2023届广西壮族自治区玉林市高三二模数学（理）试题含解析

2023届广西壮族自治区玉林市高三二模数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式化简集合A，B，再利用并集的定义求解作答.

【详解】依题意，，，所以.

故选：C

2．若复数z的虚部小于0，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出，根据复数除法运算即可得解.

【详解】因为，所以，

又复数z的虚部小于0，所以

所以

故选：D

3．若函数的最大值为4，则函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由正弦函数的值域和的最大值求得，再由余弦型函数的周期公式求的最小正周期.

【详解】由，函数的最大值为4，则，

函数的最小正周期为.

故选：D

4．若双曲线C：的焦距大于6，C上一点到两焦点的距离之差的绝对值为d，则d的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线的方程求出焦距，再由双曲线的定义求解.

【详解】因为双曲线C：，

所以，

由题意可知，则，

由双曲线的定义知，.

故选：A

5．某舞台灯光设备有一种25头LED矩阵灯（如图所示），其中有2头LED灯出现故障，假设每头LED灯出现故障都是等可能的，则这2头故障LED灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先求出横向、纵向相邻的LED灯总对数，再应用古典概型的概率求法求概率.

【详解】每列相邻的LED灯共4对，共有5列，故横向相邻有种；同理纵向相邻也有种，

所以这2头故障LED灯相邻的概率为．

故选：A

6．若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇偶函数的定义逐项判断即可.

【详解】若，则，

则是偶函数，故A错误；

若，则,则是偶函数，故B错误；

若，则，则是奇函数，故C正确；

若，则，

则是偶函数，故D错误.

故选：C

7．如图，△ABC与△BCD都是正三角形，，将△ABC沿BC边折起，使得A到达的位置，连接，得到三棱锥，则“”是“二面角为钝角”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由二面角的定义得出二面角的平面角为，进而由余弦定理，以及充分必要条件的定义判断即可.

【详解】取的 中点为，连接，二面角的平面角为，

易知，

.

若二面角为钝角，则，

，即.

若，则，，

则，又二面角的范围是，所以二面角为钝角.

即“”是“二面角为钝角”的充要条件.

故选：B

8．已知A，B，C是同一条直线上三个不同的点，O为直线外一点．在正项等比数列中，已知，，则的公比q的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据三点共线可得，利用表示后由求解即可.

【详解】因为A，B，C是同一条直线上三个不同的点，且，

所以.

因为正项等比数列，所以公比，

又因为，所以，

又，所以.

故选：B

9．若x，y满足约束条件，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】画出可行域，平移直线，找到在纵轴上截距最大、最小时经过的点，求出的取值范围.

【详解】，满足约束条件，表示的平面区域，如图阴影部分所示：

联立，解得，即，

由图易得目标函数过点时，取最大值，没有最小值.

∴目标函数的取值范围是.

故选：C.

10．设钝角满足，则（    ）

A． B． C．7 D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简求出，再利用同角公式及和角的正切公式求解作答.

【详解】因为，则，

解得，而为钝角，则，，

所以.

故选：D

11．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，平面PAD⊥底面ABCD，，，，，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为（    ）

A．26π B．27π C．28π D．29π

【答案】D

【分析】建立坐标系，利用外接球的特点与性质确定球心和半径，进而得出表面积.

【详解】取中点为，取的中点为，连接，因为，，

平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD⊥底面ABCD，平面,

平面，平面，，

则以点为坐标原点，建立坐标系，如下图所示：

设梯形外接圆的圆心为，由可得

解得，则.

设四棱锥P－ABCD外接球的球心坐标为.

则球心到点与到点的距离相等，则

即，故球心坐标为，半径为.

四棱锥外接球的表面积为.

故选：D

12．若函数的最小值为m，则函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由，可得，再根据函数的最小值为m，即可得解.

【详解】若，则，

因为，

所以，

因为函数的最小值为m，所以函数的最小值也为m，

所以.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明.

二、填空题

13．若随机变量的分布列为

则的数学期望为_____________.

【答案】2.5/

【分析】根据随机变量的数学期望定义求解即可.

【详解】.

故答案为：.

14．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.

【答案】

【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解.

【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为，

设抛物线的标准方程为，则，解得.

故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.

故答案为：

15．若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________．

【答案】

【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围．

【详解】由不等式对恒成立，

可转化为对恒成立，即，

而，

当时，有最大值，所以，

故答案为：．

16．有穷数列共有k项，满足，，且当，时，，则项数k的最大值为______________．

【答案】

【分析】分析数列为有穷数列，且，所以项数最大的项，利用累加法可得即可得解.

【详解】当时，，

因为有穷数列，，，

所以当项数最大时，，则，

，，

将以上各式相加得，

即，

，即，则.

故答案为：

三、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

(1)证明：．

(2)若D为BC的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证；

（2）三种情况，在中，利用余弦定理证明即可.

【详解】（1）已知，由余弦定理可得，

即，又由正弦定理，得，

角A，B为△ABC中内角，所以.

（2）△ABC中, ，D为BC的中点，如图所示，

①②③

已知，，求证.

证明：，中，，

解得.

①③②

已知，，求证.

证明：，所以中，.

②③①

已知，，求证：.

证明：，在中，由余弦定理，

，所以

18．2016~2020年广西城乡居民人均可支配收入的柱形图如下图所示.

(1)不考虑价格因素，求广西2020年农村居民人均可支配收人的年增长率(结果精确到0.15%).

(2)现欲了解广西各年城镇居民人均可支配收人y(单位，元)与农村居民人均可支配收入x(单位:元)是否存在较好的线性关系.设广西2016年城镇居民人均可支配收人为y1元，农村居民人均可支配收人为元，2017年对应的数据分别为，，2018年对应的数据分别为、，2019年对应的数据分别为，，2020年对应的数据分别为，.根据图中的五组数据，得到关于x的线性回归方程为，试问y关于x的线性相关系数r是否大于0.95，并判断y与x之间是否存在较好的线性关系.

参考数据：，，.

附：样本的相关系数，

线性回归方程中的系数，.

【答案】(1)

(2)，y与存在较好的线性关系

【分析】（1）由增长率定义求解；

（2）求出求出，再由已知求出，根据相关系数公式求出.

【详解】（1）因为广西2020年农村居民人均可支配收人为14815元，广西2019年农村居民人均可支配收人为13676元，所以广西2020年农村居民人均可支配收入的年增长率为

（2）,

因为关于x的线性回归方程为，所以,

所以,

，

所以，，

所以，

与x存在较好的线性关系.

19．如图，四棱锥的底面为矩形，，平面平面，是的中点，是上一点，且平面.

(1)求的值；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设平面与直线相交于点，根据线面平行的判定定理和性质，证得四边形为平行四边形，进而得到的值；

（2）利用面面垂直的性质，证得平面，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（1）解：设平面与直线相交于点，连接，

因为平面，平面，平面平面，

所以，

又因为，平面，平面，所以平面，

又由平面平面，所以，

所以四边形为平行四边形，

所以，所以分别为的中点，所以.

（2）解：由四棱锥 的底面为矩形，且 ，

因为为的中点，所以，

又因为平面平面，平面，且平面平面，

所以平面，

以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为四棱锥 的底面为矩形，且且，

则，

可得，，..

设平面的法向量为，则，

令，可得，所以，

设直线与平面所成的角为，则.

20．已知函数．

(1)设．

①求曲线在点处的切线方程．

②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．

(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围．

【答案】(1)①；②有极大值.

(2)

【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求斜率，根据点斜式即可求解切线方程；利用导数讨论函数单调性即可求解极值问题.

（2）由题意，转化为方程有两个解，即直线与函数，有两个交点，构造，求导得到其单调性，数形结合，即可求出a的取值范围.

【详解】（1）①当时，，则，

所以，所以曲线在点处的切线方程为，

即．

②令得，令得，令得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

由极值的定义知，当时，函数有极大值，无极小值.

（2）因为函数在上恰有两个零点，所以方程在上有两个解，

即在上有两个解，

记，，则直线与函数，有两个交点，

则，

记，则，

令得，令得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

令得，又，

所以当时，，，函数单调递增，

当时，，，函数单调递减，

又，，

如图，

由图知，要使直线与函数，有两个交点，则，

所以函数在上恰有两个零点时，a的取值范围为.

【点睛】方法点睛：已知函数零点的个数，求参数的取值范围的常用方法：

（1）直接法：直接根据题设条件列出关于参数的不等式，求解即可得出参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题进行求解；

（3）数形结合法：对解析式适当变形，构造两个函数，在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，其交点的个数就是方程根的个数，然后数形结合求解．常见类型有两种：一种是转化为直线与函数的图象的交点个数问题；另一种是转化为两个函数的图象的交点个数问题．

21．已知椭圆，斜率为2的直线l与椭圆交于A，B两点．过点B作AB的垂线交椭圆于另一点C，再过点C作斜率为－2的直线交椭圆于另一点D．

(1)若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB的面积．

(2)试问直线AD的斜率是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由．

【答案】(1)

(2)定值，.

【分析】（1）设直线AB的方程为，由O到直线l的距离为，求出，联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出，即可由面积公式求解；

（2）由直线AB的方程联立椭圆求出点A的坐标，同理由直线CD的方程联立椭圆方程求出D点坐标，再由及点在椭圆上可得，，再根据斜率公式计算即可得解.

【详解】（1）设直线AB的方程为，因为到直线的距离为，所以，则.将代入，得，解得，

则.

故的面积为.

（2）设，直线AB的方程为，

代入，得，

则，

可得点A的坐标为

设，直线CD的方程为，

代入得

则，

可得点D的坐标为

由得，

因为，所以

则，

则.

故直线AD的斜率为定值.

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．

(1)求C的极坐标方程；

(2)若直线与C相交于A，B两点，P为直线上的动点，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出C的普通方程，再根据即可得解；

（2）先分别求出直线和直线的普通方程，联立直线和C的普通方程，求出两点的坐标，设，再根据数量积的坐标表示结合二次函数的性质即可得解.

【详解】（1）由，得，

所以，即

所以C的极坐标方程为；

（2）的普通方程为，

由直线的极坐标方程为，得其普通方程为，

联立，解得或，

即直线与C的交点坐标为，不妨取，

设，

则，

所以当时，取得最小值.

23．已知正数a，b，c满足．

(1)若，证明：．

(2)若，求的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据，利用柯西不等式可得，再结合已知解关于的一元二次不等式即可得证；

（2）利用基本不等式可求得的范围，构造函数，利用导数求出其最小值即可得解.

【详解】（1）由，得，

因为，

所以，当且仅当时取等号，

又，

所以，

即，解得，

所以；

（2）若，则，即，

因为，所以，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

令，则，

所以函数在上递增，则，

因为，

所以的最小值为．