2023-2024年湖南省湖南省永州市高三一模数学试题（含解析）

这是一份2023-2024年湖南省湖南省永州市高三一模数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A=x∈N*y= 4−x2，集合B=xx2−x≥0，则A∩B=( )
A. x1≤x≤2B. x0≤x≤1C. 0,1,2D. 1,2
2. 复数z满足i5⋅z=1+i，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量a=−1,2,b=3,−1,c=x,1，且a+2b⊥c，则x=( )
A. 2B. 1C. 0D. −1
4. “函数fx=xa在0,+∞上单调递减”是“函数gx=x4−a+1x是偶函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 在平面直角坐标系中，过直线2x−y−3=0上一点P作圆C:x2+2x+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则sin∠APB的最大值为( )
A. 2 65B. 2 55C. 65D. 55
6. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2，点P是椭圆C上位于第一象限的一点，且PF2与y轴平行，直线PF1与C的另一个交点为Q，若2PF1=5F1Q，则C的离心率为( )
A. 217B. 3311C. 77D. 2111
7. 若数列an的前n项和为Sn,2Snan=an2+1n∈N*,an>0，则下列结论正确的是( )
A. a2022a2023>1B. a2023> 2023
C. S2023< 2022D. 1S1+1S2+1S3+⋯+1S100<19
8. 已知函数fx=3csωx+φ(ω>0)，若f−π4=3,fπ2=0，在区间−π3,−π6上没有零点，则ω的取值共有( )
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列关于概率统计说法中正确的是( )
A. 两个变量x,y的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱
B. 设随机变量ξ∼N2,1，若p(ξ>3)=p，则p(1<ξ<2)=12−p
C. 在回归分析中，R2为0.89的模型比R2为0.98的模型拟合得更好
D. 某人解答10个问题，答对题数为X,X∼B10,0.8，则EX=8
10. 对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式，两边取常用对数，则有lgN=n+lga，现给出部分常用对数值(如下表)，下列结论正确的是( )
A. 510在区间106,107内
B. 350是15位数
C. 若7−50=a×10m，则m=−43
D. 若m30m∈N*是一个35位正整数，则m=14
11. 菱形ABCD的边长为a，且∠BAD=60∘，将▵ABD沿BD向上翻折得到▵PBD，使二面角P−BD−C的余弦值为13，连接PC，球O与三棱锥P−BCD的6条棱都相切，下列结论正确的是( )
A. PO⊥平面BCD
B. 球O的表面积为2πa2
C. 球O被三棱锥P−BCD表面截得的截面周长为4 33πa
D. 过点O与直线PB,CD所成角均为π4的直线可作4条
12. 已知函数fx与gx的定义域均为R，fx+1+gx−2=3,fx−1−g−x=1，且g−1=2，gx−1为偶函数，下列结论正确的是( )
A. 4为fx的一个周期B. g3=1
C. k=12023f(k)=4045D. k=12023g(k)=2023
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为________(用数字作答)．
14. 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，DA=a,DC=b,DD1=c,P为DD1的中点，过PB的平面α分别与棱AA1,CC1交于点E,F，且AE=CF，则BP+EF=________(用a,b,c表示)．
15. 若函数fx=etx+2txx+2−lnx，当x∈0,+∞时，fx>0，则实数t的取值范围________．
16. 已知点Na,2 3(a>0)在抛物线C:y2=2px(0四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知数列an是公比q>1的等比数列，前三项和为39，且a1,a2+6,a3成等差数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=1lg3a2n−1⋅lg3a2n+1n∈N*，求bn的前n项和Tn．
18. (本小题12.0分)
在▵ABC中，设A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足ccsA−acsC=a+b．
(1)求角C；
(2)若c=5,▵ABC的内切圆半径r= 34，求▵ABC的面积．
19. (本小题12.0分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且AD=2AB=4,M、N分别为PD、BC的中点，H在线段PC上，且PC=3PH．

(1)求证：MN//平面PAB；
(2)当AM⊥PC时，求平面AMN与平面HMN的夹角的余弦值．
20. (本小题12.0分)
某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品A、B、C，其中A、B、C能通过行业标准检测的概率分别为45,67,910，且A、B、C是否通过行业标准检测相互独立．
(1)设新品A、B、C通过行业标准检测的品种数为X，求X的分布列；
(2)已知新品A中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品A中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过n.如果抽取次数的期望值不超过5，求n的最大值．
参考数据：0.9754≈0.904,0.9755≈0.881,0.9756=0.859,0.9757=0.838,0.9758=0.817
21. (本小题12.0分)
已知点A为圆C:x2+y2−2 10x−6=0上任意一点，点B的坐标为− 10,0，线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D．
(1)求点D的轨迹E的方程；
(2)设轨迹E与x轴分别交于A1,A2两点(A1在A2的左侧)，过R3,0的直线l与轨迹E交于M,N两点，直线A1M与直线A2N的交于P，证明：P在定直线上．
22. (本小题12.0分)
已知函数fx=lnx+1,gx=axex−2lna+3ln2+3．
(1)当x∈−1,0∪0,+∞时，求证：fxx>−12x+1；
(2)若x∈−1,+∞时，gx≥fx，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
求出集合 A,B ，即可求得答案．
【解答】
解：由 A=x∈N*y= 4−x2=1,2 ， B=xx2−x≥0={x|x≤0 或 x≥1} ，
故 A∩B=1,2 ，
故选：D
2.【答案】D
【解析】【分析】
根据虚数单位的性质，结合复数的除法运算可求出z，根据复数的几何意义即可得答案．
【解答】
解：由 i5⋅z=1+i 得 i⋅z=1+i,∴z=1+ii ，
则 z=1+1i=1−i ，即 z 在复平面内对应的点为 (1,−1) ，位于第四象限，
故选：D
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量垂直的判断与证明的应用，解题的关键是熟练掌握平面向量的坐标运算，向量垂直的判断与证明，
根据已知及平面向量的坐标运算，向量垂直的判断与证明，求出x的值．
【解答】
解：向量a=−1,2，b=3,−1，
∴a+2b=(5,0)，
∵a+2b⊥c，c=(x,1)，
∴c·(a+2b)=5x+0=0，
∴x=0．
故选C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
通过求解函数 fx 和 gx 符合条件的 a 的取值，即可得出结论．
【详解】
解：由题意，
在 fx=xa 中，
当函数在 0,+∞ 上单调递减时， a<0 ，
在 gx=x4−a+1x 中，函数是偶函数，
∴ g−x=−x4−a+1−xgx=x4−a+1xgx=g−x ，解得： a=−1 ，
∴“函数 fx=xa 在 0,+∞ 上单调递减”是“函数 gx=x4−a+1x 是偶函数”的必要不充分条件，
故选：B．
5.【答案】A
【解析】【分析】
由题意圆 C:x2+2x+y2=1 的标准方程为 C:x+1+y2=2 ，如图 sin∠APB=sin2α=2sinαcsα ，又 sinα=ACCP= 2CP2 ，所以 csα= 1−sin2α= 1−2CP2 ，又由圆心到直线的距离可求出 CP 的最小值，进而求解．
【详解】
解：如下图所示：

由题意圆 C 的标准方程为 C:x+1+y2=2 ， sin∠APB=sin2α=2sinαcsα ，
又因为 sinα=ACCP= 2CP2 ，所以 csα= 1−sin2α= 1−2CP2 ，
所以 sin∠APB=2sinαcsα=2 2CP21−2CP2 ，
又圆心 C−1,0 到直线 2x−y−3=0 的距离为 d=−2−0−3 22+−12= 5 ，
所以 CP≥d= 5 ，所以不妨设 t=1CP2,0则 sin∠APB=2 2CP21−2CP2=2 2t1−2t=2 −4t−142+14=ft ，
又因为 ft 在 0,15 单调递增，所以当且仅当 t=15 即 CP= 5 ，即当且仅当直线 CP 垂直已知直线 2x−y−3=0 时，
sin∠APB 有最大值 sin∠APBmax=f15=2 −415−142+14=2 65 ．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
由 P 点坐标求得 Q 点坐标，然后代入椭圆 C 的方程，化简求得椭圆 C 的离心率．
【详解】
由 x2a2+y2b2=1 令 x=c ，得 y2=b21−c2a2=b4a2,y=±b2a ，
由于 PF2 与 y 轴平行，且 P 在第一象限，所以 Pc,b2a ．
由于 2PF1=5F1Q,F1Q=25PF1,F1−c,0 ，
所以 OQ=OF1+F1Q=−c,0+25−2c,−b2a=−95c,−2b25a ，
即 Q−95c,−2b25a ，将 Q 点坐标代入椭圆 C 的方程得 −95c2a2+−2b25a2b2=1 ，
81c225a2+4b225a2=81c2+4a2−c225a2=77c2+4a225a2=1 ，
77c2+4a2=25a2,77c2=21a2,c2a2=2177=311 ，
所以离心率 e=ca= 311= 3311 ．
故选：B
7.【答案】D
【解析】【分析】
根据 an,Sn 之间的关系可求出 Sn= n ，进而求得 an= n− n−1 ，由此结合熟的大小比较可判断A，B，C，利用放缩法，当 n≥2 时，可推出 1Sn<2( n− n−1) ，累加即可判断D．
【详解】
令 n=1 ，则 2S1a1=a12+1 ，即 2a12=a12+1 ，
由 an>0 ，的 a1=1 ；
当 n≥2 时， 2Sn(Sn−Sn−1)=(Sn−Sn−1)2+1 ，即 Sn2−Sn−12=1 ，
又 S12=a12=1 ，故 {Sn} 为首项是1，公差为1的等差数列，
则 Sn2=1+n−1=n ，故 Sn= n ，
所以当 n≥2 时， an=Sn−Sn−1= n− n−1 ， a1=1 也适合该式，
故 an= n− n−1 ，
对于A， a2022a2023=( 2022− 2021)( 2023− 2022)
=1 2022+ 2021⋅1 2023+ 2022<1 ，A错误；
对于B， a2023= 2023− 2022< 2023 ，B错误；
对于C， S2023= 2023> 2022 ，C错误；
对于D，当 n≥2 时， 1Sn=1 n<2 n+ n−1=2( n− n−1) ，
故 1S1+1S2+1S3+⋯+1S100<1+2 2−1+2 3− 2+⋯+2 100− 99
=1+2(−1+10)=19 ，D正确，
故选：D
8.【答案】B
【解析】【分析】
根据 f−π4=3,fπ2=0 可得 ω=4n3+23 ，根据在区间 −π3,−π6 上没有零点可得 0<ω≤6 ，即可求出 ω 的取值有几个．
【详解】
由题意，在 fx=3csωx+φ(ω>0) 中， f−π4=3,fπ2=0 ，
∴ 3cs−π4ω+φ=33csπ2ω+φ=0 ，所以 −π4ω+φ=2k1ππ2ω+φ=k2π+π2,k1,k2∈Z ，
两式相减得 3π4ω=k2−2k1π+π2 ，
所以 ω=43k2−2k1+23 ，即 ω=4n3+23 ， n∈Z ，
因为 x∈−π3,−π6,ω>0 ，所以 ωx+φ∈−π3ω+φ,−π6ω+φ ，
令 ωx+φ=t ， t∈−π3ω+φ,−π6ω+φ ，
由题意知 y=3cst 在 t∈−π3ω+φ,−π6ω+φ 上无零点，
故 −π3ω+φ,−π6ω+φ⊆−π2+kπ,π2+kπ ， k∈Z ，
所以 −π3ω+φ≥−π2+kπ−π6ω+φ≤π2+kπ ，即 −π3ω+φ≥−π2+kππ6ω−φ≥−π2−kπ ，
两式相加得 −π6ω≥−π ，所以 0<ω≤6 ，
又 ω=4n3+23 ，
所以，当 n=0 时， ω=23 ；当 n=1 时， ω=2 ；当 n=2 时， ω=103 ；当 n=3 时， ω=143 ；当 n=4 时， ω=6 ，
所以 ω 的取值有5个．
故选：B．
9.【答案】BD
【解析】【答案】BD
【解析】
【分析】A项，通过相关系数的定义即可得出结论；B项，通过求出 P(2<ξ<3) 即可求出 P(−1<ξ<0) 的值；C项，通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好；D项，通过计算即可求出 Ex ．
【详解】由题意，
A项，
两个变量 x,y 的相关系数为 r ， r 越小， x 与 y 之间的相关性越弱，
故A 错误，
对于B，
随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,1) ，由正态分布概念知若 P(ξ>3)=p ，则 P(−1<ξ<0)=P(2<ξ<3)=P(ξ>2)−P(ξ>3)=12−p ，
故 B 正确，
对于 C ，
在回归分析中， R2 越接近于1，模型的拟合效果越好，
∴ R2 为0.98的模型比 R2 为0.89的模型拟合的更好
故 C 错误，
对于 D ，
某人在10次答题中，答对题数为 X,X∼B(10,0.8) ，则数学期望 E(X)=10×0.8=8 ，
故 D 正确．
故选：BD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
根据 lgN=n+lga ，分别求出各个选项中N的常用对数的值，对照所给常用对数值判断．
【详解】
解：因为 lg510=10lg5≈6.99 ， lg106=6lg10=6<6.99,lg107=7lg10=7>6.99 ，所以 510∈106,107 ，故A正确；
因为 lg350=50lg3≈23.85,350≈1023.85 ，所以 350 是24位数，故B错误；
因为 lg7−50=−50lg7≈−42.25 ，所以 7−50≈10−42.25 ，又 7−50=a×10m ，则 m=−43 ，故C正确；
lgm30=30lgm ，因为 m30m∈N* 是一个35位正整数，所以 34≤30lgm<35 ，即 1715≤lgm<76 ，即 1.1267≤lgm<1.1667 ，则 m=14 ，故D正确．
故选：ACD
11.【答案】AC
【解析】【分析】利用余弦定理求得 PC=a ，说明三棱锥 P−BCD 为正四面体，进而补成正方体，则说明O点为正方体的中心，结合线面垂直的判定可判断A；求得球O的半径可判断B；求出球O被三棱锥一个侧面所截得的截面的周长，即可求得球 O 被三棱锥 P−BCD 表面截得的截面周长，判断C；根据平行公理以及直线所成角的概念可判断D．
【详解】如图在菱形 ABCD 中，连接 AC ，则 AC⊥BD ，设 AC,BD 交于E，

则 PE⊥BD,CE⊥BD ， PE⊂ 平面 PBD CE⊂ 平面 CBD ，
即 ∠PEC 为二面角 P−BD−C 的平面角，即 cs∠PEC=13 ，
又 ∠BAD=60∘ ，即 ▵ABD 为正三角形，即 ▵PBD ， △CBD 为正三角形，
故 PE=CE= 32a ，故 PC2=PE2+CE2−2PE⋅CEcs∠PEC
=32a2−2×34a2×13=a2 ，即 PC=a ，
故三棱锥 P−BCD 为棱长为a的正四面体；
如图，将该四面体补成正方体 PHDG−NCMB ，四面体的各棱为正方体的面对角线，
则正方体棱长为 22a ，

因为球 O 与三棱锥 P−BCD 的6条棱都相切，则O点即为正方体的中心，
连接 PM ，则O为正方体体对角线 PM 的中点，
因为 PN⊥ 平面 MBNC,BC⊂ 平面 MBNC ，故 PN⊥BC ，
又 BC⊥MN ，而 PN∩MN=N,PN,MN⊂ 平面 PMN ，
故 BC⊥ 平面 PMN ， PM⊂ 平面 PMN ，故 BC⊥PM ；
同理可证 BD⊥PM ， BC∩BD=B,BC,BD⊂ 平面 BCD ，
故 PM⊥ 平面 BCD ，即 PO⊥ 平面 BCD ，A正确；
因为球 O 与三棱锥 P−BCD 的6条棱都相切，
故球O即为正方体 PHDG−NCMB 的内切球，球的直径为正方体棱长 22a ，
则球的半径为 24a ，故球 O 的表面积为 4π×( 24a)2=12πa2 ，B错误；
球O被平面截得的截面圆即为正三角形 BCD 的内切圆，
由于 BC=a ，故正三角形 BCD 的内切圆半径为 13× 32a= 36a ，
故内切圆周长即球O被平面截得的截面圆周长为 2π× 36a= 33πa ，
故球 O 被三棱锥 P−BCD 表面截得的截面周长为 4× 33πa=4 33πa ，C正确；
连接 HM ，因为 PH//BM,PH=BM ，即四边形 PHMB 为平行四边形，
故 PB//HM ，而 HM⊥CD ，故 PB⊥CD ，
不妨取空间一点S，作 PB,CD 的平行线 P′B′,C′D′ ，如图，
则和 P′B′,C′D′ 所成角均为 π4 的直线即为它们形成的角的角平分线 l1，l2 ，
假设平面 α 过 l1 且垂直于 P′B′,C′D′ 所确定的平面，当 l1 绕点S且在 α 内转动时，
则此时直线l与 P′B′,C′D′ 所成角相等，但会变大，大于 π4 ，
即在 P′B′,C′D′ 所确定的平面外过点S不存在直线l与 P′B′,C′D′ 所成角为 π4 ，

故过点 O 与直线 PB,CD 所成角均为 π4 的直线可作2条，D错误，
故选：AC
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案．
【详解】
解：由于 gx−1 为偶函数，图象关于 y 轴对称，
所以 gx 图象关于 x=−1 对称，
所以 gx−2=g−1+x−1=g−1−x−1=g−x ，
所以 fx+1+gx−2=fx+1+g−x=3 ①，
而 fx−1−g−x=1 ②，
两式相加得 fx−1+fx+1=4 ，则 fx+fx+2=4 ③，
所以 fx+4=fx+2+2=4−fx+2=4−4−fx=fx ，
所以 4 是 fx 的一个周期，A选项正确．
由③令 x=1 得 f1+f3=4 ，
由①令 x=2 得 f2+g−1=f2+2=3,f2=1 ，
由②令 x=1 得 f0−g−1=f0−2=1,f0=3 ，则 f4=f0=3 ，
所以 f1+f2+f3+f4=8,f1+f2+f3=5 ，
所以 k=12023f(k)=20204×8+f1+f2+f3=4040+5=4045 ，C选项正确．
由①令 x=−1 得 f0+g1=3+g1=3,g1=0 ，
由 fx+1+gx−2=3,fx−1−g−x=1 ，
得 fx+gx−3=3,fx−g−x−1=1 ，
两式相减得 gx−3+g−x−1=2 ，即 gx−3+gx−1=2 ，
且 gx 关于 −2,1 对称， g−2=1 ，
所以 gx+gx+2=2 ④，
所以 gx+4=gx+2+2=2−gx+2=2−2−gx=gx ，
所以 gx 是周期为 4 的周期函数，所以 g3=g−1=2 ，所以B选项错误．
由④令 x=2 得 g2+g4=2 ，所以 g1+g2+g3+g4=4 ，
由于 g2=g−2+4=g−2=1 ，所以 g1+g2+g3=3
所以 k=12023g(k)=20204×4+3=2023 ，所以D选项正确．
故选：ACD
13.【答案】12
【解析】【分析】
利用捆绑求得正确答案．
【详解】
解：由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，
则不同的排列种数为 A22A33=12 种．
故答案为： 12
14.【答案】−2a+12c
【解析】【分析】
由题意设 Q、R、E、F 分别为 AA1,CC1,QA,RC 的中点，容易证明四边形 PEBF 是平行四边形，即平面 PEBF 为符合题意的平面 α ，进而分解向量即可求解．
【详解】
解·：如图所示：

由题意不妨设 Q、R、E、F 分别为 AA1,CC1,QA,RC 的中点，容易证明四边形 PEBF 是平行四边形，
即平面 PEBF 为符合题意的平面 α ，因此 BP+EF=BD+DP+ED+DF=−DA−DC+DP+−DE+DF ，
又因为 DP=12DD1 ， −DE=−DA−AE ， DF=DC+CF ，且 AE=14DD1 ， CF=14DD1 ，
所以 BP+EF=−DA−DC+12DD1+−DA−14DD1+DC+14DD1=−2DA+12DD1=−2a+12c ．
故答案为： −2a+12c ．
15.【答案】1e,+∞
【解析】【分析】
由 fx>0 进行转化，利用构造函数法，结合多次求导来求得 t 的取值范围．
【详解】
解：依题意，当 x∈0,+∞ 时， fx=etx+2txx+2−lnx>0 恒成立，
即 etx+2tx>x+2lnx 恒成立，
即 etx+2⋅lnetx>x+2lnx ①恒成立，
设 gx=x+2lnx ， g′x=1+2x+lnx ，
令 hx=g′x=1+2x+lnx,h′x=x−2x2 ，
所以 hx 在区间 0,2 上 h′x<0,hx 单调递减；
在区间 2,+∞ 上 h′x>0,hx 单调递增，
所以 hx≥h2=2+ln2>0 ，也即 g′x>0 ， gx 在 0,+∞ 上单调递增，
所以由①得 etx>x ，即 tx>lnx,t>lnxx ，
设 mx=lnxx,m′x=1−lnxx2 ，
所以 mx 在区间 0,e 上 m′x>0,mx 单调递增；
在区间 e,+∞ 上 m′x<0,mx 单调递减，
所以 mx≤me=lnee=1e ，
所以 t>1e ，即 t 的取值范围是 1e,+∞ ．
故答案为： 1e,+∞
16.【答案】y2=4x
【解析】【分析】
解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找出参数 a,p 间的等量关系，从而列出方程组，即可求解．
设 |NF|=4t(t>0) ，表示出 |RF|=t,AB=2 5RF=2 5t ，利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于 a,p 的方程，即可求得p，即得答案．
【详解】
解：由 C:y2=2px(0设 |NF|=4t(t>0) ，则 |RF|=t,AB=2 5RF=2 5t ，
则 |NR|=3t ，故 (a−p2)2+(|AB|2)2=|NR|2 ，即 (a−p2)2+( 5t)2=9t2 ①；
又点 Na,2 3(a>0) 在抛物线 C:y2=2px(0故 |NF|=a+p2=4t ②，且 12=2pa ，即 pa=6 ③，
②联立得 12a2−20ap+3p2=0 ，得 2a=3p 或 6a=p ，
由于 0解得 p=2 ，故抛物线方程为 y2=4x ，
故答案为： y2=4x
17.【答案】解：(1)由题意可得 a1+a2+a3=392(a2+6)=a1+a3 ，
即得 2(a2+6)+a2=39,∴a2=9 ，则 a1+a3=30 ，
即 a1q=9a1(1+q2)=30 ，可得 3q2−10q+3=0 ，由于 q>1 ，故得 q=3 ，
则 a1=3 ，故 an=3×3n−1=3n ；
(2).由(1)结论可得 bn=1lg3a2n−1⋅lg3a2n+1=1lg332n−1⋅lg332n+1=1(2n−1)(2n+1)
=12(12n−1−12n+1) ，
故 bn 的前 n 项和 Tn=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)
=12(1−12n+1)=n2n+1 ．

【解析】【分析】
(1)根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得答案；
(2)利用(1)的结论化简 bn=1lg3a2n−1⋅lg3a2n+1n∈N* ，利用裂项求和法即可求得答案．
18.【答案】解：(1)在 ▵ABC 中，由 ccsA−acsC=a+b 得 sinCcsA−sinAcsC=sinA+sinB ，
即 sinCcsA−sinAcsC=sinA+sin(A+C) ，
故 −2sinAcsC=sinA ，由于 A∈(0,π),∴sinA≠0 ，
故 csC=−12 ，而 C∈(0,π) ，故 C=2π3 ．
(2)由 C=2π3 可得 c2=a2+b2+ab ，而 c=5 ，
故 a2+b2=25−ab ，则 (a+b)2=25+ab ，
由 ▵ABC 的 内切圆半径 r= 34 ，可得 12(a+b+c)⋅r=12absinC ，
即 34(a+b+5)= 32ab ，即 a+b=2ab−5 ，
故 (2ab−5)2=25+ab ，解得 ab=214 ，
故 ▵ABC 的面积 S=12absinC=12×214× 32=21 316 ．

【解析】【分析】
(1)利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可得 csC 的值，即可得答案；
(2)利用余弦定理得 a2+b2=25−ab ，配方得 (a+b)2=25+ab ，再结合 ▵ABC 的内切圆半径，利用等面积法推出 a+b=2ab−5 ，即可求得 ab=214 ，从而求得答案．
19.【答案】解：(1)如图所示：

取 AD 中点 Q ，连接 MQ,NQ ，
M,N 分别为 PD、BC 的中点，且底面 ABCD 为矩形，
所以 MQ//PA,MQ=12PA ，且 NQ//AB ，
又因为 MQ⊂ 平面 MQN ， MQ⊄ 平面 PAB ， NQ⊂ 平面 MQN ， NQ⊄ 平面 PAB ，
所以 MQ// 平面 PAB ，且 QN// 平面 PAB ，
又因为 MQ∩NQ=Q ， MQ⊂ 平面 MQN ， NQ⊂ 平面 MQN ，
所以平面 MQN// 平面 PAB ，
因为 MN⊂ 平面 MQN ，
所以由面面平行的性质可知 MN// 平面 PAB
(2)如图所示：

注意到侧面 PAD 为正三角形以及 M 为 PD 的中点，所以由等边三角形三线合一得 AM⊥PD ，
又因为 AM⊥PC ，且 PD⊂ 面 PDC ， PC⊂ 面 PDC ， PD∩PC=P ，
所以 AM⊥ 面 PDC ，又因为 CD⊂ 面 PDC ，所以 CD⊥AM ，
又因为底面 ABCD 为矩形，所以 CD⊥AD ，
因为 AD∩AM=A ， AM⊂ 面 PAD ， AD⊂ 面 PAD ，
所以 CD⊥ 面 PAD ，因为 PQ⊂ 面 PAD ，
所以 CD⊥PQ ，又 CD//NQ ，
所以 NQ⊥PQ ，又由三线合一 PQ⊥AD ，又 AD⊥NQ ，
所以建立上图所示的空间直角坐标系；
因为 AD=2AB=4 ，
所以 A0,−2,0,N2,0,0,P0,0,2 3,C2,2,0,D0,2,0 ，
又因为 M 为 PD 的中点， PC=3PH ，
所以 M0,1, 3,H23,23,4 33 ，
所以 MA=0,−3,− 3 ， MN=2,−1,− 3 ， MH=23,−13, 33 ，
不妨设平面 AMN 与平面 HMN 的法向量分别为 n1=x1,y1,z1,n2=x2,y2,z2 ，
所以有 n1⋅MA=0n1⋅MN=0 以及 n2⋅MH=0n2⋅MN=0 ，
即分别有 −3y1− 3z1=02x1−y1− 3z1=0 以及 23x2−13y2+ 33z2=02x2−y2− 3z2=0 ，
分别令 y1=−1,x2=1 ，并解得 n1=−1,1,− 3,n2=1,2,0 ，
不妨设平面 AMN 与平面 HMN 的夹角为 θ ，
所以 csθ=n1⋅n2n1⋅n2=−1×1+1×2− 3×0 −12+12+ 32× 12+22+02=15 ；
综上所述：平面 AMN 与平面 HMN 的夹角的余弦值为 15 ．

【解析】【分析】
(1)取 AD 中点 Q ，连接 MQ,NQ ，要证 MN// 平面 PAB ，只需平面 MQN// 平面 PAB ，结合已知条件即可得证．
(2)当 AM⊥PC 时并结合已知条件即可建立如图所示坐标系，根据 AD=2AB=4 以及中点关系、 PC=3PH 即可写出各个点的坐标，进而求出法向量即可求解．
20.【答案】解：(1)由题意 X 的所有可能取值为：0，1，2，3．
PX=0=15×17×110=1350 ，
PX=1=45×17×110+15×67×110+15×17×910=19350 ，
PX=2=45×67×110+45×17×910+15×67×910=114350=57175 ，
PX=3=45×67×910=216350=108175 ;
所以 X 的分布列如下表：
(2)不妨设抽取第 k1≤k≤n−1,n≥2 次时取到优质产品，此时对应的概率为 Pk=0.025×0.975k−1 ，而第 n 次抽到优质产品的概率为 Pn=0.975n−1 ，因此由题意抽取次数的期望值为 En=k=1n−1k⋅Pk+nPn=k=1n−10.025×k⋅0.975k−1+n0.975n−1 =0.025×1+2×0.975+⋯+n−1×0.975n−2+n0.975n−1 ，
0.975⋅En=0.025×1×0.975+⋯+n−2×0.975n−2+n−1×0.975n−1+n0.975n ，
两式相减得 0.025⋅En=0.025×1+0.975+⋯+0.975n−2−n−1×0.975n−1+0.025×n0.975n−1 ，
所以 En=1−0.975n1−0.975=401−0.975n ，
又由题意可得 En≤5 ，
所以 401−0.975n≤5 ，即 0.975n≥0.875 ，
注意到当 n=5 时，有 0.9755≈0.881>0.875 ，
且当 n=6 时，有 0.9756=0.859<0.875 ；
综上所述： n 的最大值为5．

【解析】【分析】
(1)由题意 X 的所有可能取值为：0，1，2，3，由独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式即可分别求出相应的概率，进而求解．
(2)不妨设抽取第 k1≤k≤n−1 次时取到优质产品，此时对应的概率为 Pk=0.025×0.975k−1 ，而第 n 次抽到优质产品的概率为 Pn=0.975n−1 ，
所以抽取次数的期望值为 En=k=1n−1k⋅Pk+nPn=k=1n−10.025×k⋅0.975k−1+n0.975n−1 =0.025×1+2×0.975+⋯+n−1×0.975n−2+n0.975n−1 ，
对其求和并结合 En≤5 以及参考数据即可求解．
21.【答案】解：(1)由 C:x2+y2−2 10x−6=0 得 C:(x− 10)2+y2=16 ，其半径为4，
因为线段 AB 的垂直平分线与直线 AC 交于点 D ，

故 |DB|=|DA| ，则 ||DC|−|DB||=||DC|−|DA||=|AC|=4 ，
而 |BC|=8>4 ，故点 D 的轨迹 E 为以 B,C 为焦点的双曲线，
则 2a=4,a=2,2c=2 10,c= 10,∴b2=c2−a2=6 ，
故点 D 的轨迹 E 的方程为 x24−y26=1 ．
(2)证明：由题意知 A1(−2,0),A2(2,0) ，

若直线l斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；
故直线l的斜率不能为0，故设其方程为 x=ty+3 ，
联立 x=ty+3x24−y26=1 ，得 (3t2−2)y2+18ty+15=0 ， Δ=144t2+120>0 ，
故 y1+y2=−18t3t2−2y1y2=153t2−2 ，
设 Mx1,y1,Nx2,y2 ，则直线 A1M 的方程为 y=y1x1+2(x+2)=y1ty1+5(x+2) ，
直线 A2N 的方程为 y=y2x2−2(x−2)=y2ty2+1(x−2) ，
故 x+2x−2=ty1y2+5y2ty1y2+y1 ，
则 x+2x−2=15t3t2−2+5(−18t3t2−2−y1)15t3t2−2+y1=−753t2−2−5y115t3t2−2+y1=−5 ，
即 x+2x−2=−5 ，解得 x=43 ，
故直线 A1M 与直线 A2N 的交点 P 在定直线上．

【解析】【分析】本题考查了利用双曲线定义求解双曲线方程以及直线和双曲线的位置关系中的点在定直线上的问题，难点在于证明直线 A1M 与直线 A2N 的交点 P 在定直线上，解答时要设直线方程，利用根与系数的关系进行化简，计算过程比较复杂，且大都是关于字母参数的运算，要十分细心．
(1)根据题意推出 ||DC|−|DB||=4 ，结合双曲线定义即可求得答案；
(2)设出直线l的方程，联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出直线 A1M 和 A2N 的方程，推得 x+2x−2=ty1y2+5y2ty1y2+y1 ，结合根与系数的关系化简，即可证明结论．
22.【答案】解：(1)由题知，
当 x∈0,+∞ 时，原不等式可化为： lnx+1>−x22+x ，
令 hx=lnx+1+x22−x ，则 h′x=1x+1+x−1=x2x+1>0 ，
所以 hx 在 0,+∞ 上单调递增，
从而有 hx>h0=0 ，故原不等式成立．
当 x∈−1,0 时，原不等式等价于 hx<0 ，又 h′x=1x+1+x−1=x2x+1>0 ，
所以 hx 在 −1,0 上单调递增，
从而有 hx综上所述：当 x∈−1,0∪0,+∞ 时，恒有 fxx>−12x+1 ．
(2)由 gx=axex−2lna+3ln2+3 表达式可知 a>0 ，
gx≥fx 对 x∈−1,+∞ 恒成立等价于
axex−lnx+1≥2lna−3ln2−3 对 x∈−1,+∞ 恒成立
令 Fx=axex−lnx+1 ，则有 F′x=axex+ex−1x+1 ，
令 Gx=F′x=axex+ex−1x+1 ，
则有 G′x=ax+2ex+1x+12>0
所以 F′x 在 x∈−1,+∞ 上单调递增
又 x→−1 时， F′x→−∞ ， x→+∞ 时 F′x→+∞
从而存在唯一 x0∈−1,+∞ ，使得 F′x0=0 ，
即 ax0ex0+ex0−1x0+1=0 ，
可得 a=1x0ex0+ex0x0+1 ， lna=−2lnx0+1−x0 ，
当 x∈−1,x0 时， F′x0<0 ， Fx 在 x∈−1,x0 单调递减，
当 x∈x0,+∞ 时， F′x0>0 ， Fx 在 x∈x0,+∞ 单调递增，
故 Fx≥Fx0=ax0ex0−lnx0+1
故原不等式恒成立只需
x0x0+12ex0⋅ex0−lnx0+1≥2−2lnx0+1−x0−3ln2−3
即 x0x0+12+3lnx0+1+2x0+3ln2+3≥0 ，
构造函数 Hx=xx+12+3lnx+1+2x+3ln2+3
可得 H′x=1−xx+13+3x+1+2=3x2+5x+4x+13+2 x>−1 ，
当 x>−1 时，令 ux=3x2+5x+4 ，
因为 Δ=25−48=−23<0
从而可得 H′x>0 在 x∈−1,+∞ 时恒成立
又 H−12=0 ，所以 Hx≥0 的解集为 −12,+∞ ．
又因为 lna=−2lnx0+1−x0 ，
令 mx=−2lnx+1−x ，易得 mx 在定义域内单调递减，
所以 lna≤−2ln−12+1+12=12+ln4
所以 a≤e12+ln4=4 e ，
故 a 的取值范围为： 0,4 e

【解析】【分析】(1)不等式两边同时去分母时务必要记得对分母的正负分类讨论；(2)恒成立问题可以优先转化为最值问题，而最值问题往往通过导函数作为工具；
(3)隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，需要仔细观察式子多次尝试；第二步：虚设零点并确定取值范围，通过零点方程进行代换，可能需要进行多次．
(1)对 x∈0,+∞ 与 x∈−1,0 进行分类讨论，通过导函数求单调性得出最值即可证明；
(2)原式化简可得 axex−lnx+1≥2lna−3ln2−3 ，只需求得 Fx=axex−lnx+1 的最小值，最小值利用虚根 x0 表示，再利用 x0 置换 a 从而得出 x0 的不等式，构造函数 Hx=xx+12+3lnx+1+2x+3ln2+3 求出 Hx≥0 的解集，最后结合函数 lna=−2lnx0+1−x0 的单调性即可求出 a 的范围．
真数x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
lgx(近似值)
0.301
0.477
0.602
0.699
0.778
0.845
0.903
0.954
1.000
真数x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
lgx(近似值)
1.041
1.079
1.114
1.146
1.176
1.204
1.230
1.255
1.279
X
0
1
2
3
PX
1350
19350
57175
108175