2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题15 等差数列【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版

这是一份2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题15 等差数列【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版，共37页。试卷主要包含了考向解读，知识点汇总，题型专项训练，高考真题及模拟题精选，题型精练，巩固基础等内容，欢迎下载使用。

一、考向解读
考向：高考侧重于等差数列的基本量运算、数列的概念及表示法的理解等，主要考查考生对基本方法与基本技能的掌握。
考点：等差数列及其性质，等差数列的前n项和。
导师建议：抓住a1和d是解决问题的关键，化简也是朝着这个方向勇敢的去做！
二、知识点汇总
1.数列的第n项与前n项的和的关系
( 数列的前n项的和为).
2.等差数列的通项公式
；
3、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。
4、等差数列前n项和公式为.
【常用结论】
1.
2.;
3.构成等差数列.
4.是关于的一次函数或常数函数，数列也是等差数列.
5.在等差数列，中，它们的前项和分别记为则.
三、题型专项训练
目录一览
①等差数列基本量的计算
一、单选题
1．已知数列是等差数列，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出等差数列的公差的值，即可得出，即为所求.
【详解】设等差数列的公差为，则，因此，.
故选：C.
2．已知数列是等差数列，且，则（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】B
【分析】设等差数列的首项为，公差为d，可得，解方程即可得出答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为d，
∵．∴．解得:，∴.
故选：B．
3．在等差数列中，若，，则的公差为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】根据等差数列的定义，列出方程，解之即可.
【详解】设的公差为，则，解得．
故选：B．
4．已知数列为等差数列，若，，则（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式求解即可.
【详解】因为数列为等差数列，设公差为，
所以，解得，所以，
故选：C
5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，年英国数学家马西森指出此法符合年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将到这个数中，所有能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（ ）
A．项B．项C．项D．项
【答案】A
【分析】先求出数列的通项公式，然后根据数列的通项公式求解项数.
【详解】所有能被除余且被除余的数就只能是被除余的数，
所以，，
由可得，解得，因此，数列共有项.
故选：A.
②等差数列的前n项和Sn
6．设等差数列的前项和为，若，且，则的公差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质可求得的值，即可求得数列的公差.
【详解】因为，，则，
因此，等差数列的公差为.
故选：B.
7．设等差数列的前项和为，若，则公差为（ ）
A．B．6C．4D．8
【答案】B
【分析】由等差数列的求和公式以及通项公式列出方程组，得出公差.
【详解】由题意可得，解得
故选：B
8．设等差数列前项和为，若，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质可求得，即可求得答案
【详解】设等差数列的公差为，由可得，故，
由可得，故，所以，所以
故选：C
9．记等差数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．60B．70C．80D．100
【答案】C
【分析】根据题意，结合等差数列求和公式和通项公式得，，再求和即可.
【详解】由是等差数列可得，∴，
又，∴公差，，∴．
故选：C
10．记为等差数列的前项和.已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先利用等差数列的通项公式和求和公式列方程求出，进而可得等差数列的通项公式及求和公式，对照选项可得答案.
【详解】设等差数列的公差为，
，解得，
，
故选：D.
③等差数列的性质
11．在等差数列中，，则（ ）．
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】应用等差数列项数相同且下标和相等的性质即可确定答案.
【详解】由等差数列的性质知：.
故选：C.
12．在等差数列中，设其前项和为，若，则（ ）
A．4B．13C．26D．52
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质可得，结合等差数列的求和公式可得结果．
【详解】，，
故选：C．
13．设为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．9B．6C．3D．0
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式及等差数列性质计算作答.
【详解】等差数列的前n项和为，则，解得，
所以.
故选：B
14．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A．3339块B．3402块C．3474块D．3699块
【答案】B
【分析】依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为，其中，，根据下标和性质求出，再根据等差数列求和公式求出即可.
【详解】解：依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为，其中，，所以，所以所以，故圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）块.
故选：B
15．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质可得，进而可求解.
【详解】由得，所以，
故选：A
16．等差数列中，，则的等差中项是（ ）
A．9B．3C．12D．6
【答案】D
【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列通项公式的性质，可以求得，接着利用等差数列通项公式的性质即可求出，的等差中项.
【详解】，，
，即，，.
故选：D
17．设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（ ）
A．7B．12C．15D．31
【答案】C
【分析】设出公比，根据，，成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式得到答案.
【详解】设公比为，因为，，成等差数列，所以，
则，解得：或0（舍去）.因为，所以，故.
故选：C
18．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，，则（ ）
A．B．C．48D．96
【答案】C
【分析】根据题意，由条件得到关于与的方程，即可得到，从而得到结果.
【详解】设等比数列的公比为，
因为成等差数列，
所以，即，又，
所以，解得，所以
故选:C
④等差数列的前n项和Sn的性质
19．已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，由可得出，然后解不等式，可得出当取得最小值时对应的的值.
【详解】设等差数列的公差为，由可得，
整理可得，所以，，
令，即，解得，因此，当取最小值时，.
故选：C.
20．等差数列的前项的和为，已知，，则等差数列的前项的和中，最小值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定等差数列的所有负数项即可推理作答.
【详解】等差数列的前项的和为，由，得，则，
由，得，，
等差数列的公差，即数列是递增的，前5项均为负数，从第6项起均为正数，
所以等差数列的前5项的和最小，即最小值为.
故选：A
21．已知等差数列的前项和为，，，当取最大值时的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】先利用等差数列求和公式得到，再判断公差，判断数列的单调性，即得取最大值时的值.
【详解】，所以，
又，故，故公差，
所以是递减数列，前9项为正，其余项为负，即时，取最大值.
故选：C.
22．等差数列的前项和为，，则取最大值时的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等差数列的前项和公式得出，利用等差数列的通项公式可得，进而求出其通项公式，判断出，即可得出取最大值时的值.
【详解】由题可知，则，
又，则，则
因此，故取最大值时的n值为7
故选：A.
23．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【分析】根据题意，利用等差数列求和公式和等差中项性质可判断，的正负.
【详解】因为，所以，因为，所以，
故选：C.
24．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ）
A．数列为递增数列B．
C．的最大值为D．
【答案】B
【分析】由已知条件得出和公差，进而得出各项与0的大小关系，逐项分析判断即可得解.
【详解】由题意，，
在数列中，，且，∴，故B正确；
∴公差，数列为递减数列，A错误；
∴当时，，当时，，的最大值为，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
⑤等差数列中an和Sn的关系
25．设数列的前项和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】利用公式进行求解即可.
【详解】由于数列的前项和，所以，，所以.
故选：A
26．已知数列的前n项和是（ ）
A．20B．18C．16D．14
【答案】A
【分析】由数列的前n项和公式分别求得，即可得到和.
【详解】由，所以，，
所以，
故选：A.
27．已知数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据通项与前n项和的关系，分与两种情况分别求解即可.
【详解】当时，；当时，，且当时也满足.
故.
故选：D
28．已知数列的前项和为，则（ ）
A．13B．15C．17D．19
【答案】A
【分析】利用即可得答案.
【详解】，
故选：
【点睛】本题主要考查了求数列某项的值，属于基础题.
29．已知为数列的前项和，且满足，则（ ）
A．27B．28C．29D．30
【答案】B
【分析】首先根据前n项和，求出，然后即可求出结果.
【详解】因为，当时，，
当时，经检验，当时不符合，所以，.
故选：B.
30．已知数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等差数列
B．数列是递增数列
C．，，成等差数列
D．，，成等差数列
【答案】D
【分析】由与的关系推导出数列的通项公式，判断选项A，B，分别计算出，，和，，，再由等差数列中项的性质判断选项C，D.
【详解】，
∴时，
时，．时，不满足
∴数列不是等差数列；
，因此数列不是单调递增数列；
，因此，，不成等差数列．
．．∴成等差数列．
故选：D
31．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣5n+2，则数列{|an|}的前10项和为（ ）
A．56B．58C．62D．60
【答案】D
【分析】求出数列{an}的正负分界点，a3＝S3﹣S2＝（﹣4）﹣（﹣4）＝0，数列{|an|}的前10项和：S＝S10﹣2S3即可得解.
【详解】Sn＝n2﹣5n+2的最小值是当n2.5时取得，
∵n是自然数，取值计算：
n＝2时，Sn＝22﹣5×2+2＝﹣4，
n＝3时，Sn＝32﹣5×3+2＝﹣4，
a3＝S3﹣S2＝（﹣4）﹣（﹣4）＝0，
∴n≥4时，an＞0，n≤3时，an≤0，a1＝S1＝1﹣5+2＝﹣2，
∴数列{|an|}的前10项和：
S＝S10﹣2S3＝（100﹣50+2）﹣2（9﹣15+2）＝60．故选：D．
32．数列的前项和为，若()，且，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由时，，可得、，再由，可得
【详解】当时，，则、，
又∵，则，
所以，
故选：C.
【点睛】本题考查了，考查了计算能力，属于基础题目.
33．已知正项数列的前n项和为，且，则（ ）
A．4045B．4042C．4041D．4040
【答案】A
【分析】根据与的关系，由的的递推关系式，由时，确定首项，即可得，于是能求解的值.
【详解】解：∵ ①，
∴当时， ②，
①-②得，
∵，∴，∴，∴当时，，解得
∴是首项为1，公差为2的等差数列，则，于是有．
故选：A．
⑥多选题与填空题
二、多选题
34．已知公差为的等差数列中，其前项和为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】利用等差数列的通项公式和前项和的性质，列方程求出公差，即可得数列通项,验证各选项是否正确.
【详解】公差为的等差数列中，其前项和为，且，
则，解得，所以，A选项正确；
，B选项正确；
，C选项正确；
，，D选项错误.
故选：ABC
35．已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（ ）
A．公差的取值范围是B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由,,且，可判断A，由等差数列的性质可判断BD，由作差法可判断C.
【详解】解：由题意得,,，
所以，解得，所以，故A错误；
由，故B正确；
由，故，C选项正确；
由等差数列性质，，故D正确.
故选：BCD
36．某公司超额完成上一年度制定的销量计划，准备在年终奖的基础上再增设20个“幸运奖”，随机抽取“幸运奖”，按照名次，发放的奖金数由多到少依次成等差数列.已知第3名对应的“幸运奖”奖金为1500元，前8名对应的“幸运奖”奖金共11400元，则（ ）
A．第1名对应的“幸运奖”奖金为1600元
B．第1名对应的“幸运奖”奖金为1650元
C．该公司共需准备“幸运奖”奖金22000元
D．该公司共需准备“幸运奖”奖金22500元
【答案】AD
【分析】建立等差数列模型，设第1名，第2名，…，第20名所得“幸运奖”奖金分别为元，元，…，元，根据等差数列的通项公式和求和公式可求出结果.
【详解】设第1名，第2名，…，第20名所得“幸运奖”奖金分别为元，元，…，元，
等差数列的前n项和为，公差为d，
依题意可知，，
解得，，则，
故第1名对应的“幸运奖”奖金为1600元，该公司共需准备“幸运奖”奖金22500元.
故选：AD
37．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数.下列数中，既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．36B．289C．1225D．1378
【答案】AC
【分析】由题意，整理数列的通项公式，建立方程，可得答案.
【详解】由题意，三角形数可看作，，，，
则第三角形数为；
正方形数可看作，，，，，则第个正方形数为；
对于A，令，解得，令，解得，故A正确；
对于B，令，解得，令，其解显然不是正整数，故B错误；
对于C，令，解得，令，解得，故C正确；
对于D，令，显然其解布置正整数，故D错误.
故选：AC.
38．数列满足，，则（ ）
A．数列是递减数列B．
C．点()都在直线D．数列的前项和的最大值为32
【答案】AC
【分析】根据数列的递推关系式，可判断数列的单调性及，可判断A；又可得数列为等差数列，求得等差数列通项公式，即可判断B,C；由等差数列的前项和公式结合二次函数的性质，即可求得的最大值，可判断D.
【详解】数列满足，，即，所以数列是递减数列，故A正确；
且数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则点()都在直线上，故B不正确，C正确；数列的前项和，
又因为，所以时，，时，，则的最大值为，故D不正确.
故选：AC.
39．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．是递减数列
C．为递减数列D．是公差为的等差数列
【答案】BCD
【分析】对A，直接求值判断；
对B，由二次函数单调性判断；
对C，由与的关系求出通项公式判断；
对D，，由通项公式即可判断.
【详解】对A，，A错；
对B，由，为其对称轴，则在单调递减，则由可知是递减数列，B对；
对C，时，.
又符合上式，故的通项公式为，单调递减，C对；
对D，，则，故是公差为的等差数列，D对.
故选：BCD.
40．设，分别为等差数列的公差与前n项和，若，则下列论断中正确的有（ ）
A．当时，取最大值B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】BCD
【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，则
由，得，解得，
所以，
当时，当时，取最小值；当时，当时，取最大值；故A错误；
当时，，故B正确；
当时，，故C正确；
当时，，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
41．已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】先求出，，判断出，得到等差数列为递增数列，利用等差数列的性质对四个选项一一验证.
【详解】因为，所以，，
所以.故A错误，B正确；
因为，所以等差数列为递增数列.
因为，所以，，
所以.故C正确；
因为，所以.故D正确.
故选：BCD
三、填空题
42．记等差数列的前n项和为，已知，，则的通项公式为______.
【答案】
【分析】运用等差数列通项公式及等差数列前n项和公式的基本量代入计算即可.
【详解】设等差数列的公差为d，则，，
，
所以.
故答案为：.
43．已知等差数列，，=___________
【答案】e
【分析】由等差中项的性质计算即可.
【详解】由等差数列性质可知：，
又，故.
故答案为：e
44．若数列{}为等差数列，，则数列{}的前9项和=__________.
【答案】
【分析】利用等差数列的性质得到，代入数据计算得到答案.
【详解】.
故答案为：
45．数列的前项和，则该数列的通项公式为______.
【答案】
【分析】由可求得数列的通项公式.
【详解】当时，；
当时，.
不满足.
所以，.
故答案为：.
46．正项数列的前n项和满足，则数列的通项公式为______.
【答案】
【分析】，，两式相减得到，当时，解得，得到通项公式.
【详解】，，
两式相减得到，
正项数列，故，得到，
当时，，解得或（舍去），
故数列为首项为1公差为1的等差数列，故.
故答案为：
47．若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则______.
【答案】
【分析】利用等差数列的性质和求和公式，把转化为求解.
【详解】因为，为等差数列，所以，
因为，所以.
故答案为：.
48．设等差数列的前项和为，且，，则当______时，最大．
【答案】1011
【分析】利用等差数列的求和公式及性质求解.
【详解】因为为等差数列，所以，即；
同理由可得，所以，所以当时，最大．
故答案为：1011.
四、高考真题及模拟题精选
一、单选题
1．（2020·全国·统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【答案】C
【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
2．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【答案】D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
3．（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
4．（2021·北京·统考高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值．
【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，
所以.
对于，，
取数列各项为(，,则，所以n的最大值为11．
故选：C．
5．（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
6．（2020·浙江·统考高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
故选：D.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
二、填空题
7．（2022·全国·统考高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
8．（2020·全国·统考高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则__________．
【答案】
【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
9．（2020·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
五、题型精练，巩固基础
一、单选题
1．（2023·重庆·统考一模）2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕．某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告．已知该报告厅共有15排座位，共有390个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（ ）
A．12B．26C．40D．50
【答案】C
【分析】根据题意转化为等差数列问题,应用等差数列通项公式和前项和公式,基本量运算即可求解.
【详解】根据题意, 把各排座位数看作等差数列,
设等差数列通项为,首项为,公差为,前项和为,则,
,所以,即得，
故选:
2．（2023·山东济宁·统考一模）已知等差数列的前5项和，且满足，则等差数列{an}的公差为（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
【答案】D
【分析】根据题意得到，，解得答案.
【详解】；，解得，.
故选：D
3．（2023·陕西西安·统考一模）已知是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．15B．20C．25D．－25
【答案】B
【分析】根据等差数列前项和公式求得首项和公差即可求解.
【详解】设公差为，
则有，即，
联立解得，所以，
故选:B.
4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，，则（ ）
A．B．C．48D．96
【答案】C
【分析】根据题意，由条件得到关于与的方程，即可得到，从而得到结果.
【详解】设等比数列的公比为，
因为成等差数列，
所以，即，
又，所以，解得所以
故选:C
5．（2023·贵州贵阳·统考一模）等差数列中，，则数列的前9项之和为（ ）
A．24B．27C．48D．54
【答案】B
【分析】根据等差数列下标和性质求出，再根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】解：在等差数列中，，则
所以，又，
所以，所以.
故选：B
6．（2023·全国·校联考模拟预测）记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】C
【分析】根据等差数列前和公式及等差数列性质可求得，则可得的值.
【详解】根据数列为等差数列，则，
所以，所以，
故选：C.
7．（2022·河南商丘·校联考模拟预测）设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则为递增数列B．若，则
C．若，则D．对任意正整数，有
【答案】D
【分析】根据已知条件求得的关系，然后对选项逐一分析，从而确定正确答案.
【详解】由于等差数列满足，
所以.
A选项，若，则，所以是递增数列，A选项正确.
B选项，若，，，
，B选项正确.
C选项，，C选项正确.
D选项，当时，，
所以，D选项错误.
故选：D
8．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知等差数列满足，则下列命题：①是递减数列；②使成立的的最大值是9；③当时，取得最大值；④，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③
C．①④D．①②③
【答案】D
【分析】设出公差为，列出方程组，求出首项和公差，根据判断①正确，
写出，解不等式求出成立的的最大值是9，②正确；
根据与，得到当时，取得最大值，③正确；
利用通项公式求出的值，得到④错误.
【详解】设等差数列的公差为，
故，解得：，
由于，故是递减数列，①正确；
，令，
解得：，且，
故使成立的的最大值是9，②正确；
，
当时，，当时，，
故当时，取得最大值，③正确；
，④错误.
故选：D
9．（2022·北京东城·统考一模）已知数列的前项和，则是（ ）
A．公差为2的等差数列B．公差为3的等差数列
C．公比为2的等比数列D．公比为3的等比数列
【答案】A
【分析】根据数列的第项与前项和的关系，结合等差数列的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以当时，有，
，得，
当时，适合上式，
因为，
所以该数列是以2为公差的等差数列，
故选：A
10．（2021·甘肃·统考二模）设是数列的前项和，若，则（ ）．
A．4043B．4042C．4041D．2021
【答案】A
【分析】法一：由可得；
法二：由数列公式，先求通项，再代入求出.
【详解】法一：；
法二：，当时，，
当时，.
当时，也适合上式，，则.
故选：A.
【点睛】（1）设是数列的前项和，是等差数列.
（2）已知求，应用公式时，一要注意不要忽略时的情况，二要注意时的成立条件.
11．（2020·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，，则（ ）
A．30B．29C．28D．27
【答案】B
【分析】本题直接使用借求解题即可.
【详解】解： ， ，
，,
，
故选：B
【点睛】本题考查 ，是简单题.
12．（2023·广东东莞·校考模拟预测）设为数列的前项和.若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】用定义法，分充分性和必要性分别进行讨论.
【详解】因为为数列的前项和，且，
所以当时，；
当时，；
所以
充分性：当时，.所以；；.满足，所以充分性满足；
必要性：由可得：，，，符合，但是不能推出.所以必要性不满足.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
二、多选题
13．（2022·浙江·校联考模拟预测）设等差数列的公差为，前项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由已知条件列方程组求出，然后逐个分析判断即可
【详解】对于AB，因为，，
所以，解得，，
所以AB正确，
对于C，所以，对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，所以，所以C错误，
对于D，令，则，解得，或，因为，所以，所以，所以D错误，
故选：AB
14．（2022·广东江门·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．
C．当，或17时，取得最大值D．
【答案】BC
【分析】根据，利用数列前n项和与通项之间的关系，求得通项公式后，再逐项判断.
【详解】因为，
所以
两式相减得，
当时，适合上式，
所以，
因为，所以数列是递减数列，
由，解得，且
所以当或17时，取得最大值，
所以，
，
.
故选：BC
15．（2022·河北石家庄·统考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则（ ）
A．B．
C．当且仅当时，取最小值D．
【答案】AB
【分析】根据等差数列的通项公式、前n项和公式进行求解判断即可.
【详解】设数列的公差为d，由，，
得 解得，，
所以，，则，，A，B正确；
令，得，且，则或时，取最小值，C不正确；因为，所以，D不正确．
故选：AB
16．（2022·湖南永州·统考三模）已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ）
A．B．
C．D．、均为的最大值
【答案】BD
【分析】根据等差数列的性质以及其前项和的性质，逐个选项进行判断即可求解
【详解】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为，故C错误；
因为由题意得，，所以，，故D正确；
故选：BD
三、填空题
17．（2023·广西柳州·统考模拟预测）记等差数列的前n项和为，若，则___．
【答案】33
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出首项和公差，再利用前n项公式计算作答.
【详解】等差数列中，，由得，则公差，
首项，所以.
故答案为：33
18．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，则___________.
【答案】0
【分析】首先根据题意得到，再根据等差数列的性质求解即可.
【详解】由已知得，故.
故答案为：0
19．（2022·全国·哈师大附中校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，则______．
【答案】
【分析】根据题设条件，求得，在结合求和公式，即可求解.
【详解】设等差数列公差为，
因为，可得，又因为.
故答案为：.
20．（2023·全国·模拟预测）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数”得，再应用基本不等式求得 的最小值.
【详解】解：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为的等差数列，则
∴
当且仅当，即 时，等号成立，∴ 的最小值为．
故答案为：.
21．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）已知等差数列（）满足，则__________.
【答案】1
【分析】利用等差中项的性质可得，进而可求结果.
【详解】由题设，所以，即.
故答案为：1
22．（2022·全国·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，，，则使成立的n的最小值为______．
【答案】5
【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式列方程得到，，即可得到，然后列不等式求解即可.
【详解】解：设等差数列的公差为d，由题知，解得，，
∴，由，解得，∵，∴．
故答案为：5.
①等差数列基本量的计算
②等差数列的前n项和Sn
③等差数列的性质
④等差数列的前n项和Sn的性质
⑤等差数列中an和Sn的关系
⑥多选题与填空题
高考题及模拟题精选
题型精练，巩固基础