2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题10 指对幂函数的比较大小【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版

2024精品成套高中数学一轮复习资料 2021-2024年高考数学一轮复习知识练习（含答案解析）

2023-08-31 21:15
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2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题10 指对幂函数的比较大小【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版

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这是一份2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题10 指对幂函数的比较大小【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版，共22页。试卷主要包含了考向解读，知识点汇总，题型专项训练，高考真题及模拟题精选，题型精练，巩固基础等内容，欢迎下载使用。

【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）
专题10 指对幂函数比较大小
一、考向解读

考向：比较大小是高考的常见题型，其中，幂、指、对数函数的比较大小大小比较主要是结合函数的单调性及奇偶性，其中中间值的选取是突破的关键点。
考点：指对幂函数的比较大小
二、知识点汇总
导师建议：中间值的选取依赖的是指对数的运算，必须要掌握好！构造函数技巧是此类型题目的重难点！

1.指数函数及其性质
概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

a>1
0 图象

定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0 当x<0时，y>1；
当x>0时，0 在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
2.对数函数及其性质
概念：y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).

a>1
0 图象

性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0 当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
3.幂函数及其性质
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

三、题型专项训练

①幂函数比较大小

一、单选题
1．已知，则的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的单调性进行判断即可.
【详解】，因为函数是实数集上的增函数，
所以由可得：，即，故选：C
2．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数及幂函数的单调性即得．
【详解】因为，，，由指数函数及幂函数的单调性可得，
∴，即.故选：A．
3．若，则a､b､c的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小
【详解】因为在上单调递增，且，
所以，即，因为在上单调递减，且，
所以，即，所以，即故选：A
4．已知，，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数以及指数函数的单调性即可比较大小.
【详解】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以．故选:D．
②指数函数比较大小

5．设，，，则（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将三个指数幂化成同底指数幂，利用指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，，，
又函数在上单调递增，，所以所以，故选：C
6．下列判断正确的是（    ）
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．4＜π D．0.90.3＞0.90.5
【答案】D
【分析】结合函数的单调性依次进行判断即可．
【详解】解：对于Ａ项，∵y＝2.5x是增函数，且2.5<3，∴2.52.5<2.53,
对于B项，∵y＝0.8x是减函数，且2<3，∴0.82>0.83,
对于C项，∵y＝是增函数，且，∴，
对于D项，∵y＝0.9x是减函数，且0.3<0.5，∴0.90.3>0.90.5．故选：D．
7．已知，，，则，，的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性结合中间量“1”即可得解.
【详解】解：因为函数为减函数，所以，又因为，
所以.故选：A.
8．已知，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性比较大小．
【详解】∵是减函数，，所以，
又，∴．故选：C．
③对数函数比较大小

9．若，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先比较大小，再利用作差法比较大小即得解.
【详解】解：.
因为，所以，
所以.所以.故选：B
10．设，，，则的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数运算法则可得，根据的单调性可得大小关系.
【详解】，
在上单调递减且，，即.故选：B.
11．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的单调性并借助1比较即可求解.
【详解】解：因为为单调递增函数，所以.
因为，所以．故选:B．
12．已知，，，则下列判断正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.故选：C.
13．已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用对数函数的性质比较大小即可.
【详解】，，，，
.故选：C.
14．下列不等号连接不正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用对数函数的单调性可判断选项A，分别计算每个选项中两个对数的范围，可判断选项B，D，利用对数的运算，再结合比较
的大小可判断选项C，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：因为在单调递减，，所以，故选项A正确；
对于选项B：，，即，，
所以，故选项B正确；
对于选项C：，
，
因为，所以，
故选项C正确；
对于选项D：，，所以，故选项D不正确；
所以只有选项D不正确，故选：D
15．若，,，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可比较得出、的大小关系，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为增函数，故，
则，即，，因此，.故选：D.
④指对幂函数综合比较大小

16．若，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】因为，，，
所以.故选：D.
17．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可.
【详解】由，
所以.故选：D
18．已知，则a，b，c的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的单调性判断出，，，即可得到正确答案.
【详解】因为为减函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；所以.故选：D
19．设，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用换底公式将对数换底，再用放缩法得出的大小.
【详解】由题得：
又综上：故选：A.
20．已知，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用对数函数的单调性、换底公式、指数函数的单调性即可求解
难度较大，量力而行，一般是压轴题
【详解】易知，又，因为，所以，即；又，所以.故选：B.
⑤构造函数比较大小

21．已知，，，则下列判断正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合对数函数、导数的知识确定正确答案.
【详解】（1）比较a，b的大小：因为，所以，所以．
（2）比较b，c的大小：令，则．
当时，；当时，，
所以当时，，即，所以，即．
（3）比较a，c大小：
因为，所以，即，所以，即．
综上，．故选：D．
22．已知,则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造,求导求单调性即可得,即证明,再构造,,求导求单调性即可得,即,即证明,即可选出选项.
【详解】解:由题知构造,,
所以,
故在单调递减,所以,
即,即,即
因为,构造,,
所以,即在上单调递增,所以,
即,即,即,综上:.故选:D
23．设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，则，构造函数，利用的单调性得出；又得，从而得出答案．
【详解】令，则，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，故，即；
又因为，所以，综上，．故选：D．
24．已知，，，则、、的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可判断、的大小关系，利用作差法结合基本不等式可判断、的大小关系.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
所以，，即，则，

，因此，.故选：D.
四、高考真题及模拟题精选

1．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量和即可得解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，则．故选：A.
2．（2023·福建·统考一模）设，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，又因为，所以，
所以，故选：.
3．（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性判断都大于1，利用，即可判断大小，根据对数函数性质可判断c的范围，即得答案.
【详解】因为是R上的增函数，故,
又，所以，
而为单调减函数，故，故，故选：D
4．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数运算性质，结合对数函数和指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】，
，即，
，因此，故选：B
5．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，.故选：D.
6．（2020·全国·统考高考真题）设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.故选：A.
7．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数，则，
令，解得，由知 .
在上单调递增，所以，即，
又因为，所以 .故选：A.
8．（2022·全国·统考高考真题）设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以故选：C.
方法二：比较法
解：，，，
① ，
令
则，
故在上单调递减，
可得，即，所以；
② ，
令
则，
令，所以，
所以在上单调递增，可得，即，
所以在上单调递增，可得，即，所以
故
9．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0 所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b 综上，，
故选：B.
[方法二]：
令，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，故选：B.
10．（2020·全国·统考高考真题）若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.
五、题型精练，巩固基础

1．（2022·天津红桥·统考一模）已知，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用进行分段，结合指数、对数函数的知识求得正确答案.
【详解】，，
，所以.故选：B
2．（2022·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用“分段法”来求得的大小关系.
【详解】，，，所以.故选：B
3．（2022·北京西城·统考一模）设，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接由对数函数的单调性判断，再由指数的运算得到，即可判断.
【详解】由以及，可得.故选：D.
4．（2022·海南·统考模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由对数函数、指数函数的单调性确定a，b，c所在区间，比较大小即可得解.
【详解】解:由在单调递减，得，即；
，即；由在R上单调递减，得，即；
即.故选:A.
5．（2022·河南郑州·统考模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出的范围，再比较大小即可.
【详解】，，，故.故选：C.
6．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数运算性质，结合对数函数和指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】，
，即，
，因此，故选：B
7．（2022·浙江·模拟预测）已知，，（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】解：因为，即，
，，所以.故选：D
8．（2021·陕西榆林·校考模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性，将a，b，c与中间值0，1进行比较，即可得出.
【详解】解：在R上是减函数，
，
在上是增函数，在R上是减函数，，
则，即，又在R上是增函数，，即，
综上所述，可知，故选：B.
9．（2022·吉林长春·长春市实验中学校考二模）已知，则的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指对数运算及函数性质、三角函数单调性判断大小关系.
【详解】，
.故选：C
10．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，找出中间值，让其和进行比较，从而得出结果.
【详解】由指数函数的单调性和值域，在上单调递增，故；
由的值域，且在上单调递增可知，；
根据对数函数的单调性，在上单调递增，故，由在上单调递减，故.结合上述分析可知：.故选：A
11．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】引入中间变量1，再利用作差法比较的大小，即可得答案；
【详解】，，
最大，
，，
，故选：B
12．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）已知，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数及幂函数的单调性比较的大小，分别比较与的大小即可得的大小，从而得答案.
【详解】解：因为在R上为单调递减函数，
所以，又因为在上为单调递增函数，
所以，即，所以，
即，又因为，又因为，
，即有所以，即，
所以，即，综上所述：.故选：A.
13．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算，利用对数函数性质得到，，比较大小得到答案.
【详解】，故，
，，
.故，即.故选：C
14．（2021·广西·广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测）已知，，，，则、、、的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用对数函数的单调性比较、、与的大小关系，利用中间值法判断出、的大小关系，综合可得出、、、的大小关系.
【详解】，，，
，，则，
，，则，
因此，.故选：D.
15．（2022·山东滨州·山东省北镇中学校考模拟预测）设，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，从而说明，再比较与的大小关系，即可得解.
【详解】解：令，则，所以在定义域上单调递减，
所以当时，，即，所以，
又，，且，，
所以；故选：B
16．（2022·浙江·模拟预测）已知，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】，令，利用导数求出函数的单调区间，令，利用导数求出函数的单调区间，从而可得出和的大小，从而可得出的大小关系，将两边同时取对数，然后作差，从而可得出的大小关系，即可得出结论.
【详解】解：，，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
令，则，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，所以，
即，所以，即，所以，
由，得，由，得，
，因为，
所以，所以，所以，即，所以，综上所述.故选：A.
17．（2022·江苏南京·金陵中学校考二模）设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，利用基本不等式判断的范围，构造新函数并利用导数讨论函数的单调性求出的范围，进而得出结果.
【详解】由，得，即，所以，
所以，则，即；
由，即；
设，则，
所以在上单调递增，且，所以当时，即，
当时，即，又，则，
所以，即，综上，.故选：A
18．（2022·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数可求得，；分别代入和，整理可得的大小关系.
【详解】令，则，
在上单调递增，，即，，
，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
（当且仅当时取等号），，
即（当且仅当时取等号），，即；
综上所述：.故选：D.