人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线课后复习题

3.3.1　抛物线及其标准方程

课后·训练提升

基础巩固

1.若动点P到定点F(1,1)的距离与它到直线l:3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是(　　)

A.椭圆 B.双曲线 

C.抛物线 D.直线

答案:D

解析:因为点F在直线l上,所以动点P的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.

2.若抛物线y2=2px的焦点为(3,0),则下列点中,在抛物线y2=2px上的是(　　)

A.(1,2) B.(3,-6) 

C.(2,-2) D.(1,)

答案:B

解析:由于抛物线y2=2px的焦点为(3,0),则抛物线方程为y2=12x,故点(3,-6)在该抛物线上.

3.已知抛物线过原点,焦点在y轴上,其上一点P(m,1)到焦点的距离为5,则抛物线的标准方程是(　　)

A.y2=16x B.x2=16y 

C.x2=8y D.x2=-8y

答案:B

解析:由题意,知抛物线开口向上,所以可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),于是1+=5,解得p=8,故抛物线的标准方程是x2=16y.

4.(多选题)已知点A(-2,4)在抛物线y2=-2px(p>0)上,抛物线的焦点为F,延长AF与抛物线相交于点B,则下列结论正确的是(　　)

A.抛物线的准线方程为x=2

B.抛物线的焦点坐标为(-2,0)

C.点B坐标为(-2,-2)

D.△OAB的面积为8

答案:ABD

解析:将点A(-2,4)的坐标代入抛物线方程可得p=4,因此抛物线方程为y2=-8x,于是准线方程为x=2,焦点坐标为(-2,0),故A,B项正确;又易知AF⊥x轴,所以B(-2,-4),故C项错误;又因为|AB|=8,所以S△OAB=×8×2=8.故D项正确.

5.已知F为抛物线y2=12x的焦点,M为抛物线上一点,由M向抛物线的准线作垂线,垂足为N,若|NF|=10,则|MF|=(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:记准线与x轴的交点为A.

由题意知,|AF|=6,又|NF|=10,所以|AN|=8,即点M的纵坐标为8或-8,则xM=,故|MF|=xM++3=.

6.若点P(x,y)到点F(0,-5)的距离比它到直线y=4的距离大1,则点P的轨迹方程为(　　)

A.x2=16y B.x2=-16y

C.x2=20y D.x2=-20y

答案:D

解析:依题意知点P(x,y)到点F(0,-5)的距离与它到直线y=5的距离相等,并且点F(0,-5)不在直线y=5上,所以点P的轨迹是抛物线,并且F是焦点,直线y=5是准线,于是点P的轨迹方程为x2=-20y.

7.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,点A(2,2),则|PA|+|PF|的最小值是(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

答案:B

解析:根据抛物线方程y2=4x,可得F(1,0),则准线的方程为x=-1,过点P作PM垂直于准线x=-1,M为垂足,则由抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|,所以当A,P,M三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,且最小值为|AM|=2-(-1)=3.故选B.

8.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线C:-y2=1的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,则实数p的值为　　　　　,抛物线的准线方程为　　　　　　　.

答案:4　x=-2

解析:在双曲线C:-y2=1中,a2=3,b2=1,所以c2=a2+b2=4,即c=2.在抛物线y2=2px(p>0)中,由题意得=c=2,即p=4,所以抛物线方程为y2=8x,准线方程为x=-2.

9.已知F为抛物线y2=-8x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值是　　　　　. 

答案:2

解析:由|AF|=4及抛物线定义得点A到准线的距离为4,所以点A的横坐标为-2,所以AF⊥x轴,因此不妨设A(-2,4).因为原点关于准线的对称点为B(4,0),所以|PO|=|PB|,所以|PA|+|PO|=|PA|+|PB|,所以当点A,P,B共线时,|PA|+|PO|最小,且最小值为|AB|==2.

10.一座抛物线形拱桥如图所示,设水面宽|AB|=18 m,拱顶距离水面8 m,一条货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若|CD|=9 m,那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥?

解:如图所示,以点O为原点,过点O且平行于AB的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则点B(9,-8).设抛物线方程为x2=-2py(p>0).

因为点B在抛物线上,所以81=-2p·(-8),

所以p=,所以抛物线的方程为x2=-y.

把x=代入抛物线方程,得y=-2,则|DE|=8-2=6(m).

故|DE|不超过6米才能使货船通过拱桥.

能力提升

1.设抛物线y=x2的焦点为F,点P在抛物线上,则“|PF|=3”是“点P到x轴的距离为2”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:C

解析:抛物线方程化为x2=4y,所以=1.由于点P在抛物线上,所以|PF|=3,即点P到准线的距离为3,因此P到x轴的距离为3-1=2.而当点P到x轴的距离为2时,有点P到准线的距离为3,故|PF|=3.故是充要条件.

2.已知F是抛物线y=2x2的焦点,M,N是该抛物线上的两点,若|MF|+|NF|=,则线段MN中点的纵坐标为(　　)

A. B.2 C. D.3

答案:B

解析:抛物线方程为x2=y,设线段MN的中点为Q(x0,y0),过点M,N,Q分别作准线的垂线,垂足分别为M1,N1,Q1,则有|MF|+|NF|=|MM1|+|NN1|=2|QQ1|=,所以|QQ1|=,因此y0+,解得y0=2.

3.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是准线l上一点,连接PF并延长交抛物线C于点Q,若|PF|=|PQ|,则|QF|=(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

答案:C

解析:由点Q向抛物线的准线作垂线,垂足为Q1,设准线与x轴的交点为M,由于△PMF∽△PQ1Q,所以,因为|MF|=4,所以|Q1Q|=5.故|QF|=|Q1Q|=5.

4.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在抛物线C上,A,若△PAF为等腰三角形,则直线AP的斜率可能为(　　)

A. B.-

C. D.-

答案:AB

解析:由题意,抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),因为A,

由抛物线的定义,可得|AF|=,设P(t2,2t),可得|PF|=t2+1,|PA|=,

当|PF|=|AF|时,可得t2=,所以P,则kAP=±,所以B正确;

当|PF|=|PA|时,此时方程无解;当|AF|=|PA|时,

可得t2=,所以P,则kPA=±,所以A正确,故选AB.

5.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是(　　)

A.y2=8x

B.y2=8x(x>0)或y=0(x<0)

C.y2=4x

D.y2=4x或y=0(x<0)

答案:B

解析:若动圆在y轴右侧,则由题意可得,动圆圆心到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是抛物线(不包括抛物线的顶点);若动圆在y轴左侧,则动圆圆心的轨迹是一条射线(不包含端点),即x轴负半轴,故所求轨迹方程为y2=8x(x>0)或y=0(x<0).

6.已知P为抛物线y2=4x上的动点,且点P到抛物线的准线的距离为d,Q为圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上一个动点,则d+|PQ|的最小值为(　　)

A.5 B.4 

C.2+1 D.+1

答案:B

解析:如图,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为点N.

由抛物线的定义知,d=|PF|.所以d+|PQ|=|PF|+|PQ|,所以当P,F,Q三点共线时,|PF|+|PQ|最小.连接圆心C与F,交圆C于点Q,交抛物线于点P,此即为使d+|PQ|最小时点P的位置.

所以(d+|PQ|)min=|PF|+|PC|-1=|FC|-1.

因为C(-2,4),F(1,0),

所以|FC|==5,

所以(d+|PQ|)min=5-1=4.故选B.

7.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三个不同的点,若=0,则||+||+||=　　　　　. 

答案:6

解析:因为=0,所以A,B,C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍.设点A,B,C的横坐标分别为xA,xB,xC,则xA+xB+xC=3,故由抛物线的定义,可得||+||+||=xA+1+xB+1+xC+1=6.

8.如图,A地在B地东偏北45°方向,相距2 km处,B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到点B的距离等于到高铁线l的距离,现在要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计),分别向A,B两地送电.

(1)试建立适当的坐标系,求出曲线形公路PQ所在曲线的方程;

(2)变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离),才能使得架设电路所用电线长度最短?并求出最短长度.

解:(1)如图,以经过点B且垂直于直线l(垂足为K)的直线为y轴,线段BK的垂直平分线为x轴,建立平面直角坐标系.由题意可知,公路PQ所在曲线为抛物线.设抛物线方程为x2=2py(p>0),由题可知,p=4,所以抛物线方程为x2=8y,且B(0,2),A(2,4).

(2)架设电路所用电线长度最短,即使|MA|+|MB|最小,过点M作MH⊥l,垂足为H,根据抛物线的定义,只需|MA|+|MH|最小,因此只需A,M,H三点共线即可,此时M,且|MA|+|MH|=6,故变电房M应建在A地的正南方向,且距离A地km处,才能使得架设电路所用电线长度最短,且最短长度为6km.