北京市房山实验中学2022-2023学年高三数学上学期期中考试试卷（Word版附答案）

2022-2023学年北京市房山实验中学高三上学期期中考试数学试卷

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B．或

C． D．或

2．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知数列满足为其前n项和.若，则（    ）

A．20 B．30 C．31 D．62

4．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则与分别等于（    ）

A．1， B．1， C．2， D．2，

6．在中，，若，则的大小是（    ）

A． B． C． D．

7．函数的定义域为，则“，”是“函数为偶函数”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．函数是

A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2

C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为

9．已知若函数只有一个零点，则的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

10．已知函数，在下列结论中：

①是的一个周期；

②在上单调递减；

③的图象关于直线对称；

④的图象关于点对称.

正确结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

11．复数的虚部是___________.

12．已知，则________.

13．已知函数，若对任意都有（c为常数），则常数m的一个取值为_________．

14．已知O为坐标原点，点，，则的面积为_____________．

15．设当时，函数取得最大值，则______.

三、解答题

16．函数的部分图象如图所示.

（1）写出的最小正周期及图中、的值；

（2）求在区间上的最大值和最小值.

17．已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．

18．在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)的值；

(2)角的大小和的面积.

条件①：；条件②：.

19．已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．

(1)求的解析式；

(2)设，求函数在上的单调递增区间．

条件①：；

条件②：为偶函数；

条件③：的最大值为1；

条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．

20．已知：函数.

（1）求；

（2）求证：当时，；

（3）若对恒成立，求实数的最大值.

21．在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设， 记使得成立的的最大值为.

（1）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；

（2）若为等差数列，求出所有可能的数列；

（3）设，，求的值.（用表示）

参考答案

1．B

【解析】先利用一元二次不等式的解法化简集合，然后进行并集的运算即可.

【详解】∵或，，

∴或，

故选：B.

2．D

【分析】根据基本初等函数的单调性、奇偶性以及函数奇偶性的定义逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，函数为偶函数，且在上不单调；

对于B选项，令，该函数的定义域为，，

所以，函数为偶函数，且该函数在上单调递减；

对于C选项，令，该函数的定义域为，，

所以，函数为奇函数；

对于D选项，令，该函数的定义域为，，

所以，函数为偶函数，

当时，，故函数在上为增函数.

故选：D.

3．C

【分析】先利用等比数列的定义、通项公式得到公比和首项，再利用等比数列的求和公式进行求解.

【详解】因为，所以为等比数列，且，

又，所以，则.

故选：C.

4．A

【解析】根据任意角三角函数的概念可得出，然后利用诱导公式求解.

【详解】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，

所以，则.

故选：A.

【点睛】当以为始边，已知角终边上一点的坐标为时，则，.

5．D

【分析】根据函数周期求出，根据特殊值计算的值．

【详解】解：由图象可知的周期为，

，解得．

由图象可知，即，

，．

，

又，

．

故选：D．

6．C

【分析】由正弦定理边角互化，以及结合余弦定理，即可判断的形状，即可判断选项.

【详解】因为，所以，

由余弦定理可知，

即，得，

所以是等边三角形，.

故选：C

7．B

【分析】分充分性和必要性进行讨论：

充分性：取特殊函数进行判断；

必要性：根据函数为偶函数，直接证明.

【详解】充分性：取函数符合条件，但不是偶函数，所以充分性不满足.

必要性：函数为偶函数，则有，所以恒成立，所以必要性满足.

选B.

8．D

【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.

【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，

又，

所以当时，取最大值.

故选：D.

9．D

【详解】试题分析：∵函数只有一个零点，∴ 与只有一个交点，图象如图所示，∴k的取值范围是 ．

考点：函数零点问题．

10．C

【分析】利用判定①错误；利用导数的符号判定②正确；通过证明判定③正确；通过证明判定④正确.

【详解】对于①：因为

，

所以不是的一个周期，即①错误；

对于②：

当时，，，

所以，，，

则，

即，所以在上单调递减，即②正确；

对于③：因为，

且，

所以，

即的图象关于直线对称，即③正确；

对于④：因为

，

且

，

所以，

即的图象关于直线对称，故④正确；

即正确结论个数为3个.

故选：C.

11．

【分析】根据复数四则运算及复数的定义即可求解.

【详解】因为，

所以复数的虚部是.

故答案为：.

12．-3.

【分析】由两角差的正切公式展开，解关于的方程．

【详解】因为，所以．

【点睛】本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号．

13．（答案不唯一，只要是即可）

【分析】先根据函数的对称性得到，再根据诱导公式求出都可满足条件.

【详解】函数中心对称点都在x轴上，所以，

所以对任意恒成立，

，

所以，故利用诱导公式得都可满足条件.

故答案为：（答案不唯一，只要是即可）

【点睛】正弦函数的奇偶性，对称性，周期性，单调性及诱导公式等等是我们必备的基础知识，做题时经常用到.

14．##

【分析】由题意，得，计算，，再利用三角形的面积公式代入计算即可.

【详解】由题意，可得，，，所以

故答案为：

15．；

【详解】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.

16．（1），，；（2）最大值0，最小值.

【详解】试题分析：（1）由图可得出该三角函数的周期，从而求出；（2）把看作一个整体，从而求出最大值与最小值.

（1）由题意知：的最小正周期为，令y=3，则，解得，所以，.

（2）因为，所以，于是

当，即时，取得最大值0；

当，即时，取得最小值.

考点：本小题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的最值等基础知识，考查同学们数形结合、转化与化归的数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.

17．（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.

【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.

【详解】（1）当时，，则，，，

此时，曲线在点处的切线方程为，即；

（2）因为，则，

由题意可得，解得，

故，，列表如下：

所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.

当时，；当时，.

所以，，.

18．(1)

(2)，

【分析】（1）若选①，则直接利用余弦定理可求得，若选②，先由同角三角函数的关系求出，然后由正弦定理可求出，

（2）若选①，先求出，再利用正弦定理可求出角，利用面积公式可求出其面积，若选②，由于，利用两角和的余弦公式展开计算可求出角，利用面积公式可求出其面积，

（1）

选择条件①

因为，，，

由余弦定理，得，

化简得，

解得或（舍）.

所以；

选择条件②

因为，，

所以，

因为，，

所以，

由正弦定理得，得，

解得；

（2）

选择条件①

因为，，

所以.

由正弦定理，得，

所以，

因为，所以，

所以为锐角，

所以，

所以，

选择条件②

由（1）知，，

又因为，，

在中，，

所以

因为

所以，

所以

19．(1)；

(2)

【分析】（1）先由降幂公式得，故为奇函数，排除条件②，若选①③，不唯一，不合题意；若选①④由及周期解出即可；若选③④由最大值及周期解出即可；

（2）先由倍角公式及辅助角公式求出，再令解出单调区间，最后写出在上的单调递增区间即可.

（1）

，易知为奇函数，故条件②不成立，舍去.

若选①③，则且，故，，解得，故不唯一，不合题意；

若选①④，且，故，解得，，存在且唯一，故；

若选③④，则且，故，解得，，故，存在且唯一，故；

（2）

，令，

解得，当时，，当时，，

故函数在上的单调递增区间为.

20．（1）0；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）首先求函数的导数，再代入求的值；（2）首先设函数，求函数的导数，利用导数正负判断函数的单调性，求得函数，（3）首先不等式等价于对恒成立，参变分离后转化为对恒成立，

利用导数求函数的最小值，转化为求实数的最大值.

【详解】  

（1）；

（2）令，则，

当时，设，则

所以在单调递减，

即，所以

所以在上单调递减，所以，

所以.

（3）原题等价于对恒成立，

即对恒成立，

令，则.

易知，即在单调递增，

所以，所以，

故在单调递减，所以.  

综上所述，的最大值为 .

【点睛】方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：

1.讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；

2.分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.

21．（1），，；（2）；（3）．

【详解】试题分析：（1）根据使得成立的 的最大值为， ，则， ，则， ，则，这样就写出 ，， 的值；（2）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列；（3）确定，，依此类推，发现规律，得出，从而求出 的值．

试题解析：（1） ，，.

（2）由题意，得，

结合条件，得.

又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，

所以，.

设，则.

假设，即，

则当时，；当时，.

所以，.

因为为等差数列，

所以公差，

所以，其中.

这与矛盾，

所以.

又因为，

所以，

由为等差数列，得，其中.

因为使得成立的的最大值为，

所以，

由，得.

（3）设，

因为，

所以，且 ，

所以数列中等于1的项有个，即个；

设，

则， 且，

所以数列中等于2的项有个，即个；

以此类推，数列中等于的项有个.

所以

.

即.