2023届湖南省永州市江华县高三下学期2月月考数学试题含解析

2023届湖南省永州市江华县高三下学期2月月考数学试题

一、单选题

1．设集合U=,则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

2．是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：若，则；但当时，或，所以“”是“” 的充分不必要条件，选A.

3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：中是偶函数，且在上是增函数，故满足题意；B中是偶函数，但在上是减函数；C中是奇函数；D中是非奇非偶函数．故都不满足题意，故选A．

【解析】1、函数的奇偶性；2、单调性.

4．若直线与直线互相垂直，那么的值等于

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可.

【详解】因为直线与直线互相垂直，

所以，

故选：D.

【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.

5．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】B

【详解】试题分析：根据题意，由分层抽样知识可得：

在高二年级的学生中应抽取的人数为：，

故选B．

【解析】分层抽样．

6．已知，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由条件根据同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】∵且，

∴，

故选：B.

7．不等式的解集是

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】直接解出一元二次不等式的解集

【详解】不等式，则

解得或

不等式的解集

故选

【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，利用因式分解结合其图像来求解，较为简单

8．设且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．

【详解】解：对于A，当时不成立，

对于B，当，时，不成立，

对于C，成立，

对于D，当，时不成立，

故选：C．

9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC与A1D1所成的角是

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】B

【解析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中, AC∥A1C1,所以为异面直线AC与A1D1所成的角,由此能求出结果.

【详解】因为AC∥A1C1,所以为异面直线AC与A1D1所成的角,

因为是等腰直角三角形,所以.

故选:B

【点睛】本题考查异面直线所成的角的求法,属于基础题.

10．直线与圆相切，则

A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12

【答案】D

【详解】∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.

【解析】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.

二、填空题

11．在的展开式中的系数等于      .

【答案】-20

【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为-1，从而得到的系数.

【详解】展开式的通项，

令得，

故展开式中的系数等于，

故答案为：.

12．已知向量，, 若// , 则实数等于         .

【答案】

【详解】试题分析：由向量，, 以及//，所以可得.所以可得.故填.

【解析】1.向量的坐标表示.2.平行向量的运算.

13．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是          .

【答案】3

【分析】求出直线与两坐标轴的交点坐标，或求出横‘纵截距，利用三角形面积公式计算即得．

【详解】直线的截距式为，即横截距为3，纵截距为－2，

∴所求面积为．

【点睛】本题考查直线方程与三角形面积，解题关键是求出直线与坐标的交点坐标，属于基础题．

14．将3本不同的数学和1本语文书在书架上随机排成一行，则3本数学书相邻的概率为      .

【答案】

【分析】先求出3本数学相邻的情况，再求出随机排列的情况，最后根据古典概型即可求解.

【详解】∵3本数学书相邻的排法为种可能，4本书随机排列有种可能，

∴3本数学书相邻的概率为.

故答案为：.

15．平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球O的体积为      .

【答案】

【详解】试题分析：由题意知截面圆半径，球心到平面的距离为，即，画出截面图，可知球的半径，则球的体积为.

【解析】求空间中线段的长，球的体积.

三、解答题

16．已知函数（且），经过点.

(1)求实数a的值并指出定义域；

(2)求满足不等式的x的取值范围.

【答案】(1)2；定义域为；

(2)

【分析】（1）将点代入函数的解析式，可得a的值，进而得到定义域；

（2）结合（1），将所求不等式转化为，再利用对数函数的单调性即可.

【详解】（1）依题意，，

解得，

则，

由，可得，

则函数的定义域为；

（2）由（1）可知，即，

即，

则，

解得，

故x的取值范围为.

17．一个袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取3个小球，用X表示取出的小球的最大号码.

(1)随机变量X的分布列；

(2)求随机变量X的数学期望.

【答案】(1)分布列见解析

(2)5.25

【分析】（1）根据X的值可能为3，4，5，6，再分别求出各自的概率即可；

（2）根据数学期望公式即可求解.

【详解】（1）X的值可能为3，4，5，6，

∵，，，，

∴随机变量X的分布列为

（2）.

18．设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．

【答案】（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣1 2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2

【详解】试题分析：（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式

（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn．

解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列

∴设其公比为q，q＞0

∵a3=a2+4，a1=2

∴2×q2="2×q+4" 解得q=2或q=﹣1

∵q＞0

∴q="2"

∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n

（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列

∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1

∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2

点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．

19．在正方体中，E、F分别是棱AB、CD的中点.

(1)求证：面；

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由中位线知，根据线面平行的判定定理可证得线面平行；

（2）由二面角定义知为的平面角，在直角三角形中求角的大小.

【详解】（1）由E、F分别是棱AB、CD的中点，得，

又面，面，

所以面；

（2）由面，面，则，

又，则为二面角的平面角，

在直角三角形中，

所以二面角的大小为.

20．已知椭圆的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，.

(1)求椭圆的方程；

(2)当时，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用已知条件列出方程组求出，即可得到椭圆方程.

（2）利用直线与椭圆联立方程组，通过韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离公式，求解三角形的面积即可.

【详解】（1）由题意得解得，.

所以椭圆C的方程为.

（2）由得，，

设点，的坐标分别为，，则，.

所以，

又因为点到直线的距离，

所以的面积为.

21．在锐角中，角的对边分别为，，，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理求出，由求出，结合，求出；

（2）由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案.

【详解】（1），由正弦定理得：，

因为，所以，

所以，即，

因为，所以；

（2）由（1）知：，又因为，，

由余弦定理得：

解得：，

所以面积为.

22．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10h，可加工出7kgA产品，每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料耗费工时6h，可加工出4kgB产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480h，甲、乙两车间每天如何安排生产可以使总获利最大？总获利最大为多少元？

【答案】当甲车间每天安排生产加工原料15箱，乙车间每天安排生产加工原料55箱时可以使总获利最大，总获利最大为15200元.

【分析】先设甲车间每天安排生产加工原料x箱，乙车间每天安排生产加工原料y箱，再根据题干信息得到，总获利，即可求解.

【详解】设甲车间每天安排生产加工原料x箱，乙车间每天安排生产加工原料y箱，

∵甲车间加工一箱原料需耗费工时10h，可加工出7kgA产品，每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料耗费工时6h，可加工出4kgB产品，每千克B产品获利50元，甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480h，

∴，

∴总获利，

根据可行域可知当，时，z取得最大值，最大值为15200，

∴当甲车间每天安排生产加工原料15箱，乙车间每天安排生产加工原料55箱时可以使总获利最大，总获利最大为15200元.