还剩24页未读，
继续阅读
广东省广州市天河区区华工附中、暨大附中、南国学校、华颖学校四校联合2021-2022学年 八年级上学期期中数学【试卷+答案】
展开
这是一份广东省广州市天河区区华工附中、暨大附中、南国学校、华颖学校四校联合2021-2022学年 八年级上学期期中数学【试卷+答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省广州市天河区区华工附中、暨大附中、南国学校、华颖学校四校联合八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分。）
1．下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
3．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，5，9 D．8，4，4
4．如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．则AB的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝20°，则∠E＝（ ）
A．20° B．30° C．50° D．70°
7．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2，S△ABD＝3，则BC＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB＝ED
B．折叠后∠ABE和∠C′BD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC′一定是全等三角形
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分。）
11．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，若BC＝5cm，则AC＝ cm．
12．等腰三角形中有一个内角是70°，则另外两个内角的度数分别为 ．
13．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加一个条件，使△ABC≌△DCB，你添加的条件是 ．（注：只需写出一个条件即可）
14．如图，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，D为AC边的中点，若BC＝6，则BD的长为 ．
15．如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE＝DB，则CE的长为 ．
16．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论是 ．
三、解答题（共9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。）
18．如图，已知AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：∠B＝∠E．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，且∠B＝40°，∠C＝60°，求∠EAD的度数．
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）请求出△ABC的面积；
（3）请在y轴上找一点P，使得PA+PC最小．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．
22．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC．D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．
（1）写出与BG相等的线段，并证明．
（2）若点D为线段BC的中点，其余条件不变，连接DF．根据题意，先在图2中补全图形，再证明：∠BDF＝∠CDE．
（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE，DE，AD三者之间的数量关系．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）利用尺规作线段AB的垂直平分线DE，垂足为E，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①若∠A＝30°，求∠DBC的度数；
②若△ABC的面积是12，BC＝4，点M、N分别是BC、DE上的动点，求BN+NM的最小值．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
25．如图1，已知正方形ABCD，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与一重合，当直角的一边与BC相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点时．
（1）证明：BE＝DF；
（2）如图2，作∠EAF的平分线交CD于G点，连接EG．证明：BE+DG＝EG；
（3）如图3，将图1中的“直角”改为“∠EAF＝45°”，当∠EAF的一边与BC的延长线相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点，连接EF．线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？并加以证明．
参考答案
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分。）
1．下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即求关于y轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此即可解答．
解：点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣2，3）．
故选：A．
3．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，5，9 D．8，4，4
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
解：根据三角形的三边关系，
A、2+3＞4，能组成三角形，符合题意；
B、2+3＝5，不能够组成三角形，不符合题意；
C、3+5＝8＜9，不能组成三角形，不符合题意；
D、4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意．
故选：A．
4．如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
解：这个正多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
则这个正多边形的边数是6．
故选：D．
5．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．则AB的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案．
解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵AC＝2，
∴AB＝2AC＝4．
故选：D．
6．如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝20°，则∠E＝（ ）
A．20° B．30° C．50° D．70°
【分析】根据平行线的性质，得出∠AOC＝∠A＝50°，再根据∠AOC是△COE的外角，即可得出∠E．
解：∵AB∥CD，∠A＝50°，
∴∠AOC＝∠A＝50°，
∵∠AOC是△COE的外角，∠C＝20°，
∴∠E＝∠AOC﹣∠C＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．
7．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2，S△ABD＝3，则BC＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】利用三角形面积公式得到△ABC＝2S△ABD＝6，则BC•AE＝6，从而可求出BC的长．
解：∵AD为中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×3＝6，
∴BC•AE＝6，
∴BC＝＝6．
故选：D．
8．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB＝ED
B．折叠后∠ABE和∠C′BD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC′一定是全等三角形
【分析】根据题意结合图形可以证明EB＝ED，进而证明△ABE≌△C′DE；此时可以判断选项A、B、D是成立的，问题即可解决．
解：由题意得：
△BC′D≌△BFD，
∴DC′＝DF，∠C′＝∠C＝90°；
∠C′BD＝∠CBD；
又∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠F＝90°；DE∥BF，AB＝DF；
∴∠EDB＝∠FBD，DC′＝AB；
∴∠EDB＝∠C′BD，
∴EB＝ED，△EBD为等腰三角形；
在△ABE与△CDE中，
∵，
∴△ABE≌△C′DE（HL）；
又∵△EBD为等腰三角形，
∴折叠后得到的图形是轴对称图形；
综上所述，选项A、C、D成立，
∴下列说法错误的是B，
故选：B．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN＝BC﹣BM﹣CN求出即可．
解：
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，
∴AB＝＝2cm＝AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE＝AB＝cm
同理CF＝cm，
∴BM＝＝2cm，
同理CN＝2cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，
故选：C．
10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2得出答案．
解：如图所示：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝2，
∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝8，
A4B4＝8B1A2＝16，
A5B5＝16B1A2＝32；
故选：D．
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分。）
11．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，若BC＝5cm，则AC＝ 5 cm．
【分析】先判定△ABC是等边三角形，再根据BC的长，即可得出AC的长．
解：∵△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC＝5cm，
∴AC＝5cm，
故答案为：5．
12．等腰三角形中有一个内角是70°，则另外两个内角的度数分别为 55°，55°或70°，40° ．
【分析】已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论．
解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：55°，55°或70°，40°．
13．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加一个条件，使△ABC≌△DCB，你添加的条件是 ∠A＝∠D ．（注：只需写出一个条件即可）
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理解答即可．
解：添加的条件为：∠A＝∠D或AB＝DC或OB＝OC；
∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
∵OB＝OC，
∴∠DBC＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠DCB，
∴∠ABO＝∠DCO，
∵∠AOB＝∠DOC，∠A+∠ABO+∠AOB＝180°，∠D+∠DCO+∠DOC＝180°，
∴∠A＝∠D，
∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，
∴能推出△ABC≌△DCB；
故答案为：∠A＝∠D
14．如图，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，D为AC边的中点，若BC＝6，则BD的长为 3 ．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C＝30°，根据等腰三角形的性质求出BD⊥AC，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝BC，再代入求出答案即可．
解：∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵D为AC边的中点，
∴BD⊥AC，
∵BC＝6，
∴BD＝BC＝3，
故答案为：3．
15．如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE＝DB，则CE的长为 ．
【分析】由等边三角形的三边相等且周长为9，求出AC的长为3，且∠ACB＝60°；然后根据等边三角形的“三合一”的性质推知∠DBC＝30°，再由等边对等角推知∠E＝30°；最后由外角定理求出∠CDE也为30°，根据等角对等边得到CD＝CE，都等于边长AC的一半，从而求出CE的值．
解：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，
∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC＝60°，
即∠DBE＝30°，又DE＝DB，
∴∠E＝∠DBE＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝30°，即∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE；
∵等边△ABC的周长为9，∴AC＝3，
∴CD＝CE＝AC＝．
故答案为：．
16．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论是 ①②③④ ．
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确．
解：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；
∵AE＝2BF，
∴AC＝3BF，故④正确；
故答案为：①②③④
三、解答题（共9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。）
18．如图，已知AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：∠B＝∠E．
【分析】由“SSS”可证△ABC≌△DEF，可得结论．
【解答】证明：∵AF＝DC，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠E．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，且∠B＝40°，∠C＝60°，求∠EAD的度数．
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠BAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠AED，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝80°．
又AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝BAC＝40°，
∴∠AED＝40°+40°＝80°，
又AD是BC边上的高，∠ADE＝90°，
∴∠EAD＝180°﹣90°﹣80°＝10°．
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）请求出△ABC的面积；
（3）请在y轴上找一点P，使得PA+PC最小．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）作A点关于y轴的对称点A′，连接CA′交y轴于P点．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）△ABC的面积＝3×3﹣×2×1﹣×3×1﹣×2×3＝3.5；
（3）如图，点P为所作．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．
【分析】欲证明BE＝CF，只要证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；
【解答】证明：∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE＝CF．
22．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC．D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．
（1）写出与BG相等的线段，并证明．
（2）若点D为线段BC的中点，其余条件不变，连接DF．根据题意，先在图2中补全图形，再证明：∠BDF＝∠CDE．
（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE，DE，AD三者之间的数量关系．
【分析】（1）证明△CBG≌△ACD（ASA），可得BG＝CD．
（2）证明△BFD≌△BFG（SAS），推出∠BDF＝∠G，由△CBG≌△ACD，推出∠ADC＝∠G，可得∠BDF＝∠CDE．
（3）结论：AD＝2CE+2DE．如图3中，在DB上取一点J，使得DJ＝CD，连接FJ，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BG于N．想办法证明FJ＝2DE，FG＝FJ，再利用全等三角形的性质可得AD＝CG＝CF+FG＝2CE+2DE．
【解答】（1）解：结论：CD＝BG．
理由：如图1中，
∵CG⊥AD，BG⊥BC，
∴∠CEA＝∠CBG＝∠ACD＝90°，
∴∠BCG+∠ACE＝90°，
∵∠ACE+∠EAC＝90°，
∴∠BCG＝∠CAD，
在△CBG和△ACD中，
，
∴△CBG≌△ACD（ASA），
∴BG＝CD．
（2）解：图形如图2所示．
证明：∵D是CB的中点，
∴CD＝BD，
∵BG＝DC，
∴BD＝BG，
∵CB＝CA，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝45°，
∵∠CBG＝90°，
∴∠FBD＝∠FBG＝45°，
在△FBD和△FBG中，
，
∴△BFD≌△BFG（SAS），
∴∠BDF＝∠G，
∵△CBG≌△ACD，
∴∠ADC＝∠G，
∴∠BDF＝∠CDE．
（3）解：结论：AD＝2CE+2DE．
理由：如图3中，在DB上取一点J，使得DJ＝CD，连接FJ，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BG于N．
∵C，F关于AD对称，
∴CE＝EF，
∵CD＝DJ，
∴DE∥FJ，FJ＝2DE，
∴∠GFJ＝∠GED＝90°，
∵∠FBM＝∠FBN＝45°，FM⊥BM，FN⊥BN，
∴FM＝FN，
∵∠GBJ+∠GFJ＝180°，
∴∠G+∠BJF＝180°，
∵∠BJF+∠FJM＝180°，
∴∠G＝∠FJM，
在△FMJ和△FNG中，
，
∴△FMJ≌△FNG（AAS），
∴FG＝FJ，
∴FG＝2DE，
∵△CBG≌△ACD，
∴AD＝CG，
∵CG＝CF+FG＝2CE+2DE，
∴AD＝2CE+2DE．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）利用尺规作线段AB的垂直平分线DE，垂足为E，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①若∠A＝30°，求∠DBC的度数；
②若△ABC的面积是12，BC＝4，点M、N分别是BC、DE上的动点，求BN+NM的最小值．
【分析】（1）利用基本作图作AB的垂直平分线即可；
（2））①根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝75°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠DBA＝∠A＝30°，然后计算∠ABC﹣∠DBA即可；
②如图，根据线段垂直平分线的性质得到NA＝NB，利用三角形三边的关系得到BN+NM＝AN+MN≥AM（当且仅当A、N、M共线时取等号），再利用垂线段最短得到当AM⊥BC时，AM的长度最小，然后根据三角形面积公式计算出AM即可．
解：（1）如图，DE为所作；
（2）①∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣30°）＝75°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝75°﹣30°＝45°；
②如图，∵DE垂直平分AB，
∴NA＝NB，
∴BN+NM＝AN+MN≥AM（当且仅当A、N、M共线时取等号），
∵当AM⊥BC时，AM的长度最小，
∵AM•BC＝12，
∴AM＝6，
∴BN+NM的最小值为6
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【分析】用含t的代数式表示出BP、BQ．
（1）由于∠B＝60°，当BP＝BQ时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论；
（2）分两种情况进行讨论：当∠BQP＝90°时，当∠BPQ＝90°时．利用直角三角形中，含30°角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论．
解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵4÷2＝2，
∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.
（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．
即4﹣2t＝t．
∴．
当时，△PBQ为等边三角形；
（2）若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
即4﹣2t＝2t，
∴t＝1．
②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，
即t＝2（4﹣2t），
∴．
即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．
25．如图1，已知正方形ABCD，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与一重合，当直角的一边与BC相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点时．
（1）证明：BE＝DF；
（2）如图2，作∠EAF的平分线交CD于G点，连接EG．证明：BE+DG＝EG；
（3）如图3，将图1中的“直角”改为“∠EAF＝45°”，当∠EAF的一边与BC的延长线相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点，连接EF．线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？并加以证明．
【分析】（1）根据正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，再根据等角的余角相等得∠BAE＝∠DAF，则可根据“ASA”证明△ABE≌△ADF，然后根据全等的性质即可得到BE＝DF；
（2）由△ABE≌△ADF得AE＝AF，再根据角平分线的定义得∠EAG＝∠FAG，然后根据“SAS”可判断△AEG≌△FAG，得到GE＝GF，由于GF＝DG+DF，所以BE+DG＝EG；
（3）作AG⊥AF交BC于G点，如图3，与（1）一样可证明△ABG≌△ADF，得到BG＝DF，AG＝AF；再与（2）一样可证明△AEG≌△AEF得到EF＝EG，利用BE＝BG+GE，
即可得到BE＝DF+EF．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∵∠EAF＝90°，即∠EAD+∠FAD＝90°，
而∠EAD+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE＝DF；
（2）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，
∵∠EAF的平分线交CD于G点，
∴∠EAG＝∠FAG，
在△AEG和△FAG中
，
∴△AEG≌△FAG（SAS），
∴GE＝GF，
∵GF＝DG+DF，
而BE＝DF，
∴BE+DG＝EG；
（3）解：BE＝DF+EF．理由如下：
作AG⊥AF交BC于G点，如图3，
与（1）一样可证明△ABG≌△ADF，
∴BG＝DF，AG＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAG＝90°﹣∠EAF＝45°，
与（2）一样可证明△AEG≌△AEF，
∴EF＝EG，
∵BE＝BG+GE，
∴BE＝DF+EF．
2021-2022学年广东省广州市天河区区华工附中、暨大附中、南国学校、华颖学校四校联合八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分。）
1．下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
3．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，5，9 D．8，4，4
4．如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．则AB的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝20°，则∠E＝（ ）
A．20° B．30° C．50° D．70°
7．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2，S△ABD＝3，则BC＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB＝ED
B．折叠后∠ABE和∠C′BD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC′一定是全等三角形
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分。）
11．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，若BC＝5cm，则AC＝ cm．
12．等腰三角形中有一个内角是70°，则另外两个内角的度数分别为 ．
13．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加一个条件，使△ABC≌△DCB，你添加的条件是 ．（注：只需写出一个条件即可）
14．如图，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，D为AC边的中点，若BC＝6，则BD的长为 ．
15．如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE＝DB，则CE的长为 ．
16．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论是 ．
三、解答题（共9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。）
18．如图，已知AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：∠B＝∠E．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，且∠B＝40°，∠C＝60°，求∠EAD的度数．
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）请求出△ABC的面积；
（3）请在y轴上找一点P，使得PA+PC最小．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．
22．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC．D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．
（1）写出与BG相等的线段，并证明．
（2）若点D为线段BC的中点，其余条件不变，连接DF．根据题意，先在图2中补全图形，再证明：∠BDF＝∠CDE．
（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE，DE，AD三者之间的数量关系．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）利用尺规作线段AB的垂直平分线DE，垂足为E，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①若∠A＝30°，求∠DBC的度数；
②若△ABC的面积是12，BC＝4，点M、N分别是BC、DE上的动点，求BN+NM的最小值．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
25．如图1，已知正方形ABCD，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与一重合，当直角的一边与BC相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点时．
（1）证明：BE＝DF；
（2）如图2，作∠EAF的平分线交CD于G点，连接EG．证明：BE+DG＝EG；
（3）如图3，将图1中的“直角”改为“∠EAF＝45°”，当∠EAF的一边与BC的延长线相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点，连接EF．线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？并加以证明．
参考答案
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分。）
1．下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即求关于y轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此即可解答．
解：点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣2，3）．
故选：A．
3．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，5，9 D．8，4，4
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
解：根据三角形的三边关系，
A、2+3＞4，能组成三角形，符合题意；
B、2+3＝5，不能够组成三角形，不符合题意；
C、3+5＝8＜9，不能组成三角形，不符合题意；
D、4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意．
故选：A．
4．如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
解：这个正多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
则这个正多边形的边数是6．
故选：D．
5．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．则AB的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案．
解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵AC＝2，
∴AB＝2AC＝4．
故选：D．
6．如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝20°，则∠E＝（ ）
A．20° B．30° C．50° D．70°
【分析】根据平行线的性质，得出∠AOC＝∠A＝50°，再根据∠AOC是△COE的外角，即可得出∠E．
解：∵AB∥CD，∠A＝50°，
∴∠AOC＝∠A＝50°，
∵∠AOC是△COE的外角，∠C＝20°，
∴∠E＝∠AOC﹣∠C＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．
7．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2，S△ABD＝3，则BC＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】利用三角形面积公式得到△ABC＝2S△ABD＝6，则BC•AE＝6，从而可求出BC的长．
解：∵AD为中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×3＝6，
∴BC•AE＝6，
∴BC＝＝6．
故选：D．
8．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB＝ED
B．折叠后∠ABE和∠C′BD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC′一定是全等三角形
【分析】根据题意结合图形可以证明EB＝ED，进而证明△ABE≌△C′DE；此时可以判断选项A、B、D是成立的，问题即可解决．
解：由题意得：
△BC′D≌△BFD，
∴DC′＝DF，∠C′＝∠C＝90°；
∠C′BD＝∠CBD；
又∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠F＝90°；DE∥BF，AB＝DF；
∴∠EDB＝∠FBD，DC′＝AB；
∴∠EDB＝∠C′BD，
∴EB＝ED，△EBD为等腰三角形；
在△ABE与△CDE中，
∵，
∴△ABE≌△C′DE（HL）；
又∵△EBD为等腰三角形，
∴折叠后得到的图形是轴对称图形；
综上所述，选项A、C、D成立，
∴下列说法错误的是B，
故选：B．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN＝BC﹣BM﹣CN求出即可．
解：
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，
∴AB＝＝2cm＝AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE＝AB＝cm
同理CF＝cm，
∴BM＝＝2cm，
同理CN＝2cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，
故选：C．
10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2得出答案．
解：如图所示：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝2，
∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝8，
A4B4＝8B1A2＝16，
A5B5＝16B1A2＝32；
故选：D．
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分。）
11．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，若BC＝5cm，则AC＝ 5 cm．
【分析】先判定△ABC是等边三角形，再根据BC的长，即可得出AC的长．
解：∵△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC＝5cm，
∴AC＝5cm，
故答案为：5．
12．等腰三角形中有一个内角是70°，则另外两个内角的度数分别为 55°，55°或70°，40° ．
【分析】已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论．
解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：55°，55°或70°，40°．
13．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加一个条件，使△ABC≌△DCB，你添加的条件是 ∠A＝∠D ．（注：只需写出一个条件即可）
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理解答即可．
解：添加的条件为：∠A＝∠D或AB＝DC或OB＝OC；
∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
∵OB＝OC，
∴∠DBC＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠DCB，
∴∠ABO＝∠DCO，
∵∠AOB＝∠DOC，∠A+∠ABO+∠AOB＝180°，∠D+∠DCO+∠DOC＝180°，
∴∠A＝∠D，
∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，
∴能推出△ABC≌△DCB；
故答案为：∠A＝∠D
14．如图，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，D为AC边的中点，若BC＝6，则BD的长为 3 ．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C＝30°，根据等腰三角形的性质求出BD⊥AC，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝BC，再代入求出答案即可．
解：∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵D为AC边的中点，
∴BD⊥AC，
∵BC＝6，
∴BD＝BC＝3，
故答案为：3．
15．如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE＝DB，则CE的长为 ．
【分析】由等边三角形的三边相等且周长为9，求出AC的长为3，且∠ACB＝60°；然后根据等边三角形的“三合一”的性质推知∠DBC＝30°，再由等边对等角推知∠E＝30°；最后由外角定理求出∠CDE也为30°，根据等角对等边得到CD＝CE，都等于边长AC的一半，从而求出CE的值．
解：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，
∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC＝60°，
即∠DBE＝30°，又DE＝DB，
∴∠E＝∠DBE＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝30°，即∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE；
∵等边△ABC的周长为9，∴AC＝3，
∴CD＝CE＝AC＝．
故答案为：．
16．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论是 ①②③④ ．
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确．
解：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；
∵AE＝2BF，
∴AC＝3BF，故④正确；
故答案为：①②③④
三、解答题（共9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。）
18．如图，已知AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：∠B＝∠E．
【分析】由“SSS”可证△ABC≌△DEF，可得结论．
【解答】证明：∵AF＝DC，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠E．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，且∠B＝40°，∠C＝60°，求∠EAD的度数．
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠BAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠AED，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝80°．
又AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝BAC＝40°，
∴∠AED＝40°+40°＝80°，
又AD是BC边上的高，∠ADE＝90°，
∴∠EAD＝180°﹣90°﹣80°＝10°．
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）请求出△ABC的面积；
（3）请在y轴上找一点P，使得PA+PC最小．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）作A点关于y轴的对称点A′，连接CA′交y轴于P点．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）△ABC的面积＝3×3﹣×2×1﹣×3×1﹣×2×3＝3.5；
（3）如图，点P为所作．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．
【分析】欲证明BE＝CF，只要证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；
【解答】证明：∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE＝CF．
22．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC．D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．
（1）写出与BG相等的线段，并证明．
（2）若点D为线段BC的中点，其余条件不变，连接DF．根据题意，先在图2中补全图形，再证明：∠BDF＝∠CDE．
（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE，DE，AD三者之间的数量关系．
【分析】（1）证明△CBG≌△ACD（ASA），可得BG＝CD．
（2）证明△BFD≌△BFG（SAS），推出∠BDF＝∠G，由△CBG≌△ACD，推出∠ADC＝∠G，可得∠BDF＝∠CDE．
（3）结论：AD＝2CE+2DE．如图3中，在DB上取一点J，使得DJ＝CD，连接FJ，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BG于N．想办法证明FJ＝2DE，FG＝FJ，再利用全等三角形的性质可得AD＝CG＝CF+FG＝2CE+2DE．
【解答】（1）解：结论：CD＝BG．
理由：如图1中，
∵CG⊥AD，BG⊥BC，
∴∠CEA＝∠CBG＝∠ACD＝90°，
∴∠BCG+∠ACE＝90°，
∵∠ACE+∠EAC＝90°，
∴∠BCG＝∠CAD，
在△CBG和△ACD中，
，
∴△CBG≌△ACD（ASA），
∴BG＝CD．
（2）解：图形如图2所示．
证明：∵D是CB的中点，
∴CD＝BD，
∵BG＝DC，
∴BD＝BG，
∵CB＝CA，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝45°，
∵∠CBG＝90°，
∴∠FBD＝∠FBG＝45°，
在△FBD和△FBG中，
，
∴△BFD≌△BFG（SAS），
∴∠BDF＝∠G，
∵△CBG≌△ACD，
∴∠ADC＝∠G，
∴∠BDF＝∠CDE．
（3）解：结论：AD＝2CE+2DE．
理由：如图3中，在DB上取一点J，使得DJ＝CD，连接FJ，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BG于N．
∵C，F关于AD对称，
∴CE＝EF，
∵CD＝DJ，
∴DE∥FJ，FJ＝2DE，
∴∠GFJ＝∠GED＝90°，
∵∠FBM＝∠FBN＝45°，FM⊥BM，FN⊥BN，
∴FM＝FN，
∵∠GBJ+∠GFJ＝180°，
∴∠G+∠BJF＝180°，
∵∠BJF+∠FJM＝180°，
∴∠G＝∠FJM，
在△FMJ和△FNG中，
，
∴△FMJ≌△FNG（AAS），
∴FG＝FJ，
∴FG＝2DE，
∵△CBG≌△ACD，
∴AD＝CG，
∵CG＝CF+FG＝2CE+2DE，
∴AD＝2CE+2DE．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）利用尺规作线段AB的垂直平分线DE，垂足为E，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①若∠A＝30°，求∠DBC的度数；
②若△ABC的面积是12，BC＝4，点M、N分别是BC、DE上的动点，求BN+NM的最小值．
【分析】（1）利用基本作图作AB的垂直平分线即可；
（2））①根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝75°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠DBA＝∠A＝30°，然后计算∠ABC﹣∠DBA即可；
②如图，根据线段垂直平分线的性质得到NA＝NB，利用三角形三边的关系得到BN+NM＝AN+MN≥AM（当且仅当A、N、M共线时取等号），再利用垂线段最短得到当AM⊥BC时，AM的长度最小，然后根据三角形面积公式计算出AM即可．
解：（1）如图，DE为所作；
（2）①∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣30°）＝75°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝75°﹣30°＝45°；
②如图，∵DE垂直平分AB，
∴NA＝NB，
∴BN+NM＝AN+MN≥AM（当且仅当A、N、M共线时取等号），
∵当AM⊥BC时，AM的长度最小，
∵AM•BC＝12，
∴AM＝6，
∴BN+NM的最小值为6
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【分析】用含t的代数式表示出BP、BQ．
（1）由于∠B＝60°，当BP＝BQ时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论；
（2）分两种情况进行讨论：当∠BQP＝90°时，当∠BPQ＝90°时．利用直角三角形中，含30°角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论．
解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵4÷2＝2，
∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.
（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．
即4﹣2t＝t．
∴．
当时，△PBQ为等边三角形；
（2）若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
即4﹣2t＝2t，
∴t＝1．
②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，
即t＝2（4﹣2t），
∴．
即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．
25．如图1，已知正方形ABCD，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与一重合，当直角的一边与BC相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点时．
（1）证明：BE＝DF；
（2）如图2，作∠EAF的平分线交CD于G点，连接EG．证明：BE+DG＝EG；
（3）如图3，将图1中的“直角”改为“∠EAF＝45°”，当∠EAF的一边与BC的延长线相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点，连接EF．线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？并加以证明．
【分析】（1）根据正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，再根据等角的余角相等得∠BAE＝∠DAF，则可根据“ASA”证明△ABE≌△ADF，然后根据全等的性质即可得到BE＝DF；
（2）由△ABE≌△ADF得AE＝AF，再根据角平分线的定义得∠EAG＝∠FAG，然后根据“SAS”可判断△AEG≌△FAG，得到GE＝GF，由于GF＝DG+DF，所以BE+DG＝EG；
（3）作AG⊥AF交BC于G点，如图3，与（1）一样可证明△ABG≌△ADF，得到BG＝DF，AG＝AF；再与（2）一样可证明△AEG≌△AEF得到EF＝EG，利用BE＝BG+GE，
即可得到BE＝DF+EF．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∵∠EAF＝90°，即∠EAD+∠FAD＝90°，
而∠EAD+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE＝DF；
（2）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，
∵∠EAF的平分线交CD于G点，
∴∠EAG＝∠FAG，
在△AEG和△FAG中
，
∴△AEG≌△FAG（SAS），
∴GE＝GF，
∵GF＝DG+DF，
而BE＝DF，
∴BE+DG＝EG；
（3）解：BE＝DF+EF．理由如下：
作AG⊥AF交BC于G点，如图3，
与（1）一样可证明△ABG≌△ADF，
∴BG＝DF，AG＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAG＝90°﹣∠EAF＝45°，
与（2）一样可证明△AEG≌△AEF，
∴EF＝EG，
∵BE＝BG+GE，
∴BE＝DF+EF．
相关试卷
广东省广州市天河区华工附中、暨大附中、南国学校、华颖学校四校联合2021-2022学年八年级上学期期中数学试题（解析版+原卷版）： 这是一份广东省广州市天河区华工附中、暨大附中、南国学校、华颖学校四校联合2021-2022学年八年级上学期期中数学试题（解析版+原卷版），文件包含精品解析广东省广州市天河区华工附中暨大附中南国学校华颖学校四校联合2021-2022学年八年级上学期期中数学试题原卷版docx、精品解析广东省广州市天河区华工附中暨大附中南国学校华颖学校四校联合2021-2022学年八年级上学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省广州市天河区华南师大附中八年级（下）期中数学试卷： 这是一份2021-2022学年广东省广州市天河区华南师大附中八年级（下）期中数学试卷，共22页。
2022-2023学年广东省广州市天河区华颖外国语学校初中部七年级（上）期末数学试卷： 这是一份2022-2023学年广东省广州市天河区华颖外国语学校初中部七年级（上）期末数学试卷，共16页。
