北京市第四十三中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学【试卷+答案】

北京市第四十三中学2021-2022学年度第一学期期中考试

              高三数学          2021.11.3

班级             姓名               教育ID号                          

试卷满分：150分  考试时间：120分钟

第一部分（选择题  共40分）

一.选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合，，则（    ）

A. {0，2}      B. {0，2，4}     C.      D.

2. 下列函数中，是偶函数且在区间上为增函数的是（    ）

A.  B.      C.  D.

3. “”是“”成立的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件  C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

4. 设，，，则（   ）

A．     B．   C．    D.

5. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ）

A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）

6将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（   ）

A． B．  C． D.

7. 在的展开式中，常数项是（  ）

A．       B．       C．       D.

8. 等差数列中，若，为的前项和，则（  ）

A.      B.          C.         D.

9. 已知函数，则下列四个结论中正确的是（   ）

A．函数的图象关于中心对称

B．函数的图象关于直线对称

C．函数在区间内有个零点

D. 函数在区间上单调递增

10. 在中，，， 点在边上，且，则的取值范围是（   ）

A．     B．       C． 　D.

第二部分（非选择题  共110分）

二.填空题（共5小题，每小题5分，共25分。）

11. 设是虚数单位，复数，则对应的点位于第     象限

12. 已知，则________.

13. 已知函数则_______；的最小值为    .

14. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，，，则边c=       ,ABC的面积等于         

15. 如图，在等边三角形中，. 动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列三个结论：

①函数的最大值为；

②函数的图象的对称轴方程为；

③关于的方程最多有个实数根.

其中，所有正确结论的序号是      .

注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

三.解答题（共6小题，共85分。）

16. （本小题满分14分）

已知函数．

（1）求的值及的单调递增区间；

（2）求在区间上的最大值和最小值．

17（本小题满分14分）

  在△ABC中，c＝2，C＝30°．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：（1）a的值；（2）△ABC的面积．

条件①：；

条件②：A＝45°；

条件③：．

注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18. （本小题满分14分）

     已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知.

（1）求数列的通项公式;       （2）求数列的前n项和.

条件①:； 条件②:；  条件③:

 19. （本小题满分14分）

     已知等比数列满足， .

（1）求的通项公式及前项和；

（2）设，求数列的前项和.

20.（本小题14分）

如图，在正四棱锥中，，．

（1）求证：面；

（2）求二面角的余弦值．

21. （本小题满分15分）

     已知三次函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在区间上具有单调性，求的取值范围；

（3）当时，若，求的取值范围.

北京市第四十三中学2021-2022学年度第一学期期中考试

              高三数学参考答案及评分标准

第一部分（选择题  共40分）

一.选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

第二部分（非选择题  共110分）

二.填空题（共5小题，每小题5分，共25分。）

11. 二        12.           13. ；            14. ；              15. ①②

（13题、14题：第一问2分，第二问3分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。）

三.解答题（共6小题，共85分。）

16. （本小题满分14分）

解：（1）因为                      ……………………1分

                                                        ……………………2分

                 ……………………3分

                                   ……………………5分

                                                       （一个公式1分）

                ……………………6分

 令                  ……………………7分

                       ……………………8分

    的单调递增区间为，    ……………………9分

（2）因为， 所以            ……………………10分

 所以                         ……………………11分

      故                     ……………………12分

 当即时，有最大值         ……………………13分

当即时，有最小值        …………………… 14分

（函数最大值和最小值结果正确1分，写出取得最大值和最小值时对应自变量的取值1分）

17.（本小题满分14分）

解：选择条件①：．                 ……………………1分

（1）在△ABC中，c＝2，C＝30°．

因为，                               ……………………2分

根据余弦定理：                    

得                          ……………………4分

整理，得a2＝16，                                       ……………………6分

由于a＞0，

所以a＝4．                                             ……………………8分

（2）由（1）可知，

因为a＝4，c＝2，

所以a2＝b2+c2．                                      ……………………10分

所以A＝90°．                                         ……………………12分

因此，△ABC是直角三角形．

所以                       ……………………14分    

选择条件②：A＝45°．                                   ……………………1分

解：（1）在△ABC中，因为A＝45°，c＝2．C＝30°

根据正弦定理：，                           ……………………3分

所以               ……………………6分

（2）在△ABC中，

因为sinB＝sin[π-（A+C）]= sin（A+C）．                     ……………………8分

所以sinB＝sin（30°+45°）                             

＝sin30°cos45°+cos30°sin45°                     ……………………10分

                                    ……………………12分

所以       ……………………14分

选择条件③：不给分

18. （本小题满分14分）

解：选择条件①和条件②：            ……………………1分

（1）设等差数列的公差为，

              ……………………3分

则，                      ……………………5分

；          ……………………7分

（2）设等比数列的公比为，，……………………8分

                  ……………………10分

解得，                     ……………………12分

设数列的前n项和为，

.               ……………………14分

选择条件①和条件③：                     ……………………1分

（1）设等差数列的公差为，

，                  ……………………3分

则，                        ……………………5分

；              ……………………7分

（2），

设等比数列的公比为，，        ……………………8分

，                         ……………………10分

解得，                      ……………………12分

设数列的前n项和为，

.                ……………………14分    

选择条件②和条件③：                      ……………………1分

（1）设等比数列的公比为，，     ……………………2分

，                       ……………………4分

解得，                         ……………………6分

，                       ……………………8分

设等差数列的公差为，

，                         ……………………9分

又，故，                         ……………………10分

；                 ……………………12分

（2）设数列的前n项和为，

由（1）可知.           ……………………14分   

  19. （本小题满分14分）

解：（1）设等比数列的公比为.

因为，且                               

所以，得，                                   …………2分

又因为，所以 ，得                  ………4分

.                                              …………5分

所以（N+），                                   …………6分

所以                                          …………7分

                                        …………8分

（2）因为，所以，             …………10分

所以.                        …………12分

所以数列的前项和

             …………13分

.                                             …………14分

20.（本小题14分）

（Ⅰ）证明：联结．

在正四棱锥中，

底面．

因为平面，

所以．      …………3分

在正方形中，，

又因为，

所以面．   …………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，，两两垂直，

以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 .               …………7分

在正方形中，因为，所以．

又因为，所以．

所以点的坐标为，点的坐标为，

点的坐标为．                                 …………8分

则，．                    …………9分

由（Ⅰ）知，平面．

所以平面的一个法向量为．         …………10分

设平面的一个法向量．

则即

令，则，．

故平面的一个法向量．                  …………13分

所以二面角的余弦值为．                    …………14分

21. （本小题满分15分）

解：由可得

                         ……………………2分

（1）当时，，.                       ……………………4分

所以曲线在点处的切线方程为.  ……………………5分

（2）由已知可得

①当时，令得，.                   ……………………6分

与在区间_上的情况如下：

因为在上具有单调性，所以                   . ……………………8分

②当时，与在区间上的情况如下：

因为在上具有单调性，

所以，即.                                        ……………………10分

综上所述，a的取值范围是.                         ……………………11分

（3）先证明：.

由（2）知，当时，的递增区间是，，递减区间是（0，2）.

因为，不妨设，则.

①若，则.

所以.

②若，因为，

所以，当且仅当时取等号

综上所述，.                                    ……………………13分   

再证明：的取值范围是.

假设存在常数，使得对任意，.

取，且则

，

与矛盾.

所以的取值范围是.                           ……………………15分