备战2024年高考数学一轮复习艺体生高频考点专用复习讲义word版专题21 双曲线【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版

这是一份备战2024年高考数学一轮复习艺体生高频考点专用复习讲义word版专题21 双曲线【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版，共45页。试卷主要包含了考向解读，知识点汇总，题型专项训练，高考真题及模拟题精选，题型精练，巩固基础等内容，欢迎下载使用。

一、考向解读
考向：高考中双曲线的考查主要是它的标准方程、渐近线和离心率等。基础知识点是双曲线的方程与性质，其中对称性和离心率的考查一般体现在小压轴中。标准方程的考查主要是解答题第一问，一般结合直线或者圆，要重点掌握好！
考点：双曲线的标准方程和性质。
导师建议：重视双曲线的定义，在较难选择填空中往往作为隐含条件！
二、知识点汇总
1.双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．
（3）时，点的轨迹不存在．
2.双曲线的方程及性质
【常用结论】（都很好用，一定要记住！！）
1.过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为.
2.双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数.
3.焦点三角形面积公式：
三、题型专项训练
目录一览
①双曲线的定义
一、单选题
1．设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（ ）
A．2B．2或18C．4D．18
【答案】B
【分析】利用双曲线的定义即可求解.
【详解】根据双曲线的定义，，即，解得2或18，均满足.
故选：B
2．双曲线的两个焦点分别是，双曲线上一点到的距离是12，则到的距离是（ ）
A．17B．7C．7或17D．2或22
【答案】D
【分析】讨论点位置，结合求.
【详解】当在双曲线左支上时，根据双曲线的定义得，
解得，
当在双曲线右支上时，根据双曲线的定义得，
解得，因为，所以满足题意.所以或，
故选:D.
3．在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．抛物线
C．双曲线D．双曲线的一支
【答案】D
【分析】由双曲线的定义可得答案.
【详解】因为，，所以，若动点Р满足，则动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线.而题目中动点Р只满足，有，所以动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支.
故选：D
4．若动点满足关系式，则点的轨迹是（ ）
A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线一支
【答案】D
【分析】设，.由已知可得，根据双曲线的定义即可得出答案.
【详解】设，，则.
则由已知可得，，所以点的轨迹是双曲线的左支.
故选：D.
5．已知双曲线的左､右焦点分别为，若左支上的两点与左焦点三点共线，且的周长为8，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义求解.
【详解】解：因为双曲线，
所以a=1，
由双曲线的定义得：，
两式相加得 ，又因为的周长为8，即 ，
两式相减得 ，故选：A
6．人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的余弦值大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，，进而得出结论．
【详解】，设，，
则，，解得，，
，
故选：D．
7．已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义可以得出=，当三点共线时最小.
【详解】由双曲线得到,,，左焦点，
设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故选：C.
8．已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．7D．8
【答案】C
【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论．
【详解】记双曲线的右焦点为，所以，
当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．
故选：C．
②双曲线的标准方程
9．已知双曲线的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线方程的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线中的关系求解.
【详解】由题可知，双曲线的焦点在轴上，所以可设方程为，
且，所以，所以双曲线方程为，
故选:D.
10．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，由于双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程是.
故选：D
11．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的标准方程可求焦点坐标为，根据焦点坐标及点可求双曲线的方程.
【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为.
设双曲线的方程为，
故，解得，故双曲线的标准方程为.
故选:A.
12．已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据焦距和点在一条渐近线上可得关于的方程组，求出其解后可得的方程.
【详解】因为焦距为，故半焦距为，故，
因为在一条渐近线上，故，解得，故双曲线方程为：.
故选：A.
13．经过点和的双曲线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设双曲线的方程为，将两点代入，即可求出答案.
【详解】设双曲线的方程为，
则解得故双曲线的标准方程为．
故选：B．
14．已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由得，然后由三角形面积、双曲线的定义、勾股定理联立可求得得双曲线方程．
【详解】，是的中点，所以，
，则，
，解得，所以双曲线方程为．故选：D．
③双曲线的性质
15．已知双曲线方程为，则双曲线的虚轴长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据虚轴的定义求解即可.
【详解】解：由双曲线方程为，焦点在轴，，则双曲线的虚轴长是.
故选：B
16．已知等轴双曲线C的焦距为12，则C的实轴长为（ ）
A．3B．6C．12D．6
【答案】B
【分析】根据双曲线的焦距得到c=6，根据双曲线为等轴双曲线得到a=b，然后利用列方程得到a=3，即可得到实轴长.
【详解】因为2c=12，所以c=6．因为a=b，所以2a2=c2=36，所以a=3，故实轴长为6．
故选：B.
17．已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由双曲线的性质根据焦距求得，从而可得渐近线方程．
【详解】由题意，又，故解得．∴渐近线方程为，
故选：C．
18．双曲线的焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由点到直线距离公式可得间关系，据此可得答案.
【详解】由题，双曲线的一条渐近线的方程为，右焦点为，则，故渐近线方程为.
故选：C
19．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】分别讨论双曲线焦点在轴和轴的情况，由可求得结果.
【详解】当双曲线方程为时，，则离心率；
当双曲线方程为时，，则离心率；
综上所述：双曲线的离心率为或.
故选：D.
20．双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离公式以及双曲线的方程，即可代入求解.
【详解】设双曲线上的点，则满足，
点P到两条渐近线的距离之积为，又，
∴，故，
故选：B
21．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，记，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得.根据双曲线的定义求出，然后在中，根据勾股定理得出关于的方程，解方程即可得出的值，得出答案.
【详解】
由题意可得，，.
因为点在第一象限，，
由双曲线的定义可得，，所以.
在中，由勾股定理可得，
即，整理可得，解得（舍去负值）.
所以，所以.
故选：A.
22．已知，是双曲线的两个焦点，点为上一点，若，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义求出，，在中利用余弦定理得到，即可求出离心率.
【详解】∵，由双曲线的定义得，
∴，．
设，在中，由余弦定理得，
整理可得，即，即．
故选：A
23．若等轴双曲线的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】首先双曲线方程化简得，即可求解渐近线方程，根据焦距即可求出焦点坐标，则可计算焦点到渐近线距离.
【详解】由题可知，双曲线方程化为，
∴渐近线方程为.
又，则，故焦点坐标为，
取其中一个焦点坐标和一条渐近线方程，即
∴一个焦点到一条渐近线的距离为.
故选：B.
24．已知双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线方程可确定焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式可构造方程求得，进而得到离心率.
【详解】由双曲线方程可知：双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
右焦点到一条渐近线的距离，解得：，
双曲线的离心率.
故选：D.
25．已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为2，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的焦点、渐近线方程，利用点到直线的距离求解.
【详解】由知，双曲线的渐近线为方程为，，
则双曲线的焦点到渐近线的距离，
∴双曲线C的渐近线方程为.
故选：A
④多选题及填空题
二、多选题
26．已知双曲线：，则下列选项中正确的是（ ）
A．的焦点坐标为B．的顶点坐标为
C．的离心率为D．的焦点到渐近线的距离为3
【答案】BC
【分析】由题意可得，，，根据焦点在轴上，逐一判断即可.
【详解】由已知，双曲线的焦点在轴上，且，，则，
所以，，，
所以的焦点坐标为、，故A项错误；
顶点坐标为、，故B项正确；
离心率，所以C项正确；
渐近线方程为与，
焦点到渐近线的距离为，所以D项错误.
故选：BC.
27．设双曲线：的焦点为，，若点在双曲线上，则（ ）
A．双曲线的离心率为2B．双曲线的渐近线方程为
C．D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，求出b，并求出双曲线实半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答.
【详解】依题意，，解得，双曲线：的实半轴长，半焦距，
双曲线的离心率，A不正确；
双曲线的渐近线方程为，B正确；
，C正确；
，，则，
有，D不正确.
故选：BC
28．已知曲线：，：，则（ ）
A．的长轴长为4
B．的渐近线方程为
C．与的焦点坐标相同
D．与的离心率互为倒数
【答案】BD
【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可.
【详解】曲线：整理得，则曲线是焦点在轴上的椭圆，其中，所以，离心率为
故曲线的长轴长，故A不正确；
曲线：是焦点在轴上的双曲线，其中，所以，离心率为，故与曲线的焦点位置不同，故C不正确；
：的渐近线方程为，故B正确；
又，所以与的离心率互为倒数，故D正确.
故选：BD.
29．已知双曲线过点且渐近线方程为,则下列结论正确的是（ ）
A．直线与有两个公共点B．的离心率为
C．的方程为D．曲线经过的一个焦点
【答案】CD
【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程,将点代入即可得双曲线方程,因为直线与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,所以A错误;根据双曲线方程可求出,进而判断选项B,C的正误;写出焦点坐标,代入中,即可判断选项D正误.
【详解】解:因为双曲线渐近线方程为,
不妨设双曲线方程为: ,
将点代入,可得,所以双曲线方程为:,故选项C正确;
因为直线与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,故选项A错误;
因为双曲线方程为:,所以,所以离心率为,故选项B错误;
因为双曲线的焦点坐标为,将代入知，该焦点在曲线上,
将代入知，该焦点不在曲线上,所以选项D正确.
故选:CD
30．设分别是双曲线的左､右焦点，且焦距为2，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．当时，的离心率是
C．的取值范围是
D．到渐近线的距离随着的增大而增大
【答案】BC
【分析】对A，由a、b、c关系列式求解即可；
对B，由离心率公式直接求即可；
对C，双曲线存在左右焦点，故有；
对D，到渐近线的距离为.
【详解】对A，，∴，A错；
对B，，，∴，B对；
对C，双曲线存在左右焦点，故，解得，C对；
对D，到渐近线的距离为，随着的增大而减小，D错.
故选：BC.
31．设双曲线C：的左、右焦点分别为，，B为双曲线C上一点，且，则以下结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率
B．双曲线C的渐近线方程为
C．
D．若的面积为3，则
【答案】ACD
【分析】根据双曲线方程表示出、，即可求出离心率与渐近线方程，再由，利用勾股定理及双曲线的定义不妨令，即可得到，从而判断C、D；
【详解】解：因为，所以，，所以C的离心率，所以A正确；
由方程知双曲线C的渐进线方程为，即，所以B错误；
由，所以，不妨令，即，可得，，故C正确；
由，解得，故D正确．
故选：ACD
32．已知双曲线经过点，并且它的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线为
C．若双曲线的顶点为，则
D．直线与有两个公共点
【答案】AC
【分析】根据题意解得双曲线方程为，即可判断ABC，联立方程，消去得，由即可判断D.
【详解】由题知，双曲线，焦点在轴上，
所以渐近线方程为，即，
因为圆，所以圆心为，半径为，
因为双曲线经过点，并且它的一条渐近线记为被圆所截得的弦长为，所以圆心到的距离为，
所以，解得，即，所以，
所以，解得，所以，即双曲线方程为，
所以双曲线的离心率为，双曲线的渐近线为，
故A正确，B错误；
因为双曲线的顶点为，
所以，故C正确；
联立方程，消去得，因为，
所以直线与有1个公共点，故D错误；
故选：AC
33．已知，是双曲线E：的左、右焦点且，过作倾斜角为的直线与y轴交于点M，与双曲线右支交于点P，且，下列判断正确的是（ ）
A．B．E的离心率等于2
C．双曲线渐近线的方程为D．△PF1F2的内切圆半径是
【答案】ACD
【分析】根据三角形中位线可得，进而根据锐角三角函数以及焦点三角形即可判断AB，根据的关系即可求解渐近线，根据等面积法即可求解D.
【详解】由于可知是的中点，又是的中点，所以,故，由于，因此，故A正确，
由于，，，故，由双曲线的定义可知，故B错误，
由，因此渐近线方程为，故C正确，
设△PF1F2的内切圆半径为，根据等面积法得，故D正确，
故选：ACD
三、填空题
34．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为______.
【答案】
【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到，得到，即可求出双曲线方程.
【详解】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
因为，故，又双曲线的上、下焦点分别为，，故，
故，故双曲线的标准方程为：，
故答案为：
35．若双曲线的一条渐近线方程为．则_____．
【答案】2
【分析】根据，双曲线的一条渐近线方程为，再利用渐近线定义得渐近线方程，进而得解．
【详解】双曲线的渐近线方程为，因为，所以，所以．
故答案为：2．
36．若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为_______．
【答案】
【分析】根据双曲线和渐近线方程可得，由可求得离心率.
【详解】由双曲线方程知：实半轴长，渐近线方程为，，
双曲线的离心率.
故答案为：.
37．已知双曲线的渐近线与圆相切，则_________.
【答案】
【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于圆的半径可求得的值.
【详解】由得，所以圆心为，半径为，
双曲线的渐近线方程为，即，
因为双曲线的渐近线与圆相切，
所以，化简得，解得或（舍去）.
故答案为：.
38．已知双曲线经过点，双曲线C的离心率为，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离为_______．
【答案】4
【分析】利用已知条件先求出双曲线的标准方程，找出一个焦点和一条渐近线，
利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】由双曲线经过点，则
，①
双曲线离心率为：，②
又，③
联立①②③解得：，
所以双曲线标准方程为：，所以双曲线的一个焦点为，
一条渐近线为，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为：
，故答案为：4.
39．已知，是双曲线C：的两个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点M，则的面积为______．
【答案】
【分析】根据题意求出圆方程和渐近线方程，联立求出点的坐标，进而可求面积.
【详解】由题可知，
所以线段为直径的圆方程为，
渐近线为，
联立得，因为在第一象限，所以，所以，
故答案为: .
40．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，若与双曲线：的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为________.
【答案】
【分析】先求得然后根据三角形的面积求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】由于抛物线的焦点到准线的距离为4，
所以，所以直线的方程为，
双曲线的一条渐近线方程为，
令得，
所以与双曲线两条渐近线所围成的三角形面积为，
所以，所以双曲线的离心率为.
故答案为：
41．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，A为双曲线的右支上一点，点A关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】由对称性和双曲线定义得到，，，在中，，由余弦定理列出方程，求出，得到离心率.
【详解】由对称性可知：，故，
由双曲线定义可知：，即，所以，
又因为，
在中，由余弦定理得：，
即，解得：，故离心率为.
故答案为：
四、高考真题及模拟题精选
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
2．（2021·北京·统考高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
3．（2021·全国·统考高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
4．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，所以双曲线的离心率.
故选：A.
5．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
二、多选题
6．（2020·海南·高考真题）已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
7．（2022·全国·统考高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
，，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，，
所以，即，
所以双曲线的离心率，选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
三、填空题
8．（2021·全国·统考高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为________．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
9．（2022·北京·统考高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
【答案】
【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
10．（2021·全国·统考高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
【答案】
【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
11．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
12．（2020·江苏·统考高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是____.
【答案】
【分析】根据渐近线方程求得，由此求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：
13．（2020·全国·统考高考真题）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.
【答案】2
【分析】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
14．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
【答案】
【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.故答案为：．
五、题型精练，巩固基础
一、单选题
1．（2023·广西·统考模拟预测）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由距离公式得出，进而由双曲线的性质得出方程.
【详解】右焦点到渐近线的距离，因为实轴长为，
所以，即的方程为.
故选：D
2．（2023·安徽宣城·安徽省宣城中学校考模拟预测）已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知焦距为4，得出，又由双曲线方程求出渐近线方程，而直线与渐近线垂直，得出它们斜率之积为 ，从而得出、之间的关系，代入，解出、，写出方程即可.
【详解】由已知焦距为4，所以 ，，又双曲线方程的渐近线方程为：，而直线的斜率，且直线与一条渐近线垂直，所以 ，即 ，由 解得 ，所以双曲线方程为：
故选：C.
3．（2023·宁夏银川·校联考一模）已知双曲线：，则的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据双曲线的对称性取其中一个焦点坐标和一条渐近线即可，根据点到直线的距离公式求出结果即可．
【详解】由题知双曲线的标准方程为，
所以其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，
又根据双曲线的对称性，
不妨取焦点到渐近线方程为的距离，
故的焦点到其渐近线的距离为．
故选：A．
4．（2023·四川巴中·统考一模）若双曲线的渐近线为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由渐近线方程可得，再由及双曲线参数关系求离心率即可.
【详解】由题设知：，即，所以.
故选：B
5．（2023·江西南昌·统考一模）双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由双曲线的标准方程直接写出渐近线方程.
【详解】∵双曲线的标准方程为：，∴双曲线的渐近线方程为：，即.
故选：A.
6．（2023·陕西商洛·统考一模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，焦距为，点在双曲线上，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由焦距可得，根据半通径长和长可构造等式求得.
【详解】焦距为，即，；
，，又，，
，即，，解得：.
故选：B.
7．（2023·陕西榆林·统考二模）已知双曲线：（）的左、右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线定义联立方程组求出，，再根据勾股定理求出，进一步计算得出结果．
【详解】不妨设在双曲线的右支上,由题意可得，
根据双曲线定义，又，
所以，．
因为，所以，则，故双曲线的离心率．
故选：B.
8．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）过双曲线（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先确定为的中点，所以为△的中位线，进而得到，，，切圆于，可得，由勾股定理得出关于，的关系式，最后即可求得离心率．
【详解】如图，
，为的中点，
为的中点，为△的中位线，，，
切圆于，
，，由勾股定理
，．故选：A．
9．（2023·山东威海·统考一模）已知双曲线的左焦点为，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若，且，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对称性知四边形为平行四边形，可求得及，在中，由余弦定理建立的关系，从而求得渐近线方程.
【详解】如图所示，不妨设在左支，
设右焦点为，连接，
由对称性知四边形为平行四边形，
由得，
由双曲线定义知：，所以，
因为，所以
在中，由余弦定理得，
即，整理得，即，所以，
则C的渐近线方程为.
故选：D
【点睛】求双曲线的渐近线就是求与的关系，通过可通过几何关系或代数式建立关于的一个齐次等式，求解均可得到渐近线方程.几何关系通过用到平面几何中的有关知识建立关系，甚至平面向量、正弦定理、余弦定理都可以用来建立关系式.
二、多选题
10．（2023·云南玉溪·统考一模）已知双曲线C过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．C的离心率为
C．曲线经过C的一个焦点
D．C的焦点到渐近线的距离为1
【答案】CD
【分析】根据给定条件，求出双曲线方程，再逐项计算判断作答.
【详解】因为双曲线C的渐近线方程为，则设双曲线C：，
又点在双曲线C上，有，即双曲线C的方程为，A错误；
双曲线C的实半轴长，虚半轴长，半焦距，双曲线C的离心率，B错误；
双曲线C的焦点坐标为，其中满足，C正确；
双曲线C的焦点到渐近线的距离，D正确．
故选：CD
11．（2022·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，一条渐近线方程为，为上一点，则以下说法正确的是（ ）
A．的实轴长为B．的离心率为
C．D．的焦距为
【答案】AD
【分析】根据双曲线方程及一条渐近线求出，写出双曲线方程，根据双曲线的定义、性质即可判断各项的正误.
【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，而一条渐近线方程为，
∴，故，
∴双曲线：实轴长，离心率为，由于可能在不同分支上则有，焦距为.
∴A、D正确，B、C错误.
故选：AD
12．（2023·辽宁鞍山·校联考一模）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为B．以线段为直径的圆的方程为
C．点的横坐标为或D．的面积为
【答案】CD
【分析】根据双曲线方程得，由此可得渐近线方程和以为直径的圆的方程，知AB正误；联立渐近线与圆的方程，可求得坐标，由此可判断CD正误.
【详解】由双曲线方程知：，，的渐近线方程为，A错误；
，以为直径的圆方程为，B错误；
由得：或，点的横坐标为或，C正确；
，，D正确.
故选：CD.
13．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有
A．渐近线方程为B．渐近线方程为
C．D．
【答案】BC
【分析】由离心率公式化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到的值.
【详解】双曲线离心率为
故渐近线方程为，
取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得,
则，
所以则
故选BC
【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.
14．（2023·云南昆明·统考一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过原点的直线与双曲线交于两点，若四边形为矩形且，则下列正确的是（ ）
A．B．的渐近线方程为
C．矩形的面积为D．的斜率为
【答案】AD
【详解】不妨设点在第一象限，
如图，由题意可得：四边形为平行四边形，
由双曲线的定义可得：，则，
对A：∵四边形为矩形，则，A正确；
对B：由选项A可得：，则，
注意到双曲线的焦点在x轴上，则的渐近线方程为，B错误；
对C：矩形的面积为，C错误；
对D：可知：，
则，且，
可得，故，
由双曲线的对称性可得：的斜率为，D正确；
故选：AD.
15．（2022·山东济宁·统考一模）已知双曲线的左､右焦点分别为､，左､右顶点分别为､，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则（ ）
A．
B．若焦点关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为
C．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1
D．若双曲线C为等轴双曲线，且，则
【答案】BCD
【分析】根据三角形两边之差小于第三边，可判断A;求出焦点关于双曲线C的渐近线的对称点的坐标,代入到双曲线方程中，化简求得离心率，可判断B;设，满足等轴双曲线方程，计算的值，即可判断C;利用C的结论，可推得，即可说明，从而判断D.
【详解】对于A,在中，根据三角形两边之差小于第三边，
故 ，故A错误；
对于B，焦点，渐近线不妨取 ，即，
设关于双曲线C的渐近线的对称点为 ，则 ，
即得 ，即关于双曲线C的渐近线的对称点为，
由题意该点在双曲线上，故 ，将 代入，
化简整理得： ，即 ，
所以 ，故 ，故B正确；
对于C,双曲线C为等轴双曲线，即,
设 ，则，则，
故 ，故C正确；
对于D, 双曲线C为等轴双曲线，即,
且,设，
则 ，
根据C的结论，即有 ，
在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，
故 ，故D正确；
故选：BCD
【点睛】本题综合考查了双曲线的相关知识，涉及到定义的理解，离心率的计算以及直线和双曲线的位置关系以及角度的问题，解答时难度并不是很大，但要能牢固掌握双曲线的基本知识才能正确解答.
16．（2023·广东·校联考模拟预测）已知双曲线：（，），的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是（ ）
A．若，且轴，则的方程为
B．若的一条渐近线方程是，则的离心率为
C．若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为
D．若，则的离心率的取值范围是
【答案】AD
【分析】由双曲线上一点，及轴，可得的值，即可求得双曲线方程，从而判断A；根据双曲线渐近线方程与离心率的关系即可判断B；根据双曲线的离心率与焦点三角形的几何性质即可求得等腰的面积，从而判断C；由已知结合正弦定理与双曲线的定义、焦半径的取值范围即可求得双曲线离心率的范围，从而判断D.
【详解】对于A，若，且轴，则，，
所以，则，所以，则的方程为，故A正确；
对于B，若的一条渐近线方程是，则，离心率，故B不正确；
对于C，若的离心率为，则，所以，若点在的右支上，为等腰三角形，则，连接，如图，
则是直角三角形，所以，故C不正确；
对于D，若，由正弦定理得，可知点在双曲线的左支上，故，
则，又，所以，整理得，解得，
所以的离心率的取值范围是，故D正确.
故选：AD.
17．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线右支交于P，Q两点，且，下列说法正确的是（ ）
A．与双曲线的实轴长相等
B．
C．若在以为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为
D．若，则直线的斜率为
【答案】AD
【分析】根据双曲线的定义求解判断A，由由双曲线的性质求解判断B，利用勾股定理求得判断C，结合双曲线的定义，余弦定理求得直线倾斜角的正切值，再利用对称性得直线斜率判断D．
【详解】由双曲线定义知，A正确；
由双曲线的性质（为右顶点时取等号），本题中不可能是右顶点，所以，．
所以，B错误；
若在以为直径的圆上，即，由选项A讨论知，
所以，即，从而，，渐近线方程为，C错误；
若，则，所以，
中，，
中，，
，所以，，，
，，，
所以，由对称性知的斜率为，D正确．
故选：AD．
三、填空题
18．（2023·广西梧州·统考一模）过四点，，，中的三点的双曲线方程为，则的渐近线方程为_______.
【答案】
【分析】由题知双曲线过点，，，进而待定系数得，再求解渐近线方程即可.
【详解】解：由双曲线的对称性可知，，必在双曲线上，
所以，双曲线过点，，
设双曲线的方程为，
所以，解得
所以，双曲线的方程为
所以，的渐近线方程为
故答案为：
19．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知双曲线（）的两条渐近线所成角为60°，则______.
【答案】2或6
【分析】对两条渐近线所成角的情况进行分类讨论，进而求出的值.
【详解】
双曲线的渐近线方程为，为其两条渐近线，点分别为轴上的点，
当时，有双曲线的对称性可知，
则，所以，则；
当时，有双曲线的对称性可知，
所以，则；
故答案为：2或6.
20．（2023·四川·校联考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是E上一点，直线与E的另一个交点为B，则的周长为______．
【答案】10
【分析】根据双曲线的定义，，，从而，又，得，故，即可得的周长.
【详解】由题意，点在双曲线的右支上，点在双曲线的左支上，
根据双曲线的定义，，，
从而，又，，，
，故，
所以的周长，
故答案为：10．
21．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为点，点是虚轴的一个端点，点为双曲线左支上一个动点，若周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】
【详解】设是双曲线的左焦点，如图，则，，
显然，当且仅当三点共线时取等号，
∴的最小值是，∴，，
，，∴渐近线方程为．故答案为：．
22．（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知双曲线C：的右焦点为F，直线l：与双曲线C交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率是__________．
【答案】
【分析】不妨设A在第一象限，则△AFO（O为坐标原点）为直角三角形，利用直角三角形的性质和双曲线的对称性列出方程，计算即可求解.
【详解】不妨设A在第一象限，则△AFO（O为坐标原点）为直角三角形，则，．设双曲线C的左焦点为F＇，由双曲线的对称性可知，则，即，整理得，从而，解得
．因为，所以．
故答案为：.
标准方程
图形
A2
焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围
实轴、虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
，
，
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．
①双曲线的定义
②双曲线的标准方程
③双曲线的性质
④多选题与填空题
高考题及模拟题精选
题型精练，巩固基础