2022-2023学年宁夏银川市兴庆区英才学校七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年宁夏银川市兴庆区英才学校七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列事件中，是必然事件的是(    )

A. 购买张彩票，中奖
B. 任意画一个三角形，其内角和是
C. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
D. 射击运动员射击一次，命中靶心

2.  下列图标是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.  如图，与关于直线对称，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  由线段，，组成的三角形不是直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

6.  如图，≌，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  九章算术勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺，牵着绳索退行绳索头与地面接触，在离木柱根部尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为尺，根据题意，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在中，，，是的一条角平分线．若，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，中，，，，则正方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，，是中线，过点作于点，过点作交的延长线于点下列结论：；；；；正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  我国数学家祖冲之是第一个将圆周率的计算精确到小数点后七位的人，他将圆周率精确到若从该数据的个数字中随机抽取一个数字，则所抽到的数字是的概率是______ ．

12.  如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是______ ．

13.  如图，在和中，，，要使≌，可以添加的条件是______ 写出一个即可

14.  将一矩形纸条，按如图所示折叠，则______度．

15.  已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则底边长为______ ．

16.  银川市出租车的现收费标准调整为：以内含起步价为元，超过后每收元，如果用表示出租车行驶的路程，表示的是出租车应收的车费，请你表示与之间的关系式______ ．

17.  由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形两直角边边长分别为，，则图中阴影部分的面积为______ ．

18.  如图，在中，，，线段的垂直平分线与交于点，与交于点，连接，则______度．

19.  如图，一只蚂蚁要从处沿圆柱体的侧面爬到处，已知圆柱体的高是，底面周长是，则蚂蚁爬行的最短路程为______ ．

20.  如图，等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点若点为边的中点，点为线段上一动点，则的周长最小值为：______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
计算：
；
．

22.  本小题分
在一个不透明的口袋中放入个红球和个白球，它们除颜色外完全相同．
求从口袋中随机摸出一个球是红球的概率；
现从口袋中取出若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是，问取出了多少个白球？

23.  本小题分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点即三角形的顶点都在格点上．
画出关于直线的对称图形不写画法；
若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积．

24.  本小题分
如图，点，，，在一条直线上，，，求证．

25.  本小题分
王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．

 

26.  本小题分
某中学，两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．
求出四边形空地的面积；
若每种植平方米的花草需要投入元，求学校共需投入多少元．

27.  本小题分
如图，中，、在上，且、分别是、的垂直平分线上一点．
若的周长为，求的长；
若，求的度数；
若，则 ______ ．

28.  本小题分
如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为．
当点运动秒时的长度为______用含的代数式表示；
若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；
若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：购买张彩票会中奖是随机事件，因此选项A不符合题意；
B.任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，因此选项B符合题意；
C.随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是奇数，有可能是偶数，因此是随机事件，所以选项C不符合题意；
D.射击运动员射击一次，可能命中靶心，有可能不命中靶心，它是随机事件，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据必然事件、不可能事件，随机事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查必然事件、不可能事件，随机事件，理解必然事件、不可能事件，随机事件的意义是正确判断的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确；
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
由作图法易得，，，根据可得到三角形全等．
【解答】
解：由作法易得，，，
依据可判定≌，
可得，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：和关于直线对称，
≌，
．
故选：．
先根据和关于直线对称得出≌，故可得出．
本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
B、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：．
根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知的三边满足，则是直角三角形．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．
根据全等三角形的对应边相等推知，然后根据线段的和差即可得到结论．
【解答】
解：≌，
，
，
，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】
解：设绳索长为尺，可列方程为，
故选C．  

8.【答案】 

【解析】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
．
故选：．
过点作于，如图，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，由勾股定理得，
，
正方形的面积为，
故选：．
利用勾股定理求出，即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：是中线，
，故正确；
，，
．
．
，
在与中，
，
≌．
，故正确；
≌，
；故正确；
是中线，
，故错误；
≌，
，
，
，故正确．
正确的结论有，共个．
故选：．
根据三角形的中线即可进行判断和；利用证明≌，即可进行判断的正确性．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明≌．
 

11.【答案】 

【解析】解：所抽到的数字是的概率是，
故答案为：．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于直线对称，
、关于直线对称，
和关于直线对称，，，
，
的面积是：，
图中阴影部分的面积是．
故答案为：．
根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可．
本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，，
，即，
在和中，已有一边一角相等，只需要添加一边或一角，
当添加一边时，根据判定，必是；
当添加一角时，根据或判定，可以是或等，
故答案为：答案不唯一．
根据全等三角形的判定定理： 或或，即可推出要添加的条件．
本题主要考查全等三角形的判定定理，关键在于熟练掌握全等三角形的判定定理．
 

14.【答案】 

【解析】解：该纸条是折叠的，
的同位角的补角；
矩形的上下对边是平行的，
的同位角．
根据平行线的性质，折叠变换的性质及邻补角的定义可直接解答．
本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；邻补角的定义；折叠变换的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，能够组成三角形；
当是等腰三角形的腰时，则其底边是，不能够组成三角形．
故该等腰三角形的底边长为：．
故答案为：．
此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意，与之间的关系为：，整理得：；
故答案为：．
根据题意列出关系式即可．
本题考查了函数关系式的建立，根据题意列出方程，转化为函数解析式的模式即可．
 

17.【答案】 

【解析】解：直角三角形两直角边边长分别为，，
斜边长，
图中阴影部分的面积为：．
故答案为：．
由勾股定理可得直角三角形斜边的长，再利用正方形的面积减去四个全等直角三角形的面积可得答案．
本题考查勾股定理的证明，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行证明．
 

18.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由垂直平分线的性质可得，结合三角形外角的性质可求得，再利用直角三角形的性质可求解．
本题主要考查线段的垂直平分线，直角三角形的性质．
 

19.【答案】 

【解析】解：根据题意，将圆柱展开如下：

，，
，
最短路程为，
故答案为：．
根据题意将圆柱展开，得出，，再利用勾股定理求解即可．
题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：连接，，

是等腰三角形，点是边的中点，
，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
与的交点为点时，的周长最小，
故AD的长为的最小值，
在中，，，
，，
解得，
的周长最小为：，
故答案为：．
连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：



；



． 

【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法即可；
先根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：口袋中装有红球和个白球，共有个球，
从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是；

设取走了个白球，根据题意得：
，
解得：，
答：取走了个白球． 

【解析】用红球的个数除以总球的个数即可；
设取走了个白球，根据概率公式列出算式，求出的值即可得出答案．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：如图，即为所求；
的面积．
 

【解析】利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图轴对称变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

24.【答案】证明：，
，
即，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意得：，，，，

，
，，
，
在和中，

≌；
由题意得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为． 

【解析】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明≌即可，利用全等三角形的性质进行解答．
 

26.【答案】解：连接．
在中，因为，，，
所以米．
在中，因为，，，
所以 ．
所以是直角三角形，且．
所以平方米．
所以四边形空地的面积为平方米．
 元．
所以学校共需投入 元． 

【解析】利用勾股定理求出即可．
利用勾股定理的逆定理证明即可解决问题．
本题考查勾股定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

27.【答案】 

【解析】解：、分别是、的垂直平分线上一点，
，，
的周长，
，即的长为；
，
，
，，
，，
，
；
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可；
根据三角形内角和定理求出的度数，根据等腰三角形的性质求出，根据题意计算即可；
根据的方法解答．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

28.【答案】 

【解析】解：，则；
故答案为．

当时，厘米，
厘米，点为的中点，
厘米．
又，厘米，
厘米，
，
又，
，
在和中，
，
≌；

，
，
又≌，，
，，
点，点运动的时间秒，
厘米秒．
先表示出，根据，可得出答案；
根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等．
根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度；
此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程速度时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．