辽宁省鞍山市铁西区2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷

这是一份辽宁省鞍山市铁西区2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

辽宁省鞍山市铁西区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（解析版）
一、单项选择题（在各小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确的答案字母代号涂右上，每小题2分，10小题，共20分）
1．下列二次根式是最简二次根式的为（　　）
A． B．﹣ C． D．
2．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．0.6，0.8，1 B．，， C．， D．7，24，25
3．下列运算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠ADO＝∠CBO
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝AD，OB＝OD
5．已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，若AB＝9cm，则正方形ACDE和正方形BCGF的面积差为（　　）

A．90cm2 B．81cm2 C．100cm2 D．无法计算
7．下列各曲线不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知，周长为9的△ABC为等边三角形，则△ABC的面积是（　　）
A． B． C． D．3
9．若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（　　）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
10．如图，在∠ADF边DA上有一点B，DB＝6，∠ADF＝22.5°，E，C分别是边DF和DA上的动点，则BE+EC的最小值是（　　）

A． B．6 C． D．3
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分.）
11．大于且小于的所有整数的和是 　 　．
12．代数式有意义，则x的取值范围是 　 　．
13．计算：＝　 　．
14．如图，点D为AB的中点，CG平分∠BCF，且DE∥CG交AC于E，若AC＝15，BC＝9，则CE的长为 　 　．

15．如图，一棵树被雷电击中在C点处折断倒下，点C到树根A的距离3米，树尖B离树根A的水平距离是3米，则树原来高度 　 　米．

16．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝，连接OE，下列结论：①∠ACD＝90°；②OE∥CD；③BD＝AB；④S△AOE：S△AOD＝2：3成立的有 　 　．（填写正确序号）

三、解答题（17、18、19、20、21、22题各8分，23、24题各10分，共68分）
17．（8分）（1）；
（2）．
18．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1．
（1）写出A，B，C三点坐标．
（2）判断△ABC的形状并说明理由．

19．（8分）已知：a﹣＝，求a+的值．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交CA延长线于D于点D．
（1）若∠BAC＝122°，求∠DBC的度数；
（2）若CD＝，BC＝3，求BD、AB的长．

21．（8分）【情景再现】周末，李科同学骑车去市图书馆阅览图书．出门匆忙，骑行一段路后，发现借书证落在同学张强家了，于是又返同学张强家中取借书证，并停留了一段时间，之后再继续骑车向图书馆出发，最后到达图书馆．
【学以致用】聪明的李科同学，以所用的时间t为横轴，以离家的距离s为纵轴建立平面直角坐标系，对周末活动做以下示意图，并受到数学老师夸赞．

【解决问题】根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）张强家到图书馆是 　 　米，李科全程的骑行时间是 　 　分钟；
（2）在整个去图书馆的途中哪个时间段李科骑车速度最慢？最慢的速度是多少米/分？
（3）本次去图书馆的行程中，李科一共骑行了多少米？
22．（8分）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE、DF．
（1）直接写出BE、DF的数量关系 　 　．
（2）连接DE、BF，判断四边形DEBF的形状，并给予证明．
（3）若AD⊥BD，AD＝2，DO＝，四边形DEBC的面积为 　 　．

23．（10分）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝＝；
＝＝；
＝＝＝．
像这样，把代数中分母化为有理数过程叫做分母有理化．化简：
（1）
（2） （n为正整数）；
（3）求 的值．
24．（10分）（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是 　 　．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，若AE是∠BAD的平分线，连接BE．①试猜想线段AB、AD、BC之间的数量关系 　 　．（不用证明）
②猜想AE与BE有怎样的位置关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知AD∥CB，点E是BD的中点，点F在线段AE上，∠DAE＝∠CFE＝30°，取CF中点G，连接EG，若AD＝10，BC＝4，∠GEF＝45°，线段EG的长为 　 　．


参考答案与试题解析
一、单项选择题（在各小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确的答案字母代号涂右上，每小题2分，10小题，共20分）
1．下列二次根式是最简二次根式的为（　　）
A． B．﹣ C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【解答】解：是最简二次根式，因此选项A符合题意；
﹣＝﹣3，所以﹣不是最简二次根式，因此选项B不符合题意；
＝，所以不是最简二次根式，因此选项C不符合题意；
＝＝，所以不是最简二次根式，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式，理解“被开方数是整数或整式，且不含有能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式”是正确判断的前提．
2．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．0.6，0.8，1 B．，， C．， D．7，24，25
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵0.62+0.82＝1，12＝1，
∴0.62+0.82＝12，
∴能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵（）2+（）2＝，（）2＝，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴不能组成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵（）2+（）2＝5，（）2＝5，
∴（）2+（）2＝（）2，
∴能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵72+242＝625，252＝625，
∴72+242＝252，
∴能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．下列运算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加法运算对A、B、C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对D选项进行判断．
【解答】解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．3与不能合并，所以B选项不符合题意；
C．与不能合并，所以C选项不符合题意；
D． ×＝××＝3，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠ADO＝∠CBO
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝AD，OB＝OD
【分析】利用平行四边形的判定方法对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A、∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵∠ADO＝∠CBO，
∴AD∥BC，
又∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB＝AD，OB＝OD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定等知识，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
5．已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么﹣a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值．
【解答】解：∵有意义，
∴﹣a3b≥0，
∴a3b≤0，
又∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
∴＝﹣a．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数．
6．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，若AB＝9cm，则正方形ACDE和正方形BCGF的面积差为（　　）

A．90cm2 B．81cm2 C．100cm2 D．无法计算
【分析】根据勾股定理即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝AC2﹣BC2＝92＝81，
∵正方形ACDE和正方形BCGF的面积分别为AC2与BC2，
∴正方形ACDE和正方形BCGF的面积差为81cm2，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．下列各曲线不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】函数就是在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，则x叫自变量，y是x的函数．在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．
【解答】解：A、B、C都符合函数的定义；
D、对x的一个值y的值不是唯一的，因而不是函数关系．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
8．已知，周长为9的△ABC为等边三角形，则△ABC的面积是（　　）
A． B． C． D．3
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，首先求出等边三角形ABC的边长为3，再根据等边三角形的性质得，据此可求出高AD，进而可得出△BC的面积．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图：

∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°，
又∵△ABC的周长为9，
∴AB+BC+CA＝9，
∴AB＝BC＝CA＝3，
∵AD⊥BC，
∴，
在Rt△ABD中，AB＝3，，
由勾股定理得：，
∴．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质和三角形的面积公式是解答此题的关键．
9．若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（　　）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
【分析】将化成＝2，由于与最简二次根式能合并成一项，即2与最简二次根式是同类二次根式，于是2t﹣1＝3，即可求出t的值．
【解答】解：＝2，而与最简二次根式能合并成一项，
所以2t﹣1＝3，
解得t＝2，
故选：C．
【点评】本题考查同类二次根式、最简二次根式，掌握同类二次根式、最简二次根式的定义是正确解答的前提．
10．如图，在∠ADF边DA上有一点B，DB＝6，∠ADF＝22.5°，E，C分别是边DF和DA上的动点，则BE+EC的最小值是（　　）

A． B．6 C． D．3
【分析】作点B关于直线DF的对称点G，过G作GC⊥AD于C交DF于E，则此时，BE+CE的值最小，且最小值为CG的长度，连接DG，则DG＝DB＝6，∠BDG＝2∠ADF＝45°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：作点B关于直线DF的对称点G，过G作GC⊥AD于C交DF于E，
则此时，BE+CE的值最小，且最小值为CG的长度，
连接DG，
则DG＝DB＝6，∠BDG＝2∠ADF＝45°，
∵∠GCD＝90°，
∴CG＝CD，
∵CG2+CD2＝DG2，
∴2CG2＝36，
∴CG＝3，
即BE+EC的最小值是3，
故选：C．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分.）
11．大于且小于的所有整数的和是 　7　．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数，的大小，再求大于且小于的所有整数的和即可．
【解答】解：∵2＜＜3，4＜＜5，
∴大于且小于的所有整数的和为3+4＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
12．代数式有意义，则x的取值范围是 　x≥﹣且x≠1　．
【分析】根据二次根式有意义的条件和零指数幂的定义得出2x+1≥0且x﹣1≠0，再求出答案即可．
【解答】解：要使代数式有意义，必须
2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣且x≠1．
故答案为：x≥﹣且x≠1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和零指数幂的定义，能根据二次根式有意义的条件和零指数幂的定义得出2x+1≥0和x﹣1≠0是解此题的关键，注意：①中a≥0，②a0＝1（a≠0）．
13．计算：＝　﹣11　．
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝1﹣12
＝﹣11，
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．如图，点D为AB的中点，CG平分∠BCF，且DE∥CG交AC于E，若AC＝15，BC＝9，则CE的长为 　12　．

【分析】取AC的中点H，连接DH，根据三角形中位线定理求出DH，根据平行线的性质、三角形的外角性质得到∠HDE＝∠DEC，得到HE＝DH＝4.5，计算即可．
【解答】解：如图，取AC的中点H，连接DH，
∵点D为AB的中点，
∴DH为△ABC的中位线，
∴DH＝BC＝×9＝4.5，DH∥BC，
∴∠BCF＝∠DHC，
∵CG平分∠BCF，
∴∠BCF＝2∠GCF，
∴∠DHC＝2∠GCF，
∵DE∥CG，
∴∠DEC＝∠GCF，
∴∠DHC＝2∠DEC，
∵∠DHC＝∠DEC+∠HDE，
∴∠HDE＝∠DEC，
∴HE＝DH＝4.5，
∴CE＝CH+HE＝+4.5＝12，
故答案为：12．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．
15．如图，一棵树被雷电击中在C点处折断倒下，点C到树根A的距离3米，树尖B离树根A的水平距离是3米，则树原来高度 　9　米．

【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．
【解答】解：如图，
∵△ABC是直角三角形，AB＝3m，AC＝3m，
∴CB＝＝＝6，
∴AC+BC＝3+6＝9（米），
故答案为：9．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确运用勾股定理是解题关键．
16．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝，连接OE，下列结论：①∠ACD＝90°；②OE∥CD；③BD＝AB；④S△AOE：S△AOD＝2：3成立的有 　①②③　．（填写正确序号）

【分析】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由AB＝BC，可得EC＝AE＝BE，由三角形中位线定理可判定②，证明∠BAC＝90°，可判定①，根据勾股定理可以③，判定由平行四边形的面积公式可判定④．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，AO＝CO，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC＝2，
∴EC＝AE＝BE＝AB＝2，
又∵AO＝CO，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，OE＝AB＝1，
∴AO＝CO＝OE＝，
∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝90°，故①正确；
∵OB＝OD，BE＝EC，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，故②正确；
∵∠OCD＝90°，CO＝，DC＝AB＝2，
∴OD＝＝，
∴BD＝2OD＝2＝AB，故③正确；
∵O是AC的中点，
∴S△AOE＝S△COE＝S△ACE，
∵E是BC的中点，
∴S△ACE＝S△ABE＝S△ABC，
∴S△AOE＝S△ACE＝S△ABC，
∵S△AOD＝S△ACD＝S△ABC，
∴S△AOE：S△AOD＝＝1：2，故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．
三、解答题（17、18、19、20、21、22题各8分，23、24题各10分，共68分）
17．（8分）（1）；
（2）．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝5﹣3+4
＝6；
（2）
＝3﹣（3+2）+3﹣1
＝3﹣3﹣2+3﹣1
＝﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1．
（1）写出A，B，C三点坐标．
（2）判断△ABC的形状并说明理由．

【分析】（1）根据平面直角坐标系即可求解；
（2）根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【解答】解：（1）A（4，2），B（﹣1，3），C（1，0）；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵网格中每个小正方形的边长都为1，
∴AC＝BC＝＝，AB＝＝，
在△ABC中，AC2+BC2＝13+13＝26，AB2＝26，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，坐标与图形性质；熟练掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
19．（8分）已知：a﹣＝，求a+的值．
【分析】根据完全平方公式把已知条件变形，再根据完全平方公式变形求出答案．
【解答】解：∵a﹣＝，
∴（a﹣）2＝（）2，
∴a2﹣2+＝3，
∴a2+2+＝7，
∴（a+）2＝7，
∴a+＝±．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交CA延长线于D于点D．
（1）若∠BAC＝122°，求∠DBC的度数；
（2）若CD＝，BC＝3，求BD、AB的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝29°，根据垂直的定义得出∠D＝90°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠DBC＝90°﹣∠C＝61°；
（2）在直角△CBD中利用勾股定理求出BD＝＝2．设AB＝x，则AC＝x，AD＝﹣x．在直角△ABD中利用勾股定理列出方程（﹣x）2+22＝x2，解方程即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝122°，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣122°）＝29°，
∵BD⊥AC，
∴∠D＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠C＝61°；
（2）在直角△CBD中，∵∠D＝90°，，BC＝3，
∴BD＝＝＝2．
设AB＝x，则AC＝x，AD＝﹣x．
在直角△ABD中，∵∠D＝90°，
∴AD2+BD2＝AB2，
即（﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
故BD的长为2，AB的长为．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关定理与性质是解题的关键．
21．（8分）【情景再现】周末，李科同学骑车去市图书馆阅览图书．出门匆忙，骑行一段路后，发现借书证落在同学张强家了，于是又返同学张强家中取借书证，并停留了一段时间，之后再继续骑车向图书馆出发，最后到达图书馆．
【学以致用】聪明的李科同学，以所用的时间t为横轴，以离家的距离s为纵轴建立平面直角坐标系，对周末活动做以下示意图，并受到数学老师夸赞．

【解决问题】根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）张强家到图书馆是 　1500　米，李科全程的骑行时间是 　4　分钟；
（2）在整个去图书馆的途中哪个时间段李科骑车速度最慢？最慢的速度是多少米/分？
（3）本次去图书馆的行程中，李科一共骑行了多少米？
【分析】（1）根据图象可以直接求得；
（2）求得各段的速度，然后进行比较即可；
（3）求得各段的路程，然后求和即可．
【解答】解：（1）小华到学校的路程是1500m，在书店停留的时间是12﹣8＝4（min）．
故答案为：1500，4；
（2）从开始到6分钟的速度是＝＝200m/min，
从6分钟到8分钟的速度是：＝300m/min；
从12分钟到14分钟的速度是：＝450m/min．
则从开始到6分钟的速度最慢，速度是200m/min；
（3）小华一共骑行的路程是：1200+600+（1500﹣600）＝2700（m）．
【点评】本题考查了一次函数的图象，正确根据图象理解运动过程是关键．
22．（8分）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE、DF．
（1）直接写出BE、DF的数量关系 　BE＝DF　．
（2）连接DE、BF，判断四边形DEBF的形状，并给予证明．
（3）若AD⊥BD，AD＝2，DO＝，四边形DEBC的面积为 　2　．

【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理以及全等三角形的判定得出△BEO≌△DFO，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可．
（3）根据平行四边形的性质和三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）BE＝DF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
又∵E，F分别是OA、OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC，
∴OE＝OF，
∵在△BEO与△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO（SAS），
∴BE＝DF；
故答案为：BE＝DF；
（2）四边形DEBF是平行四边形，理由如下：
由（1）得△BEO≌△DFO，
∴OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（3）∵AD⊥BD，AD＝2，DO＝，
∴，
∵E是OA的中点，
∴，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴，
故答案为：2．

【点评】此题是四边形综合题，考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和三角形中位线定理以及全等三角形的判定得出△BEO≌△DFO解答．
23．（10分）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝＝；
＝＝；
＝＝＝．
像这样，把代数中分母化为有理数过程叫做分母有理化．化简：
（1）
（2） （n为正整数）；
（3）求 的值．
【分析】（1）先分母有理化，再求出答案即可；
（2）先分母有理化，再求出答案即可；
（3）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）＝＝﹣．
（2）＝＝﹣；
（3）
＝+++...+
＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣
＝﹣1．
＝2﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和分母有理化，能正确分母有理化是解此题的关键．
24．（10分）（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是 　1＜AD＜5　．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，若AE是∠BAD的平分线，连接BE．①试猜想线段AB、AD、BC之间的数量关系 　AB＝AD+BC　．（不用证明）
②猜想AE与BE有怎样的位置关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知AD∥CB，点E是BD的中点，点F在线段AE上，∠DAE＝∠CFE＝30°，取CF中点G，连接EG，若AD＝10，BC＝4，∠GEF＝45°，线段EG的长为 　　．

【分析】（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，证△BDE≌△CDA（SAS），再根据三角形三边关系得出结论即可；
（2）①延长AE，BC交于点F，证△ADE≌△FCE（AAS），即可得出结论；
②由①知，△ADE≌△FCE，得AE＝EF，又BA＝BF，根据等腰三角形的性质得出结论即可；
（3）延长AE交BC的延长线于点M，证△AED≌△MEB（AAS），得FC＝AD﹣BC＝10﹣4＝6，作GN⊥AE于点N，根据特殊直角三角形的性质得出EG的长即可．
【解答】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，

∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）①如图，延长AE，BC交于点F，

∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAB＝∠F，
∴AB＝BF，
∵BC+CF＝BF，
∴BC+AD＝AB；
故答案为：AB＝AD+BC；
②AE⊥BE，
理由：∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，
∵BA＝BF，
∴BE⊥EF；
（3）如图③，延长AE交BC的延长线于点M，

∵E是BD的中点，
∴BE＝DE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠M，
在△AED和△MEB中，
，
∴△AED≌△MEB（AAS），
∴AD＝BM，
∵∠EFC＝∠DAE，
∴∠EFC＝∠M，
∴FC＝CM，
∴AD＝BM＝BC+CF，
∵AD＝10，BC＝4，
∴FC＝AD﹣BC＝10﹣4＝6，
∵G点是FC的中点，
∴FG＝3，
作GN⊥AE于点N，
∵∠EFC＝30°，
∴GN＝FG＝，
∵∠GEF＝45°，
∴△GNE是等腰直角三角形，
∴GN＝NE＝，
∴EG＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键．