专题4.1 对数运算-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

专题4.1 对数运算

【考点1：对数的概念判断与求值】

【考点2：指数式与对数式的互化】

【考点3：对数的运算性质】

【考点4：换底公式及其应用】

【考点1：对数的概念判断与求值】

【知识点：对数的概念】

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式.

1．（2022·全国·高一课时练习）（1）对数的概念

一般地，如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作___________，其中a叫做对数的___________，N叫做___________．

（2）对数的基本性质

①当，且时，___________．

②负数和0没有对数．

③特殊值：1的对数是___________，即___________（，且）；底数的对数是1，即（，且）．

（3）常用对数与自然对数

2．（2021·江苏省江阴市第一中学高一期中）使式子有意义的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．且

3．（2022·江苏省南通中学高一阶段练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）有以下四个结论：①；②；③ 若，则；④若，则，其中正确的是（    ）

A．①② B．②④

C．①③ D．③④

6．（2022·重庆·巫山县官渡中学高二阶段练习）(多选)下列说法正确的有（    ）

A．零和负数没有对数

B．任何一个指数式都可以化成对数式

C．以为底的对数叫做常用对数

D．以为底的对数叫做自然对数

7．（2021·全国·高一课时练习）若有意义，则实数k的取值范围是______.

8．（2021·全国·高一课前预习）求下列各式的值：

(1)；

(2).

【考点2：指数式与对数式的互化】

【知识点：指数式与对数式的互化】

1、ax＝N⇔x＝logaN；

2、loga1＝0，logaa＝1，＝N.

1．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高三阶段练习）方程的解是_____________．

2．（2022·浙江丽水·高三竞赛）函数满足，若，则实数的值为_______.

3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

4．（2022·浙江·高三开学考试）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度.假设在室内温度为的情况下，一杯饮料由降低到需要，则此饮料从降低到需要（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·甘肃·高台县第一中学高一期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上定义为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过___________个小时才能驾驶．（结果保留整数，参考数据）

【考点3：对数的运算性质】

【知识点：对数的运算性质】

1．（2017·湖南·武冈市教育科学研究所高二学业考试）求值＝_____．

2．（2022·北京·杨镇第一中学高三阶段练习）________．

3．（2022·天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习）计算：______.

4．（2020·江苏·南通一中高一阶段练习）已知，且，下列说法不正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

5．（2021·江苏省灌南高级中学高一期中）定义两个实数间的一种新运算“*”：，，.对于任意实数，，，给出如下结论，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

6．（2020·江苏·南通一中高一阶段练习）已知且，则m等于（    ）

A． B．6 C．12 D．36

7．（2022·河北·高三阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

8．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（    ）

A．浮萍每月的增长率为3

B．浮萍每月增加的面积都相等

C．第4个月时，浮萍面积超过

D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则

9．（2022·安徽·高三阶段练习）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ）

A． B． C． D．

10．（2022·全国·高一单元测试）计算

(1)

(2).

11．（2021·湖北·襄阳五中高一期中）（1）求值；

（2）设，求的值.

【考点4：换底公式及其应用】

【知识点：换底公式】

logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；

1．（2022·江西·修水中等专业学校高三阶段练习）________．

2．（2022·重庆巴蜀中学高三开学考试）化简 ___________.

3．（2022·江苏·矿大附中高一阶段练习）若实数a，b，c满足，，，则=______．

4．（2022·湖南益阳·高二阶段练习）已知，，，则的最小值为__________

5．（2022·福建·高三阶段练习）已知，，则（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若，，则的值约为（    ）

A． B． C． D．

7．（2022·河南·高三阶段练习（文））“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”《增广贤文》是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1％，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1％，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20％，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是（参考数据：1g 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）（    ）

A．15天 B．17天 C．19天 D．21天

8．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：）

A．72 B．74 C．76 D．78