2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题07 二项式定理【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版

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【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）
专题07 二项式定理
一、考向解读



考向：二项式定理主要考查二项式定理的概念，二项式系数的规律和指数的变化规律以及多项式展开式的通项及特殊项或系数
考点：二项式系数，特殊项及特殊项系数
导师建议：想要掌握好二项式定理，务必先掌握好分数指数幂的运算和化简！
二、知识点汇总



1.分数指数幂
(1)（，且）.
(2)（，且）.
2．有理指数幂的运算性质
(1) . (2) .
(3).
3.二项式定理 ;
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
4.二项展开式的通项公式
.
【常用结论】
求二项展开式中的常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．


三、题型专项训练



①求二项展开式的某一项



一、单选题
1．在的展开式中，第四项为（    ）
A．160 B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据二项展开式的通项求第四项即可.
【详解】在的展开式中，
第四项为.故选：D.
2．在的展开式中，常数项为（    ）
A． B．24 C． D．48
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项．
【详解】二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为故选：B
3．展开式中的常数项是（    ）
A．-160 B．-140 C．160 D．140
【答案】A
【分析】先写出展开式的通项，然后根据的指数部分为确定常数项的项数，代入通项公式可得常数项.
【详解】展开式通项为，
令，所以，
所以常数项为，故选：A.
②根据二项展开式的某一项求值


4．在的展开式中，含项的系数为（    ）
A．160 B．192 C．184 D．186
【答案】B
【分析】本题可根据二项式的展开式的通项求出结果.
【详解】二项式的展开式的通项，
当时，，项的系数为192.故选：B.
5．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（    ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】写出二项式展开式的通项，令时的指数位置等于即可求解.
【详解】展开式的通项为，
令可得为常数项，可得，可得，故选：C.
6．展开式中的常数项为－160，则a＝（    ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
【答案】B
【分析】写出该二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于-160求得实数a的值.
【详解】的展开式通项为，
∴令，解得，
∴的展开式的常数项为，
∴∴故选：B.
③二项式系数


7．若的展开式中的第项和第项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据第项和第项的二项式系数相等可构造方程求得，由此可得展开式通项，令即可求得的系数.
【详解】展开式中的第项和第项的二项式系数相等，，解得：，
展开式通项公式为：，
令，解得：，的系数为.故选：B.
8．在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】A
【分析】由二项式定理可得展开式通项为，即可求含项的二项式系数.
【详解】解：由题设，，
∴当时，.∴含项的二项式系数.故选：A.
9．在二项式的展开式中，含的项的二项式系数为（    ）
A．28 B．56 C．70 D．112
【答案】A
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于1，求得的值，即可求得展开式中含的项的二项式系数.
【详解】∵二项式的展开式中，通项公式为，
令，求得，可得含的项的二项式系数为，故选：A.
④求指定项系数


10．的展开式中含项的系数是（    ）
A．－112 B．112 C．－28 D．28
【答案】B
【分析】根据题意，得到二项式的通项公式，代入计算即可得到结果.
【详解】由题意可得，其通项公式为，
令，可得，所以含项的系数是故选:B
11．的展开式中，的系数是（    ）
A．10 B．40 C．60 D．80
【答案】D
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】的展开式的通项公式为，
令，解得，所以的系数是.故选：D
12．的展开式中常数项为（    ）
A．-160 B．60 C．240 D．-192
【答案】B
【分析】由题意可得要得的展开式中常数，只需求出的展式中项，根据二项定理求出出的展式中项即可得答案.
【详解】解：因为的展式为:，
要得的展开式中常数，只需求出的展式中项即可.
所以令，解得，
所以的展式中项的系数为，
所以的展开式中常数项为60.故选：B.
⑤二项展开式各项的系数和


13．展开式中各项系数的和为（    ）
A． B．1 C．256 D．
【答案】B
【分析】利用赋值，令代入二项式中，即可求得答案.
【详解】由题意可知的展开式的通项为，
由此可知令，即可得展开式中各项系数的和为，故选：B
14．已知的展开式的各项系数之和为81，则（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】赋值法求解展开式的各项系数和，列出方程，求出.
【详解】由题意，令得：，解得：．故选：B
15．若二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（    ）
A．10 B．15 C．25 D．30
【答案】B
【分析】根据赋值法可得系数和，进而求解，由二项式展开式的通项公式即可求解常数项.
【详解】令，则所有的项的系数和为，由于，所以，
展开式的通项为，故当时，即，此时展开式中的常数项为,故选：B
⑥三项展开式的系数


16．展开式中常数项为（    ）
A． B． C．1 D．481
【答案】C
【分析】根据二项式定理直接求解即可.
【详解】解：根据二项式定理，表示个相乘，
所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况：
①个中全部选项展开；
②个中有1个选择项，2个选择项，3个选择项展开；
③个中有2个选择项，4个选择项展开.
所以，其常数项为：.故选：C.
17．展开式的常数项为（    ）
A．1 B．15 C．60 D．76
【答案】D
【分析】将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解.
【详解】由
，
其中含有常数项的有，，，
所以常数项为，故选：.
18．的展开式中项的系数为（    ）
A．120 B．160 C．180 D．210
【答案】A
【分析】将看作5个因式相乘，根据的指数可认为5个因式中有两个选项，其余两个选y,最后一个因式选1，进行相乘，可得答案.
【详解】由题意的展开式中项的系数为 ,故选：A
19．展开式中，的系数为（　　）
A． B．320 C． D．240
【答案】A
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以通项公式为：，
令，所以，
设二项式的通项公式为：，
令，所以，因此项的系数为：，故选：A.
⑦两个二项式乘积展开式的系数


20．的展开式中的系数为（    ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】将代数式变形为，然后根据展开式的通项公式即得.
【详解】，
又的通项公式为，
所以的展开式中的系数为.故选：.
21．的展开式中的常数项为（    ）
A．－20 B．30 C．－10 D．10
【答案】D
【分析】先将展开写为,写出的通项,求出及的系数,代入中即可.
【详解】解:因为
的展开式的通项公式为,
令,得;令,得,
所以的展开式中的常数项为:
.故选:D
22．在的展开式中，的系数为（    ）
A． B． C． D．30
【答案】C
【分析】使用分配律后再由二项式定理的展开式的通项公式赋值计算可得结果.
【详解】因为，其中展开式的通项为，所以原式的展开式中含的项为.所以的系数为.故选：C.
⑧赋值法


23．若，则的值是（ 　 ）
A． B．127 C．128 D．129
【答案】D
【分析】利用赋值法计算可得.
【详解】解：因为，
令，可得，
令，可得，所以；故选：D
24．，则（    ）
A．1 B．3 C．0 D．
【答案】C
【分析】根据展开式，利用赋值法取即得.
【详解】因为，
令，可得.故选：C.
25．若，则的值为（    ）
A．0 B．32 C．64 D．128
【答案】A
【分析】先利用赋值法求得和的值，进而求得的值.
【详解】，时，
，时，

，故选：A.
二、多选题
26．在的展开式中，下列说法正确的是（    ）
A．常数项为160
B．第3项二项式系数最大
C．所有项的二项式系数和为
D．所有项的系数和为
【答案】ACD
【分析】先求的通项公式可得选项A的正误，利用的值可得选项B、C的正误，所有项的系数和可以利用赋值法求解
【详解】展开式的通项为，由，得，所以常数项为，A正确；
二项式展开式中共有项，所以第项二项式系数最大，B错误；
由及二项式系数和的性质知，所有项的二项式系数和为，C正确；
令，得，所有项的系数和为，D正确；故选：ACD.
27．在的展开式中，下列说法正确的是（    ）
A．不存在常数项 B．所有二项式系数的和为32
C．第3项和第4项二项式系数最大 D．所有项的系数和为1
【答案】ABC
【分析】根据给定的二项式，写出展开式判断A；利用二项式性质判断BC；利用赋值法计算判断D作答.
【详解】
，因此在的展开式中没有常数项，A正确；
的展开式的所有二项式系数的和为，B正确；
的展开式的第3项和第4项二项式系数相等，并且最大，C正确；
当时，的展开式的所有项的系数和为，D错误.故选：ABC
28．已知的展开式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．展开式中各项系数的和为
C．展开式中第项的系数为
D．展开式中含项的系数为
【答案】ABD
【分析】由展开式的二项式系数和为求出，即可判断A，令即可得到展开式各项系数和，从而判断B，利用展开式的通项判断C、D.
【详解】对于A，因为的展开式的二项式系数和为，所以，则，故A正确；
对于B，令，则，所以展开式中各项系数的和为1，故B正确；
对于C，因为的展开式通项为，
令可得第4项的系数为，故C不正确；
对于D，在选项C中的通项公式中，
令，得，则，所以含项的系数为，故D正确.故选：ABD.
29．已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（    ）
A．
B．的展开式中项的系数为56
C．奇数项的二项式系数和为128
D．的展开式中项的系数为56
【答案】AC
【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB，利用所有奇数项的二项式系数和为判断C，根据二项式定理判断D.
【详解】因为的展开式通项为，
所以的展开式的第项的二项式系数为，
所以，解得，A正确；的系数为，B错误；
奇数项的二项式系数和为，C正确；
根据二项式定理，表示8个相乘，
所以中有1个选择，1个选择，6个选择，
所以的展开式中项的系数为，D错误；故选：AC
30．若的展开式中各项系数和为32，则下列说法正确的是（    ）
A． B．展开式中的系数为15
C．展开式中的系数为5 D．展开式中常数项为2
【答案】ACD
【分析】由题可得，可得，然后根据的展开式的通项公式结合条件即得.
【详解】由题可得，
所以，故A正确；所以，
又的展开式的通项公式为，
所以的展开式中的系数为，故B错误，C正确；
所以展开式中常数项为，故D正确.故选：ACD.
31．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（    ）
A． B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458 D．展开式中含项的系数为240
【答案】ACD
【分析】对于A,先利用赋值法算出；对于B和D，求出展开式的通项公式，再由多项式乘法法则即可判断；对于C，展开式系数的绝对值的和可看做是二项式展开式系数的和，然后用赋值法即可判断
【详解】解：对于A,令，所以的展开式中各项系数的和为，解得，故A正确；
对于B和D,展开式通项公式为,
当时，；当时，(舍去)，
所以展开式中常数项为；
当时，；当时，(舍去)，
所以展开式中含项的系数为，
故B错误，D正确；
对于C，二项式展开式系数的绝对值的和可看做是二项式展开式系数的和，
所以令，展开式系数的和为，故C正确；故选：ACD
32．若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用赋值法令求出判断A，令，得到两式，两式相加、相减即可判断BC，令判断D．
【详解】令时，，故A错误；
时，；
时，；
所以，，B正确；
，C错误；
令，可得，
故，故D正确.故选：BD．
33．已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】对AB，根据二项式公式求解对应项的系数求解即可；对CD，利用赋值法分别求与和判断即可.
【详解】对A，为展开式中最高次项系数，只能由展开式的最高次项相乘，故为，即，故A正确；
对B，，故，故B错误；
对C，令，则，即，令，则，即.
故，故C正确；
对D，令，则，结合C，，故...①
又...②，①+②可得，故，，故，故D错误.故选：AC

三、填空题
34．在二项式的展开式中，常数项为_____________．
【答案】240
【分析】根据二项式定理，展开式中要出现常数项即需要消掉，不难发现，当的次方为4次方时即可为常数项.
【详解】常数项为：.故答案为：240.
35．在的展开式中，的系数是__________．
【答案】
【分析】根据题意写出二项式展开式的通项公式，令，求得r的值，即可求得答案.
【详解】由题意可得的通项为，
令，则的系数是，故答案为：
36．若在的展开式中，第4项是常数项，则______________．
【答案】12
【分析】写出二项展开式的通项公式，再根据题意可得到，即可求得答案
【详解】设展开式中第项为，则，
又展开式中第4项是常数项，
∴时，，∴故答案为：12
37．若(a3＋4b2)n的展开式中有一项是ma12b8，则m，n的值分别是________．
【答案】17920，8
【分析】由题得解方程组即得解.
【详解】解：令Tr＋1＝＝ma12b8(r＝0，1，2，…，n)，
则有解得所以m＝17920，n＝8．故答案为：17920，8.
38．若的展开式中第三项与第五项的二项式系数相等，则该展开式中含的系数为______.（用数字作答）
【答案】
【分析】根据第三项与第五项的二项式系数相等可求出的值，再利用展开式的通项公式可求出含的项，计算该项系数即可.
【详解】由的展开式中第三项与第五项的二项式系数相等，
则，即，
则展开式的通项公式为，
令，则，.故答案为：.
39．已知的展开式中第项和第项的二项式系数相同，则展开式中项的系数为__________．
【答案】
【分析】先利用展开式中第项和第项的二项式系数相同求得的值，然后写出展开式中的通项赋值后求解即可.
【详解】解：由已知可得，所以，
则二项式 的展开式的通项公式为
，
令，解得，
所以展开式中的系数为 ．故答案为：.
40．的展开式中的系数为______（用数字作答）.
【答案】56
【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】，
令，解得，所以.
故的展开式中的系数为56.故答案为：56
41．展开式中的系数为_________（用数字作答）
【答案】
【分析】根据二项式定理得到，得到答案.
【详解】的展开式的通项为，
取得到.故答案为：
42．的展开式中除常数项外的各项系数和为______．
【答案】－5231
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后求出其常数项，再令求出展开式中各项系数和，从而可求出展开式中除常数项外的各项系数和.
【详解】展开式的通项公式为．
令，得，则展开式的常数项是．
令，得展开式中各项系数和为，
所以展开式中除常数项外的各项系数和为．故答案为：－5231
43．在的展开式中，不含的各项系数之和为______.
【答案】
【分析】令可得各项系数之和为1，再根据二项展开式的通项公式求含项的系数，即可得结果.
【详解】令可得各项系数之和为，
二项展开式的通项公式为，
令，则，故含项的系数为，则不含的各项系数之和为.
故答案为：.
44．展开式中的系数为______.
【答案】
【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】因为的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以，的展开式通项为，
令，可得，所以，或，
因此，故的系数.故答案为：.
45．在的展开式中，的系数为__________.
【答案】
【分析】根据乘法分配律以及组合数的计算求得正确答案.
【详解】解：依题意，的展开式中，
含的项为，所以的系数为.故答案为：.
46．的展开式中含项的系数为____________.
【答案】
【分析】先求展开式中项，然后乘以可得.
【详解】展开式的通项为，
令或，得（舍去），，
所以展开式中含的项为.故答案为：
47．的展开式中，常数项为____________
【答案】
【分析】写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解.
【详解】的展开式通项为，其中，
因为，
在中，由，可得，
在中，得，
所以，展开式中，常数项为.故答案为：.
48．若，则______.
【答案】
【分析】取特殊值得，，进而可得答案.
【详解】令，则；
令，则；故.故答案为：.
49．若，其中，，，，，为常数，那么______.
【答案】109
【分析】利用赋值法求和，利用二项式展开式通项公式求，由此可得结果.
【详解】因为，
令，得，整理得：，
令，得，，因为的展开式的通项公式为，
所以的展开式中含项的系数为，
又的展开式中含项的系数为，所以，，
将、代入即可求得.故答案为：109.
四、高考真题及模拟题精选


一、单选题
1．（2020·北京·统考高考真题）在的展开式中，的系数为（    ）．
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.故选：C.
2．（2020·山东·统考高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.
【详解】第项的二项式系数为，故选：A.
3．（2020·全国·统考高考真题）的展开式中x3y3的系数为（    ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.
【详解】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为。故选：C
4．（2022·北京·统考高考真题）若，则（    ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，令，则，
故，故选：B.
二、填空题
5．（2020·天津·统考高考真题）在的展开式中，的系数是_________．
【答案】10
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．
【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．
6．（2021·天津·统考高考真题）在的展开式中，的系数是__________．
【答案】160
【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，所以的系数是.故答案为：160.
7．（2020·全国·统考高考真题）的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
【答案】
【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.
【详解】其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：.故答案为：.
8．（2020·贵州遵义·校联考模拟预测）多项式展开式的常数项为__________.（用数字作答）
【答案】6
【解析】首先化简多项式，再根据展开式的通项公式求常数项.
【详解】，通项公式，
当时，，.故答案为：6
9．（2022·全国·统考高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28。故答案为：-28
10．（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式，则__________，___________．
【答案】         
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．
【详解】含的项为：，故；
令，即，令，即，∴，
故答案为：；．
五、题型精练，巩固基础


一、单选题
1．（2022·高二单元测试）的展开式的第3项是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二项式展开式通项公式求第3项即可.
【详解】由题设，展开式通项为，∴第3项为.故选：A.
2．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考期中）的展开式中含项的系数为（    ）
A．60 B．240 C．60 D．240
【答案】C
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为，求出的值，从而可求出含项的系数
【详解】二项式的展开式，
当r=4，此时，可得展开式中项的系数为60，故选：C.
3．（2022春·天津河西·高二天津市第四十二中学校考期中）已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（    ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
【答案】B
【解析】由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项.
【详解】由已知，，则，所以.
令，得，所以常数项为，故选：B．
4．（2007·重庆·高考真题）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（    ）
A．10 B．20 C．30 D．120
【答案】B
【分析】首先利用求出，然后再利用二项式展开式的通项即可求解.
【详解】根据题意可得，解得，
则展开式的通项为，令，得，
所以常数项为：.故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中的系数为（    ）
A．42 B．56 C．62 D．66
【答案】B
【分析】本题主要考查二项式定理，先将看成整体和进行展开，然后再将分析哪些项含有，进而得到的系数.
【详解】，故的系数为.故选B.
一题多解
可以看成4个相乘，展开式中可以在1个里选择，在1个里选择，在剩下的因式中选择2，此时的系数为，也可以在3个中各选1个，剩下的因式中选择2，此时的系数为，综上所述，展开式中的系数为.故选B.
6．（2022·高二课时练习）设，则等于（    ）
A．80 B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以二项展开式中含x项的系数为
，故选：D.
7．（2022·高二课时练习）已知，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用赋值法表达出，列出方程，求出或，从而判断出是什么条件.
【详解】由题意，令，得，令，得，所以，由，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.
8．（2019·全国·统考高考真题）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】由题意得x3的系数为，故选A．
9．（2021春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期中）在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项系数为（    ）
A．45 B．-45 C．120 D．-120
【答案】A
【分析】先由只有第六项的二项式系数最大，求出n=10；再由展开式的所有项的系数和为0，用赋值法求出a= -1,用通项公式求出的项的系数.
【详解】∵在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，
∴在的展开式有11项，即n=10；
而展开式的所有项的系数和为0，
令x=1，代入，即，所以a= -1.
∴是展开式的通项公式为：，
要求含的项，只需10-2r=6，解得r=2，所以系数为.故选：A
10．（2023·全国·高二专题练习）的展开式中，的系数为（    ）．
A．12 B．20 C．15 D．6
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解.
【详解】的展开式的通项为.
要求的展开式中含的项，只需令，故的系数为.故选：B．
11．（2022秋·北京·高三北京八十中校考期末）若，则（    ）
A．5 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】由二项式定理展开左边的多项式后可得．
【详解】，则．故选：B.
12．（2022·全国·高三专题练习）若，则（    ）
A．20 B． C．15 D．
【答案】B
【分析】先将写成，然后根据展开式的通项求解出项的系数即为.
【详解】因为，所以展开式的通项为，
令，则，所以，故选：B.
13．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中的系数是（    ）
A．60 B．80 C．84 D．120
【答案】D
【解析】的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可.
【详解】的展开式中的系数是
因为且，所以，
所以，
以此类推，.故选：D.
【点睛】本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算的作用.
14．（2022秋·北京·高三北京八中校考阶段练习）设若，则展开式中二项式系数最大的项是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件先求解出的值，然后根据二项式系数和求解出的值，从而确定出二项式系数的最大值及其对应的项.
【详解】由题可知，，
当时，，
的展开式中，通项为：，
则常数项对应的系数为：，即，得，
所以，解得：，
则展开式中二项式系数最大为：，则二项式系数最大的项为：故选：C．
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于的值的求解以及二项式系数最大值的确定；注意：当时，二项式系数是递增的，当时，二项式系数是递减的；当为偶数时，中间一项的二项式系数最大，当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.
二、多选题
15．（2022春·广东潮州·高二校考阶段练习）二项式(2x－1)7的展开式的各项中，二项式系数最大的项是（    ）
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
【答案】CD
【分析】若为偶数，则展开式中间一项的二项式系数最大；若为奇数，则展开式中间两项与的二项式系数和相等，且最大.
【详解】因为二项式(2x－1)7展开式一共8项，其中中间两项的二项式系数最大，
易知当r＝3或r＝4时，最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第4项和第5项.故选：CD
16．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知的展开式中共有7项，则（       ）
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项
D．有理项共4项
【答案】ACD
【分析】由题意可得，对于A，所有项的二项式系数和为，对于B，令可求出所有项的系数和，对于C，由二项式展开式的系数特征求解即可，对于D，求出二项式展开式的通项公式，可求出所有的有理项
【详解】因为的展开式中共有7项，
所以，
对于A，所有项的二项式系数和为，所以A正确，
对于B，令，则所有项的系数和为，所以B错误，
对于C，由于二项式的展开项共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C正确，
对于D，的展开式的通项公式为，当时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，所以D正确，故选：ACD
17．（2021春·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）已知，则下列选项正确的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】原式可化为，则其展开式的通项公式为，然后利用赋值法求解即可
【详解】解：由，得
，则
其展开式的通项公式为，
对于A，令，则，所以A错误，
对于B，令，则，所以B正确；
对于C，在中令，则，所以C错误；
对于D，，所以D正确，故选：BD
18．（2022春·福建厦门·高二福建省厦门集美中学校考期中）若，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】令、可得答案.
【详解】因为
所以令可得： 令可得故选：AC
19．（2021·全国·高二专题练习）下列四个命题中，真命题为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据组合数的运算和性质依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，由组合数的性质知：，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.故选：BC．
20．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）关于及其展开式，下列说法正确的是（    ）
A．该二项展开式中二项式系数和是 B．该二项展开式中第七项为
C．该二项展开式中不含有理项 D．当时，除以100的余数是1
【答案】BD
【解析】求出二项式系数和判断A；求出二项展开式中第七项判断B；根据最后一项是有理项判断C；利用二项展开式的应用和整除问题的应用判断D．
【详解】对于A，该二项展开式中二项式系数和是，故错误；
对于B，由于，即该二项展开式中第七项为，故正确．
对于C，该二项展开式中，最后一项为，是有理项，故错误．
对于D，当时，，除了最后一项（最后一项等于1），前面的所有项都能被100整除，即当时，除以100的余数是1，故正确．
故选：BD.
三、填空题
21．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中期中）的展开式中系数最小项为第______项．
【答案】6
【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项
【详解】的展开式的通项公式为，其中系数与二项式系数只有符号差异，
又第5项与第6项的二项式系数最大，第6项系数为负，则第6项系数最小.故答案为：.
22．（2023秋·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）的展开式中，二项式系数最大的项的系数是___________.
【答案】
【分析】利用二项式定理的展开式二项式系数的性质求解即可.
【详解】解：因为的展开式有项，
所以第项的二项式系数最大，
所以的展开式中的二项式系数最大的项为.
所以，的展开式中，二项式系数最大的项的系数是.故答案为：
23．（2023·全国·高二专题练习）若展开式中第5项为常数项，则含项的系数为______（用数字表示）．
【答案】
【分析】首先根据二项式定理及题中条件第5项为常数项，即可求出的值；再次利用二项式定理的通项公式即可求出项的系数.
【详解】，
因为展开式中第5项为常数项，所以时，，解得.
令，得，所以.所以项的系数为.故答案为：.
24．（2023·全国·高二专题练习）的展开式中有理项共有______项．
【答案】2
【分析】利用二项展开式的通项公式即可求得.
【详解】的展开式的通项为
，
要求有理项，只需使，所以或．
所以的展开式中有理项共有2项．故答案为：2
25．（2022秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）的展开式中的系数是______（用数字作答）．
【答案】-4480
【分析】，把三项式转化成二项式，利用二项式定理求解.
【详解】解：，
其展开式的通项为，令，则，
的通项为，令的系数为.
所以的展开式中的系数是.故答案为：-4480
26．（2022·全国·高三专题练习）的展开式的常数项为_______．
【答案】
【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式的常数项．
【详解】由于，
故展开式的常数项为，故答案为：．
27．（2023·全国·高二专题练习）已知，若，则自然数n＝______.
【答案】5
【分析】利用赋值的方法分别让，，得到两个等式，再结合题目中的条件即可求出.
【详解】令，得，
令，得，所以，.故答案为：5.
28．（2023·全国·高二专题练习）若，则______.
【答案】－243
【分析】由题意，令和，两式相加减求得和，代入即可求解.
【详解】由，
令，可得，
令，可得，
两式相加，可得，可得，
两式相减，可得，可得，
所以故答案为：.