接计算出即可判断.

【详解】，.

对于A：因为，所以.故A错误；

对于B：因为，所以B错误；

对于C：.故C正确；

对于D：.故D正确.

故选：CD

12．已知函数，则（    ）

A．最小正周期为 B．关于直线对称

C．在上单调递减 D．最大值为

【答案】BC

【分析】根据两角和的余弦公式、二倍角公式和辅助角公式求出，利用正弦函数的性质依次求出最小正周期、最大值、对称轴和单调减区间即可.

【详解】

，

所以函数的最小正周期为，最大值为，故AD错误；

令，即对称轴为，故B正确；

令，解得，，

当时，函数的单调减区间为，

又，所以在上单调递减，故C正确.

故选：BC.

13．下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．不等式的解集为 D．若，则

【答案】BD

【分析】根据判断选项A的不等式即可；

根据基本不等式的应用判断选项B、D；

根据分式不等式和一元二次不等式的解法解出不等式，即可判断选项C.

【详解】A：当时，不等式不成立，故A错误；

B：当时，，当且仅当时等号成立，故B正确；

C：由题意知，且，

不等式或(舍去)，

解得或，故C错误；

D：由得，

当且仅当即时等号成立，故D正确.

故选：BD

14．已知函数和函数，下列说法中正确的有（    ）

A．函数与函数图象关于直线对称

B．函数与函数图象只有一个公共点

C．记，则函数为减函数

D．若函数有两个不同的零点，，则

【答案】ABD

【分析】选项A，可通过在上取点，验证点是否在函数图像上，即可做出判断；

选项B，可通过画出函数与函数图象，即可做出判断；

选项C，可在上赋值验证是否满足减函数的条件，即可做出判断；

选项D，可由题意，得到的等量关系，通过化简，即可做出判断.

【详解】选项A，在函数 上去一点，此时满足，而此时

，因此，点在函数上，因为点与点是关于直线对称的，故两个函数图象关于直线对称，故该选项正确；

选项B，函数与函数在定义域内都是单调递减的，由它们的函数图像可知，两个函数图象只有一个公共点，故该选项正确；

选项C，，则有，，所以函数不是减函数，故选项错误；

选项D，，有两个根，设，则有，所以，化简得，即，故该选项正确；

故选：ABD.

15．已知，是一锐角三角形的内角，则下列不等关系一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】令可判断A；由及可判断B；由，可判断C；由，可判断D.

【详解】因为，是一锐角三角形的内角，所以，

令，所以，故A错误；

可得，，，

因为，所以， ，

，故B正确；

，

由得，所以，故C错误；

，

因为，故D正确.

故选：BD.

16．已知函数，若，则实数可以取的值是（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】CD

【分析】构造函数，可得函数为奇函数，且在R上单调递减，结合条件可得，即得.

【详解】设函数，又函数，

∴，函数定义域为R，

又，

∴函数为奇函数，

当时，函数与函数单调递减，

∴当时，函数单调递减，又函数为R上的奇函数，

∴函数在R上单调递减，

由，可得，

∴，即，

所以，解得.

故选：CD.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，可得函数为R上的奇函数且单调递减，问题即可得到解决.

三、双空题

17．已知扇形的圆心角为，且圆心角所对的弦长为，则圆心角所对的弧长为___________，该扇形的面积为___________.

【答案】         

【分析】由条件求扇形的半径，再由弧长公式和面积公式求扇形的弧长及面积.

【详解】由已知可得，，

连接圆心与弦的中点，则，，，

∴ ，即扇形的半径为4，

∴  圆心角所对的弧长，

扇形的面积，

故答案为：，.

四、填空题

18．函数且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则b的值为___

【答案】-1

【分析】根据对数函数恒过定点求出点A的坐标，再代入函数的解析式计算作答.

【详解】依题意，由解得，此时，于是得点，

而点A在函数的图象上，即有，解得，

所以b的值为-1.

故答案为：-1

19．已知，那么________.

【答案】##

【分析】根据，将代入求值.

【详解】由题设，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：注意将目标式中转化为形式时自变量的范围需要满足题设要求.

20．设函数，则不等式的解集为________．

【答案】

【分析】由复合函数的单调性可得函数在上单调递减，进而不等式可化为，即得.

【详解】∵函数，定义域为，

当时，

，

∵函数在上单调递减，函数在其定义域上单调递增，

所以函数在上单调递减，

由，可得，

∴，，

∴，即，

解得，

∴不等式的解集为.

故答案为：.

五、解答题

21．（1）求值：；

（2）求值：

【答案】（1）13；（2）5

【分析】（1）根据指数、对数运算性质求解即可.

（2）根据诱导公式化简求值即可.

【详解】（1）原式

.

（2）原式

.

22．在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点在第二象限，且，记，满足.

(1)求点的坐标：

(2)求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合三角函数的定义可求得点的坐标；

（2）求出的值，利用诱导公式以及弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】（1）解：因为为第二象限角，则，

因为点的坐标为，因此，点的坐标为.

（2）解：由（1）可知，

原式.

23．已知，，，.

(1)求的值；

(2)求的值：

(3)求的值.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）同角三角函数平方关系求得，，再由及差角余弦公式求值即可.

（2）由诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.

（3）由（1）及和角正余弦公式求、，由（2）及平方关系求，最后应用差角余弦公式求，结合角的范围求.

【详解】（1）由题设，，，

∴，，

又.

（2）.

（3）由，则，

由，则，

∴，，又，，则，

∴，而，故.

24．已知函数．

(1)判断函数f (x)的单调性，并用定义给出证明；

(2)解不等式：；

(3)若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围．

【答案】(1)f (x)在R上单调递增；证明见解析；

(2)；

(3){－3} （1，+∞）.

【分析】（1）利用函数单调性的定义及指数函数的性质即得；

（2）由题可得，然后利用函数单调性即得；

（3）由题可得方程有且只有一个正数根，分m=1，m≠1讨论，利用二次函数的性质可得.

【详解】（1）f (x)在R上单调递增；

任取x1，x2∈R，且x1<x2，则

∵

∴，

∴．

即．

∴函数f (x)在R上单调递增．

（2）∵，

∵，∴，

又∵函数f (x)在R上单调递增，

∴，

∴不等式的解集为．

（3）由可得，

，

即，此方程有且只有一个实数解．

令，则t >0，问题转化为：

方程有且只有一个正数根．

①当m=1时，，不合题意，

②当m≠1时，

（i）若△=0，则m=－3或，

若m =－3，则，符合题意；

若，则t = －2，不合题意，

（ii）若△>0，则m<－3或，

由题意，方程有一个正根和一个负根，即，解得m>1．

综上，实数m的取值范围是{－3} （1，+∞）．