北京市第四十三中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学（Word版含答案）

这是一份北京市第四十三中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学（Word版含答案），共10页。试卷主要包含了11， 以下四组向量， 已知直线 l等内容，欢迎下载使用。

北京市第四十三中学2021-2022学年度第一学期期中考试
高二数学 2021.11.4
班级 姓名 教育ID号
试卷满分：150 分 考试时间： 120 分钟
第一部分（选择题 共40分）
一.选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知过点 A3,2 的直线 l 的倾斜角为 60∘，则直线 l 的方程为   
A. y-2=3x-3 B. y-2=3x-3
C. y+2=3x+3 D. y+2=3x-3

2. 过点 1,0 且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是   
A. x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0

3. 已知 a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题正确的是   
A. 若 a∥α，b∥α，则 a∥b B. 若 a∥α，a∥β，则 α∥β
C. 若 a⊥α，b⊥α，则 a∥b D. 若 a⊥α，b⊥β，则 α∥β

4. 以下四组向量：
① a=1,-2,1，b=-1,2,-1； ② a=8,4,0，b=2,1,0；
③ a=1,0,-1，b=-3,0,3； ④ a=-43,1,-1，b=4,-3,3．
其中 a，b 分别为直线 l1，l2 的方向向量，则它们互相平行的是   
A. ②③ B. ①④ C. ①②④ D. ①②③④

5. 已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是   
A. -2 B. -4 C. -6 D. -8

6. 已知直线 l:x+2y-3=0 与圆 x-22+y2=4 交于 A，B 两点，求线段 AB 的中垂线方程   
A. 2x-y-2=0 B. 2x-y-4=0
C. 25x-5y-1=0 D. 25x-5y-19=0

7. 若点 P 在直线 3x+y-5=0 上，且点 P 到直线 x-y-1=0 的距离为 2，则点 P 的坐标为   
A. 1,2 B. 2,1 C. 1,2 或 2,-1 D. 2,1 或 -1,2

8. 如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AC 与 BD 的交点为 M，若 A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，则 2B1M=   

A. -a+b+2c B. a+b+2c C. a-b+2c D. -a-b+2c

9. 已知向量 a，b 是平面 α 内两个不相等的非零向量，非零向量 c 在直线 l 上，则“c⋅a=0，且 c⋅b=0”是“l⊥α”的   
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，若点 E 是线段 AB 的中点，点 M 是底面 ABCD 内的动点，且满足 A1M⊥C1E，则线段 AM 的长的最小值为   
A. 55 B. 255 C. 1 D. 52
第二部分（非选择题 共110分）
二.填空题（共5小题，每小题5分，共25分。）
11. 设直线 l 的方程为 m2-2m-3x-2m2+m-1y+6-2m=0．
（1）若直线 l 在 x 轴上的截距为 -3，则 m=  ；
（2）若直线 l 的斜率为 1，则 m=  ．

12. 有下列命题：
①若两条直线平行，则其斜率必相等；
②若两条直线的斜率乘积为 -1 ， 则其必互相垂直；
③过点 -1,1 ，且斜率为 2 的直线方程是 y-1x+1=2 ；
④同垂直于 x 轴的两条直线一定都和 y 轴平行；
⑤ 若直线的倾斜角为 α ，则 0≤α≤π ．
其中为真命题的有  （填写序号）．

13. 已知直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 是关于 k 的方程 2k2-4k+m=0 的两根，若 l1⊥l2，则 m=  ；若 l1∥l2，则 m=  ．

14. 设直线 l1:m+1x-m-3y-8=0m∈R，则直线 l1 恒过定点  ；若过原点作直线 l2∥l1，则当直线 l1 与 l2 的距离最大时，直线 l2 的方程为  ．

15. 如果实数 x，y 满足等式 x-22+y2=1，那么 y+3x-1 的取值范围是   .



三.解答题（共6小题，共85分。）
16. （本小题满分13分）已知平行四边形 ABCD 的三个顶点为 A-1,4，B-2,-1，C2,3．

（1）在 △ABC 中，求边 AC 的中线所在直线的方程；
（2）求平行四边形 ABCD 的顶点 D 的坐标及边 BC 的长度．
17. （本小题满分13分）分别求下列各圆的标准方程．
（1）圆心在直线 y=-x 上，且过 2,0，0,-4 两点．
（2）圆心在直线 2x+y=0 上，且与直线 x+y-1=0 相切于点 2,-1．
18. （本小题满分13分）已知圆 C：x2+y2+2x-7=0 内一点 P-1,2，直线 l 过点 P 且与圆 C 交于 A，B 两点．
（1）若直线 l 的斜率为 3，求弦 AB 的长；
（2）若圆上恰有三个点到直线 l 的距离等于 2，求直线 l 的方程．

19. （本小题满分13分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥ 底面 ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点 E 为棱 PC 的中点．
（1）证明：BE⊥DC；
（2）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；
（3）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF⊥AC，求二面角 F-AB-P 的余弦值．

20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知点 A8,-6，B2,2．
（1）求线段 AB 的中垂线方程；
（2）求过点 P2,-3 且与直线 AB 平行的直线 l 的方程；
（3）一束光线从 B 点射向（2）中的直线 l，若反射光线过点 A，求反射光线所在的直线的方程．

21. （本小题满分13分）

如图，在多面体 ABCDEF 中，梯形 ADEF 与平行四边形 ABCD 所在平面互相垂直，AF∥DE，DE⊥AD，AD⊥BE，AF=AD=12DE=1，AB=2．
（1）求证：BF∥平面CDE；
（2）求二面角 B-EF-D 的余弦值；
（3）判断线段 BE 上是否存在点 Q，使得 平面CDQ⊥平面BEF?若存在，求出 BQBE 的值，若不存在，说明理由．
北京市第四十三中学2021-2022学年度第一学期期中考试

高二数学参考答案及评分标准
一. 选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. B 2. A 3. C 4. D 5. B
6. B 7. C 8. A 9. B 10. B
二.填空题（共5小题，每小题5分，共25分。）
11. -53，-2 12. ② 13. -2，2
14. 2,2，x+y=0 15. 43,+∞
（其中第11题和13题第一问2分，第二问3分）

三.解答题（共6小题，共85分。）
16. （1） 设 AC 边的中点为 M，则 M 点坐标为 12,72，----------1分
所以 kBM=72+112+2=95， ----------2分
所以直线 BM 的方程为 y--1=95x+2， ----------1分
即 9x-5y+13=0， ----------1分
所以 AC 边的中线所在直线的方程为 9x-5y+13=0．----------1分
      （2） 设点 D 的坐标为 x,y， ----------1分
由已知得 M 为线段 BD 的中点， ----------1分
则 -2+x2=12,-1+y2=72, ----------1分
解得 x=3,y=8, ----------1分
所以 D3,8， ----------1分
因为 B-2,-1，C2,3，
所以 ∣BC∣=-2-22+-1-32=42． ----------2分
17. （1） 设圆心 a,-a， ----------1分
圆方程 x-a2+y+a2=r2，
列方程组 ----------2分
把点坐标代入得 a=3，r=10， ----------2分
所以圆方程为 x-32+y+32=10． ----------1分
      （2） 设圆心 a,-2a， ----------1分
圆方程 x-a2+y+2a2=r2， ----------1分
由题 a-22+-2a+12=r2，∣a-2a-1∣2=r， ----------1分
得 a=1，r=2． ----------2分
所以圆方程 x-12+y+22=2． ----------2分
18. （1） 圆 C 的标准方程为 x+12+y2=8， ----------1分
圆心为 -1,0， ----------1分
半径 r=22， ----------1分
直线 l 的方程为 y-2=3x+1， ----------1分
即 3x-y+2+3=0，圆心到直线 l 的距离 d=∣-3-0+2+3∣3+1=1，----------1分
所以 ∣AB∣=2r2-d2==2222-1=27． ----------1分

      （2） 因为圆上恰有三个点到直线 l 的距离等于 2， ----------1分

所以圆心 -1,0 到直线 l 的距离 d=r-2=2． ----------1分

当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x=-1，经验证不符合题意；----------1分

当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为 y-2=kx+1， ----------1分
即 kx-y+2+k=0，由 d=∣-k+2+k∣k2+1=2k2+1=2， ----------1分
可得 k=±1，故直线 l 的方程为 x-y+3=0 或 x+y-1=0． ----------2分

19. （1） 依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系，----------1分
可得 B1,0,0，C2,2,0，D0,2,0，P0,0,2， ----------1分


由 E 为棱 PC 的中点，得 E1,1,1．
向量 BE=0,1,1，DC=2,0,0，----------1分

故 BE⋅DC=0， ----------1分

所以 BE⊥DC． ----------1分

      （2） 向量 BD=-1,2,0，PB=1,0,-2，----------1分

设 n=x,y,z 为平面 PBD 的一个法向量， ----------1分

则 n⋅BD=0,n⋅PB=0, 即 -x+2y=0,x-2z=0, ----------1分

不妨令 y=1，可得 n=2,1,1， ----------1分

于是有 cos⟨n,BE⟩=n⋅BE∣n∣⋅∣BE∣=26×2=33． ----------1分

所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 33．----------1分

      （3） 向量 BC=1,2,0，CP=-2,-2,2，AC=2,2,0，AB=1,0,0，
由点 F 在棱 PC 上，设 CF=λCP，0≤λ≤1，
故 BF=BC+CF=BC+λCP=1-2λ,2-2λ,2λ， ----------1分

由 BF⊥AC，得 BF⋅AC=0，
因此，21-2λ+22-2λ=0，解得 λ=34，即 BF=-12,12,32，----------1分

设 n1=x,y,z 为平面 FAB 的一个法向量，
则 n1⋅AB=0,n1⋅BF=0, 即 x=0,-12x+12y+32z=0,
不妨令 z=1，可得 n1=0,-3,1．
取平面 ABP 的法向量 n2=0,1,0， ----------1分

则 cos⟨n1,n2⟩=n1⋅n2∣n1∣⋅∣n2∣=-310×1=-31010， ----------1分

易知，二面角 F-AB-P 是锐角，其余弦值为 31010．----------1分

20. （1） 8+22=5，-6+22=-2， ----------1分

所以 AB 的中点坐标为 5,-2，
因为 kAB=-6-28-2=-43， ----------1分

所以线段 AB 的中垂线的斜率为 34， ----------1分

设线段 AB 的中垂线方程为 y=kx+b，
因为 k=34，AB 的中点坐标为 5,-2，
所以 -2=34×5+b，解得 b=-234， ----------1分

所以线段 AB 的中垂线方程为 y=34x-234．----------1分

（2） 设直线 l 的方程为 y=kʹx+bʹ．----------1分

由题意知 kʹ=-43， ----------1分
且直线 l 过点 P2,-3，
所以 -3=-43×2+bʹ， ----------1分
解得 bʹ=-13， ----------1分

所以直线 l 的方程为 y=-43x-13． ----------1分

      （3） 设 B2,2 关于直线 l 的对称点为 Bʹm,n，----------1分

则 n-2m-2=34,4×m+22+3×n+22+1=0, ----------1分

解得 m=-145,n=-85, ----------1分

所以 Bʹ-145,-85，kBʹA=-6+858+145=-1127， ----------1分

所以反射光线所在的直线方程为 y+6=-1127x-8，即 11x+27y+74=0．----------1分

21. （1） 由底面 ABCD 为平行四边形，知 AB∥CD，

又因为 AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，----------2分

所以 AB∥平面CDE． ----------1分

同理 AF∥平面CDE，
又因为 AB∩AF=A，
所以 平面ABF∥平面CDE， ----------1分

又因为 BF⊂平面ABF，
所以 BF∥平面CDE． ----------1分

      （2） 连接 BD，
因为 平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，DE⊥AD，
所以 DE⊥平面ABCD． ----------1分

则 DE⊥DB．
又因为 DE⊥AD，AD⊥BE，DE∩BE=E，
所以 AD⊥平面BDE，则 AD⊥BD．
故 DA，DB，DE 两两垂直，
所以以 DA，DB，DE 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴，如图建立空间直角坐标系，----------1分


则 D0,0,0，A1,0,0，B0,1,0，C-1,1,0，E0,0,2，F1,0,1，
所以 BE=0,-1,2，EF=1,0,-1，n=0,1,0 为平面 DEF 的一个法向量．
设平面 BEF 的一个法向量为 m=x,y,z，

由 m⋅BE=0，m⋅EF=0，得 -y+2z=0,x-z=0, ----------1分

令 z=1，得 m=1,2,1，
所以 cos⟨m,n⟩=m⋅n∣m∣∣n∣=63． ----------1分

如图可得二面角 B-EF-D 为锐角，
所以二面角 B-EF-D 的余弦值为 63． ----------1分

（3） 结论：线段 BE 上存在点 Q，使得 平面CDQ⊥平面BEF．----------1分

证明如下：
设 BQ=λBE=0,-λ,2λλ∈0,1， ----------1分
所以 DQ=DB+BQ=0,1-λ,2λ，
设平面 CDQ 的法向量为 u=a,b,c，
又因为 DC=-1,1,0，
所以 u⋅DQ=0，u⋅DC=0，
即 1-λb+2λc=0,-a+b=0, ----------1分
若 平面CDQ⊥平面BEF，则 m⋅u=0，即 a+2b+c=0，
解得 λ=17∈0,1． ----------1分

所以线段 BE 上存在点 Q，使得 平面CDQ⊥平面BEF，且此时 BQBE=17．----------1分