2022-2023学年陕西省西安交大附中八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安交大附中八年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列关系式中，哪些是一元一次不等式(    )
，，，，，．

A.  B.  C.  D.

2.  线段的垂直平分线上有一点，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

3.  如图，用不等式表示数轴上所示不等式组的解集，正确的是(    )
 

A. 或 B. 或
C.  D.

4.  如图，，，的垂直平分线交于点，那么的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点若的面积为，，则线段的长不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的一元一次不等式的解都是的解，则的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  平面直角坐标系内，点在第三象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  不等式的负整数解有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9.  若干辆载重为的卡车来运载货物，若每辆卡车只装，则剩下货物；若每辆卡车装，则最后一辆汽车不满也不空，问：可能有辆汽车．(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，，，延长至，使，连接，延长至，使，连接，若，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.  设，用“”或“”填空：        ．

12.  如图，在中，，为边上的高线，为上一点，且有已知，则       

13.  若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围为        ．

14.  如图，，点、分别为角的两边、上的点，平分，点为射线上一点，且，，若射线上有一点，则的最小值为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
解下列不等式：
；
．

16.  本小题分
解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
；
．

17.  本小题分
如图，已知，，，为上一点，且到，两点的距离相等．用直尺和圆规，作出点的位置．不写作法，保留作图痕迹

18.  本小题分
已知：如图，在中，，，是腰上的高，若，求的长度．

19.  本小题分
若、、是的三边，且、满足关系式，是不等式组的最大整数解，求的周长．

20.  本小题分
某健身房训练的费用为元次，为回馈客户，现推出如下活动方案，方案一：购买一张会员卡，卡费为元，每次训练费用按六折优惠；方案二：不购买会员卡，每次训练费用按八折优惠设某客户健身训练次，按照方案一所需费用为元；按照方案二所需费用为元．
请分别写出，与之间的关系式；
小李计划前往该健身房训练到次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与一次函数的图象相交于点，点的横坐标为．
求，的值；
请直接写出关于的不等式的解集；
设点在直线上，且，求点的坐标．

22.  本小题分
新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．
如图，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为       
如图，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由．
在“等对角四边形”中，，，，求对角线的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是一元一次不等式；
是一元一次不等式；
中含有两个未知数，不是一元一次不等式；
是等式，不是一元一次不等式；
中不是整式，因此不是一元一次不等式；
中未知数的指数是，不是，所以不是一元一次不等式；
综上分析可知，一元一次不等式有，故B正确．
故选：．
根据一元一次不等式的定义逐项判断即可．
本题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是，未知数的系数不为，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．
 

2.【答案】 

【解析】解：点在线段的垂直平分线上，
，故A正确．
故选：．
根据垂直平分线的性质进行解答即可．
本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图示可看出，从出发向右画出的折线且表示的点是空心圆，表示；
从出发向左画出的折线且表示的点是实心圆，表示．
所以这个不等式组为
故选：．
不等式的解集表示与之间的部分，其中不包含，而包含．
此题主要考查利用数轴上表示的不等式组的解集来写出不等式组．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，在中，，，
，
又的垂直平分线交于点，

，
在中，，
．
故选：．
先根据等腰三角形内角和定理得出的度数，再由中垂线的知识得出为等腰直角三角形，可得出的度数，根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角和，即可得出的度数．
本题主要考查的是等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、三角形外角的性质．关键是掌握等腰三角形的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作于，于，

的面积为，，
，
是的平分线，
，
，
故选：．
过点作于，于，根据三角形的面积得出的长，进而利用角平分线的性质可得，即可．
本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式．作出辅助线是正确解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：解不等式得，
不等式的解都是的解，
．
故选：．
解不等式得到解集，由于的解都满足，即，即可解题．
本题考查解一元一次不等式，掌握不等式的解法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点在第三象限，
，
解不等式组得：．
故选：．
由于在平面直角坐标系内，点在第三象限，根据点在平面直角坐标系内符号特征可得：，解不等式组可得答案．
本题主要考查点的坐标，解一元一次不等式组，解决本题的关键是要熟练掌握点在平面直角坐标系内点的符号特征．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
不等式两边同除以得：，
不等式的负整数解有，，共个，故C正确．
故选：．
先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案．
本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．
 

9.【答案】 

【解析】解：设有辆汽车，则，
解得，
为正数，
为或，
故选：．
设有辆汽车，根据题意列不等式组解题，取符合题意的整数即可．
本题考查不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，，
，
，


，


，
故选：．
先证明≌，则，得出长，计算面积即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
利用不等式的性质解题即可．
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据高线和已知条件求出，再根据，得到，根据三角形外角的性质，求出，再根据等边对等角得出结果即可．
本题主要考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
又不等式组有且只有三个整数解，
，
解得：．
故答案为：．
先求出不等式组的解集含有字母，利用不等式组有且只有三个整数解，逆推出的取值范围即可．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，根据整数解的个数得出关于的不等式组是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：平分，，
，
过点作于点，如图所示，

，
，
垂线段最短，
当最小，且时，最小，
过点作于点，作于点，
平分，
，
，
与为直角三角形，
，
≌，
，
，，和为直角三角形，
≌，
；
当点在点的下面，点在点的左侧时，如图所示：

，，
，
，
为等边三角形，
，
，
平分，
，
，
，
此时；
当点在点的上面，点在点的左侧时，如图所示：

，，
此时，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
即；
当点在点的下面，点在点的右侧时，如图所示：

，，
此时，
在中，
，
，
为的外角，，
，
，
此种情况不符合题意；
当点与点重合，点与点重合时，如图所示：

，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
此种情况不符合题意；
的最小值为，
，
即的最小值为．
故答案为：．
过点作于点，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，得出，根据垂线段最短得出当最小，且时，最小，然后分四种情况进行讨论，求出的最小值，即可得出答案．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，掌握角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
 

15.【答案】解：，
去括号得：，
移项合并同类项得；
，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：． 

【解析】先去括号，再移项合并同类项，即可求解；
先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解．
本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：；
不等式组的解集在数轴上表示，如图所示：

，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．
不等式组的解集在数轴上表示，如图所示：
 

【解析】先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集；
先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集．
本题主要考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．
 

17.【答案】解：作线段的垂直平分线，交于，点即为所求，如图所示． 

【解析】作线段的垂直平分线，与的交点即为点．
此题主要考查的是线段垂直平分线的作法，熟练掌握基本作图方法是解题关键．
 

18.【答案】解：在中，
，，
，
．
是腰上的高，
．
，
，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到在直角中，根据度角所对的直角边等于斜边的一半解得的长．
本题主要考查了勾股定理，涉及到等腰三角形的性质：等边对等角．三角形的内角与外角的关系以及直角三角形中度所对的直角边等于斜边的一半．
 

19.【答案】解：
，，
，，
解不等式组得：
，
是不等式组的最大整数解，
，
的周长为：． 

【解析】根据非负数的性质得到、的值；再由不等式组的解集求出的值，进而求出三角形的周长．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握不等式组的解法和非负数的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：根据题意得：，，
即，与之间的关系式分别为，；
当，即时，两种方案费用一样多；
当，即时，方案二所需费用更少；
当，即时，方案一所需费用更少；
当小李前往该健身房训练到次时，方案二所需费用更少；当小李前往该健身房训练，次时，两种方案费用一样多；当小李前往该健身房训练到次时，方案一所需费用更少． 

【解析】根据两种方案分别列出函数关系式，即可求解；
分别求出选择不同方案时，的取值范围，即可求解．
本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
 

21.【答案】解：直线经过和，
，
解得：．
即，；
点的横坐标为，
根据函数图象可知，不等式的解集是；
把代入得：，
解得：，
点，
点，
，
，
，
，
设点的纵坐标为，
则，
解得：或，
一次函数的解析式为，点在直线上，
把代入得：，
解得：，
此时点的坐标为；
把代入得：，
解得：，
此时点的坐标为；
综上分析可知，点的坐标为或． 

【解析】利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到、的值；
结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的的范围即可；
先确定点坐标，求出的面积，设点的纵坐标为，然后求出，即可得到点坐标．
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式以及面积问题，解题关键是熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系，注意分类讨论．
 

22.【答案】 

【解析】解：四边形是“等对角四边形”，，，，
，
，
故答案为：；
成立，
证明如下：
如图：接，

，
，
，
，即，
；
如图：当时，延长，相交于点，

，，
，
，，
，
，
，
，
；
如图：当时，过点作于点，于点，

则，四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
综上，的长为或．
根据四边形是“等对角四边形”得出，再根据四边形内角和定理求出即可；
连接，根据等边对等角得出，求出，根据等腰三角形的判定即可证得；
分两种情况：当时，延长，相交于点，先由含角的直角三角形的性质求出，得出，再用三角函数求出，由勾股定理求出即可；
当时，过点作于点，于点，则，四边形是矩形，先求出、，再由矩形的性质得出，，求出、，根据勾股定理求出即可．
本题是四边形综合题目，考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是中，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果．