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    2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期第4次周考(文科)数学试题含答案
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    2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期第4次周考(文科)数学试题含答案

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    这是一份2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期第4次周考(文科)数学试题含答案,共23页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

      成都石室中学高2023届高三下学期周考四(文科)

    一、单选题

    1.复数的共轭复数对应点的坐标为,则的虚部为(    

    A B C D

    2.已知全集是不大于5的自然数集,,则     

    A B C D

    3.如图(1)反映了我国2016-2021年全国R&D经费及投入强度情况;图(2)反映了我国2016-2021年全国基础研究经费及占R&D经费投入比重情况.根据统计图提供的信息,下列推断不合理的是(    

    A2019-2020年,我国R&D经费与GDP之比增长幅度最快

    B2016-2021年,我国R&D经费总量及基础研究经费均逐年增长

    C2016-2021年,我国R&D经费总量平均值超过21000亿元

    D2016-2021年,我国基础研究经费及占R&D经费投入比重的中位数分别为1213亿元及

    4.如图,网格纸上绘制的是一个几何体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该几何体的体积为(    

    A B C D4

    5.已知函数的图象如图所示,其解析式可能是(    A    B

    C    D

    6.当时,函数取得最小值1,则    

    A B C D

    7.已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切,则三棱柱外接球的表面积为(    

    A B C D

    8.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作,也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度,已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上BC两点与点A在同一条直线上,且在点A的同侧.若在BC处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°20°,且BC 100 m,则该球体建筑物的高度约为(    )(cos10° ≈ 0.985

    A49.25 m       B50.76 m      C56.74 m       D58.60 m

    9.如图所示,长方体中,O的中点,直线交平面于点M,则下列结论错误的是(    

    AAMO三点共线                                B的长度为1

    C.直线与平面所成角的正切值为          D的面积为

    10.在平面直角坐标系中,已知双曲线左、右顶点为AB,若该双曲线上存在点P,使得的斜率之和为1,则该双曲线离心率的范围为(    

    A B C D

    11.已知函数上恰好有7个零点,则的取值范围是(    

    A B C D

    12.已知abc均为负实数,且,则(    ).

    A      B      C      D

    二、填空题

    13.若抛物线过点,则该抛物线的焦点坐标为__________

    14.已知平面向量满足,则向量的夹角为__________

    15.若直线与圆交于两点,则面积的最大值为_____

    16.在锐角中,内角ABC所对应的边分别是abc,且,则的取值范围是______

    三、解答题

    17.如图,在四棱锥中,平面平面ABCD

    (1)求四棱锥的体积;

    (2)在线段PB上是否存在点M,使得平面PAD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    18.已知数列是等差数列,数列是公比不等于1的等比数列,且.

    (1)

    (2),求.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    19202212月份以来,全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费券,助力消费复苏.记发放的消费券额度为x(百万元),带动的消费为y(百万元).某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.

    x

    3

    3

    4

    5

    5

    6

    6

    8

    y

    10

    12

    13

    18

    19

    21

    24

    27

     

    (1)根据表中的数据,请用相关系数说明yx有很强的线性相关关系,并求出y关于x的线性回归方程.

    (2))若该省A城市在20232月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券,利用(1)中求得的线性回归方程,预计可以带动多少消费?

    )当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10%时,认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A城市2月份发放额度为10百万元的消费券后,经过一个月的统计,发现实际带动的消费为30百万元,请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想?若不理想,请分析可能存在的原因.

    参考公式:.时,两个变量之间具有很强的线性相关关系.

    参考数据:.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    20.已知椭圆的离心率为,且过点

    (1)求椭圆的方程;

    (2)直线与椭圆交于不同的两点,且直线的斜率依次成等比数列.椭圆上是否存在一点,使得四边形为平行四边形?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    21.已知函数的最大值是

    (1)求实数的值;

    (2)设函数,若,使,求实数的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    22.在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为

    (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;

    (2)Pl上一点,过P作曲线C的两条切线,切点分别为AB,若,求点P横坐标的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

     

    23.设函数.

    (1)解不等式

    (2)的最小值为,正数满足,证明:.


    参考答案:

    1C

    【分析】由复数的概念及性质,根据运算法则即可求解.

    【详解】依题意,

    因为复数的共轭复数对应点的坐标为

    所以

    所以

    .

    故选:C.

    2B

    【解析】化简集合,根据补集和交集定义,即可求解.

    【详解】

    ,则.

    故选:B.

    【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.

    3D

    【分析】根据统计图读取相关数据,再逐项判断各选项即可.

    【详解】对于A,由图(1)可得2017年我国R&D经费与GDP之比比2016增长0.02%

    2018年我国R&D经费与GDP之比比2017增长0.02%

    2019年我国R&D经费与GDP之比比2019增长0.10%

    2020年我国R&D经费与GDP之比比2020增长0.175%

    2021年我国R&D经费与GDP之比比2021增长0.03%A正确;

    由统计图(1) 2016-2021年,我国R&D经费总量(单位:亿元)依次为

    所以2016-2021年期间,我国R&D经费总量逐年增加,

    由统计图(2) 2016-2021年,我国基础研究经费(单位:亿元)依次为

    所以2016-2021年期间,我国基础研究经费逐年增加,B正确;

    所以2016-2021年,我国R&D经费总量的平均值为(亿元),

    所以2016-2021年,我国R&D经费总量平均值超过21000亿元,C正确;

    由图(2) 2016-2021年我国基础研究经费的中位数为(亿元),

    2016-2021年我国基础研究经费占R&D经费投入比重的中位数为D错误;

    故选:D.

    4B

    【分析】首先还原几何体,然后计算其体积即可.

    【详解】如图所示,

    题中三视图对应的几何体为图中棱长为2的正方体中的三棱锥,

    其体积.

    故选:B.

    5C

    【解析】由图像可知函数的定义域为,是偶函数,且,再结合选项即可求出结果.

    【详解】由图像可知函数的定义域为,是偶函数,且

    时,,故选项A错误;

    时,,故选项B错误;

    时,,故选项D错误;

    综上可知,选项C正确.

    故选:C.

    【点睛】本题主要考查了函数图像,考查了学生的数形结合能力,属于基础题.

    6A

    【分析】由题意可得,,即可求出ab的值,进而得到.

    【详解】由题意可得,

    因为,所以,解得

    ,所以

    故选:A.

    7B

    【分析】根据球与正三棱柱的所有面都相切,求得底面三角形内切圆的半径以及棱柱的高,继而求得外接球半径,即可求得答案.

    【详解】因为球的体积为,所以球的半径为1

    又球与正三棱柱的所有面都相切,

    所以正三棱柱底面内切圆的半径为1,棱柱高为2

    设正三棱柱的外接球的球心为O,底面内切圆的圆心为,

    的中点为D,则上,且,

    ,则三棱柱外接球的半径为

    即外接球的表面积为,

    故选:B

    8B

    【分析】根据三角函数可得,利用求解即可.

    【详解】如图,

    设球的半径为

    故选:B

    9C

    【分析】利用公理3证明三点共线即可判断A,利用长方体的性质以及中位线定理,可判断B,利用线面角的定义,根据长方体的几何性质,结合三角函数定义,可判断C,利用三角形面积转化求解,可判断D.

    【详解】

     

    对于A,连结,则四点共面,

    平面平面

    平面在平面与平面的交线上,

    同理也在平面与平面的交线上.

    三点共线,故A正确:

    对于B,设直线与平面的交点为

    平面平面平面

    平面平面平面

    平面平面

    平面平面

    又平面平面,平面平面

    中点,中点,同理可得的中点,

    ,故B正确;

    对于C,取中点,连接平面

    即为直线与平面所成角,又平面平面

    即为直线与平面所成角,

    ,故C错误;

    对于D

    ,故D正确.

    故选:C

    10D

    【分析】由题可得与双曲线有公共点,据此可得答案.

    【详解】易知,设,则,所以

    ,所以,即,所以,即直线与双曲线有公共点.联立与双曲线方程,有

    消去得:,则要使方程有根,需使.

    故选:D

    11A

    【分析】先化简为,令,即上恰有个不相等的实根,由的性质可得解

    【详解】,令

    由题意上恰有个零点,即上恰有个不相等的实根,即,或

    时,

    .

    的性质可得

    解得

    故选:A

    12A

    【分析】对变形,构造,则,求导得到函数单调性,数形结合得到.

    【详解】由,得,于是

    同理由,可得

    对于,可得

    两边同时取对数得,于是

    构造函数,则

    因为

    所以当时,内单调递减,

    时,内单调递增,

    所以

    如图所示,故

    故选:A

    【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点,结合代数式的特点,选择适当的函数,通过导函数研究出函数的单调性,从而比较出代数式的大小,本题中变形得到,及,从而达到构造出适当函数的目的.

    13.

    14##

    【分析】根据向量垂直的表示,结合数量积的定义求出向量的夹角.

    【详解】因为

    所以

    所以

    所以,又

    所以

    所以,又

    所以向量的夹角为

    故答案为:.

    15

    【分析】由题知直线过定点,在圆内部,进而可知当时,弦取得最小值,此时也最小,即可得,再根据求解即可.

    【详解】解:因为直线方程变形为

    所以直线过定点

    由题知圆的圆心为,半径为

    因为

    所以,定点在圆内部,

    所以,当时,弦取得最小值,此时也最小,

    所以,当时,弦的最小值为的最小值为

    所以,

    所以,面积

    故答案为:

    16

    【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为,根据为锐角三角形可得以及,再由正弦定理可得,利用两角和的正弦展开式和的范围可得答案.

    【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得

    因为,所以

    可得

    因为,所以

    所以

    可得

    所以

    由正弦定理得

    .

    故答案为:.

    17(1)

    (2)存在,

     

    【分析】(1)先证明平面ABCD,PG为四棱锥的高,再应用体积公式

     

    2)先过点CAB于点N,过点NPB于点M,再证平面平面CMN,最后得出比值成立即可.

    【详解】(1)取AD的中点G,连接PGGB,如图所示.

    中,GAD的中点,所以

    又平面平面ABCD,平面平面平面PAD

    所以平面ABCD,即PG为四棱锥的高.

    平面ABCD,所以

    中,由余弦定理得

    ,故

    中,,所以

    所以

    2)过点CAB于点N,则

    过点NPB于点M,连接CM,则

    又因为平面PAD平面PAD,所以平面PAD

    因为平面PAD平面PAD,所以平面PAD

    平面CNM,所以平面平面CMN

    平面CMN,所以平面PAD

    所以在PB上存在点M,使得平面PAD,且

    18(1)

    (2)

     

    【分析】(1)运用等差数列、等比数列的基本量计算即可.

    2)运用错位相减法求和即可.

    【详解】(1)设的公差为的公比为

    ,得

    解得

    所以.

    2)由(1)得

    所以

    两式相减得

    所以.

    19(1)具有很强的线性相关关系,

    (2)35.25百万元

    )不理想,理由见解析,答案不唯一

     

    【分析】(1)通过相关系数公式求得相关系数,利用回归直线方程的计算公式求得回归直线方程.

    2)()利用回归直线方程求得预测值.

    )根据理想的定义进行分析,从而确定正确答案.

    【详解】(1

    .

    代入公式可得相关系数.

    由于r非常接近1,所以yx具有很强的线性相关关系.

    经计算可得

    .

    所以所求线性回归方程为.

    2)()当时,,所以预计能带动的消费达35.25百万元.

    )因为%,所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是理想的.

    发放消费券只是影响消费的其中一个因素,还有其他重要因素,

    比如:A城市经济发展水平不高,居民的收入水平直接影响了居民的消费水平;

    A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.

    (只要写出一个原因即可).

    20(1)

    (2)存在,

     

    【分析】(1)由离心率的值,可得的关系,设椭圆的方程,将点的坐标代入椭圆的方程,可得的值,进而求出椭圆的方程;

    2)由题意可得直线的斜率存在且不为0,设直线的方程,与椭圆的方程联立,可得两根之和及两根之积,由四边形为平行四边形可得的坐标,将的坐标代入椭圆的方程,可得参数的关系,求出直线的斜率之积,由直线的斜率依次成等比数列可得参数的关系,进而求出参数的值,即求出直线的方程.

    【详解】(1)由离心率,可得,所以椭圆的方程为:

    将点代入椭圆的方程可得:

    解得

    所以椭圆的方程为

    2)由题意可得直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为:,设

    联立,整理可得:

    ,即

    因为四边形为平行四边,互相平分,所以

    因为在椭圆上,则

    整理可得:

    又因为直线的斜率依次成等比数列,即

    可得

    ①②可得:,符合

    可得

    所以直线的方程为:

    【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用,等比数列的性质的应用,属于中档题,本题的关键是韦达定理求得根与系数的关系,求得点的坐标,以及表示写了的关系.

    21(1)

    (2)

     

    【分析】(1)求出函数导数,分析函数单调性,据此求出函数的最大值即可得解;

    2)构造函数,求导后由局部再构造函数,利用导数可得函数单调性,利用零点存在性定理确定唯一零点的大致范围,由此可知为函数最小值,再由隐零点的满足条件化简即可得解.

    【详解】(1)求导,得,令 , 解得

    时, ;当 时,

     所以上单调递增, 在上单调递减,

    所以当 时, 函数有最大值, 即

    所以

    2)令

    求导, 得

    , 求导得

    时, , 所以 上单调递增.

    因为

    所以存在唯一的, 使

    时, ;

    时,

    所以 上单调递减, 在上单调递增,

    , 得

    构造函数, 求导, 得

    所以 上单调递增, 又,所以

    所以.

    故实数的取值范围是

    【点睛】关键点点睛:构造后,由导数知函数 上单调递增,需要找到两个合适的值,确定隐零点的范围是解题的第一个关键点,当确定存在唯一的, 使后,利用隐零点得到函数极值,再由隐零点满足的条件构造函数,利用单调性得出是解题的第二个关键所在,解决这两个关键点,即可得解.

    22(1)

    (2)

     

    【分析】(1)把曲线C的方程两边平方相加可求曲线C的普通方程,利用两角和的余弦公式可求直线l的直角坐标方程;

    2)设,由题意可得,计算可求点P横坐标的取值范围.

    【详解】(1)由曲线的参数方程为为参数),

    可得

    ,

    ,,

    曲线的普通方程为,直线的直角坐标方程为

    2)设,连接,易得

    ,

    中,

    ,

    ,两边平方得,

    解得,

    横坐标的取值范围为

    23(1)

    (2)证明见解析

     

    【分析】(2)分三种情况讨论,去绝对值符号,从而可得答案;

    2)根据绝对值的三角不等式求出的最小值,再根据基本不等式中“1”的整体代换结合基本不等式即可得证.

    【详解】(1)当时,,解得

    时,,解得

    时,,解得

    综上所述,不等式的解集为

    2)由题

    当且仅当时取等号

    的最小值,即

    ,

    当且仅当,即时取等号,

    所以

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