北京市第四十三中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学【试卷+答案】

这是一份北京市第四十三中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学【试卷+答案】，共14页。试卷主要包含了11， “”是“”成立的， 设，，，则， 在的展开式中，常数项是等内容，欢迎下载使用。
北京市第四十三中学2021-2022学年度第一学期期中考试              高三数学          2021.11.3班级             姓名               教育ID号                           试卷满分：150分  考试时间：120分钟第一部分（选择题  共40分）一.选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知集合，，则（    ）A. {0，2}      B. {0，2，4}     C.      D. 2. 下列函数中，是偶函数且在区间上为增函数的是（    ）A.  B.      C.  D. 3. “”是“”成立的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件  C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件4. 设，，，则（   ）A．     B．   C．    D. 5. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ）A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）6将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（   ）A． B．  C． D.  7. 在的展开式中，常数项是（  ）A．       B．       C．       D. 8. 等差数列中，若，为的前项和，则（  ）A.      B.          C.         D.9. 已知函数，则下列四个结论中正确的是（   ）A．函数的图象关于中心对称B．函数的图象关于直线对称C．函数在区间内有个零点D. 函数在区间上单调递增10. 在中，，， 点在边上，且，则的取值范围是（   ）A．     B．       C． 　D. 　　　　　　　　　　　　　第二部分（非选择题  共110分）二.填空题（共5小题，每小题5分，共25分。）11. 设是虚数单位，复数，则对应的点位于第     象限12. 已知，则________.13. 已知函数则_______；的最小值为    .14. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，，，则边c=       ,ABC的面积等于          15. 如图，在等边三角形中，. 动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列三个结论：①函数的最大值为；②函数的图象的对称轴方程为；③关于的方程最多有个实数根.其中，所有正确结论的序号是      .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。三.解答题（共6小题，共85分。）16. （本小题满分14分）已知函数．（1）求的值及的单调递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．17（本小题满分14分）  在△ABC中，c＝2，C＝30°．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：（1）a的值；（2）△ABC的面积．条件①：； 条件②：A＝45°；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18. （本小题满分14分）     已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知.（1）求数列的通项公式;       （2）求数列的前n项和.条件①:； 条件②:；  条件③:  19. （本小题满分14分）     已知等比数列满足， .（1）求的通项公式及前项和；（2）设，求数列的前项和.   20.（本小题14分）如图，在正四棱锥中，，．（1）求证：面；（2）求二面角的余弦值． 21. （本小题满分15分）     已知三次函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上具有单调性，求的取值范围；（3）当时，若，求的取值范围.              北京市第四十三中学2021-2022学年度第一学期期中考试              高三数学参考答案及评分标准第一部分（选择题  共40分）一.选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案ABADCBCCCA第二部分（非选择题  共110分）二.填空题（共5小题，每小题5分，共25分。）11. 二        12.           13. ；            14. ；              15. ①②（13题、14题：第一问2分，第二问3分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。） 三.解答题（共6小题，共85分。）16. （本小题满分14分）解：（1）因为                      ……………………1分                                                                                                  ……………………2分                  ……………………3分                                                          ……………………5分                                                       （一个公式1分）                ……………………6分 令                  ……………………7分                       ……………………8分    的单调递增区间为，    ……………………9分（2）因为， 所以            ……………………10分 所以                         ……………………11分      故                     ……………………12分 当即时，有最大值         ……………………13分当即时，有最小值        …………………… 14分（函数最大值和最小值结果正确1分，写出取得最大值和最小值时对应自变量的取值1分） 17.（本小题满分14分）解：选择条件①：．                 ……………………1分（1）在△ABC中，c＝2，C＝30°．因为，                               ……………………2分根据余弦定理：                    得                          ……………………4分整理，得a2＝16，                                       ……………………6分 由于a＞0，所以a＝4．                                             ……………………8分 （2）由（1）可知，因为a＝4，c＝2，所以a2＝b2+c2．                                      ……………………10分 所以A＝90°．                                         ……………………12分因此，△ABC是直角三角形．所以                       ……………………14分     选择条件②：A＝45°．                                   ……………………1分解：（1）在△ABC中，因为A＝45°，c＝2．C＝30°根据正弦定理：，                           ……………………3分所以               ……………………6分 （2）在△ABC中，因为sinB＝sin[π-（A+C）]= sin（A+C）．                     ……………………8分所以sinB＝sin（30°+45°）                              ＝sin30°cos45°+cos30°sin45°                     ……………………10分                                    ……………………12分所以       ……………………14分选择条件③：不给分  18. （本小题满分14分）解：选择条件①和条件②：            ……………………1分（1）设等差数列的公差为，              ……………………3分则，                      ……………………5分；          ……………………7分（2）设等比数列的公比为，，……………………8分                  ……………………10分解得，                     ……………………12分设数列的前n项和为，.               ……………………14分选择条件①和条件③：                     ……………………1分（1）设等差数列的公差为，，                  ……………………3分则，                        ……………………5分；              ……………………7分 （2），设等比数列的公比为，，        ……………………8分，                         ……………………10分解得，                      ……………………12分设数列的前n项和为，.                ……………………14分     选择条件②和条件③：                      ……………………1分 （1）设等比数列的公比为，，     ……………………2分，                       ……………………4分解得，                         ……………………6分，                       ……………………8分设等差数列的公差为，，                         ……………………9分又，故，                         ……………………10分；                 ……………………12分（2）设数列的前n项和为，由（1）可知.           ……………………14分            19. （本小题满分14分）解：（1）设等比数列的公比为.因为，且                                所以，得，                                   …………2分又因为，所以 ，得                  ………4分.                                              …………5分所以（N+），                                   …………6分所以                                          …………7分                                        …………8分（2）因为，所以，             …………10分所以.                        …………12分所以数列的前项和              …………13分.                                             …………14分        20.（本小题14分）（Ⅰ）证明：联结．在正四棱锥中，底面．因为平面，所以．      …………3分在正方形中，，又因为，所以面．   …………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，，两两垂直，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 .               …………7分在正方形中，因为，所以． 又因为，所以．所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．                                 …………8分则，．                    …………9分由（Ⅰ）知，平面．所以平面的一个法向量为．         …………10分设平面的一个法向量．则即令，则，．故平面的一个法向量．                  …………13分所以二面角的余弦值为．                    …………14分 21. （本小题满分15分）解：由可得                         ……………………2分（1）当时，，.                       ……………………4分所以曲线在点处的切线方程为.  ……………………5分（2）由已知可得①当时，令得，.                   ……………………6分与在区间_上的情况如下：x0（0，2）2+0 0+增极大值减极小值增因为在上具有单调性，所以                   . ……………………8分②当时，与在区间上的情况如下：x0（0，2）2－0＋0－减极小值增极大值减因为在上具有单调性，所以，即.                                        ……………………10分综上所述，a的取值范围是.                         ……………………11分 （3）先证明：.由（2）知，当时，的递增区间是，，递减区间是（0，2）.因为，不妨设，则.①若，则.所以.②若，因为，所以，当且仅当时取等号综上所述，.                                    ……………………13分    再证明：的取值范围是.假设存在常数，使得对任意，.取，且则，与矛盾.所以的取值范围是.                           ……………………15分