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北京市第一五六中学2020-2021学年 八年级上学期期中数学【试卷+答案】
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这是一份北京市第一五六中学2020-2021学年 八年级上学期期中数学【试卷+答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京156中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（下面各题有四个选项，其中只有一个符合题意）．（每小题3分，共30分）
1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”中国古人把和谐平衡的精神之美，演变成了一种对称美．从古至今，人们将对称元素赋予建筑、器物、绘画、饰品等事物上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列我国建筑简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．明十三陵 B．布达拉宫
C．天坛 D．金銮殿
2．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．x12÷x3＝x4 B．a•a2＝a2 C．（a3）2＝a6 D．（3a）3＝9a3
3．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．当a≠0时，分式有意义
B．当a＝1时，分式的值为1
C．当时，分式的值为0
D．当a＝﹣3时，分式有意义
4．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（3分）在△ABD与△ACD中，∠BAD＝∠CAD，且B点，C点在AD边两侧，则不一定能使△ABD和△ACD全等的条件是（ ）
A．BD＝CD B．∠B＝∠C C．AB＝AC D．∠BDA＝∠CDA
6．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．（15x2y﹣5xy2）÷5xy＝3x﹣5y
B．98×102＝（100﹣2）（100+2）＝9996
C．
D．（3x+1）（x﹣2）＝3x2+x﹣2
7．（3分）下列约分正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，分别以A，B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．19
9．（3分）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大2倍 C．缩小3倍 D．不变
10．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处 B．AD的中点处
C．A点处 D．D点处
二、填空题：第11题至第18题每小题3分，第19题6分，共30分）
11．（3分）若分式的值是0，则x的值为 ．
12．（3分）等腰三角形的两边长为3，7，则等腰三角形的周长为 ．
13．（3分）分解因式：x2y﹣4xy+4y＝ ．
14．（3分）点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 ．
15．（3分）计算：﹣4（a2b3）2÷8ab2＝ ．
16．（3分）计算：
①＝ ；
②＝ ．
17．（3分）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，这样的轴对称图形可以做出 种．
18．（3分）若x2+2x+1+y2﹣8y+16＝0，求＝ ．
19．（6分）数学课上，王老师布置如下任务：
如图，△ABC中，BC＞AB＞AC，在BC边上取一点P，使∠APC＝2∠ABC．
小路的作法如下：
①作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
②连结AP．
要求：1、请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
2、完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵PQ是AB的垂直平分线
∴AP＝ ，（依据： ）
∴∠ABC＝ ，（依据： ）
∴∠APC＝2∠ABC．
三、解答题：（20题至22题每小题6分，23题至25题每小题6分，26题7分）
20．（6分）计算：．
21．（5分）化简：（x﹣2y）（y﹣x）﹣2（2x﹣y）2+3xy．
22．（5分）如图，点C，D在线段BF上，AB∥DE，AB＝DF，∠A＝∠F，求证：BC＝DE．
23．（6分）先化简，再求值：÷（a+1）÷，其中a＝2．
24．（6分）已知：如图，△AOB的顶点O在直线l上，且AO＝AB．
（1）画出△AOB关于直线l成轴对称的图形△COD，且使点A的对称点为点C；
（2）在（1）的条件下，AC与BD的位置关系是 ；
（3）在（1）、（2）的条件下，联结AD，如果∠ABD＝2∠ADB，求∠AOC的度数．
25．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D＝180°．求证：2AE＝AD+AB．
26．（6分）在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．
①依题意将图2补全；
②小姚通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM，小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证明DA＝AM，只需证△ADM是等边三角形；
想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可．
请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA＝AM（一种方法即可）
四、附加题：（共20分，第1题6分，第2题6分，第3题8分）
27．（6分）我们规定：f（n）＝，例如f（1）＝．
（1）计算：f（2）＝ ；f（）＝ ；
（2）计算：f（3）＝ ；f（）＝ ；
（3）计算：f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）＝ ．
28．（6分）（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
29．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
参考答案与试题解析
一、选择题（下面各题有四个选项，其中只有一个符合题意）．（每小题3分，共30分）
1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”中国古人把和谐平衡的精神之美，演变成了一种对称美．从古至今，人们将对称元素赋予建筑、器物、绘画、饰品等事物上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列我国建筑简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．明十三陵 B．布达拉宫
C．天坛 D．金銮殿
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断即可．
【解答】解：A、有1条对称轴，是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、有1条对称轴，是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、有1条对称轴，是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．x12÷x3＝x4 B．a•a2＝a2 C．（a3）2＝a6 D．（3a）3＝9a3
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算．
【解答】解：A、x12÷x3＝x9，故原题计算错误，不符合题意；
B、a•a2＝a3，故原题计算错误，不符合题意；
C、（a3）2＝a6，故原题计算正确，符合题意；
D、（3a）3＝27a3，故原题计算错误，不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．当a≠0时，分式有意义
B．当a＝1时，分式的值为1
C．当时，分式的值为0
D．当a＝﹣3时，分式有意义
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此进行判断即可．
【解答】解：当a≠0时，分式有意义，故A选项正确，不合题意；
当a＝1时，分式的值为1，故B选项正确，不合题意；
当时，分式的值为0，故C选项正确，不合题意；
当a＝﹣3时，分式无意义，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝30°，
∵AD＝1，
∴AE＝2，
∵BC＝6，
∴AC＝BC＝6，
∴CE＝AC﹣AE＝6﹣2＝4，
故选：B．
5．（3分）在△ABD与△ACD中，∠BAD＝∠CAD，且B点，C点在AD边两侧，则不一定能使△ABD和△ACD全等的条件是（ ）
A．BD＝CD B．∠B＝∠C C．AB＝AC D．∠BDA＝∠CDA
【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
【解答】解：A、∵∠BAD＝∠CAD，AD为公共边，若BD＝CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；
B、∵∠BAD＝∠CAD，AD为公共边，若∠B＝∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；
C、∵∠BAD＝∠CAD，AD为公共边，若AB＝AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；
D、∵∠BAD＝∠CAD，AD为公共边，若∠BDA＝∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；
故选：A．
6．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．（15x2y﹣5xy2）÷5xy＝3x﹣5y
B．98×102＝（100﹣2）（100+2）＝9996
C．
D．（3x+1）（x﹣2）＝3x2+x﹣2
【分析】根据分式的加减法，整式的除法，多项式乘多项式的运算方法和平方差公式，逐项判断即可．
【解答】解：∵（15x2y﹣5xy2）÷5xy＝3x﹣y，
∴选项A不正确；
∵98×102＝（100﹣2）（100+2）＝9996，
∴选项B正确；
∵﹣1＝﹣，
∴选项C不正确；
∵（3x+1）（x﹣2）＝3x2﹣5x﹣2，
∴选项D不正确．
故选：B．
7．（3分）下列约分正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找出分子分母的公因式进行约分即可．
【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误；
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，分别以A，B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．19
【分析】由线段垂直平分线的性质，证得AD＝BD，继而可得△BCD的周长＝BC+AC．
【解答】解：根据题意得：D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∵△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝7+5＝12．
故选：B．
9．（3分）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大2倍 C．缩小3倍 D．不变
【分析】根据分式的基本性质解决此题．
【解答】解：分式中的x，y都扩大3倍，那么得到的分式为，故分式的值不变．
故选：D．
10．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处 B．AD的中点处
C．A点处 D．D点处
【分析】由点D是等边三角形ABC的中点得到AD所在的直线是△ABC的中垂线，在AB上作点E关于AD的对称点F，连接CF，即可得到△PCE的最小周长．
【解答】解：∵点D、E分别是等边三角形ABC的边BC、AC的中点，
∴CE长度不变，AD所在的直线是△ABC的对称轴，
∴当△PCE的周长最小时，PE+PC最小，
如图，在AB上作点E关于AD的对称点F，连接CF，
∴点F是AB的中点，
∴CF⊥AB，
此时，CF即为PE+PC的最小值，点P是△ABC的三条中线交点，
∴当△PCE的周长最小时，P点是△ABC的三条中线的交点．
故选：A．
二、填空题：第11题至第18题每小题3分，第19题6分，共30分）
11．（3分）若分式的值是0，则x的值为 2 ．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣2＝0且x≠0，易得x＝2．
【解答】解：∵分式的值是0，
∴x﹣2＝0且x≠0，
∴x＝2．
故答案为：2．
12．（3分）等腰三角形的两边长为3，7，则等腰三角形的周长为 17 ．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于3+3＜7，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7+7+3＝17．
故答案为：17．
13．（3分）分解因式：x2y﹣4xy+4y＝ y（x﹣2）2 ．
【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x2y﹣4xy+4y，
＝y（x2﹣4x+4），
＝y（x﹣2）2．
14．（3分）点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【分析】两点关于x轴对称，那么横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
15．（3分）计算：﹣4（a2b3）2÷8ab2＝ ．
【分析】先算积的乘方，后算单项式除以单项式．
【解答】解：原式＝﹣4a4b6÷8ab2
＝﹣a3b4；
故答案为：﹣a3b4．
16．（3分）计算：
①＝ ；
②＝ ﹣1 ．
【分析】（1）按分式乘方法则进行运算即可；
（2）按同分母分式的减法法则运算，结果化简即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝﹣
＝
＝﹣1
故答案为：（1）；（2）﹣1．
17．（3分）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，这样的轴对称图形可以做出 3 种．
【分析】对称轴的位置不同，结果不同，根据轴对称的性质进行作图即可．
【解答】解：如图所示，满足题意的涂色方式有3种，
故答案为：3．
18．（3分）若x2+2x+1+y2﹣8y+16＝0，求＝ ﹣4 ．
【分析】原方程可化为（x+1）2+（y﹣4）2＝0，则（x+1）2＝0，（y﹣4）2＝0，求出x，y的值，再代入求代数式的值．
【解答】解：原方程可化为（x+1）2+（y﹣4）2＝0，∴，解得．∴．
19．（6分）数学课上，王老师布置如下任务：
如图，△ABC中，BC＞AB＞AC，在BC边上取一点P，使∠APC＝2∠ABC．
小路的作法如下：
①作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
②连结AP．
要求：1、请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
2、完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵PQ是AB的垂直平分线
∴AP＝ ，（依据： 垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等 ）
∴∠ABC＝ ∠BAP ，（依据： 等边对等角 ）
∴∠APC＝2∠ABC．
【分析】（1）利用基本作图，作出AB的垂直平分线得到P点；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到AP＝BP，则∠ABC＝∠BAP，然后根据三角形外角性质得到∠APC＝2∠ABC．
【解答】解：1、如图，点P所作；
（2）∵PQ是AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，（垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等）
∴∠ABC＝∠BAP，（等边对等角）
∴∠APC＝2∠ABC．
故答案为：BP，垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等；∠BAP，等边对等角．
三、解答题：（20题至22题每小题6分，23题至25题每小题6分，26题7分）
20．（6分）计算：．
【分析】先算乘方，然后再算乘除．
【解答】解：原式＝•16a5b÷4a4b6
＝a2+5﹣4b8+1﹣6
＝9a3b3．
21．（5分）化简：（x﹣2y）（y﹣x）﹣2（2x﹣y）2+3xy．
【分析】根据整式的混合运算法则，先计算乘法、乘方，再计算加减．
【解答】解：（x﹣2y）（y﹣x）﹣2（2x﹣y）2+3xy
＝xy﹣x2﹣2y2+2xy﹣2（4x2+y2﹣4xy）+3xy
＝xy﹣x2﹣2y2+2xy﹣8x2﹣2y2+8xy+3xy
＝﹣9x2﹣4y2+14xy．
22．（5分）如图，点C，D在线段BF上，AB∥DE，AB＝DF，∠A＝∠F，求证：BC＝DE．
【分析】先由平行线得出∠B＝∠EDF，再由ASA证明△ABC≌△FDE，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵AB∥DE
∴∠B＝∠EDF；
在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE（ASA），
∴BC＝DE．
23．（6分）先化简，再求值：÷（a+1）÷，其中a＝2．
【分析】先将除法转化为乘法，再约分即可化简原式，继而将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝••
＝，
当a＝2时，
原式＝＝．
24．（6分）已知：如图，△AOB的顶点O在直线l上，且AO＝AB．
（1）画出△AOB关于直线l成轴对称的图形△COD，且使点A的对称点为点C；
（2）在（1）的条件下，AC与BD的位置关系是 平行 ；
（3）在（1）、（2）的条件下，联结AD，如果∠ABD＝2∠ADB，求∠AOC的度数．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）根据轴对称的性质可直接得出结论；
（3）先根据轴对称图形的性质得出△AOB≌△COD，故可得出∠OBD＝∠ODB．∠ABO+∠OBD＝∠CDO+∠ODB，即∠ABD＝∠CDB．再由∠ABD＝2∠ADB可知∠CDB＝2∠ADB．故∠CDA＝∠ADB．根据AC∥BD，可知∠CAD＝∠ADB，∠CAD＝∠CDA，所以CA＝CD．故可得出AO＝OC＝AC，即△AOC为等边三角形．
【解答】解：（1）如图1；
（2）∵AC与BD是对应点的连线，
∴AC∥BD．
故答案为：平行．
（3）如图2，∵由（1）可知，△AOB与△COD关于直线l对称，
∴，
∴△AOB≌△COD．
∴∠OBD＝∠ODB．
∴∠ABO+∠OBD＝∠CDO+∠ODB，即∠ABD＝∠CDB．
∵∠ABD＝2∠ADB，
∴∠CDB＝2∠ADB．
∴∠CDA＝∠ADB．
由（2）可知，AC∥BD，∴∠CAD＝∠ADB．∴∠CAD＝∠CDA，
∴CA＝CD．
∵AO＝AB，
∴AO＝OC＝AC，即△AOC为等边三角形．
∴∠AOC＝60°．
25．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D＝180°．求证：2AE＝AD+AB．
【分析】首先在AE上截取AM＝AD，连接CM，再证明△AMC≌△ADC，可得∠3＝∠D，再根据∠B+∠D＝180°，∠3+∠4＝180°，可以证出∠4＝∠B，根据等角对等边可证出CM＝BC，再根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合可得到ME﹣BE，再利用等量代换可证出AE＝AD+BE．
【解答】证明：在AE上截取AM＝AD，连接CM，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
在△AMC和△ADC中，
，
∴△AMC≌△ADC（SAS），
∴∠3＝∠D，
∵∠B+∠D＝180°，∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝∠B，
∴CM＝CB，
∵CE⊥AB，
∴ME＝EB（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合），
∵AE＝AM+ME，
∴AE＝AD+BE，
∴2AE＝AD+BE+AE＝AD+AB．
26．（6分）在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．
①依题意将图2补全；
②小姚通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM，小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证明DA＝AM，只需证△ADM是等边三角形；
想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可．
请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA＝AM（一种方法即可）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出∠E＝∠DAC，根据等边三角形的性质，得出∠BAD+∠DAC＝∠E+∠EDC＝60°，据此可得出∠BAD＝∠EDC；
（2）①根据轴对称作图即可；②想法1：要证明DA＝AM，只需根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，证△ADM是等边三角形；想法2：连接CM，只需根据ASA证明△ABD≌△ACM即可．
【解答】解：（1）如图1，∵DE＝DA，
∴∠E＝∠DAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
即∠BAD+∠DAC＝∠E+∠EDC＝60°，
∴∠BAD＝∠EDC；
（2）①补全图形如图2；
②证法1：由轴对称可得，DM＝DE，∠EDC＝∠MDC，
∵DE＝DA，
∴DM＝DA，
由（1）可得，∠BAD＝∠EDC，
∴∠MDC＝∠BAD，
∵△ABD中，∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠MDC+∠ADB＝120°，
∴∠ADM＝180°﹣120°＝60°，
∴△ADN是等边三角形，
∴AD＝AM；
证法2：连接CM，
由轴对称可得，DM＝DE，∠EDC＝∠MDC，
∵DE＝DA，
∴DM＝DA，
由（1）可得，∠BAD＝∠EDC，
∴∠MDC＝∠BAD，
∵△ABD中，∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠MDC+∠ADB＝120°，
∴∠ADM＝180°﹣120°＝60°，
∴△ADM中，∠DAM＝（180°﹣60°）÷2＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAM，
由轴对称可得，∠DCE＝∠DCM＝120°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝120°﹣60°＝60°，
∴∠B＝∠ACM，
在△ABD和△ACM中，
，
∴△ABD≌△ACM（ASA），
∴AD＝AM．
四、附加题：（共20分，第1题6分，第2题6分，第3题8分）
27．（6分）我们规定：f（n）＝，例如f（1）＝．
（1）计算：f（2）＝ ；f（）＝ ；
（2）计算：f（3）＝ ；f（）＝ ；
（3）计算：f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）＝ n﹣ ．
【分析】（1）把n＝2与n＝代入计算即可求出f（2）和f（）的值；
（2）把n＝3与n＝代入计算即可求出f（3）和f（）的值；
（3）归纳总结得到f（n）+f（）＝1，原式结合后相加即可得到结果．
【解答】解：（1）f（2）＝＝；
f（）＝＝；
故答案为：；．
（2）f（3）＝＝；
f（）＝＝；
故答案为：；．
（3）根据题意得：f（n）+f（）＝+＝1，
则原式＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+⋯+[f（n）+f（）]
＝+1+1+⋯+1
＝n﹣．
28．（6分）（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
【分析】（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．
（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．
【解答】解：（1）如图（共有2种不同的分割法）．
（2）设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图1，则∠CBD＝∠CDB＝90°﹣x，∠A＝180°﹣x﹣y．
而∠ADB＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°﹣x﹣y＝y﹣（90°﹣x）
即3x+4y＝540°，即∠ABC＝135°﹣∠C；
②若∠C是底角，
第一种情况：如图2，当DB＝DC时，则∠DBC＝x，△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y﹣x．
由AB＝AD，得2x＝y﹣x，此时有y＝3x，即∠ABC＝3∠C．
由AB＝BD，得180°﹣x﹣y＝2x，此时3x+y＝180°，即∠ABC＝180°﹣3∠C．
由AD＝BD，得180°﹣x﹣y＝y﹣x，此时y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于等于45°的任意锐角．
第二种情况，如图3，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°﹣x＞90°，此时只能有AD＝BD，
从而∠A＝∠ABD＝∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．
∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．
综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC＝135°﹣∠C或∠ABC＝180°﹣3∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意角
29．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．
【解答】解：（1）①∵t＝1s，
∴BP＝CQ＝3×1＝3cm，
∵AB＝10cm，点D为AB的中点，
∴BD＝5cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，
∴PC＝8﹣3＝5cm，
∴PC＝BD．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，
则BP＝PC＝4cm，CQ＝BD＝5cm，
∴点P，点Q运动的时间s，
∴cm/s；
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得x＝3x+2×10，
解得．
∴点P共运动了×3＝80cm．
△ABC周长为：10+10+8＝28cm，
若是运动了三圈即为：28×3＝84cm，
∵84﹣80＝4cm＜AB的长度，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇
2020-2021学年北京156中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（下面各题有四个选项，其中只有一个符合题意）．（每小题3分，共30分）
1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”中国古人把和谐平衡的精神之美，演变成了一种对称美．从古至今，人们将对称元素赋予建筑、器物、绘画、饰品等事物上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列我国建筑简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．明十三陵 B．布达拉宫
C．天坛 D．金銮殿
2．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．x12÷x3＝x4 B．a•a2＝a2 C．（a3）2＝a6 D．（3a）3＝9a3
3．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．当a≠0时，分式有意义
B．当a＝1时，分式的值为1
C．当时，分式的值为0
D．当a＝﹣3时，分式有意义
4．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（3分）在△ABD与△ACD中，∠BAD＝∠CAD，且B点，C点在AD边两侧，则不一定能使△ABD和△ACD全等的条件是（ ）
A．BD＝CD B．∠B＝∠C C．AB＝AC D．∠BDA＝∠CDA
6．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．（15x2y﹣5xy2）÷5xy＝3x﹣5y
B．98×102＝（100﹣2）（100+2）＝9996
C．
D．（3x+1）（x﹣2）＝3x2+x﹣2
7．（3分）下列约分正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，分别以A，B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．19
9．（3分）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大2倍 C．缩小3倍 D．不变
10．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处 B．AD的中点处
C．A点处 D．D点处
二、填空题：第11题至第18题每小题3分，第19题6分，共30分）
11．（3分）若分式的值是0，则x的值为 ．
12．（3分）等腰三角形的两边长为3，7，则等腰三角形的周长为 ．
13．（3分）分解因式：x2y﹣4xy+4y＝ ．
14．（3分）点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 ．
15．（3分）计算：﹣4（a2b3）2÷8ab2＝ ．
16．（3分）计算：
①＝ ；
②＝ ．
17．（3分）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，这样的轴对称图形可以做出 种．
18．（3分）若x2+2x+1+y2﹣8y+16＝0，求＝ ．
19．（6分）数学课上，王老师布置如下任务：
如图，△ABC中，BC＞AB＞AC，在BC边上取一点P，使∠APC＝2∠ABC．
小路的作法如下：
①作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
②连结AP．
要求：1、请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
2、完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵PQ是AB的垂直平分线
∴AP＝ ，（依据： ）
∴∠ABC＝ ，（依据： ）
∴∠APC＝2∠ABC．
三、解答题：（20题至22题每小题6分，23题至25题每小题6分，26题7分）
20．（6分）计算：．
21．（5分）化简：（x﹣2y）（y﹣x）﹣2（2x﹣y）2+3xy．
22．（5分）如图，点C，D在线段BF上，AB∥DE，AB＝DF，∠A＝∠F，求证：BC＝DE．
23．（6分）先化简，再求值：÷（a+1）÷，其中a＝2．
24．（6分）已知：如图，△AOB的顶点O在直线l上，且AO＝AB．
（1）画出△AOB关于直线l成轴对称的图形△COD，且使点A的对称点为点C；
（2）在（1）的条件下，AC与BD的位置关系是 ；
（3）在（1）、（2）的条件下，联结AD，如果∠ABD＝2∠ADB，求∠AOC的度数．
25．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D＝180°．求证：2AE＝AD+AB．
26．（6分）在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．
①依题意将图2补全；
②小姚通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM，小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证明DA＝AM，只需证△ADM是等边三角形；
想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可．
请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA＝AM（一种方法即可）
四、附加题：（共20分，第1题6分，第2题6分，第3题8分）
27．（6分）我们规定：f（n）＝，例如f（1）＝．
（1）计算：f（2）＝ ；f（）＝ ；
（2）计算：f（3）＝ ；f（）＝ ；
（3）计算：f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）＝ ．
28．（6分）（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
29．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
参考答案与试题解析
一、选择题（下面各题有四个选项，其中只有一个符合题意）．（每小题3分，共30分）
1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”中国古人把和谐平衡的精神之美，演变成了一种对称美．从古至今，人们将对称元素赋予建筑、器物、绘画、饰品等事物上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列我国建筑简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．明十三陵 B．布达拉宫
C．天坛 D．金銮殿
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断即可．
【解答】解：A、有1条对称轴，是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、有1条对称轴，是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、有1条对称轴，是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．x12÷x3＝x4 B．a•a2＝a2 C．（a3）2＝a6 D．（3a）3＝9a3
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算．
【解答】解：A、x12÷x3＝x9，故原题计算错误，不符合题意；
B、a•a2＝a3，故原题计算错误，不符合题意；
C、（a3）2＝a6，故原题计算正确，符合题意；
D、（3a）3＝27a3，故原题计算错误，不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．当a≠0时，分式有意义
B．当a＝1时，分式的值为1
C．当时，分式的值为0
D．当a＝﹣3时，分式有意义
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此进行判断即可．
【解答】解：当a≠0时，分式有意义，故A选项正确，不合题意；
当a＝1时，分式的值为1，故B选项正确，不合题意；
当时，分式的值为0，故C选项正确，不合题意；
当a＝﹣3时，分式无意义，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝30°，
∵AD＝1，
∴AE＝2，
∵BC＝6，
∴AC＝BC＝6，
∴CE＝AC﹣AE＝6﹣2＝4，
故选：B．
5．（3分）在△ABD与△ACD中，∠BAD＝∠CAD，且B点，C点在AD边两侧，则不一定能使△ABD和△ACD全等的条件是（ ）
A．BD＝CD B．∠B＝∠C C．AB＝AC D．∠BDA＝∠CDA
【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
【解答】解：A、∵∠BAD＝∠CAD，AD为公共边，若BD＝CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；
B、∵∠BAD＝∠CAD，AD为公共边，若∠B＝∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；
C、∵∠BAD＝∠CAD，AD为公共边，若AB＝AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；
D、∵∠BAD＝∠CAD，AD为公共边，若∠BDA＝∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；
故选：A．
6．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．（15x2y﹣5xy2）÷5xy＝3x﹣5y
B．98×102＝（100﹣2）（100+2）＝9996
C．
D．（3x+1）（x﹣2）＝3x2+x﹣2
【分析】根据分式的加减法，整式的除法，多项式乘多项式的运算方法和平方差公式，逐项判断即可．
【解答】解：∵（15x2y﹣5xy2）÷5xy＝3x﹣y，
∴选项A不正确；
∵98×102＝（100﹣2）（100+2）＝9996，
∴选项B正确；
∵﹣1＝﹣，
∴选项C不正确；
∵（3x+1）（x﹣2）＝3x2﹣5x﹣2，
∴选项D不正确．
故选：B．
7．（3分）下列约分正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找出分子分母的公因式进行约分即可．
【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误；
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，分别以A，B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．19
【分析】由线段垂直平分线的性质，证得AD＝BD，继而可得△BCD的周长＝BC+AC．
【解答】解：根据题意得：D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∵△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝7+5＝12．
故选：B．
9．（3分）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大2倍 C．缩小3倍 D．不变
【分析】根据分式的基本性质解决此题．
【解答】解：分式中的x，y都扩大3倍，那么得到的分式为，故分式的值不变．
故选：D．
10．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处 B．AD的中点处
C．A点处 D．D点处
【分析】由点D是等边三角形ABC的中点得到AD所在的直线是△ABC的中垂线，在AB上作点E关于AD的对称点F，连接CF，即可得到△PCE的最小周长．
【解答】解：∵点D、E分别是等边三角形ABC的边BC、AC的中点，
∴CE长度不变，AD所在的直线是△ABC的对称轴，
∴当△PCE的周长最小时，PE+PC最小，
如图，在AB上作点E关于AD的对称点F，连接CF，
∴点F是AB的中点，
∴CF⊥AB，
此时，CF即为PE+PC的最小值，点P是△ABC的三条中线交点，
∴当△PCE的周长最小时，P点是△ABC的三条中线的交点．
故选：A．
二、填空题：第11题至第18题每小题3分，第19题6分，共30分）
11．（3分）若分式的值是0，则x的值为 2 ．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣2＝0且x≠0，易得x＝2．
【解答】解：∵分式的值是0，
∴x﹣2＝0且x≠0，
∴x＝2．
故答案为：2．
12．（3分）等腰三角形的两边长为3，7，则等腰三角形的周长为 17 ．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于3+3＜7，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7+7+3＝17．
故答案为：17．
13．（3分）分解因式：x2y﹣4xy+4y＝ y（x﹣2）2 ．
【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x2y﹣4xy+4y，
＝y（x2﹣4x+4），
＝y（x﹣2）2．
14．（3分）点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【分析】两点关于x轴对称，那么横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
15．（3分）计算：﹣4（a2b3）2÷8ab2＝ ．
【分析】先算积的乘方，后算单项式除以单项式．
【解答】解：原式＝﹣4a4b6÷8ab2
＝﹣a3b4；
故答案为：﹣a3b4．
16．（3分）计算：
①＝ ；
②＝ ﹣1 ．
【分析】（1）按分式乘方法则进行运算即可；
（2）按同分母分式的减法法则运算，结果化简即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝﹣
＝
＝﹣1
故答案为：（1）；（2）﹣1．
17．（3分）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，这样的轴对称图形可以做出 3 种．
【分析】对称轴的位置不同，结果不同，根据轴对称的性质进行作图即可．
【解答】解：如图所示，满足题意的涂色方式有3种，
故答案为：3．
18．（3分）若x2+2x+1+y2﹣8y+16＝0，求＝ ﹣4 ．
【分析】原方程可化为（x+1）2+（y﹣4）2＝0，则（x+1）2＝0，（y﹣4）2＝0，求出x，y的值，再代入求代数式的值．
【解答】解：原方程可化为（x+1）2+（y﹣4）2＝0，∴，解得．∴．
19．（6分）数学课上，王老师布置如下任务：
如图，△ABC中，BC＞AB＞AC，在BC边上取一点P，使∠APC＝2∠ABC．
小路的作法如下：
①作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
②连结AP．
要求：1、请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
2、完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵PQ是AB的垂直平分线
∴AP＝ ，（依据： 垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等 ）
∴∠ABC＝ ∠BAP ，（依据： 等边对等角 ）
∴∠APC＝2∠ABC．
【分析】（1）利用基本作图，作出AB的垂直平分线得到P点；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到AP＝BP，则∠ABC＝∠BAP，然后根据三角形外角性质得到∠APC＝2∠ABC．
【解答】解：1、如图，点P所作；
（2）∵PQ是AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，（垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等）
∴∠ABC＝∠BAP，（等边对等角）
∴∠APC＝2∠ABC．
故答案为：BP，垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等；∠BAP，等边对等角．
三、解答题：（20题至22题每小题6分，23题至25题每小题6分，26题7分）
20．（6分）计算：．
【分析】先算乘方，然后再算乘除．
【解答】解：原式＝•16a5b÷4a4b6
＝a2+5﹣4b8+1﹣6
＝9a3b3．
21．（5分）化简：（x﹣2y）（y﹣x）﹣2（2x﹣y）2+3xy．
【分析】根据整式的混合运算法则，先计算乘法、乘方，再计算加减．
【解答】解：（x﹣2y）（y﹣x）﹣2（2x﹣y）2+3xy
＝xy﹣x2﹣2y2+2xy﹣2（4x2+y2﹣4xy）+3xy
＝xy﹣x2﹣2y2+2xy﹣8x2﹣2y2+8xy+3xy
＝﹣9x2﹣4y2+14xy．
22．（5分）如图，点C，D在线段BF上，AB∥DE，AB＝DF，∠A＝∠F，求证：BC＝DE．
【分析】先由平行线得出∠B＝∠EDF，再由ASA证明△ABC≌△FDE，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵AB∥DE
∴∠B＝∠EDF；
在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE（ASA），
∴BC＝DE．
23．（6分）先化简，再求值：÷（a+1）÷，其中a＝2．
【分析】先将除法转化为乘法，再约分即可化简原式，继而将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝••
＝，
当a＝2时，
原式＝＝．
24．（6分）已知：如图，△AOB的顶点O在直线l上，且AO＝AB．
（1）画出△AOB关于直线l成轴对称的图形△COD，且使点A的对称点为点C；
（2）在（1）的条件下，AC与BD的位置关系是 平行 ；
（3）在（1）、（2）的条件下，联结AD，如果∠ABD＝2∠ADB，求∠AOC的度数．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）根据轴对称的性质可直接得出结论；
（3）先根据轴对称图形的性质得出△AOB≌△COD，故可得出∠OBD＝∠ODB．∠ABO+∠OBD＝∠CDO+∠ODB，即∠ABD＝∠CDB．再由∠ABD＝2∠ADB可知∠CDB＝2∠ADB．故∠CDA＝∠ADB．根据AC∥BD，可知∠CAD＝∠ADB，∠CAD＝∠CDA，所以CA＝CD．故可得出AO＝OC＝AC，即△AOC为等边三角形．
【解答】解：（1）如图1；
（2）∵AC与BD是对应点的连线，
∴AC∥BD．
故答案为：平行．
（3）如图2，∵由（1）可知，△AOB与△COD关于直线l对称，
∴，
∴△AOB≌△COD．
∴∠OBD＝∠ODB．
∴∠ABO+∠OBD＝∠CDO+∠ODB，即∠ABD＝∠CDB．
∵∠ABD＝2∠ADB，
∴∠CDB＝2∠ADB．
∴∠CDA＝∠ADB．
由（2）可知，AC∥BD，∴∠CAD＝∠ADB．∴∠CAD＝∠CDA，
∴CA＝CD．
∵AO＝AB，
∴AO＝OC＝AC，即△AOC为等边三角形．
∴∠AOC＝60°．
25．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D＝180°．求证：2AE＝AD+AB．
【分析】首先在AE上截取AM＝AD，连接CM，再证明△AMC≌△ADC，可得∠3＝∠D，再根据∠B+∠D＝180°，∠3+∠4＝180°，可以证出∠4＝∠B，根据等角对等边可证出CM＝BC，再根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合可得到ME﹣BE，再利用等量代换可证出AE＝AD+BE．
【解答】证明：在AE上截取AM＝AD，连接CM，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
在△AMC和△ADC中，
，
∴△AMC≌△ADC（SAS），
∴∠3＝∠D，
∵∠B+∠D＝180°，∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝∠B，
∴CM＝CB，
∵CE⊥AB，
∴ME＝EB（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合），
∵AE＝AM+ME，
∴AE＝AD+BE，
∴2AE＝AD+BE+AE＝AD+AB．
26．（6分）在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．
①依题意将图2补全；
②小姚通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM，小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证明DA＝AM，只需证△ADM是等边三角形；
想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可．
请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA＝AM（一种方法即可）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出∠E＝∠DAC，根据等边三角形的性质，得出∠BAD+∠DAC＝∠E+∠EDC＝60°，据此可得出∠BAD＝∠EDC；
（2）①根据轴对称作图即可；②想法1：要证明DA＝AM，只需根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，证△ADM是等边三角形；想法2：连接CM，只需根据ASA证明△ABD≌△ACM即可．
【解答】解：（1）如图1，∵DE＝DA，
∴∠E＝∠DAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
即∠BAD+∠DAC＝∠E+∠EDC＝60°，
∴∠BAD＝∠EDC；
（2）①补全图形如图2；
②证法1：由轴对称可得，DM＝DE，∠EDC＝∠MDC，
∵DE＝DA，
∴DM＝DA，
由（1）可得，∠BAD＝∠EDC，
∴∠MDC＝∠BAD，
∵△ABD中，∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠MDC+∠ADB＝120°，
∴∠ADM＝180°﹣120°＝60°，
∴△ADN是等边三角形，
∴AD＝AM；
证法2：连接CM，
由轴对称可得，DM＝DE，∠EDC＝∠MDC，
∵DE＝DA，
∴DM＝DA，
由（1）可得，∠BAD＝∠EDC，
∴∠MDC＝∠BAD，
∵△ABD中，∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠MDC+∠ADB＝120°，
∴∠ADM＝180°﹣120°＝60°，
∴△ADM中，∠DAM＝（180°﹣60°）÷2＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAM，
由轴对称可得，∠DCE＝∠DCM＝120°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝120°﹣60°＝60°，
∴∠B＝∠ACM，
在△ABD和△ACM中，
，
∴△ABD≌△ACM（ASA），
∴AD＝AM．
四、附加题：（共20分，第1题6分，第2题6分，第3题8分）
27．（6分）我们规定：f（n）＝，例如f（1）＝．
（1）计算：f（2）＝ ；f（）＝ ；
（2）计算：f（3）＝ ；f（）＝ ；
（3）计算：f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）＝ n﹣ ．
【分析】（1）把n＝2与n＝代入计算即可求出f（2）和f（）的值；
（2）把n＝3与n＝代入计算即可求出f（3）和f（）的值；
（3）归纳总结得到f（n）+f（）＝1，原式结合后相加即可得到结果．
【解答】解：（1）f（2）＝＝；
f（）＝＝；
故答案为：；．
（2）f（3）＝＝；
f（）＝＝；
故答案为：；．
（3）根据题意得：f（n）+f（）＝+＝1，
则原式＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+⋯+[f（n）+f（）]
＝+1+1+⋯+1
＝n﹣．
28．（6分）（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
【分析】（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．
（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．
【解答】解：（1）如图（共有2种不同的分割法）．
（2）设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图1，则∠CBD＝∠CDB＝90°﹣x，∠A＝180°﹣x﹣y．
而∠ADB＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°﹣x﹣y＝y﹣（90°﹣x）
即3x+4y＝540°，即∠ABC＝135°﹣∠C；
②若∠C是底角，
第一种情况：如图2，当DB＝DC时，则∠DBC＝x，△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y﹣x．
由AB＝AD，得2x＝y﹣x，此时有y＝3x，即∠ABC＝3∠C．
由AB＝BD，得180°﹣x﹣y＝2x，此时3x+y＝180°，即∠ABC＝180°﹣3∠C．
由AD＝BD，得180°﹣x﹣y＝y﹣x，此时y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于等于45°的任意锐角．
第二种情况，如图3，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°﹣x＞90°，此时只能有AD＝BD，
从而∠A＝∠ABD＝∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．
∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．
综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC＝135°﹣∠C或∠ABC＝180°﹣3∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意角
29．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．
【解答】解：（1）①∵t＝1s，
∴BP＝CQ＝3×1＝3cm，
∵AB＝10cm，点D为AB的中点，
∴BD＝5cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，
∴PC＝8﹣3＝5cm，
∴PC＝BD．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，
则BP＝PC＝4cm，CQ＝BD＝5cm，
∴点P，点Q运动的时间s，
∴cm/s；
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得x＝3x+2×10，
解得．
∴点P共运动了×3＝80cm．
△ABC周长为：10+10+8＝28cm，
若是运动了三圈即为：28×3＝84cm，
∵84﹣80＝4cm＜AB的长度，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇
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