专题2.2 双曲线（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc116593822" 【考点1：双曲线的定义与标准方程】 PAGEREF _Tc116593822 \h 1
\l "_Tc116593823" 【考点2：双曲线的焦点三角形问题】 PAGEREF _Tc116593823 \h 3
\l "_Tc116593824" 【考点3：双曲线的几何性质】 PAGEREF _Tc116593824 \h 4
\l "_Tc116593825" 【考点4：与双曲线有关的最值或范围问题】 PAGEREF _Tc116593825 \h 8
【考点1：双曲线的定义与标准方程】
【知识点：双曲线的定义】
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
【知识点：双曲线的标准方程】
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)；
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
待定系数法求双曲线方程的五种类型
1．（2021·全国·高二课时练习）若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（ ）
A．m<0，n<0B．m>0，n>0C．m<02．（2022·全国·高二单元测试）已知A0,7，B0,-7，C12,2，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为（ ）
A．y2-x248=1y≤-1B．y2-x248=1
C．x2-y248=1x≤-1D．x2-y248=1
3．（2022·全国·高二课时练习）过点3,2且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A．x25-y25=1B．y25-x25=1C．x22-y23=1D．x23-y22=1
4．（2022·全国·高二课时练习）双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0过焦点F1的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为（ ）．
A．4aB．4a－mC．4a＋2mD．4a－2m
5．（2022·全国·高二课时练习）设双曲线C：x2-y224=1的左焦点和右焦点分别是F1，F2，点A是C右支上的一点，则AF1+4AF2的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（2022·全国·高二课时练习）已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
7．（2022·全国·高三专题练习）若方程x23-t+y2t-1=1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若C为椭圆，则13或t<1
C．曲线C可能是圆D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则18．（2021·全国·高二专题练习）(多选)已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是（ ）
A．2B．－1C．4D．－3
9．（2022·全国·高二课时练习）与双曲线x216-y24=1有公共焦点，且过点32,2的双曲线的标准方程为______．
10．（2022·全国·高二课时练习）双曲线C1:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的焦距为4，且其渐近线与圆C2:x-22+y2=1相切，则双曲线C1的标准方程为______．
11．（2022·全国·高三专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a=3，c=4，焦点在x轴上；
(2)焦点为(0,-6)､(0,6)，经过点A(-5,6).
12．（2022·全国·高三专题练习）如图双曲线C:x2-y23=1的焦点为F1､F2，过左焦点F1倾斜角为30∘的直线l与C交于A,B两点．
(1)求弦长AB的值；
(2)求△ABF2的周长．
【考点2：双曲线的焦点三角形问题】
【知识点：双曲线的焦点三角形问题】
(1)双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．
(2)以双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
①||PF1|－|PF2||＝2a.
②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ.
③S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ.
1．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线x24-y2b2=1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，若△ABF1是等腰三角形，且∠A=120∘，则△ABF1的周长为（ ）
A．1633+8B．42-1C．433+8D．23-2
2．（2023·全国·高三专题练习）设F1，F2是双曲线C:x2-y23=1的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当PF1=6时，△PF1F2面积为（ ）．
A．43B．37C．4552D．67
3．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线y2m-x22=1m>0，直线l过其上焦点F2，交双曲线上支于A，B两点，且AB=4，F1为双曲线下焦点，△ABF1的周长为18，则m值为（ ）
A．8B．9C．10D．254
4．（2022·全国·高三专题练习）已知点P是双曲线E：x216-y29=1的右支上一点，F1,F2为双曲线E的左、右焦点，ΔPF1F2的面积为20，则下列说法正确的是（ ）
A．点P的横坐标为203B．ΔPF1F2的周长为803
C．∠F1PF2大于π3D．ΔPF1F2的内切圆半径为32
【考点3：双曲线的几何性质】
【知识点：双曲线的几何性质】
[方法技巧]
1．求双曲线离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
2．双曲线的形状与e的关系
k＝eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1)，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从狭窄逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
[提醒] 求双曲线的离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围．
1．（2021·全国·高考真题（文））点3,0到双曲线x216-y29=1的一条渐近线的距离为（ ）
A．95B．85C．65D．45
2．（2023·全国·高三专题练习）设F1，F2是双曲线C:x2-y23=1的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当PF1=6时，△PF1F2面积为（ ）．
A．43B．37C．4552D．67
3．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线x24-y2b2=1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，若△ABF1是等腰三角形，且∠A=120∘，则△ABF1的周长为（ ）
A．1633+8B．42-1C．433+8D．23-2
4．（2022·全国·高三专题练习）双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0被斜率为4的直线截得的弦AB的中点为2,1,则双曲线E的离心率为（ ）
A．2B．3C．2D．5
5．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线y2m-x22=1m>0，直线l过其上焦点F2，交双曲线上支于A，B两点，且AB=4，F1为双曲线下焦点，△ABF1的周长为18，则m值为（ ）
A．8B．9C．10D．254
6．（2021·全国·高三专题练习（理））设F1、F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF2=F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（ ）
A．45B．54C．35D．53
7．（2019·全国·高考真题（文））设F为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A．2B．3
C．2D．5
8．（2021·全国·高考真题（理））已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°,PF1=3PF2，则C的离心率为（ ）
A．72B．132C．7D．13
9．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知双曲线C:x2-y26=1，则（ ）
A．双曲线C的焦距为7
B．双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍
C．双曲线y26-x2=1与双曲线C的渐近线相同
D．双曲线的顶点坐标为(±6,0)
10．（2022·全国·高二单元测试）已知双曲线C:x2a2-y23=1(a>0)的左､右焦点分别为F1,F2，离心率为2,P为C上一点，则（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．双曲线C的一条渐近线方程为y=3x
C．PF1-PF2=2
D．双曲线C的焦距为4
11．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知双曲线C的标准方程为x2-y24=1，则（ ）
A．双曲线C的离心率等于半焦距
B．双曲线y2-x24=1与双曲线C有相同的渐近线
C．双曲线C的一条渐近线被圆x-12+y2=1截得的弦长为455
D．直线y=kx+b与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2
12．（2022·全国·高二课时练习）与双曲线x29-y216=1有共同渐近线，且经过点A-3,23的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为___________.
13．（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线C:x2m-y2=1(m>0)的一条渐近线为3x+my=0，则C的焦距为_________．
14．（2021·四川·攀枝花七中高二阶段练习（文））已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，点A是以OF为直径的圆与双曲线C的一个公共点.若点F关于点A的对称点也在双曲线C上，则双曲线C的渐近线的斜率为___________.
15．（2021·全国·高二课时练习）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的左.右焦点分别为F1、F2，过点F1作直线l:y=-bax的垂线，垂足为Q，直线F1Q与双曲线C在第一象限的交点为P，且点P在以F1F2为直径的圆上.则此双曲线的离心率为____________.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线x24-y22=1，
(1)过点M1，1的直线交双曲线于A，B两点，若M为弦AB的中点，求直线AB的方程；
(2)是否存在直线l，使得1，12 为l被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，满足______（从下列条件中选择其中两个补充在横线上并作答）．
①离心率为2；②渐近线为y=±3x；③过点P(2,3)．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)在（1）的条件下，若直线l过点Q(0,-1)，且与双曲线右支交于A、B两点，求直线l的倾斜角的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在以AB为直径的圆经过坐标原点O？若存在，请求出此时的直线l，若不存在，请说明理由．
【考点4：与双曲线有关的最值或范围问题】
【知识点：与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法】
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质，求最值或取值范围．
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．
[提醒] 求解与双曲线几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系
1．（2020·全国·高考真题（理））设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
2．（2021·江苏·高二单元测试）过双曲线x29-y216=1的右支上的一点P分别向圆C1：(x+5)2+y2=4和圆C2：(x-5)2+y2=r2(r>0)作切线，切点分别为M、N，若|PM|2-|PN|2的最小值为58，则r=（ ）
A．2B．3C．2D．3
3．（2022·全国·高二课时练习）已知点A(1,1)，点P是双曲线C:x29-y27=1左支上的动点，Q是圆D:(x+4)2+y2=14上的动点，则（ ）
A．C的实轴长为6
B．C的渐近线为y=±377x
C．|PQ|的最小值为12
D．|PA|-|PD|的最小值为6-10
4．（2022·全国·高二单元测试）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围__________
5．（2022·全国·高二课时练习）若直线l:y=3x3-233过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F3,0，过点F与x轴垂直的直线l1与双曲线C交于M，N两点，且MN=4.
(1)求C的方程；
(2)过点A0,-1的直线l2与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若GH=λDE，求实数λ的取值范围. 类型一
与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)
类型二
若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x或y＝－eq \f(b,a)x，则可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)
类型三
与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－k)－eq \f(y2,b2＋k)＝1(－b2类型四
过两个已知点的双曲线的标准方程可设为eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)或者eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn<0)
类型五
与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,λ－b2)＝1(b2<λ标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长