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广东省揭阳市普宁市2021-2022学年七年级下学期期末质量监测数学试题(word版含答案)
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这是一份广东省揭阳市普宁市2021-2022学年七年级下学期期末质量监测数学试题(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解笞题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省揭阳市普宁市2021-2022学年七年级下学期期末质量监测数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x6+x6＝2x12 B．a2•a4＝a6
C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy﹣y2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2+b2
3．（3分）如图，下列条件中不能判断a∥b的是（ ）
A．∠2＝∠6 B．∠3+∠5＝180° C．∠4+∠6＝180° D．∠1＝∠4
4．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．路口遇到红灯
B．掷一枚硬币正面朝上
C．三角形的两边之和大于第三边
D．异号两数之和小于零
5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF
6．（3分）将边长分别为a+b和a﹣b的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面积化简后的结果是（ ）
A．a﹣b B．a+b C．2ab D．4ab
7．（3分）如图，是由两个大小完全相同的圆柱形容器在中间连通而成的可以盛水的器具，现匀速地向容器A中注水，则容器A中水面上升的高度h随时间t变化的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝75°，则∠PNM等于（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
9．（3分）某木材市场上木棒规格与对应价格如下表：
规格
1m
2m
3m
4m
5m
6m
价格（元/根）
10
15
20
25
30
35
小明的爷爷要做一个三角形木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到该木材市场购买一根木棒．则小明的爷爷至少带的钱数应为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
10．（3分）如图，在△ABC中，AP平分∠BAC交BC于点P，过点P作PR⊥AB垂足为R，PS⊥AC垂足为S，在AC上取一点Q，使AQ＝PQ．则①PR＝PS，②AS＝AR，③QP∥AR，④△BRP≌△CSP．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。）
11．（4分）新冠病毒是病毒的一种，病毒的体积微小，一般在电镜下才能见到．在病毒中，有一种病毒直径约0.000 000 021m，请用科学记数法把数0.000 000 021m表示出来 ．
12．（4分）小球在如图所示的地板上自由地滚动并随机地停留在某块方砖上，则它最终停留在黑砖上的概率是 ．
13．（4分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，若PA＝3，则点P到射线OM的距离是 ．
14．（4分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于 cm．
15．（4分）如图所示，AB∥DE，∠1＝130°，∠2＝36°，则∠3＝ 度．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC上一动点，若AC＝4，BC＝15，CD＝x，则△ABD的面积S与x之间的函数关系式为 ．
17．（4分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 ．
三、解笞题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分。）
18．（6分）计算：5﹣1÷5﹣3+（﹣1）2022﹣（）﹣1+（3.14﹣π）0．
19．（6分）化简求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x，其中x＝﹣2，y＝．
20．（6分）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BC∥EF．完成推理填空：
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∴AC∥ ，（ ）
∴∠3＝∠5（ ）
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠5＝∠ （ ），
∴BC∥EF（ ）
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分。）
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
22．（8分）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少2个，从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.4．
（1）求袋中红、黄、白三种颜色的球的个数；
（2）向袋中放入若干个红球，使摸出一个球是红球的概率为0.7，求放入红球的个数；
（3）在（2）的条件下，求摸出一个球是白球的概率．
23．（8分）小颖和小强上山游玩，小颖乘坐缆车，小强步行，两人相约在山顶的缆车终点会和，已知小强行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小强出发后50分才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分，若图中的折线表示小强在整个行走过程中的路程（米）与出发时间（分）之间的关系的图象，请回答下列问题．
（1）小强行走的总路程是 米，他途中休息了 分；
（2）分别求出小强在休息前和休息后所走的两段路程的速度；
（3）当小颖到达缆车终点时，小强离缆车终点的路程是多少？
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分。）
24．（10分）如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．
观察图形，解答下列问题：
（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1： ，方法2： ；
（2）从（1）中你能得到怎样的等式？ ；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知x+y＝6，xy＝2，求x2+y2的值；
②已知（2022﹣x）2+（x﹣2021）2＝9，求（2022﹣x）（x﹣2021）的值．
25．（10分）如图，在△ABC中，点M、N分别为线段BC、AC上的动点，当M运动到线段BC的中点时有AM⊥BC．
（1）证明：AB＝AC；
（2）设线段AB的中点为D，当AB＝14cm，BC＝13cm时，若动点M从B点出发，以2cm/s的速度沿线段BC由B点向C点运动，动点N从C点出发匀速沿线段CA由C点向A点运动，动点M出发1秒后动点N才出发，当点N的运动速度为多少时，能够使△BMD与△CNM全等？
（3）若AB⊥AC，当BN平分∠ABC时，延长BN至点E使得AE＝AB，∠CAE的角平分线交BE于F，证明：BN＝2EF．
广东省揭阳市普宁市2021-2022学年七年级下学期期末质量监测数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x6+x6＝2x12 B．a2•a4＝a6
C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy﹣y2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2+b2
【分析】根据同底数幂的乘法、同类项的加法、完全平方差、平方差公式可以解出．
【解答】解：A、原式＝2x6，不符合题意；
B、原式＝a6，符合题意；
C、原式＝x2﹣2xy+y2，不符合题意；
D、原式＝a2﹣b2，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）如图，下列条件中不能判断a∥b的是（ ）
A．∠2＝∠6 B．∠3+∠5＝180° C．∠4+∠6＝180° D．∠1＝∠4
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∠2＝∠6可以判定a，b平行，不符合题意；
B、∠3+∠5＝180°，可以判定a，b平行，不符合题意；
C、∠4+∠6＝180°，可以判断a、b平行，不符合题意；
D、∠1＝∠4，不能判定a，b平行，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
4．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．路口遇到红灯
B．掷一枚硬币正面朝上
C．三角形的两边之和大于第三边
D．异号两数之和小于零
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、路口遇到红灯，是随机事件，本选项不符合题意；
B、掷一枚硬币正面朝上，是随机事件，本选项不符合题意；
C、三角形的两边之和大于第三边，是必然事件，本选项符合题意；
D、异号两数之和小于零，是随机事件，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，
∴当添加∠B＝∠E时，根据 ASA 判定△ABC≌△DEF；
当添加AC＝DF时，根据 SAS 判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ACD＝∠BFE时，则∠ACB＝∠DFE，根据 AAS 判定△ABC≌△DEF．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
6．（3分）将边长分别为a+b和a﹣b的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面积化简后的结果是（ ）
A．a﹣b B．a+b C．2ab D．4ab
【分析】根据图形得出阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，再求出即可．
【解答】解：阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2
＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）
＝4ab，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算的应用，能正确根据题意列出算式是解此题的关键在，注意运算顺序．
7．（3分）如图，是由两个大小完全相同的圆柱形容器在中间连通而成的可以盛水的器具，现匀速地向容器A中注水，则容器A中水面上升的高度h随时间t变化的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以分析出各个过程中A中水面上的快慢，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意和图形可知，
从开始到水面到达A和B连通的地方这个过程中，A中水面上升比较快，
从水面到达A和B连通的地方到B中水面和A中水面持平这个过程中，A中水面的高度不变，
从B中水面和A中水面持平到最后两个容器中水面上升到最高这个过程中，A中水面上升比较慢，
故选：C．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝75°，则∠PNM等于（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
【分析】根据平行线的性质得到∠DNM＝∠BME＝75°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND＝45°，即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DNM＝∠BME＝75°，
∵∠PND＝45°，
∴∠PNM＝∠DNM﹣∠DNP＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．（3分）某木材市场上木棒规格与对应价格如下表：
规格
1m
2m
3m
4m
5m
6m
价格（元/根）
10
15
20
25
30
35
小明的爷爷要做一个三角形木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到该木材市场购买一根木棒．则小明的爷爷至少带的钱数应为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】根据三角形的三边关系可得5﹣3＜x＜5+3，再解出不等式可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度，然后根据木棒价格可直接选出答案．
【解答】解：设第三根木棒的长度为xm，
根据三角形的三边关系可得：5﹣3＜x＜5+3，
解得2＜x＜8，
x＝3，4，5，6，7，共5种选择，
根据木棒的价格可得选3m最省钱，
所以小明的爷爷至少带的钱数应为20元，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
10．（3分）如图，在△ABC中，AP平分∠BAC交BC于点P，过点P作PR⊥AB垂足为R，PS⊥AC垂足为S，在AC上取一点Q，使AQ＝PQ．则①PR＝PS，②AS＝AR，③QP∥AR，④△BRP≌△CSP．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线的性质可得∠RAP＝∠SAP，再根据垂直定义可得∠PRA＝∠PSA＝90°，从而利用AAS证明△ARP≌△ASP，然后利用全等三角形的性质即可判断①和②，根据角平分线和等腰三角形的性质即可判断③，根据垂直定义可得∠BRP＝∠PSC＝90°，再利用①的结论即可判断④．
【解答】解∵AP平分∠BAC，
∴∠RAP＝∠SAP，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠PRA＝∠PSA＝90°，
∵AP＝AP，
∴△ARP≌△ASP（AAS），
∴PR＝PS，AR＝AS，
故①，②都正确；
∵AQ＝QP，
∴∠PAQ＝∠APQ，
∴∠RAP＝∠APQ，
∴QP∥AR，
故③正确；
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠BRP＝∠PSC＝90°，
∵PR＝PS，
∴△BRP和△CSP不一定全等，
故④不正确；
所以，正确的结论有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。）
11．（4分）新冠病毒是病毒的一种，病毒的体积微小，一般在电镜下才能见到．在病毒中，有一种病毒直径约0.000 000 021m，请用科学记数法把数0.000 000 021m表示出来 2.1×10﹣8m ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 000 021m＝2.1×10﹣8m；
故答案为：2.1×10﹣8m．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（4分）小球在如图所示的地板上自由地滚动并随机地停留在某块方砖上，则它最终停留在黑砖上的概率是 ．
【分析】用黑色方砖的面积除以方砖的总面积即可．
【解答】解：由题意知，它最终停留在黑砖上的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
13．（4分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，若PA＝3，则点P到射线OM的距离是 3 ．
【分析】根据角平分线的性质、点到直线的距离解答．
【解答】解：作PQ⊥OM于Q，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PQ＝PA＝3，
∴P到OM的距离为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14．（4分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于 7 cm．
【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等
【解答】解：由折叠的性质知，AE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+CE＝AB+BC＝3+4＝7cm．
故答案为：7．
【点评】本题考查了翻折变换的知识，利用了折叠的性质．
15．（4分）如图所示，AB∥DE，∠1＝130°，∠2＝36°，则∠3＝ 86 度．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补、内错角相等这两条性质来解答．
【解答】解：过点C作CM∥AB，则CM∥DE，
∵CM∥DE，∠2＝36°，
∴∠MCD＝∠2＝36°，
∵AB∥CM，∠1＝130°，
∴∠MCB+∠1＝180°，
∴∠MCB＝50°；
∴∠BCD＝∠MCB+∠MCD＝50°+36°＝86°．
故答案为：86．
【点评】本题考查了平行线的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC上一动点，若AC＝4，BC＝15，CD＝x，则△ABD的面积S与x之间的函数关系式为 S＝﹣2x+30 ．
【分析】根据三角形的面积公式即可求得．
【解答】解：CD×AC
＝
＝﹣2x+30．
故答案为：S＝﹣2x+30．
【点评】本题考查了函数关系式，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
17．（4分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 18或70 ．
【分析】设BE＝3t，则BF＝7t，使△AEG与△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．
【解答】解：设BE＝3t，则BF＝7t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，
∵BF＝AE，AB＝60，
∴7t＝60﹣3t，
解得：t＝6，
∴AG＝BE＝3t＝3×6＝18；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，
∵BE＝AE，AB＝60，
∴3t＝60﹣3t，
解得：t＝10，
∴AG＝BF＝7t＝7×10＝70，
综上所述，AG＝18或AG＝70．
故答案为：18或70．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
三、解笞题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分。）
18．（6分）计算：5﹣1÷5﹣3+（﹣1）2022﹣（）﹣1+（3.14﹣π）0．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：5﹣1÷5﹣3+（﹣1）2022﹣（）﹣1+（3.14﹣π）0
＝52+1﹣2+1
＝25．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
19．（6分）化简求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x，其中x＝﹣2，y＝．
【分析】根据完全平方公式，多项式乘多项式的法则，多项式除单项式的法则化简，然后再代入数据计算求解．
【解答】解：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x
＝（x2+4xy+4y2﹣3x2﹣2xy+y2﹣5y2）÷2x
＝（﹣2x2+2xy）÷2x
＝y﹣x，
当x＝﹣2，y＝时，
原式＝﹣（﹣2）＝．
【点评】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，多项式除单项式，去括号要注意符号的正确处理．
20．（6分）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BC∥EF．完成推理填空：
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∴AC∥ DF ，（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠3＝∠5（ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠5＝∠ 4 （ 等量代换 ），
∴BC∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】根据平行线的判定得出AC∥DF，根据平行线的性质得出∠3＝∠5，求出∠5＝∠4，根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠5（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠4，
∴∠5＝∠4（等量代换），
∴BC∥EF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：DF；同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等；4；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分。）
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【分析】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD；作∠CAD的角平分线交BC于E，点D，射线AE即为所求．
（2）首先证明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（8分）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少2个，从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.4．
（1）求袋中红、黄、白三种颜色的球的个数；
（2）向袋中放入若干个红球，使摸出一个球是红球的概率为0.7，求放入红球的个数；
（3）在（2）的条件下，求摸出一个球是白球的概率．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）设放入红球x个，列方程即可得到结论；
（3）根据概率公式即可得到结论．
【解答】解：（1）黄球个数：10×0.4＝4（个），
白球个数：（4+2）÷3＝2（个），
红球个数：10﹣4﹣2＝4（个），
答：袋中红、黄、白三种颜色的球的个数分别是4个、4个、2个；
（2）设放入红球x个，则4+x＝（10+x）×0.7，
解得：x＝10，即向袋中放入10个红球；
（3）P（摸出一个球是白球）＝＝0.1，
答：摸出一个球是白球的概率是0.1．
【点评】此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
23．（8分）小颖和小强上山游玩，小颖乘坐缆车，小强步行，两人相约在山顶的缆车终点会和，已知小强行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小强出发后50分才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分，若图中的折线表示小强在整个行走过程中的路程（米）与出发时间（分）之间的关系的图象，请回答下列问题．
（1）小强行走的总路程是 3600 米，他途中休息了 20 分；
（2）分别求出小强在休息前和休息后所走的两段路程的速度；
（3）当小颖到达缆车终点时，小强离缆车终点的路程是多少？
【分析】根据图象获取信息：
（1）小强到达山顶用时80分钟，中途休息了20分钟，行程为3600米；
（2）休息前30分钟行走1950米，休息后30分钟行走（3600﹣1950）米．
（3）求出小颖到达缆车终点的时间，计算小强行走路程，求离缆车终点的路程．
【解答】解：（1）由图象可得，小强行走的总路程是3600米，途中休息了50﹣30＝20（分），
故答案为：3600，20；
（2）小强休息前的速度为：＝65（米/分），
小强休息后的速度为：＝55（米/分）．
（3）小颖所用时间为：＝10（分），
小强比小颖迟到的时间为：80﹣50﹣10＝20（分），
所以，小颖到达终点时，小强离缆车终点的路程为：55×20＝1100（米）．
【点评】此题考查一次函数及其图象的应用，能够正确地从图象中获取相关信息是解决问题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分。）
24．（10分）如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．
观察图形，解答下列问题：
（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1： a2+b2 ，方法2： （a+b）2﹣2ab ；
（2）从（1）中你能得到怎样的等式？ a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知x+y＝6，xy＝2，求x2+y2的值；
②已知（2022﹣x）2+（x﹣2021）2＝9，求（2022﹣x）（x﹣2021）的值．
【分析】（1）方法1采用两个正方形的面积和，方法2用大正方形的面积减去两个长方形的面积；
（2）利用面积相等得出结论；
（3）①由（2）的结论，代入计算即可；
②设a＝2021﹣x，b＝x﹣2020，则a2+b2＝9，a+b＝1，再整体代入计算即可．
【解答】解：（1）方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即a2+b2，
方法2，从边长为（a+b）的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）∵（1）中的两种方法都表示阴影部分面积，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）①∵0.5xy＝2，
∴xy＝4，
又∵x+y＝6，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝62﹣2×4
＝36﹣8
＝28；
②设a＝2021﹣x，b＝x﹣2020，则a2+b2＝9，a+b＝1，
∴2（2021﹣x）（x﹣2020）＝2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝1﹣9＝﹣8，
∴（2021﹣x）（x﹣2020）＝﹣4，
答：（2021﹣x）（x﹣2020）的值为﹣4．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，灵活将公式进行变形是解题的关键．
25．（10分）如图，在△ABC中，点M、N分别为线段BC、AC上的动点，当M运动到线段BC的中点时有AM⊥BC．
（1）证明：AB＝AC；
（2）设线段AB的中点为D，当AB＝14cm，BC＝13cm时，若动点M从B点出发，以2cm/s的速度沿线段BC由B点向C点运动，动点N从C点出发匀速沿线段CA由C点向A点运动，动点M出发1秒后动点N才出发，当点N的运动速度为多少时，能够使△BMD与△CNM全等？
（3）若AB⊥AC，当BN平分∠ABC时，延长BN至点E使得AE＝AB，∠CAE的角平分线交BE于F，证明：BN＝2EF．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
（2）设点N的运动速度为xcm/s，经过ts后△BMD与△CNM全等，由题意BM＝2（t+1）cm，CM＝[13﹣2（t+1）]cm，CN＝xtcm，分两种情形：①当BD＝CM，BM＝CN时，两三角形全等．②当BM＝CM，BD＝CN时，两三角形全等．分别构建方程求解即可．
（3）如图3中，连接CF，延长CF交BA的延长线于H．利用全等三角形的性质证明CF＝EF，CF＝FH，BN＝CH，可得结论．
【解答】（1）证明：∵当M运动到线段BC的中点时有AM⊥BC，
∴AM垂直平分线段BC，
∴AB＝AC．
（2）解：设点N的运动速度为xcm/s，经过ts后△BMD与△CNM全等，
由题意BM＝2（t+1）cm，CM＝[13﹣2（t+1）]cm，CN＝xtcm，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根据全等三角形的判定定理可知，有两种情形：
①当BD＝CM，BM＝CN时，两三角形全等．则有13﹣2（t+1）＝7且2（t+1）＝xt，
解得x＝3．
②当BM＝CM，BD＝CN时，两三角形全等．则有2（t+1）＝13﹣2（t+1）且7＝xt，
解得x＝，
综上所述，满足条件的点N的速度为3cm/s或cm/s时，两三角形全等．
（3）证明：如图3中，连接CF，延长CF交BA的延长线于H．
∵AB＝AC，AB＝AE，
∴AC＝AE，
∵AF平分∠CAE，
∴∠CAF＝∠EAF，
在△AFC和△AFE中，
，
∴△AFC≌△AFE（SAS），
∴∠ACF＝∠E，CF＝EF，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
∴∠ABN＝∠NCF，
∵∠ANB＝∠FNC，
∴∠BAN＝∠CFN，
∵AB⊥AC，
∴∠CFN＝∠BAN＝90°，
∵BN平分∠ABC，
∴∠CBF＝∠HBF，
在△BFC和△BFH中，
，
∴△BFC≌△BFH（ASA），
∴CF＝FH，
在△ABN和△ACH中，
，
∴△ABN≌△ACH（ASA），
∴BN＝CH＝2CF＝2EF．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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广东省揭阳市普宁市2021-2022学年七年级下学期期末质量监测数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x6+x6＝2x12 B．a2•a4＝a6
C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy﹣y2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2+b2
3．（3分）如图，下列条件中不能判断a∥b的是（ ）
A．∠2＝∠6 B．∠3+∠5＝180° C．∠4+∠6＝180° D．∠1＝∠4
4．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．路口遇到红灯
B．掷一枚硬币正面朝上
C．三角形的两边之和大于第三边
D．异号两数之和小于零
5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF
6．（3分）将边长分别为a+b和a﹣b的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面积化简后的结果是（ ）
A．a﹣b B．a+b C．2ab D．4ab
7．（3分）如图，是由两个大小完全相同的圆柱形容器在中间连通而成的可以盛水的器具，现匀速地向容器A中注水，则容器A中水面上升的高度h随时间t变化的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝75°，则∠PNM等于（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
9．（3分）某木材市场上木棒规格与对应价格如下表：
规格
1m
2m
3m
4m
5m
6m
价格（元/根）
10
15
20
25
30
35
小明的爷爷要做一个三角形木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到该木材市场购买一根木棒．则小明的爷爷至少带的钱数应为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
10．（3分）如图，在△ABC中，AP平分∠BAC交BC于点P，过点P作PR⊥AB垂足为R，PS⊥AC垂足为S，在AC上取一点Q，使AQ＝PQ．则①PR＝PS，②AS＝AR，③QP∥AR，④△BRP≌△CSP．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。）
11．（4分）新冠病毒是病毒的一种，病毒的体积微小，一般在电镜下才能见到．在病毒中，有一种病毒直径约0.000 000 021m，请用科学记数法把数0.000 000 021m表示出来 ．
12．（4分）小球在如图所示的地板上自由地滚动并随机地停留在某块方砖上，则它最终停留在黑砖上的概率是 ．
13．（4分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，若PA＝3，则点P到射线OM的距离是 ．
14．（4分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于 cm．
15．（4分）如图所示，AB∥DE，∠1＝130°，∠2＝36°，则∠3＝ 度．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC上一动点，若AC＝4，BC＝15，CD＝x，则△ABD的面积S与x之间的函数关系式为 ．
17．（4分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 ．
三、解笞题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分。）
18．（6分）计算：5﹣1÷5﹣3+（﹣1）2022﹣（）﹣1+（3.14﹣π）0．
19．（6分）化简求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x，其中x＝﹣2，y＝．
20．（6分）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BC∥EF．完成推理填空：
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∴AC∥ ，（ ）
∴∠3＝∠5（ ）
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠5＝∠ （ ），
∴BC∥EF（ ）
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分。）
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
22．（8分）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少2个，从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.4．
（1）求袋中红、黄、白三种颜色的球的个数；
（2）向袋中放入若干个红球，使摸出一个球是红球的概率为0.7，求放入红球的个数；
（3）在（2）的条件下，求摸出一个球是白球的概率．
23．（8分）小颖和小强上山游玩，小颖乘坐缆车，小强步行，两人相约在山顶的缆车终点会和，已知小强行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小强出发后50分才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分，若图中的折线表示小强在整个行走过程中的路程（米）与出发时间（分）之间的关系的图象，请回答下列问题．
（1）小强行走的总路程是 米，他途中休息了 分；
（2）分别求出小强在休息前和休息后所走的两段路程的速度；
（3）当小颖到达缆车终点时，小强离缆车终点的路程是多少？
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分。）
24．（10分）如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．
观察图形，解答下列问题：
（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1： ，方法2： ；
（2）从（1）中你能得到怎样的等式？ ；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知x+y＝6，xy＝2，求x2+y2的值；
②已知（2022﹣x）2+（x﹣2021）2＝9，求（2022﹣x）（x﹣2021）的值．
25．（10分）如图，在△ABC中，点M、N分别为线段BC、AC上的动点，当M运动到线段BC的中点时有AM⊥BC．
（1）证明：AB＝AC；
（2）设线段AB的中点为D，当AB＝14cm，BC＝13cm时，若动点M从B点出发，以2cm/s的速度沿线段BC由B点向C点运动，动点N从C点出发匀速沿线段CA由C点向A点运动，动点M出发1秒后动点N才出发，当点N的运动速度为多少时，能够使△BMD与△CNM全等？
（3）若AB⊥AC，当BN平分∠ABC时，延长BN至点E使得AE＝AB，∠CAE的角平分线交BE于F，证明：BN＝2EF．
广东省揭阳市普宁市2021-2022学年七年级下学期期末质量监测数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x6+x6＝2x12 B．a2•a4＝a6
C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy﹣y2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2+b2
【分析】根据同底数幂的乘法、同类项的加法、完全平方差、平方差公式可以解出．
【解答】解：A、原式＝2x6，不符合题意；
B、原式＝a6，符合题意；
C、原式＝x2﹣2xy+y2，不符合题意；
D、原式＝a2﹣b2，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）如图，下列条件中不能判断a∥b的是（ ）
A．∠2＝∠6 B．∠3+∠5＝180° C．∠4+∠6＝180° D．∠1＝∠4
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∠2＝∠6可以判定a，b平行，不符合题意；
B、∠3+∠5＝180°，可以判定a，b平行，不符合题意；
C、∠4+∠6＝180°，可以判断a、b平行，不符合题意；
D、∠1＝∠4，不能判定a，b平行，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
4．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．路口遇到红灯
B．掷一枚硬币正面朝上
C．三角形的两边之和大于第三边
D．异号两数之和小于零
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、路口遇到红灯，是随机事件，本选项不符合题意；
B、掷一枚硬币正面朝上，是随机事件，本选项不符合题意；
C、三角形的两边之和大于第三边，是必然事件，本选项符合题意；
D、异号两数之和小于零，是随机事件，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，
∴当添加∠B＝∠E时，根据 ASA 判定△ABC≌△DEF；
当添加AC＝DF时，根据 SAS 判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ACD＝∠BFE时，则∠ACB＝∠DFE，根据 AAS 判定△ABC≌△DEF．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
6．（3分）将边长分别为a+b和a﹣b的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面积化简后的结果是（ ）
A．a﹣b B．a+b C．2ab D．4ab
【分析】根据图形得出阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，再求出即可．
【解答】解：阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2
＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）
＝4ab，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算的应用，能正确根据题意列出算式是解此题的关键在，注意运算顺序．
7．（3分）如图，是由两个大小完全相同的圆柱形容器在中间连通而成的可以盛水的器具，现匀速地向容器A中注水，则容器A中水面上升的高度h随时间t变化的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以分析出各个过程中A中水面上的快慢，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意和图形可知，
从开始到水面到达A和B连通的地方这个过程中，A中水面上升比较快，
从水面到达A和B连通的地方到B中水面和A中水面持平这个过程中，A中水面的高度不变，
从B中水面和A中水面持平到最后两个容器中水面上升到最高这个过程中，A中水面上升比较慢，
故选：C．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝75°，则∠PNM等于（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
【分析】根据平行线的性质得到∠DNM＝∠BME＝75°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND＝45°，即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DNM＝∠BME＝75°，
∵∠PND＝45°，
∴∠PNM＝∠DNM﹣∠DNP＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．（3分）某木材市场上木棒规格与对应价格如下表：
规格
1m
2m
3m
4m
5m
6m
价格（元/根）
10
15
20
25
30
35
小明的爷爷要做一个三角形木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到该木材市场购买一根木棒．则小明的爷爷至少带的钱数应为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】根据三角形的三边关系可得5﹣3＜x＜5+3，再解出不等式可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度，然后根据木棒价格可直接选出答案．
【解答】解：设第三根木棒的长度为xm，
根据三角形的三边关系可得：5﹣3＜x＜5+3，
解得2＜x＜8，
x＝3，4，5，6，7，共5种选择，
根据木棒的价格可得选3m最省钱，
所以小明的爷爷至少带的钱数应为20元，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
10．（3分）如图，在△ABC中，AP平分∠BAC交BC于点P，过点P作PR⊥AB垂足为R，PS⊥AC垂足为S，在AC上取一点Q，使AQ＝PQ．则①PR＝PS，②AS＝AR，③QP∥AR，④△BRP≌△CSP．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线的性质可得∠RAP＝∠SAP，再根据垂直定义可得∠PRA＝∠PSA＝90°，从而利用AAS证明△ARP≌△ASP，然后利用全等三角形的性质即可判断①和②，根据角平分线和等腰三角形的性质即可判断③，根据垂直定义可得∠BRP＝∠PSC＝90°，再利用①的结论即可判断④．
【解答】解∵AP平分∠BAC，
∴∠RAP＝∠SAP，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠PRA＝∠PSA＝90°，
∵AP＝AP，
∴△ARP≌△ASP（AAS），
∴PR＝PS，AR＝AS，
故①，②都正确；
∵AQ＝QP，
∴∠PAQ＝∠APQ，
∴∠RAP＝∠APQ，
∴QP∥AR，
故③正确；
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠BRP＝∠PSC＝90°，
∵PR＝PS，
∴△BRP和△CSP不一定全等，
故④不正确；
所以，正确的结论有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。）
11．（4分）新冠病毒是病毒的一种，病毒的体积微小，一般在电镜下才能见到．在病毒中，有一种病毒直径约0.000 000 021m，请用科学记数法把数0.000 000 021m表示出来 2.1×10﹣8m ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 000 021m＝2.1×10﹣8m；
故答案为：2.1×10﹣8m．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（4分）小球在如图所示的地板上自由地滚动并随机地停留在某块方砖上，则它最终停留在黑砖上的概率是 ．
【分析】用黑色方砖的面积除以方砖的总面积即可．
【解答】解：由题意知，它最终停留在黑砖上的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
13．（4分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，若PA＝3，则点P到射线OM的距离是 3 ．
【分析】根据角平分线的性质、点到直线的距离解答．
【解答】解：作PQ⊥OM于Q，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PQ＝PA＝3，
∴P到OM的距离为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14．（4分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于 7 cm．
【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等
【解答】解：由折叠的性质知，AE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+CE＝AB+BC＝3+4＝7cm．
故答案为：7．
【点评】本题考查了翻折变换的知识，利用了折叠的性质．
15．（4分）如图所示，AB∥DE，∠1＝130°，∠2＝36°，则∠3＝ 86 度．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补、内错角相等这两条性质来解答．
【解答】解：过点C作CM∥AB，则CM∥DE，
∵CM∥DE，∠2＝36°，
∴∠MCD＝∠2＝36°，
∵AB∥CM，∠1＝130°，
∴∠MCB+∠1＝180°，
∴∠MCB＝50°；
∴∠BCD＝∠MCB+∠MCD＝50°+36°＝86°．
故答案为：86．
【点评】本题考查了平行线的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC上一动点，若AC＝4，BC＝15，CD＝x，则△ABD的面积S与x之间的函数关系式为 S＝﹣2x+30 ．
【分析】根据三角形的面积公式即可求得．
【解答】解：CD×AC
＝
＝﹣2x+30．
故答案为：S＝﹣2x+30．
【点评】本题考查了函数关系式，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
17．（4分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 18或70 ．
【分析】设BE＝3t，则BF＝7t，使△AEG与△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．
【解答】解：设BE＝3t，则BF＝7t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，
∵BF＝AE，AB＝60，
∴7t＝60﹣3t，
解得：t＝6，
∴AG＝BE＝3t＝3×6＝18；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，
∵BE＝AE，AB＝60，
∴3t＝60﹣3t，
解得：t＝10，
∴AG＝BF＝7t＝7×10＝70，
综上所述，AG＝18或AG＝70．
故答案为：18或70．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
三、解笞题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分。）
18．（6分）计算：5﹣1÷5﹣3+（﹣1）2022﹣（）﹣1+（3.14﹣π）0．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：5﹣1÷5﹣3+（﹣1）2022﹣（）﹣1+（3.14﹣π）0
＝52+1﹣2+1
＝25．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
19．（6分）化简求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x，其中x＝﹣2，y＝．
【分析】根据完全平方公式，多项式乘多项式的法则，多项式除单项式的法则化简，然后再代入数据计算求解．
【解答】解：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x
＝（x2+4xy+4y2﹣3x2﹣2xy+y2﹣5y2）÷2x
＝（﹣2x2+2xy）÷2x
＝y﹣x，
当x＝﹣2，y＝时，
原式＝﹣（﹣2）＝．
【点评】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，多项式除单项式，去括号要注意符号的正确处理．
20．（6分）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BC∥EF．完成推理填空：
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∴AC∥ DF ，（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠3＝∠5（ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠5＝∠ 4 （ 等量代换 ），
∴BC∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】根据平行线的判定得出AC∥DF，根据平行线的性质得出∠3＝∠5，求出∠5＝∠4，根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠5（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠4，
∴∠5＝∠4（等量代换），
∴BC∥EF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：DF；同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等；4；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分。）
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【分析】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD；作∠CAD的角平分线交BC于E，点D，射线AE即为所求．
（2）首先证明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（8分）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少2个，从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.4．
（1）求袋中红、黄、白三种颜色的球的个数；
（2）向袋中放入若干个红球，使摸出一个球是红球的概率为0.7，求放入红球的个数；
（3）在（2）的条件下，求摸出一个球是白球的概率．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）设放入红球x个，列方程即可得到结论；
（3）根据概率公式即可得到结论．
【解答】解：（1）黄球个数：10×0.4＝4（个），
白球个数：（4+2）÷3＝2（个），
红球个数：10﹣4﹣2＝4（个），
答：袋中红、黄、白三种颜色的球的个数分别是4个、4个、2个；
（2）设放入红球x个，则4+x＝（10+x）×0.7，
解得：x＝10，即向袋中放入10个红球；
（3）P（摸出一个球是白球）＝＝0.1，
答：摸出一个球是白球的概率是0.1．
【点评】此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
23．（8分）小颖和小强上山游玩，小颖乘坐缆车，小强步行，两人相约在山顶的缆车终点会和，已知小强行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小强出发后50分才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分，若图中的折线表示小强在整个行走过程中的路程（米）与出发时间（分）之间的关系的图象，请回答下列问题．
（1）小强行走的总路程是 3600 米，他途中休息了 20 分；
（2）分别求出小强在休息前和休息后所走的两段路程的速度；
（3）当小颖到达缆车终点时，小强离缆车终点的路程是多少？
【分析】根据图象获取信息：
（1）小强到达山顶用时80分钟，中途休息了20分钟，行程为3600米；
（2）休息前30分钟行走1950米，休息后30分钟行走（3600﹣1950）米．
（3）求出小颖到达缆车终点的时间，计算小强行走路程，求离缆车终点的路程．
【解答】解：（1）由图象可得，小强行走的总路程是3600米，途中休息了50﹣30＝20（分），
故答案为：3600，20；
（2）小强休息前的速度为：＝65（米/分），
小强休息后的速度为：＝55（米/分）．
（3）小颖所用时间为：＝10（分），
小强比小颖迟到的时间为：80﹣50﹣10＝20（分），
所以，小颖到达终点时，小强离缆车终点的路程为：55×20＝1100（米）．
【点评】此题考查一次函数及其图象的应用，能够正确地从图象中获取相关信息是解决问题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分。）
24．（10分）如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．
观察图形，解答下列问题：
（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1： a2+b2 ，方法2： （a+b）2﹣2ab ；
（2）从（1）中你能得到怎样的等式？ a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知x+y＝6，xy＝2，求x2+y2的值；
②已知（2022﹣x）2+（x﹣2021）2＝9，求（2022﹣x）（x﹣2021）的值．
【分析】（1）方法1采用两个正方形的面积和，方法2用大正方形的面积减去两个长方形的面积；
（2）利用面积相等得出结论；
（3）①由（2）的结论，代入计算即可；
②设a＝2021﹣x，b＝x﹣2020，则a2+b2＝9，a+b＝1，再整体代入计算即可．
【解答】解：（1）方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即a2+b2，
方法2，从边长为（a+b）的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）∵（1）中的两种方法都表示阴影部分面积，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）①∵0.5xy＝2，
∴xy＝4，
又∵x+y＝6，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝62﹣2×4
＝36﹣8
＝28；
②设a＝2021﹣x，b＝x﹣2020，则a2+b2＝9，a+b＝1，
∴2（2021﹣x）（x﹣2020）＝2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝1﹣9＝﹣8，
∴（2021﹣x）（x﹣2020）＝﹣4，
答：（2021﹣x）（x﹣2020）的值为﹣4．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，灵活将公式进行变形是解题的关键．
25．（10分）如图，在△ABC中，点M、N分别为线段BC、AC上的动点，当M运动到线段BC的中点时有AM⊥BC．
（1）证明：AB＝AC；
（2）设线段AB的中点为D，当AB＝14cm，BC＝13cm时，若动点M从B点出发，以2cm/s的速度沿线段BC由B点向C点运动，动点N从C点出发匀速沿线段CA由C点向A点运动，动点M出发1秒后动点N才出发，当点N的运动速度为多少时，能够使△BMD与△CNM全等？
（3）若AB⊥AC，当BN平分∠ABC时，延长BN至点E使得AE＝AB，∠CAE的角平分线交BE于F，证明：BN＝2EF．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
（2）设点N的运动速度为xcm/s，经过ts后△BMD与△CNM全等，由题意BM＝2（t+1）cm，CM＝[13﹣2（t+1）]cm，CN＝xtcm，分两种情形：①当BD＝CM，BM＝CN时，两三角形全等．②当BM＝CM，BD＝CN时，两三角形全等．分别构建方程求解即可．
（3）如图3中，连接CF，延长CF交BA的延长线于H．利用全等三角形的性质证明CF＝EF，CF＝FH，BN＝CH，可得结论．
【解答】（1）证明：∵当M运动到线段BC的中点时有AM⊥BC，
∴AM垂直平分线段BC，
∴AB＝AC．
（2）解：设点N的运动速度为xcm/s，经过ts后△BMD与△CNM全等，
由题意BM＝2（t+1）cm，CM＝[13﹣2（t+1）]cm，CN＝xtcm，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根据全等三角形的判定定理可知，有两种情形：
①当BD＝CM，BM＝CN时，两三角形全等．则有13﹣2（t+1）＝7且2（t+1）＝xt，
解得x＝3．
②当BM＝CM，BD＝CN时，两三角形全等．则有2（t+1）＝13﹣2（t+1）且7＝xt，
解得x＝，
综上所述，满足条件的点N的速度为3cm/s或cm/s时，两三角形全等．
（3）证明：如图3中，连接CF，延长CF交BA的延长线于H．
∵AB＝AC，AB＝AE，
∴AC＝AE，
∵AF平分∠CAE，
∴∠CAF＝∠EAF，
在△AFC和△AFE中，
，
∴△AFC≌△AFE（SAS），
∴∠ACF＝∠E，CF＝EF，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
∴∠ABN＝∠NCF，
∵∠ANB＝∠FNC，
∴∠BAN＝∠CFN，
∵AB⊥AC，
∴∠CFN＝∠BAN＝90°，
∵BN平分∠ABC，
∴∠CBF＝∠HBF，
在△BFC和△BFH中，
，
∴△BFC≌△BFH（ASA），
∴CF＝FH，
在△ABN和△ACH中，
，
∴△ABN≌△ACH（ASA），
∴BN＝CH＝2CF＝2EF．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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