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北师大版数学中考模拟精品练习试卷（含详细解析）
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这是一份北师大版数学中考模拟精品练习试卷（含详细解析），共65页。试卷主要包含了如图所示的几何体，它的左视图是，下列计算正确的是，《九章算术》中记载等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共28小题）
1．2023年2月15日，春运落下帷幕，在人流不息的画卷里，“流动的中国”活力无限，交通运输部相关负责人表示，2023年春运全社会人员流动量约47.33亿人次，比2022年同期增长50.5%，将数据47.33亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.733×10 B．0.4733×102 C．4.733×108 D．4.733×109
2．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．b6÷b2＝b3 B．（﹣ab）3•a2b＝﹣a3b4
C．xy﹣3yx＝﹣2xy D．（2x﹣3）2＝4x2﹣9
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC与矩形OA′B′C′位似，位似中心是原点O，若点B（2，1），B′（4，2），则矩形OABC与矩形OA′B′C′的面积比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：9 D．1：3
5．国际数学奥林匹克竞赛旨在激发全球青年人的数学才能，中国代表队近六届竞赛的金牌数（单位：枚）分别为6，6，4，5，4，4，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．方差是0.5 B．众数是6
C．中位数是4.5 D．平均数是4.8
6．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，其顶点坐标为（2，﹣1），下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．当x＞5时，y随x的增大而减小
C．点B的坐标为（3，0）
D．16a+4b+c＜0
8．已知直线m∥n，将含有30°的直角三角尺ABC按如图方式放置（∠CAB＝30°），其中A，C两点分别落在直线m，n上，若∠1＝35°．则∠2的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
9．若△ABC∽△DEF，且，若△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A． B． C．6 D．18
10．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．关于二次函数y＝x2+4x+5，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴右侧
B．y的最小值为5
C．图象与x轴有两个交点
D．当x＞2时，y的值随x的值的增大而增大
12．﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
13．我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣6 C．3×10﹣6 D．3×107
14．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4﹣π D．
16．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
17．已知方程，且关于x的不等式a＜x≤b只有2个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A．1＜b≤2 B．2＜b≤3 C．1≤b＜2 D．2≤b＜3
18．某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
A．6.5（1﹣x）2＝5.265 B．6.5（1+x）2＝5.265
C．5.265（1﹣x）2＝6.5 D．5.265（1+x）2＝6.5
19．如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（ ）
A．cm B．3cm C．4cm D．6cm
20．如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．则下列结论正确的有（ ）
①2a+b＝0；
②函数y＝ax2+bx+c的最大值为﹣4a；
③若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1无实数根，则；
④代数式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＜0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
22．凉山会理某天最高气温﹣1℃，最低气温﹣3℃，这一天温差是多少？（ ）
A．﹣1℃ B．﹣3℃ C．2℃ D．﹣2℃
23．2021年会理市石榴种植面积达到40万亩，用科学记数法表示数40万亩为（ ）
A．40×103亩 B．40×104亩 C．4×105亩 D．4×104亩
24．如果单项式﹣2xmy2与单项式﹣8x4yn是同类项，那么mn的平方根是（ ）
A． B． C． D．
25．如果等式成立，则xy的值分别是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．
26．一组数据x1，x2，x3……xn，它的平均数是8，方差是2．另一组数据2x1，2x2，2x3……2xn，它的平均数和方差分别是（ ）
A．16，2 B．16，8 C．8，4 D．16，4
27．已知△ABC∽△DEF，若，则△ABC与△DEF的面积之比（ ）
A． B． C． D．2
28．直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x+2的图象互相平行，且与y轴交于（0，4），则直线y＝kx+b与坐标轴围成的面积是（ ）
A． B．8 C． D．
二．填空题（共11小题）
29．分解因式：a2b3﹣2ab2＝ ．
30．如图，AB是⊙O的直径，C是上一点，D是上一点，且OD∥AC，若∠CBD＝20°，则∠A＝ ．
31．计算：＝ ．
32．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 ．
33．如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝70°，则∠EGF的度数是 ．
34．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．河的宽度是 ．
35．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，cos∠AIE＝ ．
36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝4，分别以点C，B为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点P、Q，作直线PQ交AB、BC于点M、N，连接CM，则CM＝ ．
37．如图所示，⊙O中AF＝AB，∠FDA＝36°，∠BAD＝46°，则∠ACB＝ ．
38．如图在△ACE中，DF∥AC且DF＝AB，BD＝2，EF＝3，则＝ ．
39．填空题．
（1）如图1，已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A、B两点，若点B的坐标是（2，3），则点A的坐标是 ．
（2）如图2，在菱形ABCD中，两条对角线AC、BD交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是边BC上一点，当OE＝OB时，CE的长为 ．
三．解答题（共14小题）
40．2023年3月5日是第60个学雷锋纪念日，某校为弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿精神，开展了“我为社区出份力”活动，学生可报名参加以下四类活动之一：A宣传公益，B清洁街道，C摆放车辆，D关爱老人，根据报名结果，绘制了不完整的统计图：
根据统计图表提供的信息，解容下列问题：
（1）本次活动共有 名学生报名参加，扇形统计图中m的值为 ；
（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中D对应的圆心角度数；
（3）活动结束后，需从四类活动中随机选择两类活动做汇报，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的概率．
41．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为上一点，且，连接BF并延长交射线DC于点E．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）若，DA＝2，求⊙O的半径和EF的长．
42．2023年3月，成都市政府印发《成都市促进新能源汽车产业发展的实施意见》，其中大力促进新能源汽车消费成为抓手之一．已知某商家对一款新能源汽车进行销售，市场调研发现：月销量y（单位：辆）与销售价x（单位：万元/辆，且14≤x≤21）满足一次函数关系，部分数据如表：
x
16
17
18
19
20
y
30
27
24
21
18
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若商家购进这款汽车的价格为12万元，试问：当x为多少时，总利润最大？并求出此时利润的最大值．
43．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AE＝3，EF＝1，求⊙O的半径及sin∠ABC的值．
44．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与反比例函数的图象交于点A（1，a）和点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，若点C为线段AB上一点，过点C作CD∥x轴交双曲线于点D，连接OC，OD，若△OCD的面积为，求点C的坐标；
（3）如图2，连接AO，并延长AO至点E，使EO＝AO，作∠OAB的平分线AF交x轴于点F，过点E作EH⊥AF于点H，求点H的坐标．
45．在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线y＝ax+1与抛物线交于C，D两点（点D在第一象限）．
（1）如图，当点C与点A重合时，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，连接BD，点E在抛物线上，若∠DAE＝∠ADB，求出点E的坐标；
（3）将抛物线L向上平移1个单位得到抛物线L1，抛物线L1的顶点为P，直线y＝ax+1与抛物线L1交于M，N两点，连接MP，NP，若∠MPN＝90°，求a的值．
46．2022年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有3000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
（3）请你根据本次问卷调查的结果给学校各提一条合理化建议．
47．如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点A（﹣1，n），直线l'经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点另一点B，P在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．
48．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC，BD交于点O，AO＝CO，且AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求△ACE的面积．
49．某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件数）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的几组对应值如表所示：
销售单价x（元/件）
55
60
70
…
销售量y（件）
70
60
40
…
（1）直接写出y（件）与x（元/件）之间的函数表达式 ；
（2）求销售单价定为多少时，当天的销售利润是1050元？
（3）销售过程中要求走出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
50．如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，分别交AB、AF的延长线于点C、D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD＝，求BC的长．
51．解方程组：．
52．小米和小明玩游戏：袋子中1个红球，2个篮球和3个黄球，它们只有颜色上不同外，其它都相同，随机摸2个球不放回，摸到1红球1蓝球时小米胜，摸到2个黄球时小明胜，摸到其它的算平局，这个游戏公平吗（列表法或树状图完成），如果不公平，怎么才能使游戏公平？
53．某服装店销售某种衣服，其成本为每件60元，当售价为每件100元时，每月可销售120件．由于疫情的影响，库存积压严重，为了减少库存，该服装店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降5元，则每月可多销售20件．设每件的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当销售单件降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共28小题）
1．2023年2月15日，春运落下帷幕，在人流不息的画卷里，“流动的中国”活力无限，交通运输部相关负责人表示，2023年春运全社会人员流动量约47.33亿人次，比2022年同期增长50.5%，将数据47.33亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.733×10 B．0.4733×102 C．4.733×108 D．4.733×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：47.33亿＝47.33×108＝4.733×109．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
2．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的虚线．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．下列计算正确的是（ ）
A．b6÷b2＝b3 B．（﹣ab）3•a2b＝﹣a3b4
C．xy﹣3yx＝﹣2xy D．（2x﹣3）2＝4x2﹣9
【考点】整式的混合运算．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：b6÷b2＝b4，故选项A错误，不符合题意；
（﹣ab）3•a2b＝﹣a3b3•a2b＝﹣a5b4，故选项B错误，不符合题意；
xy﹣3yx＝﹣2xy，故选项C正确，符合题意；
（2x﹣3）2＝4x2﹣12x+9，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC与矩形OA′B′C′位似，位似中心是原点O，若点B（2，1），B′（4，2），则矩形OABC与矩形OA′B′C′的面积比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：9 D．1：3
【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征得到相似比，然后根据相似多边的面积的比等于相似比求解．
【解答】解：∵矩形OABC与矩形OA′B′C′位似，位似中心是原点O，
而点B（2，1），B′（4，2），
∴它们的相似比为1：2，
∴矩形OABC与矩形OA′B′C′的面积比为1：4．
故选：A．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
5．国际数学奥林匹克竞赛旨在激发全球青年人的数学才能，中国代表队近六届竞赛的金牌数（单位：枚）分别为6，6，4，5，4，4，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．方差是0.5 B．众数是6
C．中位数是4.5 D．平均数是4.8
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据方差、众数、中位数及平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为4，4，4，5，6，6，
∴这组数据的众数是4，
中位数是＝4.5，
平均数为＝，
方差为[]＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数及平均数的定义．
6．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，还多18钱，列二元一次方程组即可．
【解答】解：根据题意，得，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，数学常识，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，其顶点坐标为（2，﹣1），下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．当x＞5时，y随x的增大而减小
C．点B的坐标为（3，0）
D．16a+4b+c＜0
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据抛物线的对称性求得B的坐标即可判断C；根据抛物线与x轴有两个交点且顶点直线x轴的下方即可判断A；根据二次函数的性质即可判断B；由x＝4时，y＜0即可判断D．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，其顶点坐标为（2，﹣1），
∴对称轴为直线x＝2，
∴B（5，0），故C错误，不合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（5，0），其顶点坐标为（2，﹣1），
∴抛物线开口向上，
∴a＞0，故A错误，不合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴当x＞5时，y随x的增大而增大，故B错误，不合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（5，0），
∴x＝4时，y＜0，
∴16a+4b+c＜0，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8．已知直线m∥n，将含有30°的直角三角尺ABC按如图方式放置（∠CAB＝30°），其中A，C两点分别落在直线m，n上，若∠1＝35°．则∠2的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】由题意可得∠ACB＝90°，则可求得∠ACD＝125°，再由平行线的性质可求得∠CAE＝55°，即可求∠2的度数．
【解答】解：如图，
由题意得：∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∵∠1＝35°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠1＝125°，
∵m∥n，
∴∠CAE+∠ACD＝180°，
∴∠CAE＝180°﹣∠ACD＝55°，
∴∠2＝∠CAE﹣∠CAB＝25°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
9．若△ABC∽△DEF，且，若△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A． B． C．6 D．18
【考点】相似三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】直接利用相似三角形的性质，结合相似三角形的周长比等于相比，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且，
∴△DEF与△ABC的相似比为：3：1，
∵△ABC的周长为2，
∴△DEF的周长为：2×3＝6．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的周长比等于相比是解题关键．
10．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，
由题意得：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
11．关于二次函数y＝x2+4x+5，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴右侧
B．y的最小值为5
C．图象与x轴有两个交点
D．当x＞2时，y的值随x的值的增大而增大
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】将二次函数表达式化为顶点式或交点式，即可进行解答．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴x＝﹣2，顶点为（﹣2，1），
∴函数有最小值1，当x＞﹣2时，y的值随x的值的增大而增大，
故A、B、D不正确，不符合题意；
∵y＝x2+4x+5＝（x+5）（x+1），
∴图象与x轴的交点坐标为（﹣5，0）和（﹣1，0），
故C正确，符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质，解题的关键是掌握将二次函数表达式化为顶点式的方法．y＝（x﹣h）2+k的对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）；a＞0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a＜0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
12．﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】实数的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：A．
【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．
13．我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣6 C．3×10﹣6 D．3×107
【考点】科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法可以表示0.0000003得：3×10﹣7；
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
15．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4﹣π D．
【考点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算；切线的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，利用面积公式求出内切圆半径，r＝＝2，再说明四边形OFCE是正方形，得S阴影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝4﹣＝4﹣π，
【解答】解：连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
∴AC⊥OF，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，
∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO
∴＝，
∴r＝＝2，
∵∠C＝90°，∠OFC＝∠OEC＝90°，OF＝OE
∴四边形OFCE是正方形，
∴∠FOE＝90°，
∴S阴影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝4﹣＝4﹣π，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径．
16．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．已知方程，且关于x的不等式a＜x≤b只有2个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A．1＜b≤2 B．2＜b≤3 C．1≤b＜2 D．2≤b＜3
【考点】分式方程的解；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a＝﹣1，即a2﹣3a﹣4＝0，
分解因式得：（a﹣4）（a+1）＝0，
解得：a＝﹣1或a＝4，
经检验a＝4是增根，分式方程的解为a＝﹣1，
当a＝﹣1时，由a＜x≤b只有2个整数解，得到1≤b＜2．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
A．6.5（1﹣x）2＝5.265 B．6.5（1+x）2＝5.265
C．5.265（1﹣x）2＝6.5 D．5.265（1+x）2＝6.5
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】首先根据降低率表示出2019年的用水量，然后表示出2020年的用水量，令其等5.265即可列出方程．
【解答】解：设该市用水总量的年平均降低率是x，
则2019年的用水量为6.5（1﹣x），
2020年的用水量为6.5（1﹣x）2，
故选：A．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
19．如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（ ）
A．cm B．3cm C．4cm D．6cm
【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】由图2可知，AB＝acm，BC＝4cm，当点P到达点B时，△APC的面积为6cm2，可得出等式•a•4＝6，求出a的值，即线段AB的长．
【解答】解：由图2可知，AB＝acm，BC＝4 cm，当点P到达点B时，△APC的面积为6cm2，
∴•AB•BC＝6，即•a•4＝6，
解得a＝3 cm．
即AB的长为3cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题关键．
20．如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．则下列结论正确的有（ ）
①2a+b＝0；
②函数y＝ax2+bx+c的最大值为﹣4a；
③若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1无实数根，则；
④代数式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＜0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；根的判别式．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】①正确．利用抛物线的对称轴公式求解；
②正确．把问题转化为一元二次方程，利用判别式＜0，解不等式即可；
③正确．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），当x＝1时，y的值最大，最大值为﹣4a；
④错误．根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，当x＝﹣1的情况一一判断即可求解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故①正确．
∵抛物线交x轴于点（﹣1，0），（3，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
当x＝1时，y的值最大，最大值为﹣4a，故②正确．
∵ax2+bx+c＝a+1无实数根，
∴a（x+1）（x﹣3）＝a+1无实数根，
∴ax2﹣2ax﹣4a﹣1＝0，Δ＜0，
∴4a2﹣4a（﹣4a﹣1）＜0，
∴a（5a+1）＜0，
∴﹣＜a＜0，故③正确，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
∴b﹣c＝a，
∴a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0，
∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，
21．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】由勾股定理求出CE的长，再由垂径定理得到CD＝2CE，即可解决问题．
【解答】解：∵直径AB垂直于弦CD，
∴CD＝2CE，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠A＝22.5°，
∴∠COE＝∠A+∠OCA＝45°，
∴△COE是等腰直角三角形，
∴CE＝OE，
∵CE2+OE2＝OC2，
∴2CE2＝42，
∴CE＝2，
∴CD＝2CE＝4．
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出CE的长．
22．凉山会理某天最高气温﹣1℃，最低气温﹣3℃，这一天温差是多少？（ ）
A．﹣1℃ B．﹣3℃ C．2℃ D．﹣2℃
【考点】有理数的减法；正数和负数．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】用最高温度减去最低温度，根据有理数的减法法则计算可得．
【解答】解：这一天的温差为﹣1﹣（﹣3）＝﹣1+3＝2（℃），
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的减法，解题的关键是掌握有理数的减法法则．
23．2021年会理市石榴种植面积达到40万亩，用科学记数法表示数40万亩为（ ）
A．40×103亩 B．40×104亩 C．4×105亩 D．4×104亩
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：40万亩＝400000亩＝4×105亩．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
24．如果单项式﹣2xmy2与单项式﹣8x4yn是同类项，那么mn的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【考点】算术平方根；同类项；平方根．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，由此求出m，n即可计算．
【解答】解：∵单项式﹣2xmy2与单项式﹣8x4yn是同类项，
∴m＝4，n＝2，
∴mn＝4×2＝8，
∴mn的平方根是±＝±2．
故选：C．
【点评】本题考查平方根，同类项，关键是掌握平方根和同类项的定义．
25．如果等式成立，则xy的值分别是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得：x＝3，
则y＝﹣2，
∴xy＝3﹣2＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
26．一组数据x1，x2，x3……xn，它的平均数是8，方差是2．另一组数据2x1，2x2，2x3……2xn，它的平均数和方差分别是（ ）
A．16，2 B．16，8 C．8，4 D．16，4
【考点】方差；算术平均数．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3……xn，平均数是8，
∴数据2x1，2x2，2x3……2xn，的平均数是2×8＝16，
∵数据2x1，2x2，2x3……2xn，的方差是2，
∴数据2x1，2x2，2x3……2xn，的方差是2×22＝8．
故选：B．
【点评】此题考查了算术平均数和方差的特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．
27．已知△ABC∽△DEF，若，则△ABC与△DEF的面积之比（ ）
A． B． C． D．2
【考点】相似三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴＝＝2，
∴△ABC与△DEF的面积比是2，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，而不等于相似比，题目比较典型，难度不大．
28．直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x+2的图象互相平行，且与y轴交于（0，4），则直线y＝kx+b与坐标轴围成的面积是（ ）
A． B．8 C． D．
【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x+2的图象互相平行，且与y轴交于4，即可得到k，b的值，即可求得直线y＝kx+b与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x+2的图象互相平行，
∴k＝﹣3，
∵与y轴交于（0，4），
∴b＝4，
∴这条直线的解析式为y＝3x+4，
令y＝0，则3x+4＝0，解得x＝﹣，
∴直线y＝3x+4与x轴的交点为（﹣，0），
∴直线y＝kx+b与坐标轴围成的面积是＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了两直线平行问题的运用，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得直线的解析式是解题的关键．
二．填空题（共11小题）
29．分解因式：a2b3﹣2ab2＝ ab2（ab﹣2） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【答案】ab2（ab﹣2）．
【分析】提取公因式ab即可因式分解．
【解答】解：a2b3﹣2ab2＝ab2（ab﹣2）．
故答案为：ab2（ab﹣2）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．
30．如图，AB是⊙O的直径，C是上一点，D是上一点，且OD∥AC，若∠CBD＝20°，则∠A＝ 40° ．
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【答案】40°．
【分析】由圆周角定理求出∠COD的度数，由平行线的性质，得到∠ACO＝∠COD，由等腰三角形的性质即可得到答案．
【解答】解：连接OC，
∵∠CBD＝∠COD，∠CBD＝20°，
∴∠COD＝2×20°＝40°，
∵OD∥AC，
∴∠ACO＝∠COD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠A＝∠COD＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质，关键是掌握圆周角定理．
31．计算：＝ x+2 ．
【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据同分母分式的加减法法则计算，注意结果要化简．
【解答】解：＝＝x+2．故答案为x+2．
【点评】本题主要考查了同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
32．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 a≥﹣2且a≠1 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解这个分式方程得x＝，再根据分式方程的解的定义得≥0且≠1，从而解决此题．
【解答】解：，
去分母，得x＝a﹣2（x﹣1）．
去括号，得x＝a﹣2x+2．
移项，得x+2x＝a+2．
合并同类项，得3x＝a+2．
x的系数化为1，得x＝．
∵关于x的分式方程的解为非负数，
∴≥0且≠1．
∴a≥﹣2且a≠1．
故答案为：a≥﹣2且a≠1．
【点评】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解决本题的关键．
33．如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝70°，则∠EGF的度数是 35° ．
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【答案】35°．
【分析】先根据角平分线的定义求出∠GFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵FG平分∠EFD，∠EFD＝70°，
∴∠GFD＝∠EFD＝×70°＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠GFD＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
34．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．河的宽度是 （30+30）米 ．
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【答案】（30+30）米．
【分析】分别过点A、AD与BC交点H，作直线CD的垂线AE、HF，垂足分别为E、F．构造特殊三角形，再利用平行线性质列比例式，求出河宽AE的长．
【解答】解：分别过点A、AD与BC交点H，作直线CD的垂线AE、HF，垂足分别为E、F．
∵∠BCD＝120°，∠ADC＝30°，CD＝60m，
∴∠CHD＝30°，
∴CH＝CD＝60m，
∴Rt△HFC中，∠HCF＝60°，∠FHC＝30°，
∴FH＝HC＝30m，FC＝HC＝30m，
设河宽AE＝x米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝45°，
∴AE＝EC＝x，
∴＝，即＝，
解得：x＝30+30，
∴河的宽度是（30+30）米．
故答案为：（30+30）米．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是通过构造特殊三角形，利用平行线的性质列比例式．
35．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，cos∠AIE＝ ．
【考点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】延长ID到M，使DM＝ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题．
【解答】解：延长ID到M，使DM＝ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，
∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC＝∠DCI，
∴DI＝DC＝DM，
∴∠ICM＝90°，
∴CM＝＝8，
∵AI＝2CD＝10，
∴AI＝IM，
∵AE＝EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IE＝CM＝4，IM∥CM，
∴∠AIE＝∠M，
∴cos∠AIE＝cosM＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝4，分别以点C，B为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点P、Q，作直线PQ交AB、BC于点M、N，连接CM，则CM＝ ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】由作法得MN垂直平分BC，则CN＝BN＝2，MN⊥BC，所以MN为△ABC的中位线，MN＝AC，根据勾股定理求出CM的长．
【解答】解：由作法得MN垂直平分BC，
∴CN＝BN＝2，MN⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴MN∥AC，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN＝AC＝1，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题的关键．
37．如图所示，⊙O中AF＝AB，∠FDA＝36°，∠BAD＝46°，则∠ACB＝ 36° ．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【答案】36°．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得，再根据等弧所对圆周角相等即可求解．
【解答】解：∵AF＝AB，
∴，
∴∠FDA＝∠ACB，
∵∠FDA＝36°，
∴∠ACB＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是掌握与圆有关的概念和性质
38．如图在△ACE中，DF∥AC且DF＝AB，BD＝2，EF＝3，则＝ ．
【考点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】根据平行四边形的性质得到AF＝BD＝2，BD∥AE，证明△CBD∽△CAE，根据相似三角形的对应边的比相等解答即可．
【解答】解：∵DF∥AC，DF＝AB，
∴四边形AFDB为平行四边形，
∴AF＝BD＝2，BD∥AE，
∴△CBD∽△CAE，AE＝AF+EF＝5，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
39．填空题．
（1）如图1，已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A、B两点，若点B的坐标是（2，3），则点A的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
（2）如图2，在菱形ABCD中，两条对角线AC、BD交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是边BC上一点，当OE＝OB时，CE的长为 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【答案】（1）（﹣2，﹣3）．
（2）．
【分析】（1）反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA，OD，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据三角形面积公式求得OM，再利用勾股定理列式求出BM，即可BE，进一步求得CE．
【解答】解：（1）根据题意，知点A与B关于原点对称，
∵点A的坐标是（2，3），
∴B点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故答案为（﹣2，﹣3）；
（2）∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB＝BD＝6＝3，OC＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，BC＝＝＝5，
作OM⊥BC于M，
∵OE＝OB，
∴BM＝EM，
∵S△BOC＝OB•OC＝BC•OM，
∴OM＝＝＝，
由勾股定理得，BM＝＝＝，
∴EM＝，
∴BE＝，
∴CE＝5﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数图象的中心对称性，关于原点对称的两点的横、纵坐标分别互为相反数．
三．解答题（共14小题）
40．2023年3月5日是第60个学雷锋纪念日，某校为弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿精神，开展了“我为社区出份力”活动，学生可报名参加以下四类活动之一：A宣传公益，B清洁街道，C摆放车辆，D关爱老人，根据报名结果，绘制了不完整的统计图：
根据统计图表提供的信息，解容下列问题：
（1）本次活动共有 50 名学生报名参加，扇形统计图中m的值为 20 ；
（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中D对应的圆心角度数；
（3）活动结束后，需从四类活动中随机选择两类活动做汇报，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的概率．
【考点】列表法与树状图法；统计表；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【答案】（1）50、20；
（2）补全图形见解答，86.4°；
（3）．
【分析】（1）由B活动人数及其所占百分比可得总人数，用A活动人数除以总人数可得m的值；
（2）根据四个活动人数之和等于总人数可得C人数，从而补全图形，用360°乘以D活动人数所占比例可得答案；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）报名的学生人数为18÷36%＝50（名），
m%＝10÷50×100%＝20%，即m＝20，
故答案为：50、20；
（2）C活动人数为50﹣（10+18+12）＝10（人），
补全图形如下：
扇形统计图中D对应的圆心角度数为360°×＝86.4°；
（3）列表如下：
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由表知，共有12种等可能结果，其中恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的有2种结果，
所以恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的概率为＝．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，列表法或树状图法求解答随机事件的概率，掌握频率＝频数÷总数是正确计算的前提，列举出所有可能出现的结果情况是正确求出概率的关键．
41．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为上一点，且，连接BF并延长交射线DC于点E．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）若，DA＝2，求⊙O的半径和EF的长．
【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为3，EF＝．
【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质解答即可；
（2）设DC＝5a，则EC＝3a，DE＝8a，设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝2+r，DB＝2+2r，利用相似三角形的判定与性质列出比例式求得圆的半径和线段BE的长；连接AF，利用相似三角形的判定与性质证得△BAF∽△BDE，列出比例式求得BF，则EF＝BE﹣BF．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵，
∴∠ABC＝∠EBC．
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠EBC，
∴OC∥BE．
∵ED为O的切线，
∴OC⊥DE，
∴DE⊥BE；
（2）解：∵，
∴设DC＝5a，则EC＝3a，
∴DE＝8a．
设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝2+r，DB＝2+2r．
∵OC∥BE，
∴△DCO∽△DEB，
∴，
∴，
∴r＝3．
∴⊙O的半径为3；
∴AB＝6，DB＝8．
∵△DCO∽△DEB．
∴，
∴BE＝．
连接AF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF⊥BE．
∵DE⊥BE，
∴AF∥DE，
∴△BAF∽△BDE，
∴，
∴，
∴BF＝，
∴EF＝BE﹣BF＝．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和线段AF是解决此类问题常添加的辅助线．
42．2023年3月，成都市政府印发《成都市促进新能源汽车产业发展的实施意见》，其中大力促进新能源汽车消费成为抓手之一．已知某商家对一款新能源汽车进行销售，市场调研发现：月销量y（单位：辆）与销售价x（单位：万元/辆，且14≤x≤21）满足一次函数关系，部分数据如表：
x
16
17
18
19
20
y
30
27
24
21
18
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若商家购进这款汽车的价格为12万元，试问：当x为多少时，总利润最大？并求出此时利润的最大值．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝﹣3x+78（14≤x≤21）；
（2）当x为19万元时，总利润最大，利润最大为147万．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y与x的函数关系式为y＝﹣3x+78（14≤x≤21）；
（2）设利润为W万元，可得W＝（x﹣12）（﹣3x+78）＝﹣3x2+114x﹣936＝﹣3（x﹣19）2+147，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（16，30），（17，27）代入得：
，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣3x+78（14≤x≤21）；
（2）设利润为W万元，
根据题意得：W＝（x﹣12）（﹣3x+78）＝﹣3x2+114x﹣936＝﹣3（x﹣19）2+147，
∵﹣3＜0，
∴当x＝19时，W取最大值，最大值为147，
答：当x为19万元时，总利润最大，利润最大为147万．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
43．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AE＝3，EF＝1，求⊙O的半径及sin∠ABC的值．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由AB＝AC，得∠B＝∠C，即可得∠C＝∠ODB，故OD∥AC，而DF⊥AC，有DF⊥OD，即知DF为⊙O的切线；
（2）连接DE，AD，由∠DEF＝∠ABC，可得∠DEC＝∠C，DE＝DC，而DF⊥EF，故DF是△DEC的中线，可得EF＝FC＝1，AF＝4，AC＝AF+CF＝5，即得AB＝5，⊙O的半径为2.5；证明△ADF∽△DCF，可得DF2＝AF•CF＝4，DF＝2，在Rt△ADF中，AD＝＝2，得sinC＝＝，从而sin∠ABC＝．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：连接DE，AD，
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠ABC+AED＝180°，
∵∠DEF+∠AED＝180°，
∴∠DEF＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形，
又∵DF⊥EF，
∴DF是△DEC的中线，
∴EF＝FC＝1，AF＝4，
∴AC＝AF+CF＝5，
∴AB＝5，
∴⊙O的半径为2.5；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ADC，
∴∠DAF＝90°﹣∠ADF＝∠FDC，
∴△ADF∽△DCF，
∴＝，
∴DF2＝AF•CF＝4×1＝4，
∴DF＝2，
在Rt△ADF中，
AD＝＝2，
∴sinC＝＝，
∴sin∠ABC＝．
答：⊙O的半径为2.5，sin∠ABC的值是．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的相似和判定，切线的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
44．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与反比例函数的图象交于点A（1，a）和点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，若点C为线段AB上一点，过点C作CD∥x轴交双曲线于点D，连接OC，OD，若△OCD的面积为，求点C的坐标；
（3）如图2，连接AO，并延长AO至点E，使EO＝AO，作∠OAB的平分线AF交x轴于点F，过点E作EH⊥AF于点H，求点H的坐标．
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△OCD的面积＝CD×yC＝（6﹣t﹣）×t＝，即可求解；
（3）证明OH是△EAG的中位线，得到OA＝OH，进而求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：a＝﹣1+6＝5，
即点A（1，5），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×5＝5，
即反比例函数的表达式为：y＝；
（2）设点C（6﹣t，t），则点D（，t），
则△OCD的面积＝CD×yC＝（6﹣t﹣）×t＝，
解得：t＝2或4，
即点C的坐标为：（4，2）或（2，4）；
（3）延长EH交AB于点G，
∵AF是∠EAG的角平分线且AH⊥EH，
∴△AEG为等腰三角形，则点H是EG的中点，
∵EO＝AO，即点O是AE的中点，则OH是△EAG的中位线，
则OH∥AG，
则∠OHA＝∠HAG，
又∵AF是∠EAG的角平分线，则∠EAH＝∠GAH，
∴∠EAH＝∠OFH，即OA＝OH，
∵OH∥AB，
故直线OH的表达式为：y＝﹣x，设点H（m，﹣m），
∵OA＝OH，即12+52＝m2+m2，
解得：m＝（负值已舍去），
即点H（，﹣）．
【点评】本题为反比例函数综合题，涉及到图形面积的计算、平行线的性质、等腰三角形的性质、一次函数的性质等，综合性强，难度适中．
45．在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线y＝ax+1与抛物线交于C，D两点（点D在第一象限）．
（1）如图，当点C与点A重合时，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，连接BD，点E在抛物线上，若∠DAE＝∠ADB，求出点E的坐标；
（3）将抛物线L向上平移1个单位得到抛物线L1，抛物线L1的顶点为P，直线y＝ax+1与抛物线L1交于M，N两点，连接MP，NP，若∠MPN＝90°，求a的值．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）E（，）或E（8，45）．
（3）a＝．
【分析】（1）将抛物线化为交点式，即得A，B的坐标，点C的坐标，代入直线解析式求出a，得到结果．
（2）分类讨论：①当点E在AD下方时，E在AD的中垂线上，求出AD解析式，得到中垂线解析式与抛物线解析式联立即可求出结果．②当点E在AD上方时，AE∥BD，由BD解析式得到AE解析式联立方程即可求出结果．
（3）由抛物线解析式求出L1得解析式，求得点PD的坐标，再联立方程求出M，N的坐标，由勾股定理MP2+NP2＝MN2代入计算即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
当C与A重合时，C（﹣1，0），
代入直线y＝ax+1得，
﹣a+1＝0，
∴a＝1，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）在（1）的条件下，y＝x+1，
①如图1，当点E在AD下方时，
联立解得，
，，
∴D（4，5），
∵∠DAE＝∠ADB，
∴AE＝AD，
∴点E在AD的中垂线上，
设AD的中点为F，则F（，），
设直线EF：y＝﹣x+b，
代入得，
b＝4，
∴EF：y＝﹣x+4，
联立解得，
x＝，
∴E（，）．
②如图2，当点E在AD上方时，
∵∠DAE＝∠ADB，
∴AE∥BD，
∵（3，0），D（4，5），
∴BD：y＝5x﹣15，
设直线AE：y＝5x+m，
代入A（﹣1，0），解得，m＝5，
∴AE：y＝5x+5．
联立解得，
x1＝﹣1，x2＝8，
∵xE＞0，
∴E（8，45），
总上，E（，）或E（8，45）．
（3）如图3，抛物线L1：y＝a（x﹣1）2﹣4a+1，
∴P（1，1﹣4a），
联立得，
x＝，
∴M（，a+1），N（，a+1），
∵∠MPN＝90°，
∴由勾股定理得，
MP2+NP2＝MN2，
MP2＝（﹣1）2+（a+1﹣1+4a）2＝+a2，
NP2＝（﹣1）2+（a+1﹣1+4a）2＝+a2，
MN2＝（﹣）2+（a+1﹣a﹣1）2＝21+21a2，
化简得，a2＝，
∵a＞0，
∴a＝．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数的解析式的求法，交点坐标的求法，勾股定理等知识点，是一道综合性较强的题目，注重数形结合，正确分类讨论，具有较强的数学运算能力是解决问题的关键．
46．2022年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有3000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
（3）请你根据本次问卷调查的结果给学校各提一条合理化建议．
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数；调查收集数据的过程与方法；用样本估计总体．菁优网版权所有
【答案】（1）21%；
（2）480人；
（3）见解答．
【分析】（1）根据直方图中的数据，可以计算出本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比；
（2）根据扇形统计图中的数据，可以计算出最喜欢的劳动课程为木工的有多少人；
（3）本题答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1）×100%＝21%，
即本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为21%；
（2）3000×（1﹣27%40%﹣7%﹣10%）
＝3000×16%
＝480（人），
即估计最喜欢的劳动课程为木工的有480人；
（3）建议：学校要鼓励学生们积极参加学校的劳动教育课程，说明劳动最光荣，对学生的身心发展都是有益的；学校可以增设一些学生们感兴趣的劳动课程，这样可以使更多的学生参加劳动．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
47．如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点A（﹣1，n），直线l'经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点另一点B，P在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）反比例函数的解析式是（x＜0）；
（2）∴阴影部分的面积为2；
（3）P点的坐标为（﹣2，﹣2）、（2，2）、（﹣4，4）．
【分析】（1）根据直线l过A点，可算出A点坐标，将A点坐标代入反比例函数中，得到反比例函数解析式，
（2）根据直线l'与直线l是关于x＝﹣1对称的，可以得到直线l'的表达式为y＝﹣x+b，将A点代入直线l'的表达式，求出直线l’的解析式，从而求出l'与x轴y轴的交点坐标，从而求出阴影部分面积，
（3）根据直线l和反比例函数的解析式，可以得到B点坐标，通过ABO三点，根据平行四边形的性质，得到对应的P点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，n）代入y＝x+4中，
得n＝﹣1+4，
n＝3，
∴A（﹣1，3），将A代入反比例函数中，
得3＝，
k＝﹣3
反比例函数的解析式是（x＜0）；
（2）∵直线l'与直线l关于x＝﹣1对称，
∴直线l'的解析式为：y＝﹣x+b，
将A点代入，得：3＝﹣（﹣1）+b，
b＝2，
∴直线l'的解析式为：y＝﹣x+2，
∴可得M（0，2）、N（2，0），
∴OM＝2，ON，2，
∴S阴影＝×2×2＝2，
（3）x+4＝，
x＝﹣1或x＝﹣3，
当x＝﹣3是，y＝＝1，
∴B（﹣3，1），
∴四边形ABOP是平行四边形，则如图所示，
当AB为平行四边形一边时，
则OP∥AB，
∴OP的直线表达式为y＝x，
∵A（﹣1，3）、B（﹣3，1），O（0，0），
∴①当平行四边形为ABP1O时，
P1点的横坐标为0﹣[﹣1﹣（﹣3）]＝﹣2，
P1点的纵坐标为0﹣（3﹣1）＝﹣2，
∴P1点的坐标为（﹣2，﹣2），
②当平行四边形为ABOP2时，
P2点的横坐标为0+[﹣1﹣（﹣3）]＝2，
P2点的纵坐标为0+（3﹣1）＝2，
∴P2点的坐标为（2，2），
③当AB为平行四边形的对角线时，
平行四边形AP3BO时，
P3点的横坐标为﹣3﹣[0﹣（﹣1）]＝﹣4，
P3点的纵坐标为1﹣（0﹣3）＝4，
∴P3点的坐标为（﹣4，4）．
【点评】本题主要考查反比例函数的解析式，一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点间的距离，两点间的位置关系．
48．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC，BD交于点O，AO＝CO，且AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求△ACE的面积．
【考点】菱形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）证明△AOB≌△COD（ASA），由全等三角形的性质得出BO＝DO，由平行四边形的判定及菱形的判定可得出结论；
（2）由勾股定理求出OA＝2，根据菱形的面积可求出CE的长，根据三角形面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AO＝CO，∠AOB＝∠COD，
在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴BO＝DO，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴DA＝DC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝1，
∵AB＝，
∴AO＝＝2，
∴AC＝2OA＝4，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝CE＝4，
∴CE＝，
∴AE＝，
∴△ACE的面积＝AE•CE＝．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
49．某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件数）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的几组对应值如表所示：
销售单价x（元/件）
55
60
70
…
销售量y（件）
70
60
40
…
（1）直接写出y（件）与x（元/件）之间的函数表达式 y＝﹣2x+180 ；
（2）求销售单价定为多少时，当天的销售利润是1050元？
（3）销售过程中要求走出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）y＝﹣2x+180；
（2）75元或55元；
（3）销售单价定为60元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1200元．
【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，进行求解即可；
（3）设总利润为w元，求出w与x的解析式，利用二次函数的性质，求最值即可．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），
由题意得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+180；
（2）由题意得：（﹣2x+180）（x﹣40）＝1050，
整理，得：x2﹣130x+4125＝0，
解得：x1＝75，x2＝55，
∴销售单价定为75元或55元时，当天的销售利润是1050元；
答：销售单价定为75元或55元时，当天的销售利润是1050元．
（3）设总利润为w元，由题意，得：w＝（﹣2x+180）（x﹣40）＝﹣2x2+260x﹣7200＝﹣2（x﹣65）2+1250；
∵a＝﹣2＜0，对称轴为直线：x＝65，
∴抛物线开口向下，在对称轴的左侧，w随x的增大而增大，
∵销售过程中要求走出的商品数不少于60件，
∴y≥60，
即﹣2x+180≥60，
∴x≤60，
∴当x＝60时，利润最大为：﹣2（60﹣65）2+1250＝1200；
答：销售单价定为60元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1200元．
【点评】本题考查二次函数的综合应用．根据题意，正确的列出一元二次方程和二次函数关系式，是解题的关键．
50．如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，分别交AB、AF的延长线于点C、D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD＝，求BC的长．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【答案】（1）见解析；
（2）BC的长为．
【分析】（1）连接OE，由题意可证OE∥AD，且DE⊥AF，即OE⊥DE，则可证CD是⊙O的切线；
（2）连接BE，证明△ADE∽△AEB，得到＝＝，根据tan∠EAD＝，在△ABE中，利用勾股定理求出BE和AE，可得AD和DE，再证明△COE∽△CAD，得到，设BC＝x，解方程即可求出BC．
【解答】解：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE＝∠DAE，
∴∠OEA＝∠EAD，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BE，∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠D，
又∠DAE＝∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴＝＝，
∵tan∠EAD＝，
∴＝＝，
则AE＝BE，又AB＝10，
在△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即（BE）2+BE2＝102，
解得：BE＝6，则AE＝8，
∴＝＝，
解得：AD＝，DE＝，
∵OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴＝，
设BC＝x，
∴＝，
解得：x＝
经检验：x＝是原方程的解，
故BC的长为．
【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，作出辅助线，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
51．解方程组：．
【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】先整理方程组，然后运用加减消元法解答即可．
【解答】解：，
整理得，
①+②得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：3+y＝4，
解得：y＝1，
所以方程组的解为．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．
52．小米和小明玩游戏：袋子中1个红球，2个篮球和3个黄球，它们只有颜色上不同外，其它都相同，随机摸2个球不放回，摸到1红球1蓝球时小米胜，摸到2个黄球时小明胜，摸到其它的算平局，这个游戏公平吗（列表法或树状图完成），如果不公平，怎么才能使游戏公平？
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【答案】这个游戏不公平，随机摸2个球不放回，摸到1红球1黄球时小米胜，摸到2个黄球时小明胜，摸到其它的算平局．（修改规则不唯一）．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式分别计算出两人获胜的概率，比较是否相等即可得出答案．
【解答】解：这个游戏不公平，
列表如下：
红
蓝
蓝
黄
黄
黄
红
（蓝，红）
（蓝，红）
（黄，红）
（黄，红）
（黄，红）
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
（黄，蓝）
（黄，蓝）
（黄，蓝）
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
（黄，蓝）
（黄，蓝）
（黄，蓝）
黄
（红，黄）
（蓝，黄）
（蓝，黄）
（黄，黄）
（黄，黄）
黄
（红，黄）
（蓝，黄）
（蓝，黄）
（黄，黄）
（黄，黄）
黄
（红，黄）
（蓝，黄）
（蓝，黄）
（黄，黄）
（黄，黄）
由表知，共有30种等可能结果，其中摸到1红球1蓝球有4种结果，摸到2个黄球有6种结果，
所以小米获胜的概率为＝，小明获胜的概率为＝，
∵≠，
∴此游戏不公平；
修改规则：随机摸2个球不放回，摸到1红球1黄球时小米胜，摸到2个黄球时小明胜，摸到其它的算平局．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
53．某服装店销售某种衣服，其成本为每件60元，当售价为每件100元时，每月可销售120件．由于疫情的影响，库存积压严重，为了减少库存，该服装店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降5元，则每月可多销售20件．设每件的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当销售单件降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝﹣4x+520；
（2）当销售单件降低5元时，每月获得的利润最大，最大利润是4900元．
【分析】（1）根据售价为每件100元时，每月可销售120件，销售单价每降5元，则每月可多销售20件，列出函数解析式；
（2）设每月的利润为w元，根据每月获得利润＝单件利润×月销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）由题意得：y＝120+×20＝120+4（100﹣x）＝﹣4x+520，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣4x+520；
（2）设每月的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣60）y＝（x﹣60）（﹣4x+520）＝﹣4x2+760x﹣31200＝﹣4（x﹣95）2+4900，
∵﹣4＜0，
∴当x＝95时，w有最大值，最大值4900，
销售单价降低100﹣95＝5（元），
答：当销售单件降低5元时，每月获得的利润最大，最大利润是4900元．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
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一．选择题（共28小题）
1．2023年2月15日，春运落下帷幕，在人流不息的画卷里，“流动的中国”活力无限，交通运输部相关负责人表示，2023年春运全社会人员流动量约47.33亿人次，比2022年同期增长50.5%，将数据47.33亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.733×10 B．0.4733×102 C．4.733×108 D．4.733×109
2．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．b6÷b2＝b3 B．（﹣ab）3•a2b＝﹣a3b4
C．xy﹣3yx＝﹣2xy D．（2x﹣3）2＝4x2﹣9
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC与矩形OA′B′C′位似，位似中心是原点O，若点B（2，1），B′（4，2），则矩形OABC与矩形OA′B′C′的面积比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：9 D．1：3
5．国际数学奥林匹克竞赛旨在激发全球青年人的数学才能，中国代表队近六届竞赛的金牌数（单位：枚）分别为6，6，4，5，4，4，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．方差是0.5 B．众数是6
C．中位数是4.5 D．平均数是4.8
6．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，其顶点坐标为（2，﹣1），下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．当x＞5时，y随x的增大而减小
C．点B的坐标为（3，0）
D．16a+4b+c＜0
8．已知直线m∥n，将含有30°的直角三角尺ABC按如图方式放置（∠CAB＝30°），其中A，C两点分别落在直线m，n上，若∠1＝35°．则∠2的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
9．若△ABC∽△DEF，且，若△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A． B． C．6 D．18
10．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．关于二次函数y＝x2+4x+5，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴右侧
B．y的最小值为5
C．图象与x轴有两个交点
D．当x＞2时，y的值随x的值的增大而增大
12．﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
13．我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣6 C．3×10﹣6 D．3×107
14．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4﹣π D．
16．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
17．已知方程，且关于x的不等式a＜x≤b只有2个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A．1＜b≤2 B．2＜b≤3 C．1≤b＜2 D．2≤b＜3
18．某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
A．6.5（1﹣x）2＝5.265 B．6.5（1+x）2＝5.265
C．5.265（1﹣x）2＝6.5 D．5.265（1+x）2＝6.5
19．如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（ ）
A．cm B．3cm C．4cm D．6cm
20．如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．则下列结论正确的有（ ）
①2a+b＝0；
②函数y＝ax2+bx+c的最大值为﹣4a；
③若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1无实数根，则；
④代数式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＜0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
22．凉山会理某天最高气温﹣1℃，最低气温﹣3℃，这一天温差是多少？（ ）
A．﹣1℃ B．﹣3℃ C．2℃ D．﹣2℃
23．2021年会理市石榴种植面积达到40万亩，用科学记数法表示数40万亩为（ ）
A．40×103亩 B．40×104亩 C．4×105亩 D．4×104亩
24．如果单项式﹣2xmy2与单项式﹣8x4yn是同类项，那么mn的平方根是（ ）
A． B． C． D．
25．如果等式成立，则xy的值分别是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．
26．一组数据x1，x2，x3……xn，它的平均数是8，方差是2．另一组数据2x1，2x2，2x3……2xn，它的平均数和方差分别是（ ）
A．16，2 B．16，8 C．8，4 D．16，4
27．已知△ABC∽△DEF，若，则△ABC与△DEF的面积之比（ ）
A． B． C． D．2
28．直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x+2的图象互相平行，且与y轴交于（0，4），则直线y＝kx+b与坐标轴围成的面积是（ ）
A． B．8 C． D．
二．填空题（共11小题）
29．分解因式：a2b3﹣2ab2＝ ．
30．如图，AB是⊙O的直径，C是上一点，D是上一点，且OD∥AC，若∠CBD＝20°，则∠A＝ ．
31．计算：＝ ．
32．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 ．
33．如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝70°，则∠EGF的度数是 ．
34．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．河的宽度是 ．
35．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，cos∠AIE＝ ．
36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝4，分别以点C，B为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点P、Q，作直线PQ交AB、BC于点M、N，连接CM，则CM＝ ．
37．如图所示，⊙O中AF＝AB，∠FDA＝36°，∠BAD＝46°，则∠ACB＝ ．
38．如图在△ACE中，DF∥AC且DF＝AB，BD＝2，EF＝3，则＝ ．
39．填空题．
（1）如图1，已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A、B两点，若点B的坐标是（2，3），则点A的坐标是 ．
（2）如图2，在菱形ABCD中，两条对角线AC、BD交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是边BC上一点，当OE＝OB时，CE的长为 ．
三．解答题（共14小题）
40．2023年3月5日是第60个学雷锋纪念日，某校为弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿精神，开展了“我为社区出份力”活动，学生可报名参加以下四类活动之一：A宣传公益，B清洁街道，C摆放车辆，D关爱老人，根据报名结果，绘制了不完整的统计图：
根据统计图表提供的信息，解容下列问题：
（1）本次活动共有 名学生报名参加，扇形统计图中m的值为 ；
（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中D对应的圆心角度数；
（3）活动结束后，需从四类活动中随机选择两类活动做汇报，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的概率．
41．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为上一点，且，连接BF并延长交射线DC于点E．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）若，DA＝2，求⊙O的半径和EF的长．
42．2023年3月，成都市政府印发《成都市促进新能源汽车产业发展的实施意见》，其中大力促进新能源汽车消费成为抓手之一．已知某商家对一款新能源汽车进行销售，市场调研发现：月销量y（单位：辆）与销售价x（单位：万元/辆，且14≤x≤21）满足一次函数关系，部分数据如表：
x
16
17
18
19
20
y
30
27
24
21
18
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若商家购进这款汽车的价格为12万元，试问：当x为多少时，总利润最大？并求出此时利润的最大值．
43．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AE＝3，EF＝1，求⊙O的半径及sin∠ABC的值．
44．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与反比例函数的图象交于点A（1，a）和点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，若点C为线段AB上一点，过点C作CD∥x轴交双曲线于点D，连接OC，OD，若△OCD的面积为，求点C的坐标；
（3）如图2，连接AO，并延长AO至点E，使EO＝AO，作∠OAB的平分线AF交x轴于点F，过点E作EH⊥AF于点H，求点H的坐标．
45．在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线y＝ax+1与抛物线交于C，D两点（点D在第一象限）．
（1）如图，当点C与点A重合时，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，连接BD，点E在抛物线上，若∠DAE＝∠ADB，求出点E的坐标；
（3）将抛物线L向上平移1个单位得到抛物线L1，抛物线L1的顶点为P，直线y＝ax+1与抛物线L1交于M，N两点，连接MP，NP，若∠MPN＝90°，求a的值．
46．2022年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有3000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
（3）请你根据本次问卷调查的结果给学校各提一条合理化建议．
47．如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点A（﹣1，n），直线l'经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点另一点B，P在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．
48．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC，BD交于点O，AO＝CO，且AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求△ACE的面积．
49．某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件数）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的几组对应值如表所示：
销售单价x（元/件）
55
60
70
…
销售量y（件）
70
60
40
…
（1）直接写出y（件）与x（元/件）之间的函数表达式 ；
（2）求销售单价定为多少时，当天的销售利润是1050元？
（3）销售过程中要求走出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
50．如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，分别交AB、AF的延长线于点C、D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD＝，求BC的长．
51．解方程组：．
52．小米和小明玩游戏：袋子中1个红球，2个篮球和3个黄球，它们只有颜色上不同外，其它都相同，随机摸2个球不放回，摸到1红球1蓝球时小米胜，摸到2个黄球时小明胜，摸到其它的算平局，这个游戏公平吗（列表法或树状图完成），如果不公平，怎么才能使游戏公平？
53．某服装店销售某种衣服，其成本为每件60元，当售价为每件100元时，每月可销售120件．由于疫情的影响，库存积压严重，为了减少库存，该服装店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降5元，则每月可多销售20件．设每件的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当销售单件降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共28小题）
1．2023年2月15日，春运落下帷幕，在人流不息的画卷里，“流动的中国”活力无限，交通运输部相关负责人表示，2023年春运全社会人员流动量约47.33亿人次，比2022年同期增长50.5%，将数据47.33亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.733×10 B．0.4733×102 C．4.733×108 D．4.733×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：47.33亿＝47.33×108＝4.733×109．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
2．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的虚线．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．下列计算正确的是（ ）
A．b6÷b2＝b3 B．（﹣ab）3•a2b＝﹣a3b4
C．xy﹣3yx＝﹣2xy D．（2x﹣3）2＝4x2﹣9
【考点】整式的混合运算．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：b6÷b2＝b4，故选项A错误，不符合题意；
（﹣ab）3•a2b＝﹣a3b3•a2b＝﹣a5b4，故选项B错误，不符合题意；
xy﹣3yx＝﹣2xy，故选项C正确，符合题意；
（2x﹣3）2＝4x2﹣12x+9，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC与矩形OA′B′C′位似，位似中心是原点O，若点B（2，1），B′（4，2），则矩形OABC与矩形OA′B′C′的面积比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：9 D．1：3
【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征得到相似比，然后根据相似多边的面积的比等于相似比求解．
【解答】解：∵矩形OABC与矩形OA′B′C′位似，位似中心是原点O，
而点B（2，1），B′（4，2），
∴它们的相似比为1：2，
∴矩形OABC与矩形OA′B′C′的面积比为1：4．
故选：A．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
5．国际数学奥林匹克竞赛旨在激发全球青年人的数学才能，中国代表队近六届竞赛的金牌数（单位：枚）分别为6，6，4，5，4，4，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．方差是0.5 B．众数是6
C．中位数是4.5 D．平均数是4.8
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据方差、众数、中位数及平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为4，4，4，5，6，6，
∴这组数据的众数是4，
中位数是＝4.5，
平均数为＝，
方差为[]＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数及平均数的定义．
6．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，还多18钱，列二元一次方程组即可．
【解答】解：根据题意，得，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，数学常识，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，其顶点坐标为（2，﹣1），下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．当x＞5时，y随x的增大而减小
C．点B的坐标为（3，0）
D．16a+4b+c＜0
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据抛物线的对称性求得B的坐标即可判断C；根据抛物线与x轴有两个交点且顶点直线x轴的下方即可判断A；根据二次函数的性质即可判断B；由x＝4时，y＜0即可判断D．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，其顶点坐标为（2，﹣1），
∴对称轴为直线x＝2，
∴B（5，0），故C错误，不合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（5，0），其顶点坐标为（2，﹣1），
∴抛物线开口向上，
∴a＞0，故A错误，不合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴当x＞5时，y随x的增大而增大，故B错误，不合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（5，0），
∴x＝4时，y＜0，
∴16a+4b+c＜0，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8．已知直线m∥n，将含有30°的直角三角尺ABC按如图方式放置（∠CAB＝30°），其中A，C两点分别落在直线m，n上，若∠1＝35°．则∠2的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】由题意可得∠ACB＝90°，则可求得∠ACD＝125°，再由平行线的性质可求得∠CAE＝55°，即可求∠2的度数．
【解答】解：如图，
由题意得：∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∵∠1＝35°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠1＝125°，
∵m∥n，
∴∠CAE+∠ACD＝180°，
∴∠CAE＝180°﹣∠ACD＝55°，
∴∠2＝∠CAE﹣∠CAB＝25°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
9．若△ABC∽△DEF，且，若△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A． B． C．6 D．18
【考点】相似三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】直接利用相似三角形的性质，结合相似三角形的周长比等于相比，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且，
∴△DEF与△ABC的相似比为：3：1，
∵△ABC的周长为2，
∴△DEF的周长为：2×3＝6．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的周长比等于相比是解题关键．
10．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，
由题意得：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
11．关于二次函数y＝x2+4x+5，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴右侧
B．y的最小值为5
C．图象与x轴有两个交点
D．当x＞2时，y的值随x的值的增大而增大
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】将二次函数表达式化为顶点式或交点式，即可进行解答．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴x＝﹣2，顶点为（﹣2，1），
∴函数有最小值1，当x＞﹣2时，y的值随x的值的增大而增大，
故A、B、D不正确，不符合题意；
∵y＝x2+4x+5＝（x+5）（x+1），
∴图象与x轴的交点坐标为（﹣5，0）和（﹣1，0），
故C正确，符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质，解题的关键是掌握将二次函数表达式化为顶点式的方法．y＝（x﹣h）2+k的对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）；a＞0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a＜0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
12．﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】实数的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：A．
【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．
13．我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣6 C．3×10﹣6 D．3×107
【考点】科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法可以表示0.0000003得：3×10﹣7；
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
15．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4﹣π D．
【考点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算；切线的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，利用面积公式求出内切圆半径，r＝＝2，再说明四边形OFCE是正方形，得S阴影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝4﹣＝4﹣π，
【解答】解：连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
∴AC⊥OF，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，
∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO
∴＝，
∴r＝＝2，
∵∠C＝90°，∠OFC＝∠OEC＝90°，OF＝OE
∴四边形OFCE是正方形，
∴∠FOE＝90°，
∴S阴影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝4﹣＝4﹣π，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径．
16．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．已知方程，且关于x的不等式a＜x≤b只有2个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A．1＜b≤2 B．2＜b≤3 C．1≤b＜2 D．2≤b＜3
【考点】分式方程的解；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a＝﹣1，即a2﹣3a﹣4＝0，
分解因式得：（a﹣4）（a+1）＝0，
解得：a＝﹣1或a＝4，
经检验a＝4是增根，分式方程的解为a＝﹣1，
当a＝﹣1时，由a＜x≤b只有2个整数解，得到1≤b＜2．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
A．6.5（1﹣x）2＝5.265 B．6.5（1+x）2＝5.265
C．5.265（1﹣x）2＝6.5 D．5.265（1+x）2＝6.5
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】首先根据降低率表示出2019年的用水量，然后表示出2020年的用水量，令其等5.265即可列出方程．
【解答】解：设该市用水总量的年平均降低率是x，
则2019年的用水量为6.5（1﹣x），
2020年的用水量为6.5（1﹣x）2，
故选：A．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
19．如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（ ）
A．cm B．3cm C．4cm D．6cm
【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】由图2可知，AB＝acm，BC＝4cm，当点P到达点B时，△APC的面积为6cm2，可得出等式•a•4＝6，求出a的值，即线段AB的长．
【解答】解：由图2可知，AB＝acm，BC＝4 cm，当点P到达点B时，△APC的面积为6cm2，
∴•AB•BC＝6，即•a•4＝6，
解得a＝3 cm．
即AB的长为3cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题关键．
20．如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．则下列结论正确的有（ ）
①2a+b＝0；
②函数y＝ax2+bx+c的最大值为﹣4a；
③若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1无实数根，则；
④代数式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＜0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；根的判别式．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】①正确．利用抛物线的对称轴公式求解；
②正确．把问题转化为一元二次方程，利用判别式＜0，解不等式即可；
③正确．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），当x＝1时，y的值最大，最大值为﹣4a；
④错误．根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，当x＝﹣1的情况一一判断即可求解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故①正确．
∵抛物线交x轴于点（﹣1，0），（3，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
当x＝1时，y的值最大，最大值为﹣4a，故②正确．
∵ax2+bx+c＝a+1无实数根，
∴a（x+1）（x﹣3）＝a+1无实数根，
∴ax2﹣2ax﹣4a﹣1＝0，Δ＜0，
∴4a2﹣4a（﹣4a﹣1）＜0，
∴a（5a+1）＜0，
∴﹣＜a＜0，故③正确，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
∴b﹣c＝a，
∴a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0，
∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，
21．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】由勾股定理求出CE的长，再由垂径定理得到CD＝2CE，即可解决问题．
【解答】解：∵直径AB垂直于弦CD，
∴CD＝2CE，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠A＝22.5°，
∴∠COE＝∠A+∠OCA＝45°，
∴△COE是等腰直角三角形，
∴CE＝OE，
∵CE2+OE2＝OC2，
∴2CE2＝42，
∴CE＝2，
∴CD＝2CE＝4．
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出CE的长．
22．凉山会理某天最高气温﹣1℃，最低气温﹣3℃，这一天温差是多少？（ ）
A．﹣1℃ B．﹣3℃ C．2℃ D．﹣2℃
【考点】有理数的减法；正数和负数．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】用最高温度减去最低温度，根据有理数的减法法则计算可得．
【解答】解：这一天的温差为﹣1﹣（﹣3）＝﹣1+3＝2（℃），
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的减法，解题的关键是掌握有理数的减法法则．
23．2021年会理市石榴种植面积达到40万亩，用科学记数法表示数40万亩为（ ）
A．40×103亩 B．40×104亩 C．4×105亩 D．4×104亩
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：40万亩＝400000亩＝4×105亩．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
24．如果单项式﹣2xmy2与单项式﹣8x4yn是同类项，那么mn的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【考点】算术平方根；同类项；平方根．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，由此求出m，n即可计算．
【解答】解：∵单项式﹣2xmy2与单项式﹣8x4yn是同类项，
∴m＝4，n＝2，
∴mn＝4×2＝8，
∴mn的平方根是±＝±2．
故选：C．
【点评】本题考查平方根，同类项，关键是掌握平方根和同类项的定义．
25．如果等式成立，则xy的值分别是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得：x＝3，
则y＝﹣2，
∴xy＝3﹣2＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
26．一组数据x1，x2，x3……xn，它的平均数是8，方差是2．另一组数据2x1，2x2，2x3……2xn，它的平均数和方差分别是（ ）
A．16，2 B．16，8 C．8，4 D．16，4
【考点】方差；算术平均数．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3……xn，平均数是8，
∴数据2x1，2x2，2x3……2xn，的平均数是2×8＝16，
∵数据2x1，2x2，2x3……2xn，的方差是2，
∴数据2x1，2x2，2x3……2xn，的方差是2×22＝8．
故选：B．
【点评】此题考查了算术平均数和方差的特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．
27．已知△ABC∽△DEF，若，则△ABC与△DEF的面积之比（ ）
A． B． C． D．2
【考点】相似三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴＝＝2，
∴△ABC与△DEF的面积比是2，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，而不等于相似比，题目比较典型，难度不大．
28．直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x+2的图象互相平行，且与y轴交于（0，4），则直线y＝kx+b与坐标轴围成的面积是（ ）
A． B．8 C． D．
【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x+2的图象互相平行，且与y轴交于4，即可得到k，b的值，即可求得直线y＝kx+b与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x+2的图象互相平行，
∴k＝﹣3，
∵与y轴交于（0，4），
∴b＝4，
∴这条直线的解析式为y＝3x+4，
令y＝0，则3x+4＝0，解得x＝﹣，
∴直线y＝3x+4与x轴的交点为（﹣，0），
∴直线y＝kx+b与坐标轴围成的面积是＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了两直线平行问题的运用，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得直线的解析式是解题的关键．
二．填空题（共11小题）
29．分解因式：a2b3﹣2ab2＝ ab2（ab﹣2） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【答案】ab2（ab﹣2）．
【分析】提取公因式ab即可因式分解．
【解答】解：a2b3﹣2ab2＝ab2（ab﹣2）．
故答案为：ab2（ab﹣2）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．
30．如图，AB是⊙O的直径，C是上一点，D是上一点，且OD∥AC，若∠CBD＝20°，则∠A＝ 40° ．
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【答案】40°．
【分析】由圆周角定理求出∠COD的度数，由平行线的性质，得到∠ACO＝∠COD，由等腰三角形的性质即可得到答案．
【解答】解：连接OC，
∵∠CBD＝∠COD，∠CBD＝20°，
∴∠COD＝2×20°＝40°，
∵OD∥AC，
∴∠ACO＝∠COD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠A＝∠COD＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质，关键是掌握圆周角定理．
31．计算：＝ x+2 ．
【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据同分母分式的加减法法则计算，注意结果要化简．
【解答】解：＝＝x+2．故答案为x+2．
【点评】本题主要考查了同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
32．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 a≥﹣2且a≠1 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解这个分式方程得x＝，再根据分式方程的解的定义得≥0且≠1，从而解决此题．
【解答】解：，
去分母，得x＝a﹣2（x﹣1）．
去括号，得x＝a﹣2x+2．
移项，得x+2x＝a+2．
合并同类项，得3x＝a+2．
x的系数化为1，得x＝．
∵关于x的分式方程的解为非负数，
∴≥0且≠1．
∴a≥﹣2且a≠1．
故答案为：a≥﹣2且a≠1．
【点评】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解决本题的关键．
33．如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝70°，则∠EGF的度数是 35° ．
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【答案】35°．
【分析】先根据角平分线的定义求出∠GFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵FG平分∠EFD，∠EFD＝70°，
∴∠GFD＝∠EFD＝×70°＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠GFD＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
34．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．河的宽度是 （30+30）米 ．
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【答案】（30+30）米．
【分析】分别过点A、AD与BC交点H，作直线CD的垂线AE、HF，垂足分别为E、F．构造特殊三角形，再利用平行线性质列比例式，求出河宽AE的长．
【解答】解：分别过点A、AD与BC交点H，作直线CD的垂线AE、HF，垂足分别为E、F．
∵∠BCD＝120°，∠ADC＝30°，CD＝60m，
∴∠CHD＝30°，
∴CH＝CD＝60m，
∴Rt△HFC中，∠HCF＝60°，∠FHC＝30°，
∴FH＝HC＝30m，FC＝HC＝30m，
设河宽AE＝x米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝45°，
∴AE＝EC＝x，
∴＝，即＝，
解得：x＝30+30，
∴河的宽度是（30+30）米．
故答案为：（30+30）米．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是通过构造特殊三角形，利用平行线的性质列比例式．
35．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，cos∠AIE＝ ．
【考点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】延长ID到M，使DM＝ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题．
【解答】解：延长ID到M，使DM＝ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，
∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC＝∠DCI，
∴DI＝DC＝DM，
∴∠ICM＝90°，
∴CM＝＝8，
∵AI＝2CD＝10，
∴AI＝IM，
∵AE＝EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IE＝CM＝4，IM∥CM，
∴∠AIE＝∠M，
∴cos∠AIE＝cosM＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝4，分别以点C，B为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点P、Q，作直线PQ交AB、BC于点M、N，连接CM，则CM＝ ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】由作法得MN垂直平分BC，则CN＝BN＝2，MN⊥BC，所以MN为△ABC的中位线，MN＝AC，根据勾股定理求出CM的长．
【解答】解：由作法得MN垂直平分BC，
∴CN＝BN＝2，MN⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴MN∥AC，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN＝AC＝1，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题的关键．
37．如图所示，⊙O中AF＝AB，∠FDA＝36°，∠BAD＝46°，则∠ACB＝ 36° ．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【答案】36°．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得，再根据等弧所对圆周角相等即可求解．
【解答】解：∵AF＝AB，
∴，
∴∠FDA＝∠ACB，
∵∠FDA＝36°，
∴∠ACB＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是掌握与圆有关的概念和性质
38．如图在△ACE中，DF∥AC且DF＝AB，BD＝2，EF＝3，则＝ ．
【考点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】根据平行四边形的性质得到AF＝BD＝2，BD∥AE，证明△CBD∽△CAE，根据相似三角形的对应边的比相等解答即可．
【解答】解：∵DF∥AC，DF＝AB，
∴四边形AFDB为平行四边形，
∴AF＝BD＝2，BD∥AE，
∴△CBD∽△CAE，AE＝AF+EF＝5，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
39．填空题．
（1）如图1，已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A、B两点，若点B的坐标是（2，3），则点A的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
（2）如图2，在菱形ABCD中，两条对角线AC、BD交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是边BC上一点，当OE＝OB时，CE的长为 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【答案】（1）（﹣2，﹣3）．
（2）．
【分析】（1）反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA，OD，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据三角形面积公式求得OM，再利用勾股定理列式求出BM，即可BE，进一步求得CE．
【解答】解：（1）根据题意，知点A与B关于原点对称，
∵点A的坐标是（2，3），
∴B点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故答案为（﹣2，﹣3）；
（2）∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB＝BD＝6＝3，OC＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，BC＝＝＝5，
作OM⊥BC于M，
∵OE＝OB，
∴BM＝EM，
∵S△BOC＝OB•OC＝BC•OM，
∴OM＝＝＝，
由勾股定理得，BM＝＝＝，
∴EM＝，
∴BE＝，
∴CE＝5﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数图象的中心对称性，关于原点对称的两点的横、纵坐标分别互为相反数．
三．解答题（共14小题）
40．2023年3月5日是第60个学雷锋纪念日，某校为弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿精神，开展了“我为社区出份力”活动，学生可报名参加以下四类活动之一：A宣传公益，B清洁街道，C摆放车辆，D关爱老人，根据报名结果，绘制了不完整的统计图：
根据统计图表提供的信息，解容下列问题：
（1）本次活动共有 50 名学生报名参加，扇形统计图中m的值为 20 ；
（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中D对应的圆心角度数；
（3）活动结束后，需从四类活动中随机选择两类活动做汇报，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的概率．
【考点】列表法与树状图法；统计表；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【答案】（1）50、20；
（2）补全图形见解答，86.4°；
（3）．
【分析】（1）由B活动人数及其所占百分比可得总人数，用A活动人数除以总人数可得m的值；
（2）根据四个活动人数之和等于总人数可得C人数，从而补全图形，用360°乘以D活动人数所占比例可得答案；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）报名的学生人数为18÷36%＝50（名），
m%＝10÷50×100%＝20%，即m＝20，
故答案为：50、20；
（2）C活动人数为50﹣（10+18+12）＝10（人），
补全图形如下：
扇形统计图中D对应的圆心角度数为360°×＝86.4°；
（3）列表如下：
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由表知，共有12种等可能结果，其中恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的有2种结果，
所以恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的概率为＝．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，列表法或树状图法求解答随机事件的概率，掌握频率＝频数÷总数是正确计算的前提，列举出所有可能出现的结果情况是正确求出概率的关键．
41．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为上一点，且，连接BF并延长交射线DC于点E．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）若，DA＝2，求⊙O的半径和EF的长．
【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为3，EF＝．
【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质解答即可；
（2）设DC＝5a，则EC＝3a，DE＝8a，设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝2+r，DB＝2+2r，利用相似三角形的判定与性质列出比例式求得圆的半径和线段BE的长；连接AF，利用相似三角形的判定与性质证得△BAF∽△BDE，列出比例式求得BF，则EF＝BE﹣BF．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵，
∴∠ABC＝∠EBC．
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠EBC，
∴OC∥BE．
∵ED为O的切线，
∴OC⊥DE，
∴DE⊥BE；
（2）解：∵，
∴设DC＝5a，则EC＝3a，
∴DE＝8a．
设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝2+r，DB＝2+2r．
∵OC∥BE，
∴△DCO∽△DEB，
∴，
∴，
∴r＝3．
∴⊙O的半径为3；
∴AB＝6，DB＝8．
∵△DCO∽△DEB．
∴，
∴BE＝．
连接AF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF⊥BE．
∵DE⊥BE，
∴AF∥DE，
∴△BAF∽△BDE，
∴，
∴，
∴BF＝，
∴EF＝BE﹣BF＝．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和线段AF是解决此类问题常添加的辅助线．
42．2023年3月，成都市政府印发《成都市促进新能源汽车产业发展的实施意见》，其中大力促进新能源汽车消费成为抓手之一．已知某商家对一款新能源汽车进行销售，市场调研发现：月销量y（单位：辆）与销售价x（单位：万元/辆，且14≤x≤21）满足一次函数关系，部分数据如表：
x
16
17
18
19
20
y
30
27
24
21
18
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若商家购进这款汽车的价格为12万元，试问：当x为多少时，总利润最大？并求出此时利润的最大值．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝﹣3x+78（14≤x≤21）；
（2）当x为19万元时，总利润最大，利润最大为147万．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y与x的函数关系式为y＝﹣3x+78（14≤x≤21）；
（2）设利润为W万元，可得W＝（x﹣12）（﹣3x+78）＝﹣3x2+114x﹣936＝﹣3（x﹣19）2+147，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（16，30），（17，27）代入得：
，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣3x+78（14≤x≤21）；
（2）设利润为W万元，
根据题意得：W＝（x﹣12）（﹣3x+78）＝﹣3x2+114x﹣936＝﹣3（x﹣19）2+147，
∵﹣3＜0，
∴当x＝19时，W取最大值，最大值为147，
答：当x为19万元时，总利润最大，利润最大为147万．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
43．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AE＝3，EF＝1，求⊙O的半径及sin∠ABC的值．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由AB＝AC，得∠B＝∠C，即可得∠C＝∠ODB，故OD∥AC，而DF⊥AC，有DF⊥OD，即知DF为⊙O的切线；
（2）连接DE，AD，由∠DEF＝∠ABC，可得∠DEC＝∠C，DE＝DC，而DF⊥EF，故DF是△DEC的中线，可得EF＝FC＝1，AF＝4，AC＝AF+CF＝5，即得AB＝5，⊙O的半径为2.5；证明△ADF∽△DCF，可得DF2＝AF•CF＝4，DF＝2，在Rt△ADF中，AD＝＝2，得sinC＝＝，从而sin∠ABC＝．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：连接DE，AD，
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠ABC+AED＝180°，
∵∠DEF+∠AED＝180°，
∴∠DEF＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形，
又∵DF⊥EF，
∴DF是△DEC的中线，
∴EF＝FC＝1，AF＝4，
∴AC＝AF+CF＝5，
∴AB＝5，
∴⊙O的半径为2.5；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ADC，
∴∠DAF＝90°﹣∠ADF＝∠FDC，
∴△ADF∽△DCF，
∴＝，
∴DF2＝AF•CF＝4×1＝4，
∴DF＝2，
在Rt△ADF中，
AD＝＝2，
∴sinC＝＝，
∴sin∠ABC＝．
答：⊙O的半径为2.5，sin∠ABC的值是．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的相似和判定，切线的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
44．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与反比例函数的图象交于点A（1，a）和点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，若点C为线段AB上一点，过点C作CD∥x轴交双曲线于点D，连接OC，OD，若△OCD的面积为，求点C的坐标；
（3）如图2，连接AO，并延长AO至点E，使EO＝AO，作∠OAB的平分线AF交x轴于点F，过点E作EH⊥AF于点H，求点H的坐标．
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△OCD的面积＝CD×yC＝（6﹣t﹣）×t＝，即可求解；
（3）证明OH是△EAG的中位线，得到OA＝OH，进而求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：a＝﹣1+6＝5，
即点A（1，5），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×5＝5，
即反比例函数的表达式为：y＝；
（2）设点C（6﹣t，t），则点D（，t），
则△OCD的面积＝CD×yC＝（6﹣t﹣）×t＝，
解得：t＝2或4，
即点C的坐标为：（4，2）或（2，4）；
（3）延长EH交AB于点G，
∵AF是∠EAG的角平分线且AH⊥EH，
∴△AEG为等腰三角形，则点H是EG的中点，
∵EO＝AO，即点O是AE的中点，则OH是△EAG的中位线，
则OH∥AG，
则∠OHA＝∠HAG，
又∵AF是∠EAG的角平分线，则∠EAH＝∠GAH，
∴∠EAH＝∠OFH，即OA＝OH，
∵OH∥AB，
故直线OH的表达式为：y＝﹣x，设点H（m，﹣m），
∵OA＝OH，即12+52＝m2+m2，
解得：m＝（负值已舍去），
即点H（，﹣）．
【点评】本题为反比例函数综合题，涉及到图形面积的计算、平行线的性质、等腰三角形的性质、一次函数的性质等，综合性强，难度适中．
45．在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线y＝ax+1与抛物线交于C，D两点（点D在第一象限）．
（1）如图，当点C与点A重合时，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，连接BD，点E在抛物线上，若∠DAE＝∠ADB，求出点E的坐标；
（3）将抛物线L向上平移1个单位得到抛物线L1，抛物线L1的顶点为P，直线y＝ax+1与抛物线L1交于M，N两点，连接MP，NP，若∠MPN＝90°，求a的值．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）E（，）或E（8，45）．
（3）a＝．
【分析】（1）将抛物线化为交点式，即得A，B的坐标，点C的坐标，代入直线解析式求出a，得到结果．
（2）分类讨论：①当点E在AD下方时，E在AD的中垂线上，求出AD解析式，得到中垂线解析式与抛物线解析式联立即可求出结果．②当点E在AD上方时，AE∥BD，由BD解析式得到AE解析式联立方程即可求出结果．
（3）由抛物线解析式求出L1得解析式，求得点PD的坐标，再联立方程求出M，N的坐标，由勾股定理MP2+NP2＝MN2代入计算即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
当C与A重合时，C（﹣1，0），
代入直线y＝ax+1得，
﹣a+1＝0，
∴a＝1，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）在（1）的条件下，y＝x+1，
①如图1，当点E在AD下方时，
联立解得，
，，
∴D（4，5），
∵∠DAE＝∠ADB，
∴AE＝AD，
∴点E在AD的中垂线上，
设AD的中点为F，则F（，），
设直线EF：y＝﹣x+b，
代入得，
b＝4，
∴EF：y＝﹣x+4，
联立解得，
x＝，
∴E（，）．
②如图2，当点E在AD上方时，
∵∠DAE＝∠ADB，
∴AE∥BD，
∵（3，0），D（4，5），
∴BD：y＝5x﹣15，
设直线AE：y＝5x+m，
代入A（﹣1，0），解得，m＝5，
∴AE：y＝5x+5．
联立解得，
x1＝﹣1，x2＝8，
∵xE＞0，
∴E（8，45），
总上，E（，）或E（8，45）．
（3）如图3，抛物线L1：y＝a（x﹣1）2﹣4a+1，
∴P（1，1﹣4a），
联立得，
x＝，
∴M（，a+1），N（，a+1），
∵∠MPN＝90°，
∴由勾股定理得，
MP2+NP2＝MN2，
MP2＝（﹣1）2+（a+1﹣1+4a）2＝+a2，
NP2＝（﹣1）2+（a+1﹣1+4a）2＝+a2，
MN2＝（﹣）2+（a+1﹣a﹣1）2＝21+21a2，
化简得，a2＝，
∵a＞0，
∴a＝．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数的解析式的求法，交点坐标的求法，勾股定理等知识点，是一道综合性较强的题目，注重数形结合，正确分类讨论，具有较强的数学运算能力是解决问题的关键．
46．2022年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有3000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
（3）请你根据本次问卷调查的结果给学校各提一条合理化建议．
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数；调查收集数据的过程与方法；用样本估计总体．菁优网版权所有
【答案】（1）21%；
（2）480人；
（3）见解答．
【分析】（1）根据直方图中的数据，可以计算出本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比；
（2）根据扇形统计图中的数据，可以计算出最喜欢的劳动课程为木工的有多少人；
（3）本题答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1）×100%＝21%，
即本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为21%；
（2）3000×（1﹣27%40%﹣7%﹣10%）
＝3000×16%
＝480（人），
即估计最喜欢的劳动课程为木工的有480人；
（3）建议：学校要鼓励学生们积极参加学校的劳动教育课程，说明劳动最光荣，对学生的身心发展都是有益的；学校可以增设一些学生们感兴趣的劳动课程，这样可以使更多的学生参加劳动．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
47．如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点A（﹣1，n），直线l'经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点另一点B，P在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）反比例函数的解析式是（x＜0）；
（2）∴阴影部分的面积为2；
（3）P点的坐标为（﹣2，﹣2）、（2，2）、（﹣4，4）．
【分析】（1）根据直线l过A点，可算出A点坐标，将A点坐标代入反比例函数中，得到反比例函数解析式，
（2）根据直线l'与直线l是关于x＝﹣1对称的，可以得到直线l'的表达式为y＝﹣x+b，将A点代入直线l'的表达式，求出直线l’的解析式，从而求出l'与x轴y轴的交点坐标，从而求出阴影部分面积，
（3）根据直线l和反比例函数的解析式，可以得到B点坐标，通过ABO三点，根据平行四边形的性质，得到对应的P点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，n）代入y＝x+4中，
得n＝﹣1+4，
n＝3，
∴A（﹣1，3），将A代入反比例函数中，
得3＝，
k＝﹣3
反比例函数的解析式是（x＜0）；
（2）∵直线l'与直线l关于x＝﹣1对称，
∴直线l'的解析式为：y＝﹣x+b，
将A点代入，得：3＝﹣（﹣1）+b，
b＝2，
∴直线l'的解析式为：y＝﹣x+2，
∴可得M（0，2）、N（2，0），
∴OM＝2，ON，2，
∴S阴影＝×2×2＝2，
（3）x+4＝，
x＝﹣1或x＝﹣3，
当x＝﹣3是，y＝＝1，
∴B（﹣3，1），
∴四边形ABOP是平行四边形，则如图所示，
当AB为平行四边形一边时，
则OP∥AB，
∴OP的直线表达式为y＝x，
∵A（﹣1，3）、B（﹣3，1），O（0，0），
∴①当平行四边形为ABP1O时，
P1点的横坐标为0﹣[﹣1﹣（﹣3）]＝﹣2，
P1点的纵坐标为0﹣（3﹣1）＝﹣2，
∴P1点的坐标为（﹣2，﹣2），
②当平行四边形为ABOP2时，
P2点的横坐标为0+[﹣1﹣（﹣3）]＝2，
P2点的纵坐标为0+（3﹣1）＝2，
∴P2点的坐标为（2，2），
③当AB为平行四边形的对角线时，
平行四边形AP3BO时，
P3点的横坐标为﹣3﹣[0﹣（﹣1）]＝﹣4，
P3点的纵坐标为1﹣（0﹣3）＝4，
∴P3点的坐标为（﹣4，4）．
【点评】本题主要考查反比例函数的解析式，一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点间的距离，两点间的位置关系．
48．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC，BD交于点O，AO＝CO，且AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求△ACE的面积．
【考点】菱形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）证明△AOB≌△COD（ASA），由全等三角形的性质得出BO＝DO，由平行四边形的判定及菱形的判定可得出结论；
（2）由勾股定理求出OA＝2，根据菱形的面积可求出CE的长，根据三角形面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AO＝CO，∠AOB＝∠COD，
在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴BO＝DO，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴DA＝DC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝1，
∵AB＝，
∴AO＝＝2，
∴AC＝2OA＝4，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝CE＝4，
∴CE＝，
∴AE＝，
∴△ACE的面积＝AE•CE＝．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
49．某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件数）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的几组对应值如表所示：
销售单价x（元/件）
55
60
70
…
销售量y（件）
70
60
40
…
（1）直接写出y（件）与x（元/件）之间的函数表达式 y＝﹣2x+180 ；
（2）求销售单价定为多少时，当天的销售利润是1050元？
（3）销售过程中要求走出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）y＝﹣2x+180；
（2）75元或55元；
（3）销售单价定为60元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1200元．
【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，进行求解即可；
（3）设总利润为w元，求出w与x的解析式，利用二次函数的性质，求最值即可．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），
由题意得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+180；
（2）由题意得：（﹣2x+180）（x﹣40）＝1050，
整理，得：x2﹣130x+4125＝0，
解得：x1＝75，x2＝55，
∴销售单价定为75元或55元时，当天的销售利润是1050元；
答：销售单价定为75元或55元时，当天的销售利润是1050元．
（3）设总利润为w元，由题意，得：w＝（﹣2x+180）（x﹣40）＝﹣2x2+260x﹣7200＝﹣2（x﹣65）2+1250；
∵a＝﹣2＜0，对称轴为直线：x＝65，
∴抛物线开口向下，在对称轴的左侧，w随x的增大而增大，
∵销售过程中要求走出的商品数不少于60件，
∴y≥60，
即﹣2x+180≥60，
∴x≤60，
∴当x＝60时，利润最大为：﹣2（60﹣65）2+1250＝1200；
答：销售单价定为60元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1200元．
【点评】本题考查二次函数的综合应用．根据题意，正确的列出一元二次方程和二次函数关系式，是解题的关键．
50．如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，分别交AB、AF的延长线于点C、D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD＝，求BC的长．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【答案】（1）见解析；
（2）BC的长为．
【分析】（1）连接OE，由题意可证OE∥AD，且DE⊥AF，即OE⊥DE，则可证CD是⊙O的切线；
（2）连接BE，证明△ADE∽△AEB，得到＝＝，根据tan∠EAD＝，在△ABE中，利用勾股定理求出BE和AE，可得AD和DE，再证明△COE∽△CAD，得到，设BC＝x，解方程即可求出BC．
【解答】解：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE＝∠DAE，
∴∠OEA＝∠EAD，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BE，∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠D，
又∠DAE＝∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴＝＝，
∵tan∠EAD＝，
∴＝＝，
则AE＝BE，又AB＝10，
在△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即（BE）2+BE2＝102，
解得：BE＝6，则AE＝8，
∴＝＝，
解得：AD＝，DE＝，
∵OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴＝，
设BC＝x，
∴＝，
解得：x＝
经检验：x＝是原方程的解，
故BC的长为．
【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，作出辅助线，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
51．解方程组：．
【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】先整理方程组，然后运用加减消元法解答即可．
【解答】解：，
整理得，
①+②得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：3+y＝4，
解得：y＝1，
所以方程组的解为．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．
52．小米和小明玩游戏：袋子中1个红球，2个篮球和3个黄球，它们只有颜色上不同外，其它都相同，随机摸2个球不放回，摸到1红球1蓝球时小米胜，摸到2个黄球时小明胜，摸到其它的算平局，这个游戏公平吗（列表法或树状图完成），如果不公平，怎么才能使游戏公平？
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【答案】这个游戏不公平，随机摸2个球不放回，摸到1红球1黄球时小米胜，摸到2个黄球时小明胜，摸到其它的算平局．（修改规则不唯一）．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式分别计算出两人获胜的概率，比较是否相等即可得出答案．
【解答】解：这个游戏不公平，
列表如下：
红
蓝
蓝
黄
黄
黄
红
（蓝，红）
（蓝，红）
（黄，红）
（黄，红）
（黄，红）
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
（黄，蓝）
（黄，蓝）
（黄，蓝）
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
（黄，蓝）
（黄，蓝）
（黄，蓝）
黄
（红，黄）
（蓝，黄）
（蓝，黄）
（黄，黄）
（黄，黄）
黄
（红，黄）
（蓝，黄）
（蓝，黄）
（黄，黄）
（黄，黄）
黄
（红，黄）
（蓝，黄）
（蓝，黄）
（黄，黄）
（黄，黄）
由表知，共有30种等可能结果，其中摸到1红球1蓝球有4种结果，摸到2个黄球有6种结果，
所以小米获胜的概率为＝，小明获胜的概率为＝，
∵≠，
∴此游戏不公平；
修改规则：随机摸2个球不放回，摸到1红球1黄球时小米胜，摸到2个黄球时小明胜，摸到其它的算平局．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
53．某服装店销售某种衣服，其成本为每件60元，当售价为每件100元时，每月可销售120件．由于疫情的影响，库存积压严重，为了减少库存，该服装店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降5元，则每月可多销售20件．设每件的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当销售单件降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝﹣4x+520；
（2）当销售单件降低5元时，每月获得的利润最大，最大利润是4900元．
【分析】（1）根据售价为每件100元时，每月可销售120件，销售单价每降5元，则每月可多销售20件，列出函数解析式；
（2）设每月的利润为w元，根据每月获得利润＝单件利润×月销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）由题意得：y＝120+×20＝120+4（100﹣x）＝﹣4x+520，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣4x+520；
（2）设每月的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣60）y＝（x﹣60）（﹣4x+520）＝﹣4x2+760x﹣31200＝﹣4（x﹣95）2+4900，
∵﹣4＜0，
∴当x＝95时，w有最大值，最大值4900，
销售单价降低100﹣95＝5（元），
答：当销售单件降低5元时，每月获得的利润最大，最大利润是4900元．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
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