2023届江西省南昌市三校（一中、十中、铁一中）高三上学期第一次联考（11月）数学（理）试题含答案

2023届江西省南昌市三校（一中、十中、铁一中）高三上学期第一次联考（11月）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先通过求解分式不等式化简集合，然后利用指数函数的单调性化简集合，最后利用集合间的交运算即可求解.

【详解】∵

∴

由指数函数的单调性可知，，

从而，

故.

故选：C.

2．设平面向量，均为单位向量，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】将两边平方，化简后即可得，由此即可选出答案.

【详解】因为

，

所以“”是“”的充分必要条件，

故选：C.

3．已知函数则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用分段函数的定义域求解.

【详解】因为函数

所以，

故选：A

4．如图，在中，，设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量的三角形法则运算即可得解.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量的三角形法则，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.

5．如图所示，在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，终边分别为射线和，射线，与单位圆的交点分别为，．若，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由三角函数定义得，由诱导公式得，再由两角差的余弦公式可求值．

【详解】由题知，，，，，

则，

故选：C．

【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式和两角差的余弦公式，解题关键是掌握两角差的余弦公式．

6．通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即.记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将代入，根据恒等变换公式化简，即可求得结果.

【详解】，

故选:A.

7．已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】设出切点，对函数求导得出切线的斜率，利用点斜式方程写出切线，将点代入，并将切线有且仅有条，转化为方程只有一个根，列方程求解即可．

【详解】设切点为，

由已知得，则切线斜率，切线方程为

直线过点，则，化简得

切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或

故选：C

8．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意：，

且：，

据此：，

结合函数的单调性有：，

即.

本题选择C选项.

【解析】 指数、对数、函数的单调性

【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.

9．在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式与同角三角函数的基本关系化简计算题意中的等式，得出，即可得出结果.

【详解】已知，由正弦定理，得，

所以，有，

由，

得，

，

，

，

，

由，解得，

又，所以.

故选：A.

10．已知函数，若数列满足（）且是递增数列，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由分段函数的解析式可得，函数在每一段都是单调递增，且，列出不等关系，求解即可．

【详解】因为函数，数列满足，且是递增数列，

则函数在每一段都是单调递增，且，

所以，解得，

所以实数的取值范围是．

故选：

11．已知函数，且对于任意，都有，下列序号中，①在区间上单调递增；②；③若，则；④若实数m使得方程在上恰有，，三个实数根，则．正确的序号有（    ）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④

【答案】D

【分析】由题意关于对称，进而求得，则，利用正弦型函数的性质及图象、倍角及诱导公式，判断各项的正误.

【详解】由题设知：关于对称，

所以，

又，则，即.

所以，

当，则，故在上不单调，①错；

，②对；

，而，

由，即，③对；

当，则，而在上图象如下：

所以有三个实根，则，此时，

则，故，④对.

故选：D

12．黎曼函数R(x)是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在[0，1]上，当都是正整数，为最简真分数）时，；当或1或x为(0，1)内的无理数时，．若为偶函数，为奇函数，当]时，，则（    ）

A．且

B．且

C．且

D．且

【答案】C

【分析】由为偶函数，为奇函数得到是以4为周期的函数，故可求；与大小关系可通过讨论所有可能取值的情况计算后比较, 所有可能取值分是否为0，1，无理数，有理数来讨论.

【详解】因为为偶函数，为奇函数，

则关于轴对称且关于成中心对称，

所以，，

所以是以4为周期的函数，故.

下面证明成立.

(1) 当至少一个为0时， .

(2) 当至少一个为1时，而.

故成立.

以下讨论的情况均不取0与1两个值.

(3)当恰有一个是无理数时，.

(4) 当均为无理数时，

①若为无理数，

②若为有理数，设，则，，故.

(5) 当均为有理数时，设，

①若为最简分数，则

故.

②若不为最简分数，设 (最简)，则，故 ，

.

综上有.

故选：C.

【点睛】本题要证明的关键是求出与的值，以便比较大小，显然 ，但当时的表达式要分为无理数，为有理数四种情况，为了比较与大小，可对如下分类讨论：

对于含有多个变量的分段讨论，如何分段就成为解题的关键.

二、填空题

13．已知，若复数为纯虚数，则______．

【答案】

【分析】利用纯虚数的概念，实部为零且虚部不为零，解出即可

【详解】因为为纯虚数，

所以，解得

故答案为：

14．如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环ABCD的面积__________．

【答案】3

【分析】根据弧长公式求出，，再由根据扇形的面积公式求解即可.

【详解】设,

因为弧，弧，，

所以，，

所以，，

又扇形的面积为，扇形的面积为，

所以扇环ABCD的面积．

故答案为：3

15．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】利用奇函数的性质得到，再根据不等式构造函数，分析函数在时的单调性，根据单调性、奇偶性和解不等式即可.

【详解】因为为奇函数，定义域为，所以，，

又因为时，，所以，

构造函数，所以，

所以当时，，在上单调递增，

又因为，所以，在上大于零，在上小于零，

又因为，所以当时，在上大于零，在上小于零，因为为奇函数，所以当时，在上小于零，在上大于零，

综上所述：的解集为.

故答案为：.

【点睛】常见的函数构造形式：

①，；

②，.

16．锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为______．

【答案】，

【分析】由题设可得，，结合及余弦定理可得，根据锐角三角形边的关系得到，最后由对勾函数性质求范围.

【详解】由题意，，

又，则，

所以，即，

由，，，

所以,，

由为锐角三角形及上式，则，即，可得，

所以在上递减，在上递增，则.

故答案为：

三、解答题

17．已知函数．

(Ⅰ)求的最大值及取得最大值时的x集合；

(Ⅱ)设的角的对边分别为，且,求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）4,；（Ⅱ）.

【分析】(1)利用三角恒等变换，化简函数解析式，然后利用整体代换法求函数的最大值及最小值，并确定取到最值时的 的集合；(2)先计算得到角A的值，然后利用正弦定理建立边与角的联系，化边b,c为角B,C，最后根据三角恒等变换化简得到关于角B的式子，利用角B的范围确定范围.

【详解】（Ⅰ），

，

故的最大值为4，

当，时取最大值，

x的集合为.

（Ⅱ）由得,

又，故，

求的取值范围.

由正弦定理，，

=，

的取值范围为-

【点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.

18．如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，.

(1)若为的中点，求证：；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】(1)结合已知条件和平面几何关系知，然后利用面面垂直性质和线面垂直性质可知，最后利用线面垂直判定和性质即可证明；(2)取的中点，然后利用面面垂直性质证明底面，再建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，最后利用二面角的向量公式即可求解.

【详解】（1）∵侧面是菱形，∴，

∵为的中点，∴，

∵侧面底面，侧面底面，，底面，

∴侧面，

∵侧面，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴.

（2）取中点，连接，从而，

又由，则，

∵侧面底面，侧面底面，

∴底面，

以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图：

由已知条件和上图可知，，，，，

由题意可知，为平面的一个法向量，

不妨设平面的一个法向量，

因为，，

从而，

令，则，，即，

设二面角为，由图可知为钝角，

从而，即，

故二面角的正弦值为.

19．某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为.

(1)在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列；

(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】(1)结合已知条件，可能取值为，，，，然后分析每种积分对应的输赢情况，然后利用二项分布和独立事件的概率乘法求解即可；(2)结合(1)中结论，分析积分之和为5时三场比赛的积分情况，然后利用独立事件的概率乘法求解即可.

【详解】（1）由题意可知，可能取值为，，， ，

当时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，

则，

当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，

则；

当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，

则，

当时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，

则，

故的概率分布列如下：

（2）设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件，

则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，

故，

故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为.

20．已知圆，椭圆．

(1)求证：圆C在椭圆M内；

(2)若圆C的切线m与椭圆M交于P，Q两点，F为椭圆M的右焦点，求△面积的最大值．

【答案】(1)证明见解析

(2)4

【分析】（1）证明椭圆M上任意一点到圆心C的距离大于半径1即可解决；

（2）以设而不求的方法得到△面积的表达式，再去求最大值即可.

【详解】（1）圆心，半径．设为椭圆M上一点，

则．

∵，∴当时，有最小值．

而，即，故点A总在圆C外．

∴圆C在椭圆M内．

（2）若直线m斜率不存在，m不能过点，则m的方程只能为，

，．

若直线m斜率存在，设m的方程为．

由直线m与圆C相切得，化简得，则．

由得，

则．

又到直线m的距离．

设，则，

．

综上，面积的最大值为4．

21．已知函数.

（1）若在单调递增，求a的值；

（2）当时，设函数的最小值为，求函数的值域.

【答案】（1）1；（2）.

【分析】（1）由在单调递增，利用导数知在上恒成立即可求参数a的值；（2）由有，利用二阶导数可知在上单调递增，进而可知，使得，则有的单调性得最小值，结合并构造函数可求取值范围，进而利用导数研究的单调性即可求范围；

【详解】（1），又在单调递增，

∴，即在上恒成立，

（i）当时，，则需，故，即；

（ii）当时，，则；

（iii）当时，，则需，故，即；

综上所述：；

（2），，，

∵，有，

∴在上单调递增，又，，

∴，使得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

故的最小值为，

由得，因此，

令，，则，

∴在上单调递增，又，，，

∴取值范围为，

令（），则，

∴函数在上单调递增，又，，

∴，即函数的值域为.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性求参数，由原函数得到最值，构造中间函数并根据其导数讨论单调性，求最值的取值范围；中间函数需要根据步骤中的研究对象及目的确定；

22．在平面直角坐标中，直线的参数方程为（为参数，为常数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，若，求的值．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数，为常数），消去参数得的普通方程，而曲线的极坐标方程可化为，利用可得的直角方程．

（Ⅱ）利用直线参数方程中参数的几何意义可得．

【详解】（Ⅰ）∵直线的参数方程为（为参数，为常数），

消去参数得的普通方程为：即．

∵，∴即，即．

故曲线的直角坐标方程为．

（Ⅱ）法一：将直线的参数方程代入曲线中得，

∴．

法二：将代入曲线

化简得：,

∴．

【点睛】直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为 （其中为参数），注意表示直线上的点到的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．

23．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出不等式的解集；

（2）分析可得知，使得或成立，利用二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.

【详解】（1）当时，．

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时．

因此，当时，不等式的解集为；

（2）当时，可化为，

所以，或，

即存在，使得或．

，因为，所以，则，

，因为，所以，所以，

因此，实数的取值范围为．