2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题11 函数的零点【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版

这是一份2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题11 函数的零点【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版，共45页。试卷主要包含了考向解读，知识点汇总，函数零点个数判断的一般方法，高考真题及模拟题精选，题型精练，巩固基础等内容，欢迎下载使用。

一、考向解读
考向：函数的零点问题一般以选择题或者填空题的形式出现，注意考查定义，方法中定义法和数形结合的思想用的较多。有时候也会在解答题中出现，主要是结合导数考查，一般是压轴题了。
考点：函数的零点与方程的根
导师建议：数形结合是零点问题的重难点！
二、知识点汇总
一、函数的零点与方程的根
1、定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
2、等价定义
（1）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
（2）函数的零点就是方程的实数根．
二、零点存在定理
1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，
那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得。
2、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.
三、函数零点个数判断的一般方法
1、直接法：直接求零点，令，求出它的解，但是要注意零点是否有相同的部分.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数
【常用结论】
1.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
2.零点不是点喔，是一个数！(偷偷告诉你，极值点也不是点，是数来着)
三、题型专项训练
①求函数的零点
一、单选题
1．已知函数，则的零点为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】B
【分析】令，求出方程的解，即可得到函数的零点.
【详解】解：对于函数，令，即，
解得或，所以的零点为和.故选：B
2．已知函数则函数的零点的个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】D
【分析】分和解方程即可得函数的零点，进而可得零点的个数.
【详解】当时，令可得，
当时，令可得：或，
综上所述函数的零点为，，，有个，故选：D.
3．函数的零点是（ ）
A．1B．C．D．4
【答案】B
【分析】根据零点的定义列式运算求解.
【详解】令，解得，故函数的零点是.故选：B.
4．函数的零点为（ ）
A．4B．4或5C．5D．或5
【答案】C
【分析】根据零点的定义结合对数的运算求解，注意函数的定义域.
【详解】由题意可得：，解得，故的定义域为，
令，得，则，解得或，
又∵，所以．故选：C.
②比较零点的大小关系
5．设方程的两个根为，则
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】不妨设 ，则，
所以 ，所以，
所以 ．故选D
6．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在同一坐标系中作出的图象，利用数形结合法求解.
【详解】解：在同一坐标系中作出的图象，
由图象知：，故选：B
7．已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，
由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，
作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，
∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，故选A．
③求零点的和
8．已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据零点定义求出零点后可得．
【详解】时，由得，
时，由得或，所以四个零点和为．故选：D．
9．函数的零点之和为（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式，分别求得零点，结合对数式运算即可求得零点之和.
【详解】函数
当时，，设其零点为，则满足，解得；
当时，，设其零点为，则满足，解得；
所以零点之和为故选:A.
10．函数与，两函数图象所有交点的横坐标之和为（ ）．
A．0B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】首先分析函数解析式的特征，得到其对称性，结合根的个数，求得结果.
【详解】函数与两函数图象交点的横坐标之和，
可以转化为方程为方程的根之和；
和均关于x=2对称，
且两个图像有2个交点，两个交点横坐标之和为4．故选：D．
11．函数在上的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出的零点，然后利用等差数列的求和公式可得答案.
【详解】由得，，
故在上的零点从小到大排成首项为、公差为的等差数列．
由得，即该数列共有项，所以所有零点之和为，故选：D．
12．函数在区间上的所有零点之和等于（ ）
A．B．0C．3D．2
【答案】D
【分析】直接求出所以零点，然后求和即可.
【详解】令，则，得，因为，所以，所以所有零点之和为.故选：D
④根据零点个数求参数范围
13．若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把方程根的问题转化为两个函数图象交点的问题，画出函数图象，利用数形结合的思想即可求解．
【详解】令，
由于当时，，，且；
当时，，，且，
作出函数的图象如图所示，
则当时，函数与的图象有两个交点，即方程有两个不同的实数根，
的取值范围是．故选：C．
14．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围.
【详解】函数有两个不同的零点，即为函数与直线有两个交点，
函数图象如图所示：
所以，故选：D.
15．设，若有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将的根的个数，转化为两函数的交点个数问题，利用数形结合即得.
【详解】因为有三个不同的实数根，等价于与有3个不同的交点，
画出与的图象，
所以，即实数的取值范围是.故选：B.
16．若函数在区间内仅有1个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出函数的零点，即对称点的横坐标，列出3个相邻的对称点，由在内仅有一个零点可得，解之即可.
【详解】由题意知，
令，解得，
得函数的3个相邻的对称点分别为，
因为函数在内仅有一个零点，
所以，，
解得，，当时，，得.故选：C.
17．已知函数（），若在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出的范围，数形结合得到关于的范围，求出的取值范围.
【详解】，，则，
故，解得：.故选：A
⑤判断零点所在区间
18．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.
【详解】在上单调递增，，
所以的零点在区间.故选：B
19．已知方程的解在内，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析运算.
【详解】构建，则在定义域内单调递增，故在定义域内至多有一个零点，
∵，
∴仅在内存在零点，即方程的解仅在内，故.故选：B.
20．在下列区间中，函数的零点所在区间为（ ）
A．（0,1）B．（1,2）C．（2,3）D．（3,4）
【答案】A
【分析】根据函数的单调性及零点的存在定理判断零点所在区间.
【详解】由连续函数在定义域上单调递减，，且，故函数的零点所在区间为.故选：A．
21．函数的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【答案】C
【分析】根据零点存在性定理，在为单调递减函数，结合，即可求解.
【详解】依题意，函数的定义域为，
而在为单调递减函数，在为单调递减函数，
因为，所以，即所以，
，所以，
所以由零点存在性定理可知，函数在区间有零点.故选：C.
22．函数，则的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知，先判断函数的单调性，然后根据选项进行赋值运算，利用零点存在性定理即可判断零点所在的区间.
【详解】函数，其定义区域为，
所以，所以函数在上单调递增，，，，
所以的零点所在区间为.故选：B.
23．函数在区间上的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简函数，再令y=0求解判断.
【详解】解：，，，
令，得，，
，，在上的零点为故选：B
二、多选题
24．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．函数是定义域上的增函数
C．函数有个零点
D．方程有两个实数解
【答案】AC
【分析】直接计算的值，可判断A选项；利用函数的单调性可判断B选项；解方程可判断C选项；解方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则，A对；
对于B选项，因为函数在上不单调，故函数在定义域上不单调，B错；
对于C选项，当时，由，可得，
当时，由，可得.
综上所述，函数有个零点，C对；
对于D选项，当时，由可得，
当时，由，可得，解得或.
综上所述，方程有三个实数解，D错.故选：AC.
25．已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．是的极小值点
B．有三个零点
C．曲线与直线只有一个公共点
D．函数为奇函数
【答案】ABC
【分析】对于A，利用导数，结合极小值点的定义，可得答案；
对于B，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；
对于C，根据切线的求解方程，利用导数检测，可得直线为函数的切线，结合图象，可得答案；
对于D，整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案.
【详解】由函数，则求导可得，
令，解得或，可得下表：
则是的极小值点，故A正确；
，，
由，，
显然函数在分别存在一个零点，即函数存在三个零点，故B正确；
联立，消去可得，化简可得，
则该方程组存在唯一实根，故C正确；
令，
，故D错误.故选：ABC.
26．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式进行逐一判断即可.
【详解】令、，则、，
在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像，
因为函数的零点为，函数的零点为，
所以，，解方程组，
因为函数与互为反函数，
所以由反函数性质知、关于对称，
则，，所以，
当且仅当a=b=1时，等号成立，所以A、D错误，B、C正确.故选：BC
27．已知函数，的零点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由指数函数与对数函数、的对称性知与关于直线对称，利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可.
【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称，
设与图象的交点为A，
与图象的交点为，
则与关于直线对称，则，．
因为，所以，则，即，
因为的图象与直线的交点为，
所以，，，则．故选：ABD.
28．已知是定义在R上的奇函数，当时，，若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A．4B．C．D．8
【答案】BD
【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，当时，即对应一个交点为，
方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为，
综上，4个实数根之和为或.
故选：BD.
29．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有3个零点
B．当时，若函数有三个零点，则
C．若函数恰有2个零点，则
D．若存在实数m使得函数有3个零点，则
【答案】ABD
【分析】A选项，令与，解出方程的根，得到零点个数；B选项，画出与的图象，得到要想有三个零点，则，进而得到，，求出的范围即可；C选项，求出当时，函数零点的个数，即可判断；D选项，要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，从而求出的范围.
【详解】对于A，当时，，
当时，令，解得，
当时，令，解得或，
综上，当时，函数有3个零点，故A正确；
对于B，当时，，
令，则，
如图，画出与的图象如下：
要想有三个零点，则，
不妨设，则，，
故，则，
则，故B正确；
对于C，因为时，，或4时，，
当时，不存在零点，而有两个零点，
此时函数恰有2个零点，
则当时，函数也恰有2个零点，故C错误；
对于D，画出与的图象如下：
要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，故，故D正确.故选：ABD.
30．已知，若恰有3个零点，则的可能值为（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】AD
【分析】由得，利用数形结合即可得到结论.
【详解】由得，作出函数，|的图像，如图所示．
当，满足条件，
当时，此时与有三个交点，
故符合条件的满足或．
故选：AD
31．已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】BCD
【分析】首先根据题意画出函数的图象，结合图象可知：当时，直线与的图象有2个交点，当直线与曲线相切在第一象限时，有2个交点，即可得到答案.
【详解】函数的图象，如图所示：
由题意知，直线与的图象有2个交点．
当直线过点时，，
当直线过点时，．
结合图象如图可知，当时，直线与的图象有2个交点，
如图所示：
又当直线与曲线相切在第一象限时，
直线与的图象也有2个交点，如图所示：
，化简可得，由，得，
又由图可知，所以，此时切点的横坐标为2符合.
综上，实数a的取值范围是.故选：BCD．
32．设函数，若关于x的方程有四个实根（），则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为16
【答案】ABD
【分析】作出函数的大致图象，由图象分析可得，，可判断A，B；由解出可判断C；又因为，然后表示出，利用基本不等式求出的最小值可判断D.
【详解】作出函数的大致图象，如图所示：
要使直线与的图像有四个不同的交点，则，故A正确；
当时，对称轴为，所以，故B正确；
由，得或，则，
又，所以，
所以，故C错误；
所以，且，
，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，
故D正确. 故选：ABD
四、高考真题及模拟题精选
一、单选题
1．（2022·北京延庆·统考模拟预测）已知函数，且，则的零点个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】解三角方程求得的零点即可解决
【详解】由
可得或，又，则，或，或
则的零点个数为3故选：C
2．（2021·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】通过解法方程来求得的零点个数.
【详解】由可得.
当时，，或（舍去），
当时，或.
故是的零点，
是的零点，
是的零点.
综上所述，共有个零点.故选：C
3．（2021·浙江台州·统考二模）若函数在上有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将零点问题转化为方程问题，再运用数形结合的方法解决即可.
【详解】函数在上有两个不同的零点等价于方程在上有两个不同的解，
即在上有两个不同的解.
此问题等价于与有两个不同的交点.
由下图可得.
故选：D.
4．（2021·重庆·校联考三模）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】函数的零点直接求解即可，函数的零点利用零点存在性定理求解即可，从而可得答案
【详解】解：令，则，得，即，
令，则，得，即，
因为函数在上为增函数，且，所以在区间存在唯一零点，且，
综上，，故选：B
5．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，则可解得a的取值范围是.
6．（2020·广东中山·校联考模拟预测）定义域为的函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，，，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】作出的图象，转化为与有三个交点，根据函数的对称性，从而求解的值．
【详解】定义域为的函数，
作出的图象，
关于的方程恰有3个不同的实数，
则转化为与有三个交点，即，
不妨设，此时，
根据图象与关于对称，所以则．故选：A．
7．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.故选：D.

二、多选题
8．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的值可能是（ ）
A．0B．1C．99D．100
【答案】BC
【分析】首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，从而得到，再根据函数单调性求解即可.
【详解】如图所示：
因为关于的方程有四个实数解，且，
所以.
的对称轴为，所以.
因为，所以，即，.
因为，所以.
所以，
因为，为减函数，
所以.故选：BC
9．（山东省临沂市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）已知函数，令，则（ ）
A．若有1个零点，则或
B．若有2个零点，则或
C．的值域是
D．若存在实数a，b，c（）满足，则的取值范围为（2，3）
【答案】BCD
【分析】根据函数图象的翻折变换和平移变换，由函数的图象与函数的图象，
可得函数的图象，利用数形结合，可得答案.
【详解】由函数的图象，根据函数图象的翻折变换，
由函数的图象，根据函数图象的平移变换，向右平移3个单位，向下平移1个单位，
可得函数的图象，如下图：
函数的图象可由函数经过平移变换得到，
显然当或时，函数的图象与轴存在唯一交点，故A错误；
由函数的图象，本身存在两个交点，向下平移一个单位，符合题意，故B正确；
由图象，易知C正确；
设，则，由前两个方程可得，则，
由图象可知，解得，即，故D正确；故选：BCD.
10．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若存在三个实数，使得，则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
【答案】ACD
【分析】先作出函数的大致图象，结合题意令，进而得到,,关于的增减性以及的取值范围，数形结合分析选项即可得解.
【详解】作出函数的大致图象,如图所示，
设，
数形结合得:均是关于的增函数，是关于的减函数，且.
当时，令，得或，
所以，，且，
所以，故A正确；
不妨设，则，此时，所以B错误；
因为，所以，且与均为关于的增函数，
所以，故C正确；因为为关于的增函数，，，所以，故D正确.故选：ACD.
11．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
12．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
13．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵，∴
∴
,故答案为：1，
五、题型精练，巩固基础
一、单选题
1．（2021·四川成都·统考二模）下列函数在区间内有零点且单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据基本初等函数的单调性以及零点的定义判断可得出合适的选项.
【详解】对于A，在上为减函数，不符合题意；
对于B，在上为增函数，令，解得，不合乎题意；
对于C，在上没有定义，不符合题意；
对于D，在上有零点，且在为增函数，符合题意.故选：D．
2．（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题先运用判断是否为奇函数，再求零点判断即可.
【详解】A选项：，函数不是奇函数，故A选项错误；
B选项：，函数是奇函数，但不存在零点，故B选项错误；
C选项：，函数是奇函数，且，故C选项正确；
D选项：，函数不是奇函数，故D选项错误；故选：C.
3．（2022·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知函数，则函数的零点为（ ）
A．B．，0C．D．0
【答案】D
【分析】函数的零点，即令分段求解即可.
【详解】函数
当时，令，解得
当时，令，解得（舍去）综上函数的零点为0故选：D．
4．（2021·云南·校联考模拟预测）函数在上的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】由，数形结合即可得解.
【详解】由，得，作出函数在上的图象如图所示，
因为，
所以由图可知直线与图象有3个交点，从而在上有3个零点.故选：B
5．（2020·浙江·模拟预测）已知函数有两个零点，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合二次函数的性质和基本不等式进行判断即可
【详解】由题意得，且，是方程的两个根，故，所以，当且仅当时等号成立.若，则，反之，若，则，当，时，，但故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.
6．（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据的图象，应用数形结合法判断不同取值情况a、b、c的大小关系，即可得结果.
【详解】由的图象如下：
由图知：当时，，D可能；
当时，，B可能；
当时，，A可能.故选：C
7．（2017·辽宁大连·大连八中校考一模）已知函数的零点依次为，则
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将，转化为函数，与函数的交点坐标，在同一平面直角坐标系结合函数图象，数形结合判断，的取值范围，由是的零点，直接求，然后与，进行比较大小
【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝2x，y＝－x，的图象，结合函数y＝2x与y＝－x的图象可知其交点横坐标小于0，即a<0；结合函数与y＝－x的图象可知其交点横坐标大于0且小于1，即08．（2022·江西萍乡·统考二模）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据零点定义求出零点后可得．
【详解】时，由得，
时，由得或，所以四个零点和为．故选：D．
9．（2021·山东济宁·统考二模）已知函数，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由得到，把转化为，利用函数单调性求出最小值.
【详解】
函数的图像如图所示，作出交两点，其横坐标分别为a、b，不妨设.
由可得：，解得：，
所以
记，
任取，则。
因为，所以，所以，
所以
则在上单调递减，所以
故选：C
10．（2022·新疆克拉玛依·统考三模）函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】把方程变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数图象的交点个数，根据函数的对称性计算可得．
【详解】解：因为，令，即，当时显然不成立，
当时，作出和的图象，如图，
它们关于点对称，
由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为．故选：C．
11．（2022·陕西安康·统考一模）若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.
【详解】由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示：
若使得函数有3个零点，则.故选：A.
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数若的图象上至少有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求得当时，关于轴对称的图象所对应的函数解析式为，将问题转化为与至少有2个交点，作出图象，结合图象求解即可.
【详解】解：当时，，则其关于轴对称的图象所对应的函数解析式为.
由题意知当时，与的图象至少有两个公共点，
即方程在区间,内至少有两个实根.
令，
在同一平面直角坐标系中分别作出与的图象，如图：
由图可知，若直线与曲线至少有两个公共点，则.
故实数的取值范围是.故选：C.
13．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，即可得到，令，则与有两个交点，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得到，从而求出参数的取值范围.
【详解】解：令，即，所以，
即方程有两个不相等实数根，
令，则与有两个交点，
因为，则当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，则，当时，则，
所以，解得，即.故选：A
14．（2023·甘肃武威·统考一模）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得，由得，由在上恰有2个零点，得 ，即可解决.
【详解】由题可知，，
先将函数的图象向右平移个单位长度，得，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得，
当时，，
因为在上恰有2个零点，所以，解得.
所以的取值范围为，故选：B
15．（2022·安徽合肥·合肥市第五中学校考模拟预测）已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由第4个正零点小于1，第4个正最值点大于等于1可解
【详解】，
因为，所以，
又因为函数在内恰有个最值点和4个零点，
由图像得：，解得：，
所以实数的取值范围是.故选：A
16．（2020·福建三明·校联考模拟预测）下列区间中，函数一定存在零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的解析式，求得，结合零点的存在定理，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
可得，由零点的存在性定理，可得函数一定存在零点的区间是.故选：B.
17．（2020·山东日照·校联考模拟预测）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由零点存在性定理运算即可得解.
【详解】由题意，函数是增函数并且是连续函数，
因为，，，
，所以，所以函数的零点在区间．故选：B．
18．（2019·甘肃平凉·静宁县第一中学校考一模）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断在上单增，再用零点存在定理判断零点所在的区间.
【详解】函数定义域为，且在上单增.
因为，，
所以零点所在区间为.故选：B
19．（2012·浙江衢州·统考一模）设函数，则在下面区间中函数不存在零点的是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：采取间接法，，因为，所以，，因此在上有零点，故在上有零点； ，而，即，因此，故在上一定存在零点；虽然，但，又，即，从而，于是在区间上有零点，也即在上有零点，不能选B，C，D，那么只能选A．
考点：1.函数的零点；2.诱导公式；3.正弦函数的性质．
【一题多解】在同一坐标系中画出与的图象，如下图示：由图可知与的图象在区间上无交点，
由图可知函数在区间上没有零点，故选A．
20．（2017·湖南·长郡中学校联考一模）已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据零点存在定理判断，从而可得结果.
【详解】因为在定义域内递增，且，，
由零点存在性定理可得，根据表示不超过实数的最大整数可知，故选：B.
二、多选题
21．（2022·山东济南·山东省实验中学校考模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】BC
【分析】函数在定义域的零点个数可转化成的根的个数，根据偶函数的图像关于轴对称，只需考虑时的根的个数，从而可得结论.
【详解】当时，
当时，令，解得或2共有两个解；
当时，令，即，当时，方程无解；
当时，，符合题意，方程有1解；
当时，，不符合题意，方程无解；
所以当时，有2个或3个根，而函数是定义在R上的偶函数，所以函数在定义域内的零点个数可能是4或6.故选：BC
22．（2022·福建泉州·统考模拟预测）设函数，则下列判断正确的是（ ）
A．存在两个极值点
B．当时，存在两个零点
C．当时，存在一个零点
D．若有两个零点，则
【答案】BD
【分析】利用导数与极值点的关系可判断A，利用与图像结合条件可判断BC，根据零点的概念结合不等式的性质可判断D.
【详解】因为函数的定义域为，
，
设，，
且方程的两根之积为，
在上有一个正根，设为，
在上，，函数单调递增，
在上，，函数单调递减，
所以存在一个极大值点，A错误；
令，即，
函数的零点即为与的交点，
如图所示：
函数图像与轴的交点为，
当时，与有两个不同的交点，即存在两个零点，B正确；
当时，与有两个不同的交点，
所以当时，存在一个零点，此说法不正确，C错误；
若有两个零点，假设，
则有即
两式相减得：，，则，
，，所以，即，D正确.故选：BD.
23．（2022·江苏南通·统考模拟预测）已知分别是函数和的零点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】把函数的零点转化两个函数图像交点的横坐标，再结合反函数图像的特点得到点和关于点对称，根据可判断A、B选项；结合反函数的性质可以判断C选项；利用特殊值的思路得到的范围即可判断D选项.
【详解】因为，分别是函数，的零点，所以，，那么，可以看做函数和与函数图像交点的横坐标，
如图所示，点，，分别为函数，，的图像与函数图像的交点，所以，因为函数和互为反函数，所以函数图像关于的图像对称，的图像也关于的图像对称，所以点和关于点对称，，，故AB正确；
由反函数的性质可得，因为单调递增，，
所以，所以，故C错；
当时，函数对应的函数值为，函数对应的函数值为，因为
，所以，
所以的范围为，那么，而，所以，故D正确.
故选：ABD.
24．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的值可能是（ ）
A．0B．1C．99D．100
【答案】BC
【分析】首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，从而得到，再根据函数单调性求解即可.
【详解】如图所示：
因为关于的方程有四个实数解，且，
所以.
的对称轴为，所以.
因为，所以，即，.
因为，所以.所以，
因为，为减函数，所以.故选：BC
25．（2023·全国·模拟预测）已知函数在上恰有三个零点，则（ ）
A．的最小值为B．在上只有一个极小值点
C．在上恰有两个极大值点D．在上单调递增
【答案】BD
【分析】利用函数在上有三个零点可求得的取值范围，可判断A选项；利用极值点的定义可判断BC选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，当时，，
由函数在上恰有三个零点，所以，，解得，
所以，的最小值为，A错；
对于B选项，由A选项知，，
则当，即时，函数取得极小值，即在上只有一个极小值点，B对；
对于C选项，当时，函数在上只有一个极大值点，C错；
对于D选项，当时，，
因为，所以，，
所以，函数在上单调递增，D对.故选：BD.
极大值
极小值