2021-2022学年陕西省渭南市富平县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年陕西省渭南市富平县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如果分式有意义，则与必须满足(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 把多项式因式分解时，提取的公因式是，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 一个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，三条公路两两相交，现计划在中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是的交点．(    )

A. 三条角平分线 B. 三条中线 C. 三条高的交点 D. 三条垂直平分线

6. 关于的分式方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，，若，(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在平行四边形中，过对角线的中点作，且，分别交、于、，点为的中点，连接，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

9. 在处填入一个整式，使关于的多项式可以因式分解，则可以为______写出一个即可
10. 一个正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是______．
11. A、两地相距千米，甲乙两人同时从地出发步行到地，甲比乙每小时少走千米，结果比乙晚到小时，设甲速度千米小时，可列方程______．
12. 在平面直角坐标系中，一次函数均为常数与正比例函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．

13. 如图，在▱中，是的中点，连接、，是的中点，连接交于点，若，则的长为______．

三、解答题（本大题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 因式分解：．
15. 解方程：．
16. 解不等式：，并写出满足不等式的最大整数解．
17. 如图，四边形是平行四边形．请用尺规作图法在上找一点，使得不写作法，保留作图痕迹

18. 已知如图，在▱中，延长到，延长到，使，则线段与是否互相平分？说明理由．

19. 先化简：，再取一个合适的的值代入求值．
20. 如图，点、、都在网格格点上，三个顶点的坐标分别为，，．
    经过平移得到，点、、的对应点分别为、、，中任意一点平移后的对应点为请在图中作出；
    请在图中作出关于原点对称的，点、、的对应点分别为、、．

21. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
    解：设
    原式第一步
    第二步
    第三步
    第四步
    请问：
    该同学因式分解的结果是否彻底？______填“彻底”或“不彻底”若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
    请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
22. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，、分别是、的中点，、分别交、于点、，取边的中点，连接、求证：
    是等腰三角形；
    ．

23. 目前节能灯在城市已基本普及，为响应号召，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共只，这两种节能灯的进价售价如表：

若商场准备用不多于元的资金购进这两种节能灯，问甲型号的节能灯至少购进多少只？
在的条件下，当甲型号的节能灯购进多少只时，该商场销售完这只节能灯后所获总利润最大？最大利润是多少？

24. 如图，大海中有两个岛屿与，，在海岸线上的点处测得，．
    求证：；
    若在海岸线上的点处测得，求的度数．

25. 某商场在端午节来临之际用元购进、两种玩具个，购买玩具与购买玩具的费用相同．已知玩具的单价是玩具单价的倍．
    求、两种玩具的单价各是多少？
    若计划用不超过元的资金再次购进、两种玩具共个，已知、两种玩具的进价不变．求种玩具最多能购进多少个？
26. 已知，是等边三角形，点在直线上，点在直线上点、不与三角形顶点重合，，连结和，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．
    如图，当点与点分别在线段与线段上时．
    求证：；
    求证：四边形是平行四边形；
    如图，当点与点分别在线段与线段的延长线上时，请猜想四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式分母不为零．
根据分式有意义的条件是，可得，进而可得答案．
【解答】
解：由题意得：，
即：，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：选项B、、均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：把多项式因式分解时，提取的公因式是，则：，
故选：．
利用提公因式法，即可解答．
本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握因式分解提公因式法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：一个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如上图所示，则该不等式组的解集是：，
故选：．
在数轴上找两个解集的公共部分，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，在数轴上找两个解集的公共部分是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，
探照灯位置是三条角平分线的交点．
故选：．
根据角平分线的性质进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【解答】
解：方程两边都乘，
得
原方程有增根，
最简公分母
解得，
当时，
解得，
所以的值为．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：连接，
在中，，
，
边，的垂直平分线交于点，
，，
，，，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，，计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，
，，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
点为的中点，
，
故选：．
结合平行四边形的性质，利用证明≌可求得，由含角的直角三角形的性质可求解的长，再根据直角三角形的性质可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，证明≌是解题的关键．
 

9.【答案】答案不唯一 

【解析】解：在处填入一个整式，使关于的多项式可以因式分解，则可以为：，
．
故答案为：答案不唯一．
根据完全平方公式的特征即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：条，
故答案为：．
根据多边形的外角和等于计算即可．
本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：甲速度千米小时，则乙每小时走千米，
依题意得：．
故答案为：．
设甲速度千米小时，则乙每小时走千米，根据时间路程速度，结合结果比乙晚到小时，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：把代入，
解得：，
由图象可知，不等式的解集为：，
故答案为：．
把代入，得出，再根据函数的图象即可得出不等式的解集．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
 

13.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接，，如图所示：
为的中点，为的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
为的中点，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
取的中点，连接，，由三角形的中位线求出，，求出，再由平行四边形的性质得出，，求出，，则四边形是平行四边形，求出，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，证明四边形为平行四边形是解此题的关键．
 

14.【答案】解：原式
． 

【解析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式是正确解答的前提．
 

15.【答案】解：两边都乘以得，
，
即，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以原方程的解为． 

【解析】根据解分式方程的解法步骤进行计算即可．
本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法步骤是正确求解的前提．
 

16.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：，
则不等式组的最大整数解为． 

【解析】不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为，求出解集，确定出最大整数解即可．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】根据平行四边形的性质可知，所以满足即满足，作即可解答．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，解题的关键是学会利用作已知直线的垂线，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：线段与互相平分．理由是：
连接，．
四边形是平行四边形．
，即，
，
，
，
四边形是平行四边形，
与互相平分． 

【解析】要说明线段与互相平分，可以把这两条线段作为一个四边形的对角线，然后说明这个四边形是平行四边形即可．
本题主要考查平行四边形的判定问题，应熟练掌握．
 

19.【答案】解：


，
，，
，，
当时，原式． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则，计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图所示，即为所求．

如图所示，即为所求． 

【解析】由点平移后的对应点为得出平移的方式为向右平移个单位、向上平移个单位，据此作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可；
分别作出三个顶点关于原点的对应点，再首尾顺次连接即可．
本题主要考查作图平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
 

21.【答案】不彻底；
设
原式

． 

【解析】

解：，
该同学因式分解的结果不彻底．
故答案为：不彻底．

见答案．
【分析】
根据因式分解的步骤进行解答即可；
设，再根据完全平方公式把原式进行分解即可．
本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式的应用．  

22.【答案】证明：、分别是、的中点，
，，
同理：，，
，
，
即是等腰三角形；

，
，
，
同理，，

． 

【解析】根据三角形的中位线定理，即可证得是等腰三角形；
根据等边对等角，即可证得，然后根据平行线的性质证得，根据等角对等边即可证得．
本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，证明为等腰三角形是解题关键．
 

23.【答案】解：设购进甲种节能灯只，乙种节能灯只，
依题意得：，
解得．
答：购进甲种节能灯只，乙种节能灯只；
设购进甲种节能灯只，则购进乙种节能灯只，
依题意得：，
解得：．
设该商场销售完只节能灯后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而减小，
又，
当时，取得最大值，最大值，
在的条件下，购进甲种节能灯只，该商场销售完这只节能灯后所获总利润最大，最大利润是元． 

【解析】设购进甲种节能灯只，乙种节能灯只，利用总价单价数量，结合购进甲，乙两种节能灯共只且共花费元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进甲种节能灯只，则购进乙种节能灯只，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论，设该商场销售完只节能灯后获得的总利润为元，利用总利润每只的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可找出的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式，找出关于的函数关系式．
 

24.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，，
，
，
，
． 

【解析】根据条件可知，进一步可证≌，即可得证；
根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：设种玩具单价为元，则种玩具单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种玩具单价为元，种玩具单价为元．
设购进种玩具个，则购进种玩具个，
依题意得：，
解得：，
答：种玩具最多能购进个． 

【解析】设种玩具单价为元，则种玩具单价为元，由题意：某商场在端午节来临之际用元购进、两种玩具个，购买玩具与购买玩具的费用相同．列出分式方程，解方程即可；
设购进种玩具个，则购进种玩具个，由题意：计划用不超过元的资金再次购进、两种玩具，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】证明：如图，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
；
≌，
，
，，，，
，，
，
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形．
理由：如图，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，，，
，，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，对于条件不变，仅仅是图形位置发生变化的问题探究，通常可借鉴已有的解题经验来解决问题．
要证，只需证到≌即可；
要证四边形是平行四边形，只需证到，即可；
只需借鉴中的解题经验即可解决问题．