中考数学适应性模拟试卷（六） (含答案)

这是一份中考数学适应性模拟试卷（六） (含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。

中考模拟试卷数学
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1、 全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分。考试时间120分钟，考试形式闭卷。
2、 一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效。
3、 不能使用科学计算器。
一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应的位置作答，每小题3分，共30分）
1. 计算2-（-1）的结果是（ ）
A. B. C. 3 D. 1
2．面对全国14亿人口，国家卫健委表示：新冠疫苗接种率至少要达到60%甚至70%，才能建立全民保护。这意味着需要接种的人数至少在8.5亿以上，8.5亿用科学记数法可表示为（　　）
A．8.5×108 B．8.5×109 C．85×109 D．0.85×107
3.如图，AB和CD相交于点O，则下列结论错误的是（ ）

A. ∠1=∠4+∠5 B. ∠2>∠3 C.∠2＜∠5 D. ∠1=∠2
4．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法正确的是（　　）
A．中位数是5 B．平均数是4 C．众数是7 D．方差是3
6．下列运算正确的是（　　）
A．A3•a2＝a5 B．a+2a＝3a2 C．（ab）3＝ab3 D．（﹣a3）2＝﹣a6
7．不等式组的解集是（ ）
A．无解 B．x＜-2 C．x≥﹣3 D．﹣3≤x＜﹣2
8．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．56cm2 B．72cm2 C．84cm2 D．96cm2
9.如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若AC=7，AD=3，则的长为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
10．如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求抛物线y2的解析式（ ）
A: y2＝﹣x2+3x﹣4 B. y2＝﹣x2+3x﹣3
C：y2＝﹣x2+4x﹣4 D. y2＝﹣x2+4x﹣3

二、填空题（每小题4分，共20分）
11．分解因式：m3﹣m＝　 ．
12．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：　 　，使▱ABCD是菱形．
13．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2）．反比例函数y（k≠0）的图象经过▱OABC的顶点C，则k＝　 ．
14．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于　　．
15．如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上，在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，求DE最大值与最小值的和为　 　cm．

第12题 第13题 第14题 第15题

三、简答题（本大题10题，共100分）
16.（本题满分8分）如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上。
（1）在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上。
（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）。

17.（本题满分10分）在世界环境日（6月5日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学生的成绩作为样本，按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表．
测试成绩统计表
等级
频数（人数）
频率
优秀
30
a
良好
b
0.45
合格
24
0.20
不合格
12
0.10
合计
c
1

根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中________，________，________；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有2400名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少人？

18.（本题满分10分）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．




19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax﹣3a（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）的一个交点为C，且BC＝AC．
（1）求点A的坐标；
（2）当S△AOC＝3时，求a和k的值．



20.（本题满分10分）新高考将采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是________；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2中选化学、生物的概率．

21.（本题满分10分）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？


22．（本题满分8分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）
（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）





23.（本题满分10分）如图，在Rt△ABC的边上取一点，以为圆心，为半径画⊙O，⊙O与边相切于点，，连接交⊙O于点，连接，并延长交线段于点．
（1）若AB=10，，求⊙O的半径.
（2）若是的中点，试探究AF，EF，FD的数量关系并说明理由.




24．（本题满分12分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，在直线AC下方，抛物线上是否存在点P，使得△PAC的面积最大，若存在，求出P点的坐标及△PAC的面积最大值，若不存在，请说明理由。




25.（本题满分12分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠F与∠C的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝2，AB＝4，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．问：在旋转过程中，BE与DG的位置关系如何？DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值。






答案
一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应的位置作答，每小题3分，共30分）
1. 计算2-（-1）的结果是（ ）
A. B. C. 3 D. 1
【答案】C
【分析】利用有理数的减法法则转化为加法，再计算即可．
【详解】解：2-（-1）=2+1=3
2．面对全国14亿人口，国家卫健委表示：新冠疫苗接种率至少要达到60%甚至70%，才能建立全民保护。这意味着需要接种的人数至少在8.5亿以上，8.5亿用科学记数法可表示为（　　）
A．8.5×108 B．8.5×109 C．85×109 D．0.85×107
【答案】A
【分析】利用科学计数法计算即可。
【详解】解：8.5亿=850 000 000=8.5×108
3.如图，AB和CD相交于点O，则下列结论错误的是（ ）

A. ∠1=∠4+∠5 B. ∠2>∠3 C.∠2＜∠5 D. ∠1=∠2
【答案】C
【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知∠2=∠5+∠4.所以∠2＜∠5错误
4．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三视图进行判断，即可得到答案．
【详解】A俯视图和主视图，左视图不一致， C三视图都不一致， D三视图都不一致
5．已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法正确的是（　　）
A．中位数是5 B．平均数是4 C．众数是7 D．方差是3
【答案】B
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可．
【解答】解：样本数据2，3，5，3，7中平均数是4，中位数是3，众数是3，方差是S2[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（7﹣4）2]＝3.2．
6．下列运算正确的是（　　）
A．A3•a2＝a5 B．a+2a＝3a2 C．（ab）3＝ab3 D．（﹣a3）2＝﹣a6
【答案】A
【分析】利用合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则进行计算即可．
【解答】解：a2•a3＝a3+2＝a5，因此选项A符合题意；
a+2a＝3a，因此选项B不符合题意；
（ab）3＝a3b3，因此选项C不符合题意；
（﹣a3）2＝a6，因此选项D不符合题意；
【点睛】本题考查合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．
7．不等式组的解集是（ ）
A．无解 B．x＜-2 C．x≥﹣3 D．﹣3≤x＜﹣2
【答案】D
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：不等式组，
由①得：x＜﹣2，
由②得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜﹣2，
8．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．56cm2 B．72cm2 C．84cm2 D．96cm2
【答案】B
【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，则AD＝12，可得出答案．
【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC，

由三角形面积公式得：y＝＝30，
解得EH＝AB＝6，
∴AE＝＝＝8，
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，

∴AD＝AE+DE＝8+4＝12，
∴矩形的面积为12×6＝72．
9.如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若AC=7，AD=3，则的长为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【分析】
由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线，据此可得解．
【详解】解：由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD=AC-AD=7-3=4，
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一性质添加辅助线是解题的关键．
10．如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求抛物线y2的解析式；

A. y2＝﹣x2+3x﹣4． B. y2＝﹣x2+3x﹣3．
C：y2＝﹣x2+4x﹣4． D. y2＝﹣x2+4x﹣3．
【答案】D
【分析】设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣（x﹣a）2+b，如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H．，连接BD′，B′D′．构建方程组解决问题即可．
【解答】解：设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣（x﹣a）2+b，
如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H，连接BD′．

∵D′是抛物线的顶点，
∴D′B＝D′B′，D′（a，b），
∵∠BD′B′＝90°，D′H⊥BB′，
∴BH＝HB′，
∴D′H＝BH＝HB′＝b，
∴a＝1+b，
又∵y2＝﹣（x﹣a）2+b，经过B（1，0），
∴b＝（1﹣a）2，
解得a＝2或1（不合题意舍弃），b＝1，
∴y2＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.分解因式：m3﹣m＝　 ．
【答案】m（m+1）（m﹣1）
【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：m3﹣m，
＝m（m2﹣1），
＝m（m+1）（m﹣1）
【点睛】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．
12．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：　 　，使▱ABCD是菱形．

【答案】AD＝DC（答案不唯一）
【分析】根据菱形的定义得出答案即可．
【解答】解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD＝DC；
【点睛】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键。
13．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2）．反比例函数y（k≠0）的图象经过▱OABC的顶点C，则k＝　 ．

【答案】﹣2
【分析】连接OB，AC，根据O，B的坐标易求P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值．
【解答】解：连接OB，AC，交点为P，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP＝CP，OP＝BP，
∵O（0，0），B（1，2），
∴P的坐标（，1），
∵A（3，1），
∴C的坐标为（﹣2，1），
∵反比例函数y（k≠0）的图象经过点C，
∴k＝﹣2×1＝﹣2，
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键．
14．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于　　．

【答案】π
【分析】由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC＝90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出的长了．
【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB＝2，AC＝，BC＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴连接OC，则∠COB＝90°，
∵OB＝，
∴的长为：＝π，
15．如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上，在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，求DE最大值与最小值的和为　 　cm．

【答案】
【分析】探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
【解答】解：如图2中，当点M与A重合时，DE的值最小。
根据题意易得：AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，
在Rt△ADE中，则有x2＝22+（4﹣x）2，解得x，
∴DE＝4（cm），
如图3中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝5﹣1﹣2＝2（cm）
DE最大值与最小值的和3.5cm

【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、简答题（本大题10题，共100分）
16.（本题满分8分）如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．
（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．

【详解】解：（1）如图平行四边形ABDE即为所求（点D的位置还有6种情形可取）每小题4分，画对才给分。
；
17.（本题满分10分）在世界环境日（6月5日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学生的成绩作为样本，按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表．
测试成绩统计表
等级
频数（人数）
频率
优秀
30

良好

0.45
合格
24
0.20
不合格
12
0.10
合计

1


根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中________，________，________；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有2400名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少人？
【答案】（1）0.25，54，120；（2）见解析；（3）1680人
【详解】解：（1）样本的总频数（人数）（人），
其中：“优秀”等次的频率，
“良好”等次的频数（人）．
故答案为：0.25，54，120；每空1分，共3分
（2）如下图； 该小题3分

（3）试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生=（人）.....．3分
答：测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有1680人．.....．1分
【点睛】本题考查了频率统计表和条形统计图，读懂统计图，掌握“频率=”是解决问题的关键．
18.（本题满分10分）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】证明：（1）∵四边形是矩形，
∴，．
∴，.....．2分
∵，
∴．
∴，.....．4分
∴．.....．5分
解：（2）∵，
∴．.....．6分
∵，是的中点，
∴．.....．7分
∴在中，．.....．8分
又∵，
∴，
∴．.....．10分
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax﹣3a（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）的一个交点为C，且BC＝AC．
（1）求点A的坐标；
（2）当S△AOC＝3时，求a和k的值．

【解答】解：（1）由题意得：令y＝ax﹣3a（a≠0）中y＝0，.....．1分
即ax﹣3a＝0，解得x＝3，.....．3分
∴点A的坐标为（3，0）．.....．4分
（2）过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示：

显然，CM∥OA，
∴∠BCM＝∠BAO，且∠ABO＝∠CBO，
∴△BCM∽△BAO，........．5分
∴，即：，
∴CM＝1，........．6分
又
即：，
∴CN＝2，........．7分
∴C点的坐标为（1，2），
故反比例函数的k＝1×2＝2，........．8分
再将点C（1，2）代入一次函数y＝ax﹣3a（a≠0）中，
即2＝a﹣3a，解得a＝﹣1，........．9分
∴当S△AOC＝3时，a＝﹣1，k＝2．........．10分
20.（本题满分10分）新高考将采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是________；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2中选化学、生物的概率．
【答案】（1）；（2）图表见解析，
【详解】（1）；........．3分
（2）列出树状图如图所示：
........．7分
由图可知，共有12种可能结果，其中选化学、生物的有2种，
所以，（选化学、生物）．........．9分
答：小明同学选化学、生物的概率是．........．10分
21.（本题满分10分）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
【答案】（1）每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元；（2）学校最多可购买甲种词典5本
【详解】（1）设每本甲种词典的价格为元，每本乙种词典的价格为元，根据题意，得
........．2分
解得........．4分
答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．........．5分
（2）设学校计划购买甲种词典本，则购买乙种词典本，根据题意，得
........．7分
解得........．9分
答：学校最多可购买甲种词典5本．........．10分
22．（本题满分8分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）
（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）
【解答】解：（1）∵AB垂直于桥面，
∴∠AMC＝∠BMC＝90°，
在Rt△AMC中，CM＝60，∠ACM＝30°，
tan∠ACM＝，........．2分
∴AM＝CM•tan∠ACM＝60×＝20（米），........．3分
答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20米；........．4分
（2）在Rt△BMC中，CM＝60，∠BCM＝14°，
tan∠BCM＝，
∴MB＝CM•tan∠BCM≈60×0.25＝15，........．6分
∴AB＝AM+MB＝15+20≈50（米）........．7分
答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米．........．8分
23.（本题满分10分）如图，在Rt△ABC的边BC上取一点，以为圆心，为半径画⊙O，⊙O与边相切于点，，连接交⊙O于点，连接，并延长交线段于点．

（1）若AB=10，，求⊙O的半径；
（2）若是的中点，试探究AF，EF，FD的数量关系并说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析
【详解】解：（1）在Rt△ABC中,
，
∵AB=10，
∴
∴AC=8，..........2分
∴AD=AC=8
∴BD=AB-AD=2，
∵OB2=OD2+BD2，
∴（6-OC）2=OC2+4，
∴OC=， ..........4分
（2）连接OD，DE，
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ADO=90°，
∵AO=AO，AC=AD，OC=OD，
∴△ACO≌△ADO（SSS）
∴∠ACO=∠ADO=90°，∠AOC=∠AOD，..........5分
又∵CO=DO，OE=OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠COE=∠DOE，
∴DE=CE..........6分
∵OC=OE=OD，
∴∠OCE=∠OEC=∠OED=∠ODE，
∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，..........7分
∵点F是AB中点，∠ACB=90°，
∴CF=BF=AF，
∴∠FCB=∠FBC，
∴∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，..........8分
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
∵DE=CE(已证)
∴CE=DF..........9分
∴CE+EF=DF+BD
∴EF=BD
∴AF=BF=BD+FD=EF+FD．...................10分
24．（本题满分12分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝3PE时，求PE的长；
②如图2，在直线AC下方，抛物线上是否存在点P，使得△PAC的面积最大，若存在，求出P点的坐标及△PAC的面积最大值，若不存在，请说明理由。

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0）和点B（1，0），
∴
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+3x﹣4；..........2分
（2）①设点P（a，a2+3a﹣4），
∵点P位于y轴的左侧，
∴a＜0，PE＝﹣a，
∵PD＝3PE，
∴|a2+3a﹣4|＝﹣3a，..........4分
∴a2+3a﹣4＝﹣3a或a2+3a﹣4＝3a，
解得：a1＝，a2＝（舍去）或a3＝﹣2，a4＝2（舍去）..........5分
∴PE＝2或；..........6分
②存在点P，理由如下，
∵抛物线y＝x2+3x﹣4与x轴交于点C，
∴点C（0，﹣4），A（﹣4，0）
∴直线AC的解析式为．..........8分
设P的坐标为（m , m2+3m﹣4）,过P点做x轴的垂线交AC于Q点，设Q的坐标为（m , -m-4）
则QP=-m2-4m


．..........10分
当m= -2时最大值为8
m= -2代入m2+3m﹣4
m2+3m﹣4= ﹣6
∴点P的坐标（﹣2，﹣6）．..........12分
25.（本题满分12分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠F与∠C的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝2，AB＝4，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．问：在旋转过程中，BE与DG的位置关系如何？DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值。


【分析】（1）由正方形的性质得出AE＝AF，∠EAG＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，得出∠EAB＝∠GAD，证明△AEB≌△AGD（SAS），则可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AE＝AG，AB＝AD，证明△AEB≌△AGD（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；
（3）证明△EAB∽△GAD，得出∠BEA＝∠AGD，则A，E，G，Q四点共圆，得出∠GQE＝∠GAE＝90°，连接EG，BD，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形AEFG为正方形，
∴AE＝AF，∠EAG＝90°，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；．..........3分
（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，
理由如下：
∵∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；．..........6分
（3）解：如图，设BE与DG交于Q，

∵，AE＝2，AB＝4
∴AG＝3，AD＝6．．..........7分
∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵，
∴△EAB∽△GAD，
∴∠BEA＝∠AGD，
∴A，E，G，Q四点共圆，．..........9分
∴∠GQE＝∠GAE＝90°，
∴GD⊥EB，．..........10分
连接EG，BD，
∴ED2+GB2
＝EQ2+QD2+GQ2+QB2
＝EQ2+GQ2+QD2+QB2
＝EG2+BD2
＝AE2+AG2+AB2+AD2．..........11分
＝22+32+42+62
＝65．．..........12分