2023届广西壮族自治区桂林市等2地高三下学期3月月考数学（理）试题含解析

这是一份2023届广西壮族自治区桂林市等2地高三下学期3月月考数学（理）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广西壮族自治区桂林市等2地高三下学期3月月考数学（理）试题 一、单选题1．命题，的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据全称命题的否定形式，即得解【详解】根据全称命题的否定形式，命题，的否定是：，.故选：C2．已知（为虚数单位），则的虚部为（    ）A．-13 B．13 C．-26 D．26【答案】A【分析】根据复数的概念与运算法则化简即可.【详解】∵，的虚部为-13.故选：A3．2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为 A．7000 B．7500 C．8500 D．9500【答案】C【分析】根据两次就医费关系列方程，解得结果.【详解】参加工作就医费为，设目前晓文同学的月工资为，则目前的就医费为，因此选C.【点睛】本题考查条形图以及折线图，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.4．已知，，R且，则下列不等式正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用举实例判断ABD，利用幂函数的单调性判断C．【详解】解：对于A，当，时，满足，但， 所以A错误，对于B，当，时，满足，但，所以B错误，对于C，在R上为增函数，，，所以C正确，对于D，当时，，所以D错误，故选：C．5．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函数的定义，结合诱导公式求解即可．【详解】平面直角坐标系中，角的终边经过点，则．则．故选：．6．若直线是圆的一条对称轴，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线过圆心代入求解即可.【详解】由题意得，圆心为，因为直线是圆的一条对称轴，所以直线过圆心，即，解得.故选：D7．科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为线段，如图2.以为底向外作等边三角形，并去掉线段，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段的长度为1，则图3中曲线的长度为（    ）  A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】根据给定条件，探讨一次操作前后曲线长度的关系，再借助等比数列求解作答.【详解】依题意，一条线段经过一次操作，其长度变为原来的，因此每次操作后所得曲线长度依次排成一列，构成以为首项，为公比的等比数列，所以当进行三次操作后的曲线长度为.故选：C8．为实数，表示不超过的最大整数，则函数在R上为（　　）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数【答案】D【详解】表示不超过的最大整数,则,所以,即是周期为1的周期函数.故选：D． 9．体积为36π的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面积为8π的圆柱，当圆柱的体积最大时，其侧面积为（    ）A．8 B．8 C．6 D．9【答案】A【分析】由球的体积可得球的半径当圆柱的体积最大时，则圆柱的上下底面是球的截面圆，由圆柱的底面积求出圆柱的底面半径，进而求出圆柱的高，进而求出圆柱的侧面积.【详解】由球的体积可设球的半径R，由题意πR3＝36π，可得R＝3，当圆柱的体积最大时，则圆柱的上下底面是球的截面圆，因为底面积为8π，设底面半径为r，则πr2＝8π，所以r＝2，所以圆柱的高为：h＝222，所以圆柱的侧面积为2πr•h＝28π，故选：A【点睛】本题考查球与几何体，重点考查空间想象能力，计算能力，属于基础题型.10．已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，．由得，设，，得 可得答案．【详解】不妨设，，，且，因为，所以，设，，，，所以，由于，故．故选：D．【点睛】本题考查了用向量的坐标运算求取值范围的问题，解题的关键点是设，，转化为坐标运算，考查了学生分析问题、解决问题的能力.11．双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C．8 D．14【答案】B【分析】由双曲线定义及渐近线方程得，，结合均值不等式、对勾函数单调性及的取值范围求最小值即可.【详解】由一条渐近线方程为得，由双曲线定义可知，，.要使的值最小，则应尽可能大，应尽可能小，故点M应为双曲线右支上一点，故，即.故，当且仅当即时等号成立，此时，故取不到等号.对勾函数在单调递减，在单调递增，∵，∴，故当时，取得最小值为4.故选：B.12．已知等差数列，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，设，然后可得，再由三角函数的值域即可得到其范围，从而得到结果.【详解】由题意可得，不妨设，公差为，则，又因为，所以，则，其中，且，则，当时，取最大值，当时，此时，其中，解得，则取最小值，即的取值范围是.故选：B 二、填空题13．若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为              .【答案】1【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，  目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.14．设常数，如果的二项展开式中项的系数为-80，那么      .【答案】【解析】利用二项式定理的通项公式即可得出.【详解】的二项展开式的通项公式：，令，解得.∴，解得.故答案为：-2.【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题.15．为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为           ；【答案】【分析】由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果．【详解】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种，而所有的抽取方法共有种，故每一类都被抽到的概率为＝＝，故答案为：．16．如图，在矩形中，为边的中点，将沿翻折，得到四棱锥.设线段的中点为，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有平面；②存在某个位置，使与所成的角为；③三棱锥的体积的最大值为.其中正确的命题是           .(写出所有正确命题的序号)【答案】①③【分析】①取中点N，连接MN，EN，证明即可；②用反证法，假设存在，证明出与已知矛盾；③可知当平面平面DEC时，体积取得最大.【详解】对于①，取中点N，连接MN，EN，则在中，MN为中位线，所以，又ABCD为矩形，E为AB中点，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，故①正确；对于②，假设存在某个位置，使与所成的角为，即在矩形中，为边的中点，可得，，平面，平面，，与矛盾，故②错误；对于③，，因为的面积不变，所以当到平面DEC的距离最大值，体积最大，可知当平面平面DEC时，到平面DEC的距离最大，此时体积取得最大值为，故③正确.故答案为：①③. 三、解答题17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．【详解】（1）由于， ，则．因为，由正弦定理知，则．（2）因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积． 18．如图，三棱柱中，侧面为菱形.  (1)（如图1）若点为内任一点，作出与面的交点（作出图象并写出简单的作图过程，不需证明）；(2)（如图2）若面面，求二面角的余弦值.【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）由平面的基本性质找两平面的交线，即可求得与面的交点；（2）连接，，设，连接，证明、、两两垂直，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，设，再由空间向量求二面角的余弦值．【详解】（1）  作图步骤①连接并延长交于点②连接交于点，连接③连接交于点④点即为所求.（2）连结，交于点，连结，侧面为菱形，，且为的中点，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，  设，则，0，，，0，，，，，，，，，，，设平面与平面的一个法向量分别为与，由，取，得；由，取，得．，19．在自治区高中某学科竞赛中，桂林市4000名考生的参赛成绩统计如图所示.   (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点值作代表）；(2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么桂林市4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(3)如果用桂林市参赛考生成绩的情况来估计自治区的参赛考生的成绩情况，现从自治区全体参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到0.001）附：①；②，则；③【答案】(1)70.5(2)634人(3) 【分析】（1）根据平均数公式计算；（2）根据正态分布的对称性计算，再估计人数；（3）根据二项分布的概率公式计算．【详解】（1）由题意知：70.5名考生的竞赛平均成绩为70.5.（2）依题意服从正态分布，其中，服从正态分布，而，.竞赛成绩超过84.81的人数估计为人人.（3）由样本估计总体可知竞赛考生成绩不超过84.81的概率为.而，.20．已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点.(1)求椭圆的标准方程；(2)判断是否恒成立，并说明理由.【答案】(1)(2)恒成立，理由见解析 【分析】（1）根据焦点坐标和条件列方程求解；（2）结合两角的范围，说明即可.【详解】（1）由已知得，故，由得，，得，又因，所以，所以椭圆的标准方程；（2）恒成立理由：由（1），则设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得得，即，直线与的交点，所以，即；，即，又.在中，显然，则，由，所以，特别的，当时，，则，综上所述.21．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；(2)若，证明.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由题意可知，则可求出切点坐标为，切线斜率为，再利用点斜式写出直线，则可求出答案；（2）由定义域为，则，讨论与的大小关系即可去掉绝对值，利用则可求出求出实数a的取值范围.【详解】（1）当时，，切点切线方程为，即，令，得；令，得，所以三角形的面积是：；（2）因为，所以令，则在上单调递增，又，存在唯一的使，且，所以，当时，，由，则在上单调递减，当时，，由，当时，在上单调递增，则，所以当时，，所以在上单调递增，综上所述，而，又因为设，则在上恒成立，所以在上单调递增.此时，即，所以.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数的几何意义求切线方程，利用导数处理恒成立求参数问题，解答本题的关键是对参数分和两种情况进行讨论，当时，易知恒成立；当时，设，讨论出其单调性，得出其符号，打开绝对值，从而得出在上单调递减，在上单调递增，得到，从而求出的范围，进而求出答案，属于难题.22．如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线都过极点.(1)分别写出半圆，圆的极坐标方程；(2)直线与曲线分别交于两点（异于极点），求的面积.【答案】(1)：，：(2) 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，写出极坐标方程；（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．【详解】（1）曲线是以为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线以为圆心的圆，转换为极坐标方程为.故半圆，圆的极坐标方程分别为：，（2）由（1）得：.点到直线的距离.所以.故的面积为：23．已知对任意的恒成立．(1)求实数m的取值范围；(2)设实数t为m的最大值，若实数a，b，c满足，求的最小值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据绝对值的性质，结合分类讨论法、任意性的定义进行求解即可；（2）利用柯西不等式进行求解即可.【详解】（1）设，当时，，显然此时；当时，，显然有；当时，，显然有，综上所述：，要想对任意的恒成立，只需，所以实数m的取值范围为；（2）因为，所以，即，，当且仅当时取等号，即时取等号，而，所以有.