2023届四川省成都市石室中学高三上学期数学（文科）第三次周考试题含答案

  成都石室中学2022-2023学年度上期高2023届第三次周考

数学试题(文科)

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项最符合题目要求.

1.已知向量,,若,则(   )

A. B.2 C.1 D.

2.已知集合,则(   )

A. B. C.         D.

3.已知复数, 则(   )

A.   B.   C.     D.

4.执行如图所示的程序框图,若输出的为4,则输入的应为(   )

A.－2           B.16            C.－2或8        D.－2或16

5. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是(   )
A.        B.         C.          D.

6.若实数满足约束条件则的最小值是(   )

A.            B.            C.            D.

7.已知,,,且在上无最小值,则(   )

A.                B.1                 C.                 D.2

8.香农定理是所有通信制式最基本的原理,它可以用香农公式来表示,其中是信道支持的最大速度或者叫信道容量,是信道的带宽,是平均信号功率,是平均噪声功率.已知平均信号功率为,平均噪声功率为,在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下,要使信道容量增加到原来的2倍,则平均信号功率需要增加到原来的(   )

A.1.2倍 B.12倍              C.102倍 D.1002倍

9.已知等比数列的前项和,则(   )

A. B.              C. D.

10. 已知是双曲线的左、右焦点,过的直线与的左、右两支分别交于两点.若,则该双曲线的离心率为(   )

A. 2        B.      C.    D.

11.平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形,其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线,的距离之和为2的点的轨迹为曲线,则曲线围成的图形面积为(   )

A. B. C. D.

12.已知球的体积为,高为1的圆锥内接于球,经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为,若,则(       )

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共计20分.

13.已知等差数列的首项为2,且,则　       　.

14.已知圆与抛物线的准线相切,则　       　.

15.已知平面向量满足,则在方向上的投影为　       　.

16.已知椭圆的焦点为,,过的直线与交于两点.若,,则的值为　       　.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用前卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级;在75微克/立方米以上的空气质量为超标.为了解甲, 乙两座城市年的空气质量情况,从全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本,监测值如以下茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).

(1)从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中,从PM2.5日均值在范围内随机取2天数据,求取到2天的PM2.5均超标的概率;

(2)以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况,则甲, 乙两城市一年(按365天计算)中分别约有多少天空气质量达到一级或二级.(结果精确到整数)

18.在中,角的对边分别为,

(1)求;

(2)若,的面积为,求的周长.

19.在多面体中,平面平面,是面积为的矩形,,,.

(1)证明:;

(2)求点到平面的距离.

20.已知直线和与抛物线分别相交于两点(异于坐标原点), 与直线分别相交于两点,且.

(1)求线段的中点的轨迹方程;

(2)求面积的最小值.

21.已知函数.

(1)当时,讨论函数的单调性;

(2)设,若关于的不等式在上有解,求的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22.在直角坐标系中,已知直线的参数方程为为参数,,,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(1)判断直线与曲线的交点个数;

(2)若直线与曲线相交于,两点,且,求直线的直角坐标方程.

【选修4-5：不等式选讲】

23.已知函数.

(1)求不等式,的解集;

(2)已知函数的最小值为,且,,都是正数,,证明：.

成都石室中学2022-2023学年度上期高2023届第三次周考

数学试题(文科)答案

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.

BBADB    CACDC    AC

二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共计20分.

13.4       14.4      15.     16.9

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.解:(1)从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中,PM2.5日均值在内的共有6天,而PM2.5日均值为超标(大于75微克/立方米)的有3天.记PM2.5日均值超标的3天为,不超标的3天为,则从这6天中随机取2天,共有如下15种结果(不记顺序):

,,

       ……………………2分

其中,抽出2天的PM2.5均超标的情况有3种：.…4分

由古典概型知,抽到2天的PM2.5均超标的概率.  ……………………6分

(2)各抽取的20天样本数据中,甲城市有15天达到一级或二级;……………………7分

      乙城市有16天达到一级或二级.         …………………………………………8分

      由样本估计总体知,甲, 乙两城市一年(按365天计算)中空气质量达到一级或二级的天数分别约为:

,  .……………………12分

18.解:（1）∵,

∴

∴,

∴

由正弦定理可得：,

∴,∴, ∴ --------------------------------------6分

(2) ,且,∴

  由余弦定理可得：

 ∴ 周长=   --------------------------------------12分

19.解:(1)证明：如图所示,延长,,交于点,由于,

故为的中位线,从而为等边三角形,据此可得,

由于是的矩形,则,平面平面,故平面,

据此可得,结合可得平面,故.

 (2)以点为坐标原点,,,所在的直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,由长方形的面积可得,

从而,

设平面的法向量为,

则,

据此可得,且,

据此可得点到平面的距离.

20. 线段的中点的轨迹方程为

所以,面积的最小值是

21.解：(Ⅰ)由题意知,,.

令,当时,恒成立,

∴当时,;当时,,

∴函数在上单调递增,在上单调递减.…………4分

(Ⅱ)∵,∴,

由题意知,存在,使得成立.

即存在,使得成立,

令,

∴.

①时,,则,∴函数在上单调递减,

∴成立,解得,∴;

②当时,令,解得;令,解得,

∴函数在上单调递增,在上单调递减,

又,∴,解得,∴无解;

③当时,,则,∴函数在上单调递增,

∴,不符合题意,舍去.

综上所述,的取值范围为.…………………………12分

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22.解:(1)由得：,则,

曲线的直角坐标方程为：;

由直线参数方程可知：恒过点,

,点在圆内部,

直线与曲线相交,即有两个不同的交点. ------------------------------5分

(2)将直线参数方程代入曲线直角坐标方程得：,

即;

设,对应的参数分别为,,则,,

,

解得：,,又,,或,

则直线方程为或.------------------------------5分

【选修4-5：不等式选讲】

23.解:(1)当时,,解得,

当时,,解得,

当时,,解得,

综上,原不等式的解集为,,.------------------------------4分

(2)证明：,

当且仅当即时,等号成立,

则,,

故

,

当且仅当时,等号成立,

故.------------------------------5分