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北师大版数学九年级上册期中考试精品试卷（含详细解析）
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这是一份北师大版数学九年级上册期中考试精品试卷（含详细解析），共62页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
2023年09月01日实事求是的初中数学组卷
一．选择题（共28小题）
1．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P．连接DP，则DP的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，且OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
3．四边形ABCD是平行四边形，下列说法错误的是（ ）
A．当AB＝CD时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠BAD＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
4．已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（ ）
A．OA＝OC B．OA＝OB C．∠ABD＝∠CBD D．∠ABD＝∠CAB
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别是边CD、AD的中点，连接BE、BF，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A．5 B． C． D．2
6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝80°，则∠CBD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．四个角都相等的四边形是正方形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以斜边AB、直角边BC为边作正方形ABDE和正方形BFGC．若正方形ABDE的面积为36，AC＝5，则正方形BFGC的面积为（ ）
A． B．11 C． D．31
9．如图，已知菱形ABCD的周长是20cm，对角线AC的长是8cm，则这个菱形ABCD的面积是（ ）
A．2cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
10．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝110°，AB的垂直平分线交AB于点E，交对角线AC于点F，则∠CDF的度数为（ ）
A．45° B．30° C．25° D．15°
11．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．2 B． C． D．﹣3
12．一元二次方程x2＝5x的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝5 B．x1＝0，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝5 D．x＝5
13．已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定
14．关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
15．若a，b是菱形ABCD两条对角线的长，且a、b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B． C． D．20
16．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝7
17．方程（x+3）2＝4的根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5
18．某商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，若每次降价的百分率为a，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a）2＝128 B．200（1﹣a）2＝128
C．200（1﹣2a）2＝128 D．200（1﹣a2）＝128
19．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3
20．已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
21．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．7 B．3 C．4 D．3或4
22．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
23．地理生物中考在即，有一个团队有x人，每两人都互相送对方寄语卡片一张，为彼此加油打气，全团共赠送了56张，根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C．x（x﹣1）＝56 D．x（x+1）＝56
24．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程得（ ）
A．2（x+1）＝121 B．x+x（1+x）＝121
C．1+x+x（1+x）＝121 D．1+（1+x）2＝121
25．有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
26．桌面上有5本书，2本为数学书，2本为物理书，1本为化学书，小明分2次从桌上抽走2本书，则小明2次抽走的都是数学书的概率为（ ）
A． B． C． D．
27．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．28
28．不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
29．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在BC，CD上．若，∠EAF＝45°，则AF的长为 ．
30．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在BC的延长线上，且CE＝2．连接AE，∠DCE的平分线与AE相交于点F，连接DF，则DF的长为 ．
31．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC＝60°，AC＝10，E是AD的中点，则OE的长是 ．
32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，AC＝2cm，则BD的长为 cm．
33．在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则该菱形ABCD的面积为 ．
34．方程x2+6x+9＝0的解为 ．
35．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值是 ．
36．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
37．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b﹣3的值是 ．
38．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
三．解答题（共22小题）
39．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝10cm，OD＝6cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．
（1）求OC的长；
（2）求证：四边形OBEC为矩形；
（3）求矩形OBEC的面积．
40．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AF＝10，AC＝16，求四边形AECF的面积．
41．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且．连接CE，OE，OE交CD于点F．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AD＝10，求OF的长．
42．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，在AC上截取OE＝OF＝OB，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形BFDE是正方形．
43．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形DECO是矩形．
44．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的利润率年提高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为3.92亿元．
（1）求该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率；
（2）若2022年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过5.5亿元？
45．解方程：x2+2x﹣8＝0．
46．已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+1＝0．
（1）若1是该方程mx2﹣4x+1＝0的一个根，求m的值；
（2）若一元二次方程mx2﹣4x+1＝0有实数根，求m的取值范围．
47．已知关于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k＝0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
48．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣18＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
49．解方程
（1）2x2+4x+1＝0（配方法）
（2）x2+6x＝5（公式法）
50．随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为12.5万人．
（1）求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率；
（2）预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多少万人？
51．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．
（1）试求k的取值范围；
（2）若，求k的值；
（3）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足|x1|+|x2|＝2，试求k的值．
52．某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min
人数
0＜x≤20
20
20＜x≤40
a
40＜x≤60
25
60＜x≤80
15
x＞80
10
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，统计表中a＝ ．
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数．
（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数．
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
53．端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，杭州市某食品厂抽样调查了某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）根据题中信息补全条形统计图，并求出喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 度．
（2）若有外型完全相同的A、B、C、D四种不同口味的粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法，求出小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
54．某商场服装部为了了解服装的销售情况，5月份随机抽查了25名营业员的销售额，绘制出了如下的两个统计图，请根据信息解决问题：
（1）图中m的值为 ，扇形统计图中，12万元扇形的圆心角等于 ；
（2）统计的这组数据的平均数是 万元，中位数是 万元，众数是 万元；
（3）如果规定销售额24万元为A等级，销售额15万元到21万元为B等级，销售额12万元为C等级，从A、C等级中任意选出两个营业员，至少有一个是A等级的概率是多少？（用列表法或树形图求解）
55．一个不透明的口袋中装有8个白球和12个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）“从口袋里随机摸出一个球是黄球”这一事件是 事件：“一次性摸出9个球，摸到的球中至少有一个红球”这一事件发生的概率为 ．
（2）求从口袋里随机摸出一个球是红球这一事件的概率；
（3）从口袋里取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，求x的值．
56．为培养学生热爱美，发现美的艺术素养，我校开展了艺术选修课．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：A书画，B摄影，C泥塑，D纸艺．张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）张老师调查的学生人数是 ，其中选择“泥塑”选修课在扇形统计图中圆心角的度数为 ；
（2）若该校学生共有900人，请估计全校选修“摄影”的学生人数；
（3）现有4名学生，其中2人选修书画，1人选修摄影，1人选修泥塑．张老师要从这4人中任选2人了解情况，请用树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书画的概率．
57．如图，已知正方形ABCD，AB＝4，点M在边CD上，射线AM交BD于点E，交射线BC于点F，过点C作CP⊥CE，交AF于点P．
（1）求证：△ADE≌△CDE．
（2）判断△CPF的形状，并说明理由．
（3）作DM的中点N，连结PN，若PN＝3，求CF的长．
58．已知：如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于点F．求证：DE＝CF．
59．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为 ．
60．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，若AD＝4，求DE的长度．
2023年09月01日实事求是的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共28小题）
1．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P．连接DP，则DP的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】正方形的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点Q，连接QP、QD，根据正方形的性质证明Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），然后根据直角三角形性质可得，当Q、D、P共线时，DP有最小值，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点Q，连接QP、QD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠A＝∠ADC＝∠DME＝90°，AB∥CD，
∴四边形ADME是矩形，
∴EM＝AD＝AB，
在Rt△BAF和Rt△EMG中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），
∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，
∵AB∥CD，
∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB，
∵∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BEG＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴BF⊥EG，
∵△EPB是直角三角形，Q是BE的中点，
∴，
∵AB＝3，AE＝1，
∴BE＝3﹣1＝2，
∴QB＝QE＝1，
∵QD﹣QP≤DP，
∴当Q、D、P共线时，DP有最小值，
∵，AQ＝AE+EQ＝1+1＝2，
∴，
∴，
∴PD的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到Rt△BAF≌Rt△EMG．
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，且OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】由菱形的性质得AD＝AB＝CD＝CB，AC⊥BD，则∠AOD＝90°，由E为AD的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得AD＝2OE＝6，即可求得菱形ABCD的周长为24，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴AD＝AB＝CD＝CB，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵E为AD的中点，且OE＝3，
∴OE＝AE＝DE＝AD，
∴AD＝2OE＝2×3＝6，
∴AD+AB+CD+CB＝4AD＝4×6＝24，
∴菱形ABCD的周长为24，
故选：D．
【点评】此题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明∠AOD＝90°是解题的关键．
3．四边形ABCD是平行四边形，下列说法错误的是（ ）
A．当AB＝CD时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠BAD＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的性质；菱形的判定；矩形的判定．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法即可判断．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，故符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当∠BAD＝90°时，四边形ABCD是矩形，故不符合题意
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵AC平分∠BAD时，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握各个判定定理是解题的关键．
4．已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（ ）
A．OA＝OC B．OA＝OB C．∠ABD＝∠CBD D．∠ABD＝∠CAB
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据矩形的判定方法和菱形的判定方法分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，这是平行四边形的性质，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；故选项C符合题意；
D、∵∠ABD＝∠CAB，
∴OA＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AC＝AD，
∴平行四边形ABCD是矩形；故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形和菱形的判定方法是解题的关键，属于中考常考题型．
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别是边CD、AD的中点，连接BE、BF，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A．5 B． C． D．2
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】连接EF，根据正方形的性质和勾股定理得出EF，进而利用三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：连接EF，如图：
∵四边形ABCD是正方形．
∴AD＝AB＝BC＝CD＝4，∠D＝90°，
∵E，F分别是边CD，AD中点，
∴DF＝DE＝AD＝2．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF＝＝＝2．
∵点M、N分别是BE、BF的中点，
∴MN是三角形BEF的中位线，
∴MN＝EF＝×2＝．
故选：B．
【点评】此题考查正方形的性质，解题的关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理进行解答．
6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝80°，则∠CBD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，∠A＝80°，，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠A＝80°，
∴∠ABC＝100°，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．四个角都相等的四边形是正方形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定内容进行逐项分析判断即可．
【解答】解：A、因为对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以对角线互相垂直的四边形是菱形的说法是不正确的；
B、因为四个角都相等的四边形是矩形，所以四个角都相等的四边形是正方形的说法是不正确的；
C、因为一组对边平行，另一组对边相等的四边形也有可能是等腰梯形，所以一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形的说法是不正确的；
D、因为有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查的是平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定等知识内容，掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定内容是解题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以斜边AB、直角边BC为边作正方形ABDE和正方形BFGC．若正方形ABDE的面积为36，AC＝5，则正方形BFGC的面积为（ ）
A． B．11 C． D．31
【考点】正方形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据正方形ABDE的面积求出AB，在Rt△ABC用勾股定理可求BC，即可求解．
【解答】解：∵正方形ABDE的面积为36，
∴AB＝6，
∵AC＝5，∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝，
∴正方形BFGC的面积＝BC2＝11，
故选：B．
【点评】本题考查几何问题，涉及到正方形的性质、勾股定理等，灵活运用所学知识是关键．
9．如图，已知菱形ABCD的周长是20cm，对角线AC的长是8cm，则这个菱形ABCD的面积是（ ）
A．2cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】先根据题意画出图形，因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求得BE或DE的长，从而求得BD的长．再利用菱形的面积公式：两条对角线的积的一半求得面积．
【解答】解：所画图形如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，周长为20cm，
∴AD＝AB＝20÷4＝5cm，∠AED＝90°
∵AE＝AC＝×8＝4（cm）
∴DE＝＝3（cm）
∴BD＝2DE＝2×3＝6（cm）
S菱形ABCD＝BD•AC
＝×6×8
＝24（cm2）．
故选：B．
【点评】主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半和菱形的对角线性质，勾股定理的运用．
10．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝110°，AB的垂直平分线交AB于点E，交对角线AC于点F，则∠CDF的度数为（ ）
A．45° B．30° C．25° D．15°
【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】由菱形的性质可得∠BCD＝∠BAD＝110°，∠BCA＝∠ACD＝55°＝∠BAC＝∠CAD，AB＝AD，∠ADC＝70°，由“SAS”可证△ABF≌△ADF，可得BF＝DF＝AF，可求∠ADF＝55°，即可求解．
【解答】解：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝110°，∠BCA＝∠ACD＝55°＝∠BAC＝∠CAD，AB＝AD，∠ADC＝70°，
∵EF垂直平分AB，
∴AF＝BF，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴BF＝DF，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠ADF＝55°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝15°，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ABF≌△ADF是解题的关键．
11．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．2 B． C． D．﹣3
【考点】一元二次方程的一般形式．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答．
【解答】解：一元二次方程的一次项系数是，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键．
12．一元二次方程x2＝5x的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝5 B．x1＝0，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝5 D．x＝5
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】先移项，然后再运用分解因式解一元二次方程求解即可．
【解答】解：x2＝5x，
x2﹣5x＝0，
x（x﹣5）＝0，
x1＝0，x2＝5，
故选：A．
【点评】本题主要考查了运用因式分解法解一元二次方程，用因式分解法解方程的一般步骤为：移项、化积、转化、求解的步骤解答即可．
13．已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定
【考点】一元二次方程的定义．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
【解答】解：由关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，得
|k|﹣1＝2且k﹣3≠0．
解得k＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
14．关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即，，即可解答．
【解答】解：∵关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
15．若a，b是菱形ABCD两条对角线的长，且a、b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B． C． D．20
【考点】根与系数的关系；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】利用根与系数的关系可得出a+b＝14，ab＝48，进而可得出（）2+（）2的值，利用勾股定理及菱形的性质，可求出菱形的边长，再利用菱形的周长计算公式，即可求出菱形的周长．
【解答】解：∵a，b为一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两根，
∴a+b＝14，ab＝48，
∴（）2+（）2
＝+
＝（a2+b2）
＝（a+b）2﹣ab
＝×142﹣×48
＝25，
∴菱形的边长为＝＝5，
∴菱形的周长为4×5＝20．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系、菱形的性质以及勾股定理，利用根与系数的关系及勾股定理，求出菱形的边长是解题的关键．
16．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝7
【考点】解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据配方法的求解步骤，进行求解即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，
移项得：x2﹣4x＝3，
配方得：x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7．
故选：D．
【点评】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的步骤．
17．方程（x+3）2＝4的根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：（x+3）2＝4，
∴x+3＝±2，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．某商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，若每次降价的百分率为a，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a）2＝128 B．200（1﹣a）2＝128
C．200（1﹣2a）2＝128 D．200（1﹣a2）＝128
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得200（1﹣a）2＝128．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3
【考点】解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程移项得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
20．已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解把x＝1代入一元二次方程得到还有m的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入x2+mx+3＝0得1+m+3＝0，
解得m＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
21．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．7 B．3 C．4 D．3或4
【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质；一元二次方程的解．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】当底边为3，利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，解得k＝4；当腰为3时，把x＝3代入关于x的方程x2﹣4x+k＝0得9﹣12+k＝0，解得k＝3．
【解答】解：当底边为3，两腰为关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，
解得k＝4，
此时方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
当腰为3时，把x＝3代入关于x的方程x2﹣4x+k＝0得9﹣12+k＝0，
解得k＝3，
此时方程为x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
三角形三边分别为3、3、1，
综上所述，k的值为4或3．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
22．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解，则Δ＜0，列出不等式解出k的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解，
∴Δ＜0，
即4﹣4k＜0，
解得k＞1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解与b2﹣4ac的关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解是解决问题的关键．
23．地理生物中考在即，有一个团队有x人，每两人都互相送对方寄语卡片一张，为彼此加油打气，全团共赠送了56张，根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C．x（x﹣1）＝56 D．x（x+1）＝56
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】由等量关系式：每个人所送出去的寄语卡×人数＝56张，列出方程，即可求解．
【解答】解：由题意得，
每个人所送出去的寄语卡数为（x﹣1）张，则有：
x（x﹣1）＝56．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
24．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程得（ ）
A．2（x+1）＝121 B．x+x（1+x）＝121
C．1+x+x（1+x）＝121 D．1+（1+x）2＝121
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中有x个人被传染，第二轮传染中有x（1+x）个人被传染，结合“有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x个人被传染，第二轮传染中有x（1+x）个人被传染，
又∵有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，
∴可列出方程1+x+x（1+x）＝121．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】找出五条线段任取三条的所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况，即可求出所求的概率．
【解答】解：所有的情况有：2，4，6；2，4，8；2，4，10；2，6，8；2，6，10；2，8，10；4，6，8；4，6，10；4，8，10；6，8，10，共10种，其中能构成三角形的有：4，6，8；6，8，10；4，8，10，共3种，
则P＝．
故选：B．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
26．桌面上有5本书，2本为数学书，2本为物理书，1本为化学书，小明分2次从桌上抽走2本书，则小明2次抽走的都是数学书的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】画树状图法计算即可．
【解答】解：设数学为A，物理为B，化学为C，画树状图如下：
共有20种等可能的结果数，符合条件的有2种，
故小明2次抽走的都是数学书的概率为，
故选：A．
【点评】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图是解题的关键．
27．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．28
【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：根据题意知＝20%，
解得a＝20，
经检验：a＝20是原分式方程的解，
故选：B．
【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
28．不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】画树状图，共有25种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有9种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有9种，
∴两次都摸到红球的概率是，
故选：D．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
二．填空题（共10小题）
29．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在BC，CD上．若，∠EAF＝45°，则AF的长为 ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】如图，延长CB到点G，使得BG＝DF，连接AG，先证明△ABG≌△ADF（SAS），由全等三角形的性质可知AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，结合∠EAF＝45°，求出∠EAG＝45°，再证明△EAG≌△EAF（SAS），由全等三角形的性质可知EG＝EF，在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE＝2，设DF＝x，则BG＝x，EG＝EF＝2+x，CF＝6﹣x，再利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如图，延长CB到点G，使得BG＝DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，
∴∠ABG＝∠ADF＝90°，
∵在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAF＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAE+∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF＝45°，
∵在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG＝EF，
∵在Rt△ABE中，AB＝6，，
∴由勾股定理得：，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，
设：DF＝x，则BG＝x，EG＝EF＝2+x，CF＝6﹣x，
∵在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2，
∴42+（6﹣x）2＝（2+x）2，解得x＝3，
∴DF＝3，
∵在Rt△ADF中，
∴由勾股定理得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，构造全等三角形，并利用方程的思想是解答本题的关键．
30．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在BC的延长线上，且CE＝2．连接AE，∠DCE的平分线与AE相交于点F，连接DF，则DF的长为 ．
【考点】正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】如图，过F作FM⊥BE 于M，FN⊥CD于N，由CF平分∠DCE，可知∠FCM＝∠FCN＝45°，可得四边形CMFN是正方形，FM∥AB，设FM＝CM＝NF＝CN＝a，则ME＝2﹣α，证明△EFM∽△EAB，则，即，解得，，由勾股定理得DF＝＝．
【解答】解：如图，过F作FM⊥BE于M，FN⊥CD于 N，则四边形CMFN是矩形，FM∥AB，
∵CF平分∠DCE，
∴∠FCM＝∠FCN＝45°，
∴CM＝FM，
∴四边形CMFN是正方形，
设FM＝CM＝NF＝CN＝a，则ME＝2﹣a，
∵FM∥AB，
∴△EF∽△EAB，
∴，即，
解得：，
∴，
由勾股定理得：DF＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
31．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC＝60°，AC＝10，E是AD的中点，则OE的长是 5 ．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】5．
【分析】直接利用菱形的性质得出AD＝CD，AC⊥BD，再结合∠ADC＝60°，可得△ACD为等边三角形，从而AD＝AC＝10，最后根据直角三角形中线的性质得出答案
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AD＝CD，AC⊥BD．
∵∠ADC＝60°，
∴△ACD为等边三角形．
∴AD＝AC＝10．
∵E为AD的中点，AC⊥BD，
∴OE＝AD＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，正确得出AD的长是解题关键．
32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，AC＝2cm，则BD的长为 4 cm．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】4．
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝DO，由勾股定理可求BO，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝2cm，
∴AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝1cm，
∵AB＝cm，
∵BO＝＝2cm，
∴DO＝BO＝2cm，
∴BD＝4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
33．在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则该菱形ABCD的面积为 2 ．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】如图，过点A作AE⊥BC于E，利用∠B的正弦可求出AE的长，根据菱形面积公式即可得答案．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵菱形ABCD的边AB＝2，
∴AB＝AC＝BC＝2，
∵∠B＝60°，
∴AE＝AB•sin60°＝2×＝，
∴S菱形ABCD＝BC•AE＝2×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的面积求法及解直角三角形，利用∠B的正弦求出AE的长是解题关键．
34．方程x2+6x+9＝0的解为 x1＝x2＝﹣3 ．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【答案】x1＝x2＝﹣3．
【分析】利用配方法得到（x+3）2＝0，然后解方程即可．
【解答】解：∵x2+6x+9＝0，
∴（x+3）2＝0，
∴x1＝x2＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
35．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值是 ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝0代入方程即可得到一个关于m的方程，即可求得m的值．
【解答】解：根据题意得：m2﹣1＝0且m﹣1≠0
解得：m＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
36．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜ ．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【答案】m＜．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣3，c＝m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（m﹣1）＞0，
解得m＜，
故答案为：m＜．
【点评】本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
37．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b﹣3的值是 1 ．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【答案】1．
【分析】利用根与系数的关系求出a+b，把x＝a代入方程得到关系式，变形后代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
把x＝a代入方程得：a2+a﹣3＝0，即a2＝3﹣a，
则原式＝3﹣a﹣b﹣3
＝﹣（a+b）
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
38．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ﹣ ．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【答案】﹣．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，可知其根的判别式为0，据此列出关于m的不等式，解答即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
即32﹣4（﹣m）＝0，
解得：m＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
三．解答题（共22小题）
39．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝10cm，OD＝6cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．
（1）求OC的长；
（2）求证：四边形OBEC为矩形；
（3）求矩形OBEC的面积．
【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）8cm；
（2）见解析；
（3）48cm2．
【分析】（1）利用菱形的性质得到AC⊥BD，在直角△OCD中，利用勾股定理即可求解；
（2）先证明四边形OBEC是平行四边形，再由∠COB＝90°，即可证明平行四边形OBEC是矩形；
（3）利用矩形的面积公式即可直接求解．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴直角△OCD中，OC＝＝＝8cm，
（2）证明：∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形，
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形；
（3）解：∵OB＝OD，
∴S矩形OBEC＝OB•OC＝6×8＝48（cm2）．
【点评】本题考查了菱形的性质以及矩形的判定，勾股定理，理解菱形的对角线的关系是关键．
40．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AF＝10，AC＝16，求四边形AECF的面积．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】（1）见解析；
（2）96．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF＝CE，继而证得结论；
（2）根据菱形的性质及勾定理可得，进而可知EF＝2OF＝12，再结合菱形AECF的面积＝即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵点O是AC的中点，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，EA＝EC，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO．
在△AOF和△COE中，
∵∠FAO＝∠ECO，OA＝OC，∠AOF＝∠COE＝90°，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴FA＝EC，
∴AE＝EC＝CF＝FA，
∴四边形AECF为菱形．
（2）解：∵点O是AC的中点，AC＝16，
∴OA＝OC＝8
∵AF＝10，EF⊥AC，
∴，
由菱形的性质可知：EF＝2OF＝12，
∴菱形AECF的面积＝．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定及性质，熟练掌握相关性质是关键．
41．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且．连接CE，OE，OE交CD于点F．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AD＝10，求OF的长．
【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）见解答；
（2）5．
【分析】（1）由菱形的性质得OA＝OC＝AC，AC⊥BD，再证四边形OCED是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）证四边形OADE是平行四边形的，得OE＝AD＝10，再由矩形的性质得OF＝OE＝5即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∵DE＝AC，
∴OC＝DE，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：由（1）可知，OA＝DE，
∵DE∥AC，
∴四边形OADE是平行四边形，
∴OE＝AD＝10，
∵四边形OCED是矩形，
∴OF＝OE＝5．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及菱形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
42．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，在AC上截取OE＝OF＝OB，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形BFDE是正方形．
【考点】正方形的判定；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】见解析．
【分析】先根据菱形的性质可得AC⊥BD，OB＝OD，再根据矩形的判定可得四边形BFDE是矩形，然后根据正方形的判定即可得证．
【解答】证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OB＝OD．
∵OE＝OF＝OB，
∴OE＝OF＝OB＝OD，
∴四边形BFDE是矩形．
又∵BD⊥EF，
∴四边形BFDE是正方形．
【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的判定，熟练掌握正方形的判定是解题关键．
43．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形DECO是矩形．
【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】见解析过程．
【分析】先证四边形CODE是平行四边形，由菱形的性质可得AC⊥BD，可得结论．
【解答】证明：∵AC∥DE，BD∥CE，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形DECO是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，掌握矩形的判定是解题的关键．
44．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的利润率年提高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为3.92亿元．
（1）求该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率；
（2）若2022年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过5.5亿元？
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）40%；
（2）不能．
【分析】（1）设该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可；
（2）根据该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率求出该企业2022年的利润即可作答．
【解答】解：（1）设该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2＝3.92，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去），
即该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为40%；
（2）若2022年保持前两年利润的年平均增长率不变，
该企业2022年的利润为：3.92×（1+40%）＝5.488＜5.5，
故该企业2022年的利润不能超过5.5亿元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
45．解方程：x2+2x﹣8＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2+2x﹣8＝0
（x﹣2）（x+4）＝0
x﹣2＝0，x+4＝0
x1＝2，x2＝﹣4
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
46．已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+1＝0．
（1）若1是该方程mx2﹣4x+1＝0的一个根，求m的值；
（2）若一元二次方程mx2﹣4x+1＝0有实数根，求m的取值范围．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．菁优网版权所有
【答案】（1）3；
（2）m≤4且m≠0．
【分析】（1）把x＝1代入方程得到m﹣4+1＝0，然后解一次方程即可；
（2）根据根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4m≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：（1）把x＝1代入方程mx2﹣4x+1＝0得m﹣4+1＝0，
解得m＝3，
即m的值为3；
（2）根据题意得m≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4m≥0，
解得m≤4且m≠0，
即m的取值范围为m≤4且m≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解．
47．已知关于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k＝0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）计算方程的根的判别式，若Δ＝b2﹣4ac≥0，则证明方程总有实数根；
（2）已知a＝6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（3k﹣2）2﹣4•（﹣6k）＝9k2﹣12k+4+24k＝9k2+12k+4＝（3k+2）2≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根．
（2）解：①若a＝6为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0．
∴（3k+2）2＝0，解得：k＝﹣．
此时原方程化为x2﹣4x+4＝0
∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．
此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若a＝6为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝6
代入方程：62+6（3k﹣2）﹣6k＝0
∴k＝﹣2
则原方程化为x2﹣8x+12＝0
（x﹣2）（x﹣6）＝0
∴x1＝2，x2＝6
即b＝6，c＝2
此时△ABC三边为6，6，2能构成三角形，
综上所述：△ABC三边为6，6，2．
∴周长为6+6+2＝14．
【点评】重点考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
48．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣18＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【答案】（1），；
（2）x1＝3，x2＝9．
【分析】（1）利用配方法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣18＝0，
∴x2﹣6x＝18，
∴x2﹣6x+9＝27，
即（x﹣3）2＝27，
∴，
解得：，；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9，
∴2（x﹣3）2﹣（x2﹣9）＝0，
即2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，
解得：x1＝3，x2＝9．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
49．解方程
（1）2x2+4x+1＝0（配方法）
（2）x2+6x＝5（公式法）
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）配方法求解可得；
（2）公式法求解可得．
【解答】解：（1）2x2+4x＝﹣1，
x2+2x＝﹣，
x2+2x+1＝﹣+1，即（x+1）2＝，
∴x+1＝±，
则x＝﹣1±，
即x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）x2+6x﹣5＝0，
∵a＝1，b＝6，c＝﹣5，
∴Δ＝36﹣4×1×（﹣5）＝56，
则x＝＝﹣3，
x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
50．随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为12.5万人．
（1）求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率；
（2）预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多少万人？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）25%；
（2）0.45万人．
【分析】（1）设这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为x，利用5月份游客人数＝3月份游客人数×（1+这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设6月份后20天日均接待游客人数是y万人，根据6月份游客人数不超过12.5×（1+25%）万人，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为x，
根据题意得：8（1+x）2＝12.5，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设6月份后20天日均接待游客人数是y万人，
根据题意得：6.625+20y≤12.5×（1+25%），
解得：y≤0.45，
∴y的最大值为0.45．
答：6月份后20天日均接待游客人数最多是0.45万人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
51．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．
（1）试求k的取值范围；
（2）若，求k的值；
（3）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足|x1|+|x2|＝2，试求k的值．
【考点】根与系数的关系；绝对值；根的判别式．菁优网版权所有
【答案】（1）k≤﹣1；
（2）k＝﹣2；
（3）k＝﹣1．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得出x1+x2＝2k，，结合可得出关于k的方程，解之即可得出k的值；
（3）由（2）可知：x1+x2＝2k，，根据，可得x1x2＞0，即由|x1|+|x2|＝2，可得，进而可得，则有，即（2k）2＝4，问题得解．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k+1）≥0，
解得：k≤﹣1；
（2）∵方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2k，，
∵，
∴，
∴（2k）2﹣2（k2+k+1）＝10，
整理得：k2﹣k﹣6＝0，
解得：k＝3或者k＝﹣2，
∵根据（1）有k≤﹣1，
即k＝﹣2；
（3）由（2）可知：x1+x2＝2k，，
∵，
∴x1x2＞0，
∵|x1|+|x2|＝2，
∴，
∴，
∵x1x2＞0，
∴，
∴，
∴（2k）2＝4，
∴k＝±1，
∵根据（1）有k≤﹣1，
即k＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，灵活运用完全平方公式的变形是解题的关键．
52．某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min
人数
0＜x≤20
20
20＜x≤40
a
40＜x≤60
25
60＜x≤80
15
x＞80
10
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 100 名学生，统计表中a＝ 30 ．
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数．
（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数．
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；加权平均数．菁优网版权所有
【答案】（1）100，30；
（2）54°；
（3）140名；
（4）．
【分析】（1）将40＜x≤60组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以20＜x≤40组的百分比即可求出a的值；
（2）将60＜x≤80组的人数除以抽取的人数，再乘以360°即可求出扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数；
（3）将x＞80组的人数除以抽取的人数，再乘以1400即可估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数；
（4）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵40＜x≤60组的人数为25，占比为25%，且25÷25%＝100，
∴本次调查共抽取了100名学生；
∵20＜x≤40组占比30%，30%×100＝30，
∴a＝30，
故答案为：100，30；
（2）∵样本中平均每天阅读时长为“60＜x≤80”有15名，
且15÷100×360°＝54°，
∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数为54°；
（3）∵样本中平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为10人，
且10÷100×1400＝140（名），
∴估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为140名；
（4）《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，
∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）＝．
【点评】本题考查频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，能从统计图表中获取有用信息，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
53．端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，杭州市某食品厂抽样调查了某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）根据题中信息补全条形统计图，并求出喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 72 度．
（2）若有外型完全相同的A、B、C、D四种不同口味的粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法，求出小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【答案】（1）图形见解析，72；
（2）．
【分析】（1）由喜欢D种口味粽子的人数除以所占百分比得出调查的市民人数，即可解决问题；
（2）由360°乘以喜欢C种口味粽子的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的市民人数为：240÷40%＝600（人），
∴喜欢B种口味粽子的人数为：600×10%＝60（人），
∴喜欢C种口味粽子的人数为：600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
补全条形统计图如下：
喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为：360°×＝72°，
故答案为：72；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果有3种，
∴小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
54．某商场服装部为了了解服装的销售情况，5月份随机抽查了25名营业员的销售额，绘制出了如下的两个统计图，请根据信息解决问题：
（1）图中m的值为 28 ，扇形统计图中，12万元扇形的圆心角等于 28.8° ；
（2）统计的这组数据的平均数是 18.6 万元，中位数是 18 万元，众数是 21 万元；
（3）如果规定销售额24万元为A等级，销售额15万元到21万元为B等级，销售额12万元为C等级，从A、C等级中任意选出两个营业员，至少有一个是A等级的概率是多少？（用列表法或树形图求解）
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；加权平均数；中位数；众数．菁优网版权所有
【答案】（1）28，28.8°；
（2）18.6，18，21；
（3）．
【分析】（1）用1减去其他情况所占的百分数，用360°乘上12万元所占的百分数；
（2）所有数据加起来除以数据的个数等于平均数，将一组数据按照从大到小或者从小到大的顺序排列，奇数个数据最中间的数据即为中位数，偶数个数据最中间两个数据的和的平均数即为中位数，一组数据中出现次数最多的数据即为众数；
（3）用列表法将所有情况列出来即可解决问题．
【解答】解：（1）1﹣20%﹣8%﹣12%﹣32%＝28%，
∴m＝28，360°×8%＝28.8°；
故答案为：28，28.8°；
（2），
∴平均数为18.6万元，
∵抽查了25名营业员，
∴中位数为从大到小排列后的第13个数据，
∴中位数为18万元，
∵21出现次数最多，出现了8次，
∴众数为21万元；
故答案为：18.6；18；21；
（3）A等级3人，B等级2人，列表如下：
A1
A2
A3
C1
C2
A1
（A1，A2）
（A1，A3）
（A1，C1）
（A1，C2）
A2
（A2，A1）
（A2，A3）
（A2，C1）
（A2，C2）
A3
（A3，A1）
（A3，A2）
（A3，C1）
（A3，C2）
C1
（C1，A1）
（C1，A2）
（C1，A3）
（C1，C2）
C2
（C2，A1）
（C2，A2）
（C2，A3）
（C2，C1）
一共有20种等可能结果，至少有一个是A等级的有18种，
∴P（至少有一个是A等级）＝．
【点评】本题考查了数据的分析和概率的计算，正确理解并掌握平均数、中位数、众数的概念，能熟练用列表法求概率是解决问题的关键．
55．一个不透明的口袋中装有8个白球和12个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）“从口袋里随机摸出一个球是黄球”这一事件是 不可能 事件：“一次性摸出9个球，摸到的球中至少有一个红球”这一事件发生的概率为 1 ．
（2）求从口袋里随机摸出一个球是红球这一事件的概率；
（3）从口袋里取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，求x的值．
【考点】列表法与树状图法；随机事件；概率公式．菁优网版权所有
【答案】（1）不可能；1；
（2）；
（3）x＝8．
【分析】（1）根据事件的分类解答即可；
（2）根据概率公式计算概率即可；
（3）根据口袋中有（8+x）个白球和（12﹣x）个红球，共有20个球，再根据概率公式列方程即可解答．
【解答】解：（1）∵口袋没有黄球，
∴口袋里随机摸出一个球是黄球”这一事件是不可能事件；
∵口袋中有8个白球和12个红球，
∴“一次性摸出9个球，摸到的球中至少有一个红球”这一事件发生的概率为1，
故答案为：不可能；1；
（2）口袋中装有8个白球和12个红球，共有20个球，
∴从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是；
（3）由题意，口袋中有（8+x）个白球和（12﹣x）个红球，共有20个球，
∴从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，解得x＝8．
【点评】本题考查了事件的分类，用概率公式计算概率，解题关键是熟练运用概率公式计算．
56．为培养学生热爱美，发现美的艺术素养，我校开展了艺术选修课．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：A书画，B摄影，C泥塑，D纸艺．张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）张老师调查的学生人数是 72人 ，其中选择“泥塑”选修课在扇形统计图中圆心角的度数为 60° ；
（2）若该校学生共有900人，请估计全校选修“摄影”的学生人数；
（3）现有4名学生，其中2人选修书画，1人选修摄影，1人选修泥塑．张老师要从这4人中任选2人了解情况，请用树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书画的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；统计表；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【答案】（1）72人，60°；
（2）估计全校选修“摄影”的学生人数约200人；
（3）．
【分析】（1）由喜欢B、C、D的人数除以所占比例得出张老师调查的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校学生共有人数乘以选修“摄影”的学生人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中所选2人都是选修书画的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）张老师调查的学生人数是（16+12+20）÷＝72（人），
其中选择“泥塑”选修课在扇形统计图中圆心角的度数为360°×＝60°，
故答案为：72人，60°；
（2）900×＝200（人），
答：估计全校选修“摄影”的学生人数约200人；
（3）把选修书画的2人记为A、B，选修摄影的1人记为C，选修泥塑的1人记为D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选2人都是选修书画的结果有2种，即AB、BA，
∴所选2人都是选修书画的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
57．如图，已知正方形ABCD，AB＝4，点M在边CD上，射线AM交BD于点E，交射线BC于点F，过点C作CP⊥CE，交AF于点P．
（1）求证：△ADE≌△CDE．
（2）判断△CPF的形状，并说明理由．
（3）作DM的中点N，连结PN，若PN＝3，求CF的长．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）见解析过程；
（2）△CPF是等腰三角形，理由见解析过程；
（3）2．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADE≌△CDE；
（2）由全等三角形的性质可得∠DAE＝∠DCE，由余角的性质可得∠DCE＝∠PCF，可得结论；
（3）由三角形中位线定理可求DF＝6，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS）；
（2）解：△CPF是等腰三角形，理由如下：
∵△ADE≌△CDE，
∴∠DAE＝∠DCE，
又∵CP⊥CE，DC⊥CF，
∴∠DCE＝∠PCF，
又∵AD∥BF，
∴∠DAE＝∠CFP，
∴∠PCF＝∠PFC，
∴CP＝PF，
∴△CPF是等腰三角形；
（3）解：如图，连接DF，
∵∠PCF＝∠PFC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝MP，
∴MP＝PF，
又∵点N是DM的中点，
∴DF＝2NP＝6，
∴CF＝＝＝2．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
58．已知：如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于点F．求证：DE＝CF．
【考点】正方形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BF，由四边形ABCD是正方形，可得∠C＝∠ADC＝90°，∠BDC＝45°，可得DE＝EF，由EF⊥BD，得∠FEB＝90°，进而证明Rt△BEF≌Rt△BCF可得EF＝CF，等量代换即可得DE＝CF．
【解答】证明：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠ADC＝90°，∠BDC＝45°，
∵EF⊥BD，
∴∠FEB＝90°，
在Rt△BEF和Rt△BCF中，
BF＝BF，BC＝BE，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）．
∴EF＝CF．
∵∠FED＝90°，∠BDC＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∴DE＝EF，
∴DE＝CF．
【点评】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
59．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为 2 ．
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】2．
【分析】先由菱形的性质得到OA＝OC，AC⊥BD，进而利用勾股定理求出AE＝5，则OB＝8，利用勾股定理求出，证明OF是△BCD的中位线，则．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AC⊥BD，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，
∴AE＝BE＝5，
∴OB＝OE+BE＝8，
在Rt△OBC中，由勾股定理得，
∵点F为CD的中点，
∴OF是△BCD的中位线，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
60．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，若AD＝4，求DE的长度．
【考点】矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）首先证明出四边形DFBE是平行四边形，然后结合DE⊥AB证明出四边形DFBE是矩形；
（2）首先根据含30°角直角三角形的性质得到AE＝2，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四边形DFBE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形DFBE是矩形；
（2）∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，
∴∠ADE＝30°，
又∵AD＝4，
∴AE＝2，
∴．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
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2023年09月01日实事求是的初中数学组卷
一．选择题（共28小题）
1．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P．连接DP，则DP的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，且OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
3．四边形ABCD是平行四边形，下列说法错误的是（ ）
A．当AB＝CD时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠BAD＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
4．已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（ ）
A．OA＝OC B．OA＝OB C．∠ABD＝∠CBD D．∠ABD＝∠CAB
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别是边CD、AD的中点，连接BE、BF，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A．5 B． C． D．2
6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝80°，则∠CBD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．四个角都相等的四边形是正方形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以斜边AB、直角边BC为边作正方形ABDE和正方形BFGC．若正方形ABDE的面积为36，AC＝5，则正方形BFGC的面积为（ ）
A． B．11 C． D．31
9．如图，已知菱形ABCD的周长是20cm，对角线AC的长是8cm，则这个菱形ABCD的面积是（ ）
A．2cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
10．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝110°，AB的垂直平分线交AB于点E，交对角线AC于点F，则∠CDF的度数为（ ）
A．45° B．30° C．25° D．15°
11．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．2 B． C． D．﹣3
12．一元二次方程x2＝5x的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝5 B．x1＝0，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝5 D．x＝5
13．已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定
14．关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
15．若a，b是菱形ABCD两条对角线的长，且a、b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B． C． D．20
16．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝7
17．方程（x+3）2＝4的根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5
18．某商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，若每次降价的百分率为a，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a）2＝128 B．200（1﹣a）2＝128
C．200（1﹣2a）2＝128 D．200（1﹣a2）＝128
19．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3
20．已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
21．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．7 B．3 C．4 D．3或4
22．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
23．地理生物中考在即，有一个团队有x人，每两人都互相送对方寄语卡片一张，为彼此加油打气，全团共赠送了56张，根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C．x（x﹣1）＝56 D．x（x+1）＝56
24．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程得（ ）
A．2（x+1）＝121 B．x+x（1+x）＝121
C．1+x+x（1+x）＝121 D．1+（1+x）2＝121
25．有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
26．桌面上有5本书，2本为数学书，2本为物理书，1本为化学书，小明分2次从桌上抽走2本书，则小明2次抽走的都是数学书的概率为（ ）
A． B． C． D．
27．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．28
28．不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
29．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在BC，CD上．若，∠EAF＝45°，则AF的长为 ．
30．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在BC的延长线上，且CE＝2．连接AE，∠DCE的平分线与AE相交于点F，连接DF，则DF的长为 ．
31．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC＝60°，AC＝10，E是AD的中点，则OE的长是 ．
32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，AC＝2cm，则BD的长为 cm．
33．在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则该菱形ABCD的面积为 ．
34．方程x2+6x+9＝0的解为 ．
35．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值是 ．
36．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
37．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b﹣3的值是 ．
38．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
三．解答题（共22小题）
39．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝10cm，OD＝6cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．
（1）求OC的长；
（2）求证：四边形OBEC为矩形；
（3）求矩形OBEC的面积．
40．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AF＝10，AC＝16，求四边形AECF的面积．
41．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且．连接CE，OE，OE交CD于点F．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AD＝10，求OF的长．
42．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，在AC上截取OE＝OF＝OB，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形BFDE是正方形．
43．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形DECO是矩形．
44．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的利润率年提高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为3.92亿元．
（1）求该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率；
（2）若2022年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过5.5亿元？
45．解方程：x2+2x﹣8＝0．
46．已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+1＝0．
（1）若1是该方程mx2﹣4x+1＝0的一个根，求m的值；
（2）若一元二次方程mx2﹣4x+1＝0有实数根，求m的取值范围．
47．已知关于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k＝0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
48．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣18＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
49．解方程
（1）2x2+4x+1＝0（配方法）
（2）x2+6x＝5（公式法）
50．随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为12.5万人．
（1）求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率；
（2）预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多少万人？
51．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．
（1）试求k的取值范围；
（2）若，求k的值；
（3）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足|x1|+|x2|＝2，试求k的值．
52．某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min
人数
0＜x≤20
20
20＜x≤40
a
40＜x≤60
25
60＜x≤80
15
x＞80
10
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，统计表中a＝ ．
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数．
（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数．
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
53．端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，杭州市某食品厂抽样调查了某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）根据题中信息补全条形统计图，并求出喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 度．
（2）若有外型完全相同的A、B、C、D四种不同口味的粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法，求出小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
54．某商场服装部为了了解服装的销售情况，5月份随机抽查了25名营业员的销售额，绘制出了如下的两个统计图，请根据信息解决问题：
（1）图中m的值为 ，扇形统计图中，12万元扇形的圆心角等于 ；
（2）统计的这组数据的平均数是 万元，中位数是 万元，众数是 万元；
（3）如果规定销售额24万元为A等级，销售额15万元到21万元为B等级，销售额12万元为C等级，从A、C等级中任意选出两个营业员，至少有一个是A等级的概率是多少？（用列表法或树形图求解）
55．一个不透明的口袋中装有8个白球和12个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）“从口袋里随机摸出一个球是黄球”这一事件是 事件：“一次性摸出9个球，摸到的球中至少有一个红球”这一事件发生的概率为 ．
（2）求从口袋里随机摸出一个球是红球这一事件的概率；
（3）从口袋里取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，求x的值．
56．为培养学生热爱美，发现美的艺术素养，我校开展了艺术选修课．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：A书画，B摄影，C泥塑，D纸艺．张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）张老师调查的学生人数是 ，其中选择“泥塑”选修课在扇形统计图中圆心角的度数为 ；
（2）若该校学生共有900人，请估计全校选修“摄影”的学生人数；
（3）现有4名学生，其中2人选修书画，1人选修摄影，1人选修泥塑．张老师要从这4人中任选2人了解情况，请用树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书画的概率．
57．如图，已知正方形ABCD，AB＝4，点M在边CD上，射线AM交BD于点E，交射线BC于点F，过点C作CP⊥CE，交AF于点P．
（1）求证：△ADE≌△CDE．
（2）判断△CPF的形状，并说明理由．
（3）作DM的中点N，连结PN，若PN＝3，求CF的长．
58．已知：如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于点F．求证：DE＝CF．
59．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为 ．
60．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，若AD＝4，求DE的长度．
2023年09月01日实事求是的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共28小题）
1．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P．连接DP，则DP的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】正方形的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点Q，连接QP、QD，根据正方形的性质证明Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），然后根据直角三角形性质可得，当Q、D、P共线时，DP有最小值，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点Q，连接QP、QD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠A＝∠ADC＝∠DME＝90°，AB∥CD，
∴四边形ADME是矩形，
∴EM＝AD＝AB，
在Rt△BAF和Rt△EMG中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），
∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，
∵AB∥CD，
∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB，
∵∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BEG＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴BF⊥EG，
∵△EPB是直角三角形，Q是BE的中点，
∴，
∵AB＝3，AE＝1，
∴BE＝3﹣1＝2，
∴QB＝QE＝1，
∵QD﹣QP≤DP，
∴当Q、D、P共线时，DP有最小值，
∵，AQ＝AE+EQ＝1+1＝2，
∴，
∴，
∴PD的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到Rt△BAF≌Rt△EMG．
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，且OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】由菱形的性质得AD＝AB＝CD＝CB，AC⊥BD，则∠AOD＝90°，由E为AD的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得AD＝2OE＝6，即可求得菱形ABCD的周长为24，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴AD＝AB＝CD＝CB，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵E为AD的中点，且OE＝3，
∴OE＝AE＝DE＝AD，
∴AD＝2OE＝2×3＝6，
∴AD+AB+CD+CB＝4AD＝4×6＝24，
∴菱形ABCD的周长为24，
故选：D．
【点评】此题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明∠AOD＝90°是解题的关键．
3．四边形ABCD是平行四边形，下列说法错误的是（ ）
A．当AB＝CD时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠BAD＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的性质；菱形的判定；矩形的判定．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法即可判断．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，故符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当∠BAD＝90°时，四边形ABCD是矩形，故不符合题意
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵AC平分∠BAD时，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握各个判定定理是解题的关键．
4．已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（ ）
A．OA＝OC B．OA＝OB C．∠ABD＝∠CBD D．∠ABD＝∠CAB
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据矩形的判定方法和菱形的判定方法分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，这是平行四边形的性质，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；故选项C符合题意；
D、∵∠ABD＝∠CAB，
∴OA＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AC＝AD，
∴平行四边形ABCD是矩形；故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形和菱形的判定方法是解题的关键，属于中考常考题型．
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别是边CD、AD的中点，连接BE、BF，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A．5 B． C． D．2
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】连接EF，根据正方形的性质和勾股定理得出EF，进而利用三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：连接EF，如图：
∵四边形ABCD是正方形．
∴AD＝AB＝BC＝CD＝4，∠D＝90°，
∵E，F分别是边CD，AD中点，
∴DF＝DE＝AD＝2．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF＝＝＝2．
∵点M、N分别是BE、BF的中点，
∴MN是三角形BEF的中位线，
∴MN＝EF＝×2＝．
故选：B．
【点评】此题考查正方形的性质，解题的关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理进行解答．
6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝80°，则∠CBD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，∠A＝80°，，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠A＝80°，
∴∠ABC＝100°，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．四个角都相等的四边形是正方形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定内容进行逐项分析判断即可．
【解答】解：A、因为对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以对角线互相垂直的四边形是菱形的说法是不正确的；
B、因为四个角都相等的四边形是矩形，所以四个角都相等的四边形是正方形的说法是不正确的；
C、因为一组对边平行，另一组对边相等的四边形也有可能是等腰梯形，所以一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形的说法是不正确的；
D、因为有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查的是平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定等知识内容，掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定内容是解题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以斜边AB、直角边BC为边作正方形ABDE和正方形BFGC．若正方形ABDE的面积为36，AC＝5，则正方形BFGC的面积为（ ）
A． B．11 C． D．31
【考点】正方形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据正方形ABDE的面积求出AB，在Rt△ABC用勾股定理可求BC，即可求解．
【解答】解：∵正方形ABDE的面积为36，
∴AB＝6，
∵AC＝5，∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝，
∴正方形BFGC的面积＝BC2＝11，
故选：B．
【点评】本题考查几何问题，涉及到正方形的性质、勾股定理等，灵活运用所学知识是关键．
9．如图，已知菱形ABCD的周长是20cm，对角线AC的长是8cm，则这个菱形ABCD的面积是（ ）
A．2cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】先根据题意画出图形，因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求得BE或DE的长，从而求得BD的长．再利用菱形的面积公式：两条对角线的积的一半求得面积．
【解答】解：所画图形如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，周长为20cm，
∴AD＝AB＝20÷4＝5cm，∠AED＝90°
∵AE＝AC＝×8＝4（cm）
∴DE＝＝3（cm）
∴BD＝2DE＝2×3＝6（cm）
S菱形ABCD＝BD•AC
＝×6×8
＝24（cm2）．
故选：B．
【点评】主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半和菱形的对角线性质，勾股定理的运用．
10．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝110°，AB的垂直平分线交AB于点E，交对角线AC于点F，则∠CDF的度数为（ ）
A．45° B．30° C．25° D．15°
【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】由菱形的性质可得∠BCD＝∠BAD＝110°，∠BCA＝∠ACD＝55°＝∠BAC＝∠CAD，AB＝AD，∠ADC＝70°，由“SAS”可证△ABF≌△ADF，可得BF＝DF＝AF，可求∠ADF＝55°，即可求解．
【解答】解：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝110°，∠BCA＝∠ACD＝55°＝∠BAC＝∠CAD，AB＝AD，∠ADC＝70°，
∵EF垂直平分AB，
∴AF＝BF，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴BF＝DF，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠ADF＝55°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝15°，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ABF≌△ADF是解题的关键．
11．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．2 B． C． D．﹣3
【考点】一元二次方程的一般形式．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答．
【解答】解：一元二次方程的一次项系数是，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键．
12．一元二次方程x2＝5x的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝5 B．x1＝0，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝5 D．x＝5
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】先移项，然后再运用分解因式解一元二次方程求解即可．
【解答】解：x2＝5x，
x2﹣5x＝0，
x（x﹣5）＝0，
x1＝0，x2＝5，
故选：A．
【点评】本题主要考查了运用因式分解法解一元二次方程，用因式分解法解方程的一般步骤为：移项、化积、转化、求解的步骤解答即可．
13．已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定
【考点】一元二次方程的定义．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
【解答】解：由关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，得
|k|﹣1＝2且k﹣3≠0．
解得k＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
14．关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即，，即可解答．
【解答】解：∵关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
15．若a，b是菱形ABCD两条对角线的长，且a、b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B． C． D．20
【考点】根与系数的关系；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】利用根与系数的关系可得出a+b＝14，ab＝48，进而可得出（）2+（）2的值，利用勾股定理及菱形的性质，可求出菱形的边长，再利用菱形的周长计算公式，即可求出菱形的周长．
【解答】解：∵a，b为一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两根，
∴a+b＝14，ab＝48，
∴（）2+（）2
＝+
＝（a2+b2）
＝（a+b）2﹣ab
＝×142﹣×48
＝25，
∴菱形的边长为＝＝5，
∴菱形的周长为4×5＝20．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系、菱形的性质以及勾股定理，利用根与系数的关系及勾股定理，求出菱形的边长是解题的关键．
16．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝7
【考点】解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据配方法的求解步骤，进行求解即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，
移项得：x2﹣4x＝3，
配方得：x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7．
故选：D．
【点评】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的步骤．
17．方程（x+3）2＝4的根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：（x+3）2＝4，
∴x+3＝±2，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．某商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，若每次降价的百分率为a，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a）2＝128 B．200（1﹣a）2＝128
C．200（1﹣2a）2＝128 D．200（1﹣a2）＝128
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得200（1﹣a）2＝128．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3
【考点】解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程移项得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
20．已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解把x＝1代入一元二次方程得到还有m的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入x2+mx+3＝0得1+m+3＝0，
解得m＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
21．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．7 B．3 C．4 D．3或4
【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质；一元二次方程的解．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】当底边为3，利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，解得k＝4；当腰为3时，把x＝3代入关于x的方程x2﹣4x+k＝0得9﹣12+k＝0，解得k＝3．
【解答】解：当底边为3，两腰为关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，
解得k＝4，
此时方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
当腰为3时，把x＝3代入关于x的方程x2﹣4x+k＝0得9﹣12+k＝0，
解得k＝3，
此时方程为x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
三角形三边分别为3、3、1，
综上所述，k的值为4或3．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
22．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解，则Δ＜0，列出不等式解出k的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解，
∴Δ＜0，
即4﹣4k＜0，
解得k＞1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解与b2﹣4ac的关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解是解决问题的关键．
23．地理生物中考在即，有一个团队有x人，每两人都互相送对方寄语卡片一张，为彼此加油打气，全团共赠送了56张，根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C．x（x﹣1）＝56 D．x（x+1）＝56
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】由等量关系式：每个人所送出去的寄语卡×人数＝56张，列出方程，即可求解．
【解答】解：由题意得，
每个人所送出去的寄语卡数为（x﹣1）张，则有：
x（x﹣1）＝56．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
24．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程得（ ）
A．2（x+1）＝121 B．x+x（1+x）＝121
C．1+x+x（1+x）＝121 D．1+（1+x）2＝121
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中有x个人被传染，第二轮传染中有x（1+x）个人被传染，结合“有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x个人被传染，第二轮传染中有x（1+x）个人被传染，
又∵有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，
∴可列出方程1+x+x（1+x）＝121．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】找出五条线段任取三条的所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况，即可求出所求的概率．
【解答】解：所有的情况有：2，4，6；2，4，8；2，4，10；2，6，8；2，6，10；2，8，10；4，6，8；4，6，10；4，8，10；6，8，10，共10种，其中能构成三角形的有：4，6，8；6，8，10；4，8，10，共3种，
则P＝．
故选：B．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
26．桌面上有5本书，2本为数学书，2本为物理书，1本为化学书，小明分2次从桌上抽走2本书，则小明2次抽走的都是数学书的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】画树状图法计算即可．
【解答】解：设数学为A，物理为B，化学为C，画树状图如下：
共有20种等可能的结果数，符合条件的有2种，
故小明2次抽走的都是数学书的概率为，
故选：A．
【点评】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图是解题的关键．
27．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．28
【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：根据题意知＝20%，
解得a＝20，
经检验：a＝20是原分式方程的解，
故选：B．
【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
28．不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】画树状图，共有25种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有9种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有9种，
∴两次都摸到红球的概率是，
故选：D．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
二．填空题（共10小题）
29．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在BC，CD上．若，∠EAF＝45°，则AF的长为 ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】如图，延长CB到点G，使得BG＝DF，连接AG，先证明△ABG≌△ADF（SAS），由全等三角形的性质可知AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，结合∠EAF＝45°，求出∠EAG＝45°，再证明△EAG≌△EAF（SAS），由全等三角形的性质可知EG＝EF，在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE＝2，设DF＝x，则BG＝x，EG＝EF＝2+x，CF＝6﹣x，再利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如图，延长CB到点G，使得BG＝DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，
∴∠ABG＝∠ADF＝90°，
∵在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAF＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAE+∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF＝45°，
∵在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG＝EF，
∵在Rt△ABE中，AB＝6，，
∴由勾股定理得：，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，
设：DF＝x，则BG＝x，EG＝EF＝2+x，CF＝6﹣x，
∵在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2，
∴42+（6﹣x）2＝（2+x）2，解得x＝3，
∴DF＝3，
∵在Rt△ADF中，
∴由勾股定理得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，构造全等三角形，并利用方程的思想是解答本题的关键．
30．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在BC的延长线上，且CE＝2．连接AE，∠DCE的平分线与AE相交于点F，连接DF，则DF的长为 ．
【考点】正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】如图，过F作FM⊥BE 于M，FN⊥CD于N，由CF平分∠DCE，可知∠FCM＝∠FCN＝45°，可得四边形CMFN是正方形，FM∥AB，设FM＝CM＝NF＝CN＝a，则ME＝2﹣α，证明△EFM∽△EAB，则，即，解得，，由勾股定理得DF＝＝．
【解答】解：如图，过F作FM⊥BE于M，FN⊥CD于 N，则四边形CMFN是矩形，FM∥AB，
∵CF平分∠DCE，
∴∠FCM＝∠FCN＝45°，
∴CM＝FM，
∴四边形CMFN是正方形，
设FM＝CM＝NF＝CN＝a，则ME＝2﹣a，
∵FM∥AB，
∴△EF∽△EAB，
∴，即，
解得：，
∴，
由勾股定理得：DF＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
31．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC＝60°，AC＝10，E是AD的中点，则OE的长是 5 ．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】5．
【分析】直接利用菱形的性质得出AD＝CD，AC⊥BD，再结合∠ADC＝60°，可得△ACD为等边三角形，从而AD＝AC＝10，最后根据直角三角形中线的性质得出答案
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AD＝CD，AC⊥BD．
∵∠ADC＝60°，
∴△ACD为等边三角形．
∴AD＝AC＝10．
∵E为AD的中点，AC⊥BD，
∴OE＝AD＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，正确得出AD的长是解题关键．
32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，AC＝2cm，则BD的长为 4 cm．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】4．
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝DO，由勾股定理可求BO，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝2cm，
∴AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝1cm，
∵AB＝cm，
∵BO＝＝2cm，
∴DO＝BO＝2cm，
∴BD＝4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
33．在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则该菱形ABCD的面积为 2 ．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】如图，过点A作AE⊥BC于E，利用∠B的正弦可求出AE的长，根据菱形面积公式即可得答案．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵菱形ABCD的边AB＝2，
∴AB＝AC＝BC＝2，
∵∠B＝60°，
∴AE＝AB•sin60°＝2×＝，
∴S菱形ABCD＝BC•AE＝2×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的面积求法及解直角三角形，利用∠B的正弦求出AE的长是解题关键．
34．方程x2+6x+9＝0的解为 x1＝x2＝﹣3 ．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【答案】x1＝x2＝﹣3．
【分析】利用配方法得到（x+3）2＝0，然后解方程即可．
【解答】解：∵x2+6x+9＝0，
∴（x+3）2＝0，
∴x1＝x2＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
35．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值是 ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝0代入方程即可得到一个关于m的方程，即可求得m的值．
【解答】解：根据题意得：m2﹣1＝0且m﹣1≠0
解得：m＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
36．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜ ．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【答案】m＜．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣3，c＝m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（m﹣1）＞0，
解得m＜，
故答案为：m＜．
【点评】本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
37．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b﹣3的值是 1 ．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【答案】1．
【分析】利用根与系数的关系求出a+b，把x＝a代入方程得到关系式，变形后代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
把x＝a代入方程得：a2+a﹣3＝0，即a2＝3﹣a，
则原式＝3﹣a﹣b﹣3
＝﹣（a+b）
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
38．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ﹣ ．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【答案】﹣．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，可知其根的判别式为0，据此列出关于m的不等式，解答即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
即32﹣4（﹣m）＝0，
解得：m＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
三．解答题（共22小题）
39．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝10cm，OD＝6cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．
（1）求OC的长；
（2）求证：四边形OBEC为矩形；
（3）求矩形OBEC的面积．
【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）8cm；
（2）见解析；
（3）48cm2．
【分析】（1）利用菱形的性质得到AC⊥BD，在直角△OCD中，利用勾股定理即可求解；
（2）先证明四边形OBEC是平行四边形，再由∠COB＝90°，即可证明平行四边形OBEC是矩形；
（3）利用矩形的面积公式即可直接求解．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴直角△OCD中，OC＝＝＝8cm，
（2）证明：∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形，
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形；
（3）解：∵OB＝OD，
∴S矩形OBEC＝OB•OC＝6×8＝48（cm2）．
【点评】本题考查了菱形的性质以及矩形的判定，勾股定理，理解菱形的对角线的关系是关键．
40．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AF＝10，AC＝16，求四边形AECF的面积．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】（1）见解析；
（2）96．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF＝CE，继而证得结论；
（2）根据菱形的性质及勾定理可得，进而可知EF＝2OF＝12，再结合菱形AECF的面积＝即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵点O是AC的中点，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，EA＝EC，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO．
在△AOF和△COE中，
∵∠FAO＝∠ECO，OA＝OC，∠AOF＝∠COE＝90°，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴FA＝EC，
∴AE＝EC＝CF＝FA，
∴四边形AECF为菱形．
（2）解：∵点O是AC的中点，AC＝16，
∴OA＝OC＝8
∵AF＝10，EF⊥AC，
∴，
由菱形的性质可知：EF＝2OF＝12，
∴菱形AECF的面积＝．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定及性质，熟练掌握相关性质是关键．
41．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且．连接CE，OE，OE交CD于点F．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AD＝10，求OF的长．
【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）见解答；
（2）5．
【分析】（1）由菱形的性质得OA＝OC＝AC，AC⊥BD，再证四边形OCED是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）证四边形OADE是平行四边形的，得OE＝AD＝10，再由矩形的性质得OF＝OE＝5即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∵DE＝AC，
∴OC＝DE，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：由（1）可知，OA＝DE，
∵DE∥AC，
∴四边形OADE是平行四边形，
∴OE＝AD＝10，
∵四边形OCED是矩形，
∴OF＝OE＝5．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及菱形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
42．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，在AC上截取OE＝OF＝OB，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形BFDE是正方形．
【考点】正方形的判定；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】见解析．
【分析】先根据菱形的性质可得AC⊥BD，OB＝OD，再根据矩形的判定可得四边形BFDE是矩形，然后根据正方形的判定即可得证．
【解答】证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OB＝OD．
∵OE＝OF＝OB，
∴OE＝OF＝OB＝OD，
∴四边形BFDE是矩形．
又∵BD⊥EF，
∴四边形BFDE是正方形．
【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的判定，熟练掌握正方形的判定是解题关键．
43．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形DECO是矩形．
【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】见解析过程．
【分析】先证四边形CODE是平行四边形，由菱形的性质可得AC⊥BD，可得结论．
【解答】证明：∵AC∥DE，BD∥CE，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形DECO是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，掌握矩形的判定是解题的关键．
44．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的利润率年提高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为3.92亿元．
（1）求该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率；
（2）若2022年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过5.5亿元？
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）40%；
（2）不能．
【分析】（1）设该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可；
（2）根据该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率求出该企业2022年的利润即可作答．
【解答】解：（1）设该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2＝3.92，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去），
即该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为40%；
（2）若2022年保持前两年利润的年平均增长率不变，
该企业2022年的利润为：3.92×（1+40%）＝5.488＜5.5，
故该企业2022年的利润不能超过5.5亿元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
45．解方程：x2+2x﹣8＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2+2x﹣8＝0
（x﹣2）（x+4）＝0
x﹣2＝0，x+4＝0
x1＝2，x2＝﹣4
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
46．已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+1＝0．
（1）若1是该方程mx2﹣4x+1＝0的一个根，求m的值；
（2）若一元二次方程mx2﹣4x+1＝0有实数根，求m的取值范围．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．菁优网版权所有
【答案】（1）3；
（2）m≤4且m≠0．
【分析】（1）把x＝1代入方程得到m﹣4+1＝0，然后解一次方程即可；
（2）根据根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4m≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：（1）把x＝1代入方程mx2﹣4x+1＝0得m﹣4+1＝0，
解得m＝3，
即m的值为3；
（2）根据题意得m≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4m≥0，
解得m≤4且m≠0，
即m的取值范围为m≤4且m≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解．
47．已知关于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k＝0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）计算方程的根的判别式，若Δ＝b2﹣4ac≥0，则证明方程总有实数根；
（2）已知a＝6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（3k﹣2）2﹣4•（﹣6k）＝9k2﹣12k+4+24k＝9k2+12k+4＝（3k+2）2≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根．
（2）解：①若a＝6为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0．
∴（3k+2）2＝0，解得：k＝﹣．
此时原方程化为x2﹣4x+4＝0
∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．
此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若a＝6为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝6
代入方程：62+6（3k﹣2）﹣6k＝0
∴k＝﹣2
则原方程化为x2﹣8x+12＝0
（x﹣2）（x﹣6）＝0
∴x1＝2，x2＝6
即b＝6，c＝2
此时△ABC三边为6，6，2能构成三角形，
综上所述：△ABC三边为6，6，2．
∴周长为6+6+2＝14．
【点评】重点考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
48．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣18＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【答案】（1），；
（2）x1＝3，x2＝9．
【分析】（1）利用配方法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣18＝0，
∴x2﹣6x＝18，
∴x2﹣6x+9＝27，
即（x﹣3）2＝27，
∴，
解得：，；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9，
∴2（x﹣3）2﹣（x2﹣9）＝0，
即2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，
解得：x1＝3，x2＝9．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
49．解方程
（1）2x2+4x+1＝0（配方法）
（2）x2+6x＝5（公式法）
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）配方法求解可得；
（2）公式法求解可得．
【解答】解：（1）2x2+4x＝﹣1，
x2+2x＝﹣，
x2+2x+1＝﹣+1，即（x+1）2＝，
∴x+1＝±，
则x＝﹣1±，
即x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）x2+6x﹣5＝0，
∵a＝1，b＝6，c＝﹣5，
∴Δ＝36﹣4×1×（﹣5）＝56，
则x＝＝﹣3，
x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
50．随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为12.5万人．
（1）求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率；
（2）预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多少万人？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）25%；
（2）0.45万人．
【分析】（1）设这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为x，利用5月份游客人数＝3月份游客人数×（1+这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设6月份后20天日均接待游客人数是y万人，根据6月份游客人数不超过12.5×（1+25%）万人，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为x，
根据题意得：8（1+x）2＝12.5，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设6月份后20天日均接待游客人数是y万人，
根据题意得：6.625+20y≤12.5×（1+25%），
解得：y≤0.45，
∴y的最大值为0.45．
答：6月份后20天日均接待游客人数最多是0.45万人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
51．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．
（1）试求k的取值范围；
（2）若，求k的值；
（3）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足|x1|+|x2|＝2，试求k的值．
【考点】根与系数的关系；绝对值；根的判别式．菁优网版权所有
【答案】（1）k≤﹣1；
（2）k＝﹣2；
（3）k＝﹣1．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得出x1+x2＝2k，，结合可得出关于k的方程，解之即可得出k的值；
（3）由（2）可知：x1+x2＝2k，，根据，可得x1x2＞0，即由|x1|+|x2|＝2，可得，进而可得，则有，即（2k）2＝4，问题得解．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k+1）≥0，
解得：k≤﹣1；
（2）∵方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2k，，
∵，
∴，
∴（2k）2﹣2（k2+k+1）＝10，
整理得：k2﹣k﹣6＝0，
解得：k＝3或者k＝﹣2，
∵根据（1）有k≤﹣1，
即k＝﹣2；
（3）由（2）可知：x1+x2＝2k，，
∵，
∴x1x2＞0，
∵|x1|+|x2|＝2，
∴，
∴，
∵x1x2＞0，
∴，
∴，
∴（2k）2＝4，
∴k＝±1，
∵根据（1）有k≤﹣1，
即k＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，灵活运用完全平方公式的变形是解题的关键．
52．某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min
人数
0＜x≤20
20
20＜x≤40
a
40＜x≤60
25
60＜x≤80
15
x＞80
10
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 100 名学生，统计表中a＝ 30 ．
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数．
（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数．
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；加权平均数．菁优网版权所有
【答案】（1）100，30；
（2）54°；
（3）140名；
（4）．
【分析】（1）将40＜x≤60组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以20＜x≤40组的百分比即可求出a的值；
（2）将60＜x≤80组的人数除以抽取的人数，再乘以360°即可求出扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数；
（3）将x＞80组的人数除以抽取的人数，再乘以1400即可估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数；
（4）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵40＜x≤60组的人数为25，占比为25%，且25÷25%＝100，
∴本次调查共抽取了100名学生；
∵20＜x≤40组占比30%，30%×100＝30，
∴a＝30，
故答案为：100，30；
（2）∵样本中平均每天阅读时长为“60＜x≤80”有15名，
且15÷100×360°＝54°，
∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数为54°；
（3）∵样本中平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为10人，
且10÷100×1400＝140（名），
∴估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为140名；
（4）《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，
∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）＝．
【点评】本题考查频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，能从统计图表中获取有用信息，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
53．端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，杭州市某食品厂抽样调查了某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）根据题中信息补全条形统计图，并求出喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 72 度．
（2）若有外型完全相同的A、B、C、D四种不同口味的粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法，求出小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【答案】（1）图形见解析，72；
（2）．
【分析】（1）由喜欢D种口味粽子的人数除以所占百分比得出调查的市民人数，即可解决问题；
（2）由360°乘以喜欢C种口味粽子的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的市民人数为：240÷40%＝600（人），
∴喜欢B种口味粽子的人数为：600×10%＝60（人），
∴喜欢C种口味粽子的人数为：600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
补全条形统计图如下：
喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为：360°×＝72°，
故答案为：72；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果有3种，
∴小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
54．某商场服装部为了了解服装的销售情况，5月份随机抽查了25名营业员的销售额，绘制出了如下的两个统计图，请根据信息解决问题：
（1）图中m的值为 28 ，扇形统计图中，12万元扇形的圆心角等于 28.8° ；
（2）统计的这组数据的平均数是 18.6 万元，中位数是 18 万元，众数是 21 万元；
（3）如果规定销售额24万元为A等级，销售额15万元到21万元为B等级，销售额12万元为C等级，从A、C等级中任意选出两个营业员，至少有一个是A等级的概率是多少？（用列表法或树形图求解）
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；加权平均数；中位数；众数．菁优网版权所有
【答案】（1）28，28.8°；
（2）18.6，18，21；
（3）．
【分析】（1）用1减去其他情况所占的百分数，用360°乘上12万元所占的百分数；
（2）所有数据加起来除以数据的个数等于平均数，将一组数据按照从大到小或者从小到大的顺序排列，奇数个数据最中间的数据即为中位数，偶数个数据最中间两个数据的和的平均数即为中位数，一组数据中出现次数最多的数据即为众数；
（3）用列表法将所有情况列出来即可解决问题．
【解答】解：（1）1﹣20%﹣8%﹣12%﹣32%＝28%，
∴m＝28，360°×8%＝28.8°；
故答案为：28，28.8°；
（2），
∴平均数为18.6万元，
∵抽查了25名营业员，
∴中位数为从大到小排列后的第13个数据，
∴中位数为18万元，
∵21出现次数最多，出现了8次，
∴众数为21万元；
故答案为：18.6；18；21；
（3）A等级3人，B等级2人，列表如下：
A1
A2
A3
C1
C2
A1
（A1，A2）
（A1，A3）
（A1，C1）
（A1，C2）
A2
（A2，A1）
（A2，A3）
（A2，C1）
（A2，C2）
A3
（A3，A1）
（A3，A2）
（A3，C1）
（A3，C2）
C1
（C1，A1）
（C1，A2）
（C1，A3）
（C1，C2）
C2
（C2，A1）
（C2，A2）
（C2，A3）
（C2，C1）
一共有20种等可能结果，至少有一个是A等级的有18种，
∴P（至少有一个是A等级）＝．
【点评】本题考查了数据的分析和概率的计算，正确理解并掌握平均数、中位数、众数的概念，能熟练用列表法求概率是解决问题的关键．
55．一个不透明的口袋中装有8个白球和12个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）“从口袋里随机摸出一个球是黄球”这一事件是 不可能 事件：“一次性摸出9个球，摸到的球中至少有一个红球”这一事件发生的概率为 1 ．
（2）求从口袋里随机摸出一个球是红球这一事件的概率；
（3）从口袋里取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，求x的值．
【考点】列表法与树状图法；随机事件；概率公式．菁优网版权所有
【答案】（1）不可能；1；
（2）；
（3）x＝8．
【分析】（1）根据事件的分类解答即可；
（2）根据概率公式计算概率即可；
（3）根据口袋中有（8+x）个白球和（12﹣x）个红球，共有20个球，再根据概率公式列方程即可解答．
【解答】解：（1）∵口袋没有黄球，
∴口袋里随机摸出一个球是黄球”这一事件是不可能事件；
∵口袋中有8个白球和12个红球，
∴“一次性摸出9个球，摸到的球中至少有一个红球”这一事件发生的概率为1，
故答案为：不可能；1；
（2）口袋中装有8个白球和12个红球，共有20个球，
∴从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是；
（3）由题意，口袋中有（8+x）个白球和（12﹣x）个红球，共有20个球，
∴从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，解得x＝8．
【点评】本题考查了事件的分类，用概率公式计算概率，解题关键是熟练运用概率公式计算．
56．为培养学生热爱美，发现美的艺术素养，我校开展了艺术选修课．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：A书画，B摄影，C泥塑，D纸艺．张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）张老师调查的学生人数是 72人 ，其中选择“泥塑”选修课在扇形统计图中圆心角的度数为 60° ；
（2）若该校学生共有900人，请估计全校选修“摄影”的学生人数；
（3）现有4名学生，其中2人选修书画，1人选修摄影，1人选修泥塑．张老师要从这4人中任选2人了解情况，请用树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书画的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；统计表；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【答案】（1）72人，60°；
（2）估计全校选修“摄影”的学生人数约200人；
（3）．
【分析】（1）由喜欢B、C、D的人数除以所占比例得出张老师调查的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校学生共有人数乘以选修“摄影”的学生人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中所选2人都是选修书画的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）张老师调查的学生人数是（16+12+20）÷＝72（人），
其中选择“泥塑”选修课在扇形统计图中圆心角的度数为360°×＝60°，
故答案为：72人，60°；
（2）900×＝200（人），
答：估计全校选修“摄影”的学生人数约200人；
（3）把选修书画的2人记为A、B，选修摄影的1人记为C，选修泥塑的1人记为D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选2人都是选修书画的结果有2种，即AB、BA，
∴所选2人都是选修书画的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
57．如图，已知正方形ABCD，AB＝4，点M在边CD上，射线AM交BD于点E，交射线BC于点F，过点C作CP⊥CE，交AF于点P．
（1）求证：△ADE≌△CDE．
（2）判断△CPF的形状，并说明理由．
（3）作DM的中点N，连结PN，若PN＝3，求CF的长．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）见解析过程；
（2）△CPF是等腰三角形，理由见解析过程；
（3）2．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADE≌△CDE；
（2）由全等三角形的性质可得∠DAE＝∠DCE，由余角的性质可得∠DCE＝∠PCF，可得结论；
（3）由三角形中位线定理可求DF＝6，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS）；
（2）解：△CPF是等腰三角形，理由如下：
∵△ADE≌△CDE，
∴∠DAE＝∠DCE，
又∵CP⊥CE，DC⊥CF，
∴∠DCE＝∠PCF，
又∵AD∥BF，
∴∠DAE＝∠CFP，
∴∠PCF＝∠PFC，
∴CP＝PF，
∴△CPF是等腰三角形；
（3）解：如图，连接DF，
∵∠PCF＝∠PFC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝MP，
∴MP＝PF，
又∵点N是DM的中点，
∴DF＝2NP＝6，
∴CF＝＝＝2．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
58．已知：如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于点F．求证：DE＝CF．
【考点】正方形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BF，由四边形ABCD是正方形，可得∠C＝∠ADC＝90°，∠BDC＝45°，可得DE＝EF，由EF⊥BD，得∠FEB＝90°，进而证明Rt△BEF≌Rt△BCF可得EF＝CF，等量代换即可得DE＝CF．
【解答】证明：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠ADC＝90°，∠BDC＝45°，
∵EF⊥BD，
∴∠FEB＝90°，
在Rt△BEF和Rt△BCF中，
BF＝BF，BC＝BE，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）．
∴EF＝CF．
∵∠FED＝90°，∠BDC＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∴DE＝EF，
∴DE＝CF．
【点评】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
59．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为 2 ．
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】2．
【分析】先由菱形的性质得到OA＝OC，AC⊥BD，进而利用勾股定理求出AE＝5，则OB＝8，利用勾股定理求出，证明OF是△BCD的中位线，则．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AC⊥BD，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，
∴AE＝BE＝5，
∴OB＝OE+BE＝8，
在Rt△OBC中，由勾股定理得，
∵点F为CD的中点，
∴OF是△BCD的中位线，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
60．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，若AD＝4，求DE的长度．
【考点】矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）首先证明出四边形DFBE是平行四边形，然后结合DE⊥AB证明出四边形DFBE是矩形；
（2）首先根据含30°角直角三角形的性质得到AE＝2，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四边形DFBE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形DFBE是矩形；
（2）∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，
∴∠ADE＝30°，
又∵AD＝4，
∴AE＝2，
∴．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
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