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广东省广州市黄埔区会元学校2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】
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这是一份广东省广州市黄埔区会元学校2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省广州市黄埔区会元学校八年级第一学期期中数学试卷
一、单选题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．下列四个图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10
3．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6
C．（ab）2＝ab2 D．2a5•3a5＝5a5
4．如图所示，∠1＝∠2＝145°，则∠3＝（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
5．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．如图，地面上有三条公路AB，BC，AC，要想在修建一个加油站方便三条公路上的车辆加油（到AB、BC、AC三条公路的距离相等），应该把加油站修建在（ ）
A．△ABC三边的垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
7．如图，BP、CP是△ABC的外角角平分线，若∠P＝60°，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
8．如图，AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA，且点O到AB的距离OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（ ）
A．7 B．14 C．21 D．28
9．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．100°
10．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24cm，∠B＝∠C，BC＝16cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，当点Q的运动速度为（ ）cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
A．4 B．3 C．4或3 D．4或6
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．点P（﹣1，2）关于x轴对称点P1的坐标为 ．
12．如图，点A、E、B、F在同一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，要使△ABC≌△FED，则可以补充一个条件： ．
14．已知等腰三角形的一个外角是70°，则它顶角的度数为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，且BE＝BC．若AD＝6cm，则CD的长为 cm．
16．如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC；其中正确的结论为 ．（填写序号）
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．计算：
（1）（﹣3x3）2﹣x2•x4﹣（x2）3．
（2）已知ax＝﹣2，ay＝3．求a2x+y的值．
18．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠1＝∠2，求证：AB＝CD．
19．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D．
（1）若∠A＝40°，求∠BCD的度数；
（2）若AE＝5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l对称；
（2）在直线l上找一点P，使得PA+PC最小；
（3）△ABC的面积为 ．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）作△ABC的角平分线AD．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积等于 ．
22．如图，在△ABC中，AE是BC边上的高．
（1）若AD是边BC上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝6cm²，求DC的长；
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠C﹣∠B＝30°，求∠DAE的度数．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DC＝AE，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D
（1）求证：AC＝CB；
（2）若AC＝12cm，求BD的长．
24．如图1，D为等边△ABC的边AC上一点，E为直线AB上一点，CD＝BE．
（1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图2，DE交CB于点P，若DE⊥AC，PC＝4，求BP的长．
25．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC．
（1）如图1，若OB＝6，则点C的坐标为 ；
（2）如图2，若OB＝8，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF，连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长．
参考答案
一、单选题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．下列四个图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，直接根据轴对称图形的概念即可得出答案．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
2．下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10
【分析】由于三角形三边满足两短边的和大于最长的边，只要不满足这个关系就不能构成三角形．根据这个关系即可确定选择项．
解：A、∵1+1＝2＜3，
∴无法构成三角形，不合题意；
B、∵2+3＝5，
∴无法构成三角形，不合题意；
C、∵3+4＝7＜9，
∴无法构成三角形，不合题意；
D、∵5+6＝11＞10，
∴可以构成三角形，符合题意；
故选：D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6
C．（ab）2＝ab2 D．2a5•3a5＝5a5
【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．
解：A、a3+a3＝2a3，故A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故B符合题意；
C、（ab）2＝a2b2，故C不符合题意；
D、2a5•3a5＝6a10，故D不符合题意；
故选：B．
4．如图所示，∠1＝∠2＝145°，则∠3＝（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【分析】根据三角形的外角和等于360°计算即可．
解：∵∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，
∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∵∠1＝∠2＝145°，
∴∠3＝360°﹣145°×2＝70°，
故选：B．
5．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
6．如图，地面上有三条公路AB，BC，AC，要想在修建一个加油站方便三条公路上的车辆加油（到AB、BC、AC三条公路的距离相等），应该把加油站修建在（ ）
A．△ABC三边的垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
【分析】根据角平分线性质，同时加油站的位置到三条路距离相等，从而得到加油站修建在△ABC三条角平分线的交点处．
解：三角形中到三边的距离相等的是三角形的内心，即为三条内角平分线的交点．
故选：B．
7．如图，BP、CP是△ABC的外角角平分线，若∠P＝60°，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【分析】利用三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【解答】证明：∵BP、CP是△ABC的外角的平分线，
∴∠PCB＝∠ECB，∠PBC＝∠DBC，
∵∠ECB＝∠A+∠ABC，∠DBC＝∠A+∠ACB，
∴∠PCB+∠PBC＝（∠A+∠ABC+∠A+∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，
∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠A＝60°，
故选：B．
8．如图，AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA，且点O到AB的距离OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（ ）
A．7 B．14 C．21 D．28
【分析】连接OC，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD＝2，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
解：连接OC，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∴△ABC的面积＝△AOC的面积+△AOB的面积+△BOC的面积
＝×AC×OE+×AB×OD+×BC×OF
＝×（AB+AC+BC）×2
＝28．
故选：D．
9．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．100°
【分析】首先证明△ABC≌△DFE，根据全等三角形的性质可得∠1＝∠BAC，再根据余角的定义可得∠BAC+∠2＝90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．
解：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠1＝∠BAC，
∵∠BAC+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：C．
10．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24cm，∠B＝∠C，BC＝16cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，当点Q的运动速度为（ ）cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
A．4 B．3 C．4或3 D．4或6
【分析】根据等边对等角可得∠B＝∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD与CQ是对应边两种情况讨论求解即可．
解：∵AB＝24cm，BC＝16cm，点D为AB的中点，
∴BD＝×24＝12cm，
设点P、Q的运动时间为ts，
∴BP＝4t，
∴PC＝（16﹣4t）cm
①当BD＝PC时，16﹣4t＝12，
解得：t＝1，
则BP＝CQ＝4，
故点Q的运动速度为：4÷1＝4（cm/s）；
②当BP＝PC时，
∵BC＝16cm，
∴BP＝PC＝8cm，
∴t＝8÷4＝2．
故点Q的运动速度为12÷2＝6（cm/s）．
故选：D．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．点P（﹣1，2）关于x轴对称点P1的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
解：点P（﹣1，2）关于x轴对称点P1的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
12．如图，点A、E、B、F在同一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，要使△ABC≌△FED，则可以补充一个条件： AB＝EF ．
【分析】根据平行线的性质，由AC∥DF，得∠A＝∠F，从而解决此题．
解：补充条件：AB＝EF．
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（SAS）．
故答案为：AB＝EF．
14．已知等腰三角形的一个外角是70°，则它顶角的度数为 110° ．
【分析】三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，110°只可能是顶角．
解：等腰三角形一个外角为70°，那相邻的内角为110°，
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以110°只可能是顶角．
故答案为：110°．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，且BE＝BC．若AD＝6cm，则CD的长为 3 cm．
【分析】连接BD，根据HL证明Rt△BCD与Rt△BED全等，进而利用全等三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可．
解：连接BD，
在Rt△BCD与Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴CD＝DE，
在Rt△ADE中，∠A＝90°﹣60°＝30°，AD＝6cm，
∴DE＝3cm，
∴CD＝3cm，
故答案为：3．
16．如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC；其中正确的结论为 ①②④⑤ ．（填写序号）
【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出∠PBC+∠PCB的度数，再由三角形内角和定理可求出∠BPC的度数，①正确；由∠BPC＝120°可知∠DPE＝120°，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由角平分线的性质可知AP是∠BAC的平分线，②正确；PF＝PG＝PH，故∠AFP＝∠AGP＝90°，由四边形内角和定理可得出∠FPG＝120°，故∠DPF＝∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD＝PE，④正确；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，再由DF＝EG可得出BC＝BD+CE，⑤正确；即可得出结论．
解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，①正确；
∵∠BPC＝120°，
∴∠DPE＝120°，
过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴AP是∠BAC的平分线，②正确；
∴PF＝PG＝PH，
∵∠BAC＝60°∠AFP＝∠AGP＝90°，
∴∠FPG＝120°，
∴∠DPF＝∠EPG，
在△PFD与△PGE中，，
∴△PFD≌△PGE（ASA），
∴PD＝PE，④正确；
在Rt△BHP与Rt△BFP中，，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，
两式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE，
∵DF＝EG，
∴BC＝BD+CE，⑤正确；
没有条件得出AD＝AE，③不正确；
故答案为：①②④⑤．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．计算：
（1）（﹣3x3）2﹣x2•x4﹣（x2）3．
（2）已知ax＝﹣2，ay＝3．求a2x+y的值．
【分析】（1）先进行积的乘方与幂的乘方的运算，同底数幂的乘法运算，再合并同类项即可；
（2）利用同底数幂的乘法与幂的乘方对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
解：（1）（﹣3x3）2﹣x2•x4﹣（x2）3
＝9x6﹣x6﹣x6
＝7x6．
（2）∵ax＝﹣2，ay＝3，
∴a2x+y
＝a2x×ay
＝（ax）2×ay
＝（﹣2）2×3
＝4×3
＝12．
18．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠1＝∠2，求证：AB＝CD．
【分析】由∠1＝∠2知∠AOB＝∠COD，再结合OA＝OC、OB＝OD，利用“SAS”判定△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质即可得证．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠AOD＝∠2+∠AOD，即∠AOB＝∠COD，
在△AOB和△COD中，
∵，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD．
19．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D．
（1）若∠A＝40°，求∠BCD的度数；
（2）若AE＝5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°列式求出∠BCD的度数；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，AB＝2AE，把△BCD的周长转化为AC、BC的和，然后代入数据进行计算即可得解．
解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠BCD＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，AB＝2AE＝10，
∵△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝17，
∴△ABC的周长＝10+17＝27．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l对称；
（2）在直线l上找一点P，使得PA+PC最小；
（3）△ABC的面积为 5 ．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得；
（2）连接AC1，与直线l的交点即为所求；
（3）利用割补法求解可得．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）连接AC1，则AC1与l的交点P即为所求的点．
（3）△ABC的面积为3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5，
故答案为：5．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）作△ABC的角平分线AD．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积等于 15 ．
【分析】（1）利用基本作图，作∠BAC的平分线即可；
（2）过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝3，然后根据三角形面积公式计算．
解：（1）如图，线段AD为所求；
（2）过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝×3×10＝15．
故答案为15．
22．如图，在△ABC中，AE是BC边上的高．
（1）若AD是边BC上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝6cm²，求DC的长；
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠C﹣∠B＝30°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据三角形的面积公式，得＝6，得BC＝4．由AD是边BC上的中线，得CD＝＝2（cm）．
（2）设∠B＝x，则∠C＝x+30°．根据三角形内角和定理，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝150°﹣2x．由AD是∠BAC的平分线，得∠BAD＝＝75°﹣x，那么∠ADE＝∠B+∠BAD＝x+75°﹣x＝75°．由AE是BC边上的高，得∠AED＝90°，那么∠DAE＝180°﹣（∠ADE+∠DEA）＝15°．
解：（1）∵＝6，
∴×3＝6．
∴BC＝4．
∵AD是边BC上的中线，
∴CD＝＝2（cm）．
（2）设∠B＝x，则∠C＝x+30°．
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣x﹣（x+30°）＝150°﹣2x．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝＝75°﹣x．
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝x+75°﹣x＝75°．
∵AE是BC边上的高，
∴∠AED＝90°．
∴∠DAE＝180°﹣（∠ADE+∠DEA）＝180°﹣（75°+90°）＝15°．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DC＝AE，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D
（1）求证：AC＝CB；
（2）若AC＝12cm，求BD的长．
【分析】（1）由“AAS”可证△DBC≌△ECA，可得AC＝BC；
（2）由全等三角形的性质和中线的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵DB⊥BC，AE⊥CD，
∴∠DBC＝∠ACE＝∠AFC＝90°，
∵∠DCB+∠ACF＝90°，∠ACF+∠EAC＝90°，
∴∠DCB＝∠EAC，且DC＝AE，∠DBC＝∠ACE＝90°
∴△DBC≌△ECA（AAS）
∴AC＝BC
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BE＝BC＝AC＝6cm，
∵△DBC≌△ECA
∴DB＝CE＝6cm
24．如图1，D为等边△ABC的边AC上一点，E为直线AB上一点，CD＝BE．
（1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图2，DE交CB于点P，若DE⊥AC，PC＝4，求BP的长．
【分析】（1）只要证明△ADE是等边三角形即可；
（2）过点D作DQ∥AB，交BC于点Q，证△DQP≌△EBP（AAS），得QP＝BP，再利用含30°角的直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠A＝60°，
∵CD＝BE，
∴AB﹣BE＝AC﹣CD，
即AD＝AE，
∵∠A＝60°，
∴△ADE是等边三角形
（2）解：过点D作DQ∥AB，交BC于点Q，如图2所示：
则∠CDQ＝∠A＝60°，∠CQD＝∠ABC＝60°，∠DQP＝∠EBP，
∴△DCQ是等边三角形，
∴DQ＝CQ＝CD＝BE．
∵∠DPQ＝∠EPB，∠DQP＝∠EBP，
∴△DQP≌△EBP（AAS），
∴QP＝BP，
∵DE⊥AC，
∴∠CDP＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠CPD＝30°，
∴CQ＝CD＝PC＝2，
∴QP＝PC﹣CQ＝2，
∴BP＝QP＝2．
25．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC．
（1）如图1，若OB＝6，则点C的坐标为 （6，14） ；
（2）如图2，若OB＝8，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF，连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长．
【分析】（1）如图1，过点C作CH⊥y轴，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得CH＝OB＝6，BH＝AO＝8，可求解；
（2）过点E作EF⊥x轴于F，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得BO＝DF＝8，OD＝EF，由等腰直角三角形的性质可得∠BAO＝45°，∠EAF＝∠AEF＝45°，可得结论；
（3）由（1）可知△ABO≌△BCG，可得BO＝GC，AO＝BG＝4，再由“AAS”可证△CPG≌△FPB，可得PB＝PG＝4．
解：（1）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠CHB＝∠ABC＝∠AOB＝90°，
∴∠BCH+∠HBC＝90°＝∠HBC+∠ABO，
∴∠ABO＝∠BCH，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH＝OB＝6，BH＝AO＝8，
∴OH＝14，
∴点C（6，14），
故答案为：（6，14）；
（2）过点E作EF⊥x轴于F，
∴∠EFD＝∠BDE＝∠BOD＝90°，
∴∠BDO+∠EDF＝90°＝∠BDO+∠DBO，
∴∠DBO＝∠EDF，
在△BOD和△DFE中，
，
∴△BOD≌△DFE（AAS），
∴BO＝DF＝8，OD＝EF，
∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝OB＝8，
∴∠BAO＝45°，
∵OA＝DF＝8，
∴OD＝AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴BA⊥AE；
（3）过点C作CG⊥y轴G，
由（1）可知：△ABO≌△BCG，
∴BO＝GC，AO＝BG＝8，
∵BF＝BO，∠OBF＝90°，
∴BF＝GC，∠CGP＝∠FBP＝90°，
又∵∠CPG＝∠FPB，
∴△CPG≌△FPB（AAS），
∴BP＝GP，
∴BP＝BG＝4．
2021-2022学年广东省广州市黄埔区会元学校八年级第一学期期中数学试卷
一、单选题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．下列四个图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10
3．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6
C．（ab）2＝ab2 D．2a5•3a5＝5a5
4．如图所示，∠1＝∠2＝145°，则∠3＝（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
5．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．如图，地面上有三条公路AB，BC，AC，要想在修建一个加油站方便三条公路上的车辆加油（到AB、BC、AC三条公路的距离相等），应该把加油站修建在（ ）
A．△ABC三边的垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
7．如图，BP、CP是△ABC的外角角平分线，若∠P＝60°，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
8．如图，AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA，且点O到AB的距离OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（ ）
A．7 B．14 C．21 D．28
9．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．100°
10．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24cm，∠B＝∠C，BC＝16cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，当点Q的运动速度为（ ）cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
A．4 B．3 C．4或3 D．4或6
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．点P（﹣1，2）关于x轴对称点P1的坐标为 ．
12．如图，点A、E、B、F在同一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，要使△ABC≌△FED，则可以补充一个条件： ．
14．已知等腰三角形的一个外角是70°，则它顶角的度数为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，且BE＝BC．若AD＝6cm，则CD的长为 cm．
16．如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC；其中正确的结论为 ．（填写序号）
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．计算：
（1）（﹣3x3）2﹣x2•x4﹣（x2）3．
（2）已知ax＝﹣2，ay＝3．求a2x+y的值．
18．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠1＝∠2，求证：AB＝CD．
19．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D．
（1）若∠A＝40°，求∠BCD的度数；
（2）若AE＝5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l对称；
（2）在直线l上找一点P，使得PA+PC最小；
（3）△ABC的面积为 ．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）作△ABC的角平分线AD．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积等于 ．
22．如图，在△ABC中，AE是BC边上的高．
（1）若AD是边BC上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝6cm²，求DC的长；
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠C﹣∠B＝30°，求∠DAE的度数．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DC＝AE，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D
（1）求证：AC＝CB；
（2）若AC＝12cm，求BD的长．
24．如图1，D为等边△ABC的边AC上一点，E为直线AB上一点，CD＝BE．
（1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图2，DE交CB于点P，若DE⊥AC，PC＝4，求BP的长．
25．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC．
（1）如图1，若OB＝6，则点C的坐标为 ；
（2）如图2，若OB＝8，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF，连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长．
参考答案
一、单选题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．下列四个图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，直接根据轴对称图形的概念即可得出答案．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
2．下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10
【分析】由于三角形三边满足两短边的和大于最长的边，只要不满足这个关系就不能构成三角形．根据这个关系即可确定选择项．
解：A、∵1+1＝2＜3，
∴无法构成三角形，不合题意；
B、∵2+3＝5，
∴无法构成三角形，不合题意；
C、∵3+4＝7＜9，
∴无法构成三角形，不合题意；
D、∵5+6＝11＞10，
∴可以构成三角形，符合题意；
故选：D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6
C．（ab）2＝ab2 D．2a5•3a5＝5a5
【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．
解：A、a3+a3＝2a3，故A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故B符合题意；
C、（ab）2＝a2b2，故C不符合题意；
D、2a5•3a5＝6a10，故D不符合题意；
故选：B．
4．如图所示，∠1＝∠2＝145°，则∠3＝（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【分析】根据三角形的外角和等于360°计算即可．
解：∵∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，
∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∵∠1＝∠2＝145°，
∴∠3＝360°﹣145°×2＝70°，
故选：B．
5．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
6．如图，地面上有三条公路AB，BC，AC，要想在修建一个加油站方便三条公路上的车辆加油（到AB、BC、AC三条公路的距离相等），应该把加油站修建在（ ）
A．△ABC三边的垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
【分析】根据角平分线性质，同时加油站的位置到三条路距离相等，从而得到加油站修建在△ABC三条角平分线的交点处．
解：三角形中到三边的距离相等的是三角形的内心，即为三条内角平分线的交点．
故选：B．
7．如图，BP、CP是△ABC的外角角平分线，若∠P＝60°，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【分析】利用三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【解答】证明：∵BP、CP是△ABC的外角的平分线，
∴∠PCB＝∠ECB，∠PBC＝∠DBC，
∵∠ECB＝∠A+∠ABC，∠DBC＝∠A+∠ACB，
∴∠PCB+∠PBC＝（∠A+∠ABC+∠A+∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，
∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠A＝60°，
故选：B．
8．如图，AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA，且点O到AB的距离OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（ ）
A．7 B．14 C．21 D．28
【分析】连接OC，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD＝2，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
解：连接OC，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∴△ABC的面积＝△AOC的面积+△AOB的面积+△BOC的面积
＝×AC×OE+×AB×OD+×BC×OF
＝×（AB+AC+BC）×2
＝28．
故选：D．
9．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．100°
【分析】首先证明△ABC≌△DFE，根据全等三角形的性质可得∠1＝∠BAC，再根据余角的定义可得∠BAC+∠2＝90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．
解：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠1＝∠BAC，
∵∠BAC+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：C．
10．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24cm，∠B＝∠C，BC＝16cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，当点Q的运动速度为（ ）cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
A．4 B．3 C．4或3 D．4或6
【分析】根据等边对等角可得∠B＝∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD与CQ是对应边两种情况讨论求解即可．
解：∵AB＝24cm，BC＝16cm，点D为AB的中点，
∴BD＝×24＝12cm，
设点P、Q的运动时间为ts，
∴BP＝4t，
∴PC＝（16﹣4t）cm
①当BD＝PC时，16﹣4t＝12，
解得：t＝1，
则BP＝CQ＝4，
故点Q的运动速度为：4÷1＝4（cm/s）；
②当BP＝PC时，
∵BC＝16cm，
∴BP＝PC＝8cm，
∴t＝8÷4＝2．
故点Q的运动速度为12÷2＝6（cm/s）．
故选：D．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．点P（﹣1，2）关于x轴对称点P1的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
解：点P（﹣1，2）关于x轴对称点P1的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
12．如图，点A、E、B、F在同一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，要使△ABC≌△FED，则可以补充一个条件： AB＝EF ．
【分析】根据平行线的性质，由AC∥DF，得∠A＝∠F，从而解决此题．
解：补充条件：AB＝EF．
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（SAS）．
故答案为：AB＝EF．
14．已知等腰三角形的一个外角是70°，则它顶角的度数为 110° ．
【分析】三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，110°只可能是顶角．
解：等腰三角形一个外角为70°，那相邻的内角为110°，
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以110°只可能是顶角．
故答案为：110°．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，且BE＝BC．若AD＝6cm，则CD的长为 3 cm．
【分析】连接BD，根据HL证明Rt△BCD与Rt△BED全等，进而利用全等三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可．
解：连接BD，
在Rt△BCD与Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴CD＝DE，
在Rt△ADE中，∠A＝90°﹣60°＝30°，AD＝6cm，
∴DE＝3cm，
∴CD＝3cm，
故答案为：3．
16．如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC；其中正确的结论为 ①②④⑤ ．（填写序号）
【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出∠PBC+∠PCB的度数，再由三角形内角和定理可求出∠BPC的度数，①正确；由∠BPC＝120°可知∠DPE＝120°，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由角平分线的性质可知AP是∠BAC的平分线，②正确；PF＝PG＝PH，故∠AFP＝∠AGP＝90°，由四边形内角和定理可得出∠FPG＝120°，故∠DPF＝∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD＝PE，④正确；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，再由DF＝EG可得出BC＝BD+CE，⑤正确；即可得出结论．
解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，①正确；
∵∠BPC＝120°，
∴∠DPE＝120°，
过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴AP是∠BAC的平分线，②正确；
∴PF＝PG＝PH，
∵∠BAC＝60°∠AFP＝∠AGP＝90°，
∴∠FPG＝120°，
∴∠DPF＝∠EPG，
在△PFD与△PGE中，，
∴△PFD≌△PGE（ASA），
∴PD＝PE，④正确；
在Rt△BHP与Rt△BFP中，，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，
两式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE，
∵DF＝EG，
∴BC＝BD+CE，⑤正确；
没有条件得出AD＝AE，③不正确；
故答案为：①②④⑤．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．计算：
（1）（﹣3x3）2﹣x2•x4﹣（x2）3．
（2）已知ax＝﹣2，ay＝3．求a2x+y的值．
【分析】（1）先进行积的乘方与幂的乘方的运算，同底数幂的乘法运算，再合并同类项即可；
（2）利用同底数幂的乘法与幂的乘方对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
解：（1）（﹣3x3）2﹣x2•x4﹣（x2）3
＝9x6﹣x6﹣x6
＝7x6．
（2）∵ax＝﹣2，ay＝3，
∴a2x+y
＝a2x×ay
＝（ax）2×ay
＝（﹣2）2×3
＝4×3
＝12．
18．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠1＝∠2，求证：AB＝CD．
【分析】由∠1＝∠2知∠AOB＝∠COD，再结合OA＝OC、OB＝OD，利用“SAS”判定△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质即可得证．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠AOD＝∠2+∠AOD，即∠AOB＝∠COD，
在△AOB和△COD中，
∵，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD．
19．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D．
（1）若∠A＝40°，求∠BCD的度数；
（2）若AE＝5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°列式求出∠BCD的度数；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，AB＝2AE，把△BCD的周长转化为AC、BC的和，然后代入数据进行计算即可得解．
解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠BCD＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，AB＝2AE＝10，
∵△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝17，
∴△ABC的周长＝10+17＝27．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l对称；
（2）在直线l上找一点P，使得PA+PC最小；
（3）△ABC的面积为 5 ．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得；
（2）连接AC1，与直线l的交点即为所求；
（3）利用割补法求解可得．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）连接AC1，则AC1与l的交点P即为所求的点．
（3）△ABC的面积为3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5，
故答案为：5．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）作△ABC的角平分线AD．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积等于 15 ．
【分析】（1）利用基本作图，作∠BAC的平分线即可；
（2）过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝3，然后根据三角形面积公式计算．
解：（1）如图，线段AD为所求；
（2）过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝×3×10＝15．
故答案为15．
22．如图，在△ABC中，AE是BC边上的高．
（1）若AD是边BC上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝6cm²，求DC的长；
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠C﹣∠B＝30°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据三角形的面积公式，得＝6，得BC＝4．由AD是边BC上的中线，得CD＝＝2（cm）．
（2）设∠B＝x，则∠C＝x+30°．根据三角形内角和定理，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝150°﹣2x．由AD是∠BAC的平分线，得∠BAD＝＝75°﹣x，那么∠ADE＝∠B+∠BAD＝x+75°﹣x＝75°．由AE是BC边上的高，得∠AED＝90°，那么∠DAE＝180°﹣（∠ADE+∠DEA）＝15°．
解：（1）∵＝6，
∴×3＝6．
∴BC＝4．
∵AD是边BC上的中线，
∴CD＝＝2（cm）．
（2）设∠B＝x，则∠C＝x+30°．
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣x﹣（x+30°）＝150°﹣2x．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝＝75°﹣x．
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝x+75°﹣x＝75°．
∵AE是BC边上的高，
∴∠AED＝90°．
∴∠DAE＝180°﹣（∠ADE+∠DEA）＝180°﹣（75°+90°）＝15°．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DC＝AE，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D
（1）求证：AC＝CB；
（2）若AC＝12cm，求BD的长．
【分析】（1）由“AAS”可证△DBC≌△ECA，可得AC＝BC；
（2）由全等三角形的性质和中线的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵DB⊥BC，AE⊥CD，
∴∠DBC＝∠ACE＝∠AFC＝90°，
∵∠DCB+∠ACF＝90°，∠ACF+∠EAC＝90°，
∴∠DCB＝∠EAC，且DC＝AE，∠DBC＝∠ACE＝90°
∴△DBC≌△ECA（AAS）
∴AC＝BC
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BE＝BC＝AC＝6cm，
∵△DBC≌△ECA
∴DB＝CE＝6cm
24．如图1，D为等边△ABC的边AC上一点，E为直线AB上一点，CD＝BE．
（1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图2，DE交CB于点P，若DE⊥AC，PC＝4，求BP的长．
【分析】（1）只要证明△ADE是等边三角形即可；
（2）过点D作DQ∥AB，交BC于点Q，证△DQP≌△EBP（AAS），得QP＝BP，再利用含30°角的直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠A＝60°，
∵CD＝BE，
∴AB﹣BE＝AC﹣CD，
即AD＝AE，
∵∠A＝60°，
∴△ADE是等边三角形
（2）解：过点D作DQ∥AB，交BC于点Q，如图2所示：
则∠CDQ＝∠A＝60°，∠CQD＝∠ABC＝60°，∠DQP＝∠EBP，
∴△DCQ是等边三角形，
∴DQ＝CQ＝CD＝BE．
∵∠DPQ＝∠EPB，∠DQP＝∠EBP，
∴△DQP≌△EBP（AAS），
∴QP＝BP，
∵DE⊥AC，
∴∠CDP＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠CPD＝30°，
∴CQ＝CD＝PC＝2，
∴QP＝PC﹣CQ＝2，
∴BP＝QP＝2．
25．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC．
（1）如图1，若OB＝6，则点C的坐标为 （6，14） ；
（2）如图2，若OB＝8，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF，连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长．
【分析】（1）如图1，过点C作CH⊥y轴，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得CH＝OB＝6，BH＝AO＝8，可求解；
（2）过点E作EF⊥x轴于F，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得BO＝DF＝8，OD＝EF，由等腰直角三角形的性质可得∠BAO＝45°，∠EAF＝∠AEF＝45°，可得结论；
（3）由（1）可知△ABO≌△BCG，可得BO＝GC，AO＝BG＝4，再由“AAS”可证△CPG≌△FPB，可得PB＝PG＝4．
解：（1）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠CHB＝∠ABC＝∠AOB＝90°，
∴∠BCH+∠HBC＝90°＝∠HBC+∠ABO，
∴∠ABO＝∠BCH，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH＝OB＝6，BH＝AO＝8，
∴OH＝14，
∴点C（6，14），
故答案为：（6，14）；
（2）过点E作EF⊥x轴于F，
∴∠EFD＝∠BDE＝∠BOD＝90°，
∴∠BDO+∠EDF＝90°＝∠BDO+∠DBO，
∴∠DBO＝∠EDF，
在△BOD和△DFE中，
，
∴△BOD≌△DFE（AAS），
∴BO＝DF＝8，OD＝EF，
∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝OB＝8，
∴∠BAO＝45°，
∵OA＝DF＝8，
∴OD＝AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴BA⊥AE；
（3）过点C作CG⊥y轴G，
由（1）可知：△ABO≌△BCG，
∴BO＝GC，AO＝BG＝8，
∵BF＝BO，∠OBF＝90°，
∴BF＝GC，∠CGP＝∠FBP＝90°，
又∵∠CPG＝∠FPB，
∴△CPG≌△FPB（AAS），
∴BP＝GP，
∴BP＝BG＝4．
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