2024届江西省南昌市高三上学期三校联考期中数学试题含答案

这是一份2024届江西省南昌市高三上学期三校联考期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．复数，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值.
【详解】，所以.
故选：C.
2．已知集合，，则等于．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】先分别求出集合，，在根据集合交集的运算，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，集合，，
所以．
故选C．
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3．设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为．
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】由等差数列前n项和的性质，可得，得到的值，进而求解数列的公差，得到答案．
【详解】由题意，根据等差数列的求和公式，可得，可得，
又，所以，
故选C．
【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和，以及公差的求法，其中解答中熟记等差数列的前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．
4．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）．
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算结合平面向量基本定理可求的值.
【详解】由平面向量基本定理，
化简
，
所以，即，
故选：A．
5．已知是等比数列，，前n项和为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别求出和为递增数列的充要条件，判断它们之间的关系，即得答案.
【详解】是等比数列，，
或，
的充要条件为或.
又，为递增数列的充要条件为，
所以“”是“为递增数列的必要不充分条件.
故选：.
【点睛】本题考查数列的单调性和充分必要条件，属于基础题.
6．，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，判断这三个数所在的大致范围，即得大小关系.
【详解】，，，
，
.
故选：.
【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.
7．在公元前500年左右的毕达哥拉斯学派的数学家们坚信，“万物皆（整）数与（整）数之比”，但后来的数学家发现了无理数，引发了数学史上的第一次数学危机.下图是公元前400年古希腊数学家泰特拖斯用来构造无理数、、，……的图形，此图形中的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理求解.
【详解】在中，，
在中，.
故选:D.
8．已知函数，则函数的图象与两坐标轴围成图形的面积是（ ）
A．4B．C．6D．
【答案】A
【分析】根据函数的对称性及函数的单调性，即可确定与坐标轴围成的面积.
【详解】已知函数，定义域为，
又.
因此函数的图象关于点成中心对称，
又，且点与点也关于点成中心对称，
由基本初等函数的单调性可得函数在区间上单调递减，
因此与坐标轴围成图形的面积是.
故选：A.
二、多选题
9．设向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示可判断AB正误；由向量模长坐标运算可知CD正误.
【详解】对于A，，，A正确；
对于B，，与不平行，B错误；
对于C，，，C正确；
对于D，，，D正确.
故选：ACD.
10．已知命题，，则满足命题为真命题的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】先求出命题为真命题时的范围，结合选项可求答案.
【详解】因为命题为真命题，所以不等式在上恒成立，所以，解得，命题为真命题的一个充分条件即所求范围的子集，结合选项可知AD符合题意.
故选：AD.
11．已知函数的部分图象如图，则下列判断正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．对任意的，都有
C．函数在区间上恰好有三个零点
D．函数是奇函数
【答案】BCD
【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为，可得，
又因为函数在附近单调递增，则，
则，
又因为，可得，
结合图象可得，解得，则，
对于A选项，函数的最小正周期为，A错；
对于B选项，，
所以，对任意的，都有，B对；
对于C选项，当时，，
由可得，所以，，
所以，函数在区间上恰好有三个零点，C对；
对于D选项，是奇函数，D对.
故选：BCD.
12．已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；……；在和之间插入个数，，，，使，，，，成等差数列.这样得到新数列：，，，，，，，，，，.记数列的前项和为，有下列选择支中，判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式即可判断选项A,B,C是否正确；选项D利用等比数列的前n项和公式及错位相减法求出进行判断.
【详解】对于选项A，因为，，，，成等差数列，
所以，故A正确；
对于选项B，因为和之间插入1个数，和之间插入2个数，…和之间插入9个数，
所以在数列中是第项，所以，故B错误；
对于选项C，在数列中是第项，在数列中是第项，
又依题意，成等差数列，所以，故C正确；
对于选项D， 由选项B可知，在数列中是第55项，所以
，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13． .
【答案】
【分析】利用对数的运算性质、对数恒等式与换底公式化简求值.
【详解】
故答案为：.
14．设向量，向量，且，则等于 .
【答案】
【分析】利用坐标运算计算可得，变形，代入即可.
【详解】因为，则，即，
则.
故答案为：.
【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，考查同角三角函数基本关系的应用，是基础题.
15．如图：直线，A是，之间的一定点，并且A点到，的距离分别为2，4，过点A且夹角为的两条射线分别与，相交于B，C两点，则面积的最小值是 .
【答案】
【分析】设与垂线的夹角为，用表示出，从而求得三角形的面积，利用三角函数恒等变换及三角函数的性质求得最小值．
【详解】设与垂线的夹角为，则
，，所以面积
，
所以，
所以当，即当时，面积最小，最小值是.
故答案为：．
16．若存在单调递减区间，则正数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分析可知，存在，使得，变形可得，令，分析函数的单调性，可得出，结合函数的单调性可得出，利用导数求出函数在上的最大值，即可得出正实数的取值范围.
【详解】因为，则，其中，
因为存在单调递减区间，则存在，使得，即，
即，即有解，
构造函数，则，所以，函数在上单调递增，
由得，
因此，不等式转化为，即有解，
记，，可得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以， ，因此.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
四、解答题
17．如图数表中，第行中，第个数为，共有个数.
第1行 1
第2行 ，1
第3行 ，，，1
… … … …
第行 ，，，…，1
(1)求第行所有数的和；
(2)求前10行所有数的和.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由等差数列前项和公式计算；
（2）用分组求和法计算．
【详解】（1）第行所有数的和为
；
（2）前10行所有数的和为
，
即.
18．已知点O是的外接圆的圆心，，，.
（1）求外接圆O的面积.
（2）求
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据余弦定理求出.设外接圆的半径为，由正弦定理得，即求外接圆O的面积；
（2）设的中点为，则，则，即可求出数量积.
【详解】（1）由余弦定理得
，
.
设外接圆的半径为，由正弦定理得，
所以外接圆的面积为.
（2）设的中点为，则，
.
【点睛】本题考查正、余弦定理和向量的数量积，属于基础题.
19．已知向量，，函数的最小正周期为.
(1)求实数的值；
(2)已知，，，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数量积坐标表示求得，然后由二倍角公式、两角差的正弦公式化简，利用周期求得；
（2）代入已知到函数式得，，再由两角差的正弦公式计算．
【详解】（1）
，
所以；
（2）
又，所以，
，
又，所以，
所以.
20．如图，已知菱形中，，点为边的中点，沿将折起，得到且二面角的大小为，点在棱上，平面.
(1)求的值；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先通过面面平行的性质证明，则，再利用三角形相似即可得到答案；
（2）利用二面角定义得到，建立合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，求出平面和平面的法向量，利用空间向量法求出二面角余弦值即可.
【详解】（1）连接，设，连接，
取中点点，分别连接,,
则，平面，平面，则平面，
又因为平面，且，平面，
所以平面平面，
又因为平面与平面平面相交，则交线，故，
因为为中点，且底面为菱形，故，
又在菱形中，，所以，
所以.
（2）因为，，所以三角形为等边三角形，
所以，而根据折叠过程可知，
且平面平面，平面，，
因此是二面角的平面角，则，
如图，以点为原点，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系.依据题意，
从而
设平面的法向量，
由得到，
由得到.
令
设平面的法向量，
由得到，
由得到.
令.
因此，
所以，所求二面角的余弦值是.
21．为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，即某队先赢得3局比赛，则比赛结束且该队获胜，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次目上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)若求甲队明星队员M在前三局比赛中出场，记前三局比赛中，甲队获胜局数为X，求随机变量X的分布列及数学期望；
(2)若已知甲乙两队比赛3局，甲队以获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，结合分类，即可求解概率，进而可由期望公式求解期望，
（2）根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】（1）X可能取值有0，1，2，3.
，
，
，
，
因此，随机变量X的分布列是
数学期望；
（2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛，为前3局甲队明星队员没有上场比赛，
因为每名队员上场顺序随机，，，
，
，
甲队明星队员上场的概率.
22．已知函数，（，是自然对数的底数）．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.
【分析】（1）求得，然后对分成和两种情况进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）首先令，代入，求得的一个取值范围.构造函数，利用的导函数研究的最小值，由此求得的取值范围.
【详解】（1），
当时，，函数在上递减；
当时，由，解得，故函数在上单调递减，
由，解得，故函数在上单调递增．
综上所述，当时，在上递减；当时，在上递减，在上递增.
（2）当时，，
即，故，
令
，
则，
若，则当时，，
函数在上单调递增，
当时，
，
当时，单调递增，
则，符合题意；
若，则，
，
由得，
故，
存在，使得，
且当时，，
在上单调递减，
当时，，不合题意，
综上，实数的取值范围为．
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
X
0
1
2
3
P